初中数学经典题集

1.小学生小明问爷爷今年多大年龄，爷爷回答说：“我今年的岁数是你的岁数的7倍多，过几年变成你的6倍，又过几年变成你的5倍，再过若干年变成你的4倍。”你说，小明的爷爷今年是多少岁？

2. 某部队执行任务,以每小时8千米的速度前进,通信员在队伍中间接到任务后,以每小时12千米的速度把命令传到队头,然后再传到队尾,最后返回他在队中原来的位置,从离开他在队中的位置到返回共用7分12秒,问队伍长多少米?

3.如图，Rt△ABC的面积为20平方厘米，在AB的同侧，分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆，求阴影部分的面积。

4.有一个三角形满足a平方+b平方+c平方+338=10a+24b+26c，这是什么三角形？

5.在平面直角坐标系中有点A(-1,0),点B(4,0),以AB为直径的半圆交y轴的正半轴于点C.(O 为原点)

(1)求点C的坐标

(2)求过A,B,C三点的解析式

(3)在(2)的条件下,若在抛物线上有一点D,使四边形BOCD为直角梯形,求直线BD的解析式

(4)设点M是抛物线上任意一点,过点M做MN垂直y轴于点N.若在线段AB上有且只有一点P,使角MPN为直角,求点M坐标.

6. 边长为2的正方形ABCD内有一点P，求PA+PB+PC的最小值。请写出过程。

7. AB，AC分别是圆O的直径和弦，D为劣弧AC上一点，DE垂直于AB于点H，交圆O 于点E，交AC于点F，P为ED延长线上一点。

问题：当点D在劣弧AC上什么位置时，才能使AD的平方=DE·DF?（要求自己画出图形）

8. 已知直角三角形两条直角边长的和为根号6，斜边长为2，则这个直角三角形的面积为？

9. 若满足不等式8/15

请写出解答过程

10. 把一个正方形切成两个长方体后，如果两者表面积之比为1:2,那么两者体积之比是多少?

11. 证明两条角平分线相等的三角形是等腰三角形.

12. 证明：在⊙0中，已知半径为５厘米，弦AB为５倍根号２厘米，弦AC为５厘米，求∠BAC。

13. 已知三角形一边和它的对角以及另一边的中线，求作三角形。

14.

D

AB=AC D和E在CA和AD的延长线上AD=BC=EC=ED 求证角A=100度

15. 如图，在△ABC中，AC=BC=2,∠ACB=90度;,D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是？

16.矩形ABCD，AD=2AB=2，E是CD中点，连接BE，BD，AE，AE和BD交于O点，求阴影AOBED的面积。

17. 如图所示，如果横行上的两个数字之和相等，竖列上的两个数字之和相等，那么A、B、

C、D依次可为……（填写一组你认为适合的数字即可，数字不要相等）

1.设小明今年的年龄是x岁，那么爷爷年龄是7x。

过n年后，爷爷的年龄是小明的6倍，所以6(x+n)=7x+n, x=5n.所以x除得尽5。

过m年后，爷爷年龄是小明年龄的6倍，所以5(x+m)=7x+m。所以x=2m.因此x是偶数。因此x是10的倍数。爷爷的年龄是70的倍数。(140岁，也可能啊：))

所以爷爷年龄是70岁

设小明的年龄为x岁，爷爷是7x岁。

过了a年，小明的年龄为x+a岁，爷爷是7x+a岁。有

（x+a）*6 = 7x+a，化简得x = 5a (1)

又过了b年，小明的年龄为x+a+b岁，爷爷是7x+a+b岁。有

（x+a+b）*5 = 7x+a+b，化简得x = 2*（a+b） (2)

又过了c年，小明的年龄为x+a+b+c岁，爷爷是7x+a+b+c岁。有

（x+a+b+c）*4 = 7x+a+b+c，化简得x = a+b+c (3)

由（1）、（2）、（3）式得

x = 5a ，3x = 10b，x = 2c

x，a，b，c都是正整数，x是5、10、2的倍数，b是3的倍数。

所以x是10的倍数，最小的数是10。

因为小明是小学生，所以只能是10岁，而不能是20岁。所以首先考虑x =10。

因此，a = 2，b = 3，c = 5

当小明是10岁时，爷爷是70岁——爷爷是小明的岁数的7倍；

过了2年，小明是12岁，，爷爷是72岁——爷爷是小明的岁数的6倍；

又过了3年，小明是15岁，，爷爷是75岁——爷爷是小明的岁数的5倍；

又过了5年，小明是20岁，，爷爷是80岁——爷爷是小明的岁数的4倍；

小明的爷爷今年是70岁.

2.设队伍长x米,通信员来回地跑,往队头跑时,相对于队伍的速度是12-8=4(千米/小时),而往后跑时,相对于队伍的速度是12+8=20(千米/小时),他总共相对于队伍跑了2倍队伍的路程,一段速度为4000米/小时,一段为20000米/小时,

所以

x/4000 + x/20000 = (7×60+12)/3600

解得x=400

则队伍长400米.

设队伍长2x。因为通信员在队伍中间，所以他到队头和队尾的距离均为x。

那么，设他传到队头用的时间t1(也就是他追上最前面的那个人所用的时间)，则：

12t1=x+8t1

即：t1=x/4

那么，当他后来从队尾回到原来自己所在位置（队伍中间）的运动过程与上面相同，所用的时间也是t2=t1=x/4

当他从队头传到队尾时候，设时间为t3（也就是他与最后面的那个人相遇的时间），则：

t3=2x/(8+12)=x/10

故，整个过程用的时间t=t1+t2+t3=(x/4)+(x/4)+(x/10)=3x/5

所以：

3x/5=60)

解得：

x=0.2km=200m

所以，整个队伍的长=2x=400m

如果以部队为参照物(速度为0)

通信员同向(通信员行进与部队前进方向相同)速度为

12-8=4km/h

反向速度为

12+8=20km/h

同向所用的时间应该是反向的5倍,等于7分12秒的5/6，即6分钟，所以队伍长度为：4000*（6/60）=400米

3．设顶点A、B、C的对边分别为a,b,c，由于ABC为等边三角形，则a^2+b^2=c^2。以c 为直径的半圆除三角形之外的部分面积为π（c/2)^2/2-20,所以阴影部分的面积为

[π（a/2)^2]/2+[π(b/2)^2]/2-[π(c/2)^2]/2+20=[π(a^2+b^2-c^2)]/8+20=20三角形ABC的面积+以BC,AC为直径的两个半圆面积-以AB为直径的半圆面积

4.（a-5）^2+（b-12）^2+（c-13）^2=0

a^2+b^2+c^2+338=10a+24b+26c，

答案就是：（a-5）^2+（b-12）^2+（c-13）^2=0,

a=5，b=12，c=13为直角三角形

5.在平面直角坐标系中有点A(-1,0),点B(4,0),以AB为直径的半圆交y轴的正半轴于点

C.(O为原点)

(1)求点C的坐标

OC=√[（）2-（）2]=2

∴点C的坐标为（0，2）

(2)求过A,B,C三点的解析式

设y=a（x+1）（x-4），把（0，2）代入得a=-1/2

∴y=-1/2（x+1）（x-4）=-1/2x2+3/2x+2，

(3)在(2)的条件下,若在抛物线上有一点D,使四边形BOCD为直角梯形,求直线BD的解析式∵由图象知，DC‖x轴，四边形BOCD为直角梯形∴点D的纵坐标为2，当y=2时，-1/2x2+3/2x+2=2，x1=0，x2=3

点D的坐标为（3，2）∴直线BD为y=-2x+8

(4)设点M是抛物线上任意一点,过点M做MN垂直y轴于点N.若在线段AB上有且只有一点P,使角MPN为直角,求点M坐标.

设点M坐标为（x，y）由图象知，当y=±1/2x时，线段AB上有且只有一点P, 使∠MPN 为直角∴-1/2x2+3/2x+2=±1/2x∴x=1±√5或x=2±2√2∴点M坐标为（1+√5，1/2+1/2√5）或（1-√5，1/2-1/2√5）或（2+2√2，-1-√2）或（2-2√2，-1+√2）

(△MPN为等腰直角三角形）

6.边长为2的正方形ABCD内有一点P，求PA+PB+PC的最小值。请写出过程。

解命题就是求等腰直角三角形ABC的费马点问题。证明过程不列出了，仅给出结论和最小值。

过AB向形外作正三角形ABE，连CE，BD，BD与CE的交点为P，P点即为所求PA+PB +PC为最小值的点，CE就是PA+PB+PC的最小值。

在三角形CBE中，由余弦定理得:

CE^2=BE^2+BC^2-2BE*BC*cos∠CBE=4+4-8cos150°=8+4√3

故CE=√6+√2。

7. AB，AC分别是圆O的直径和弦，D为劣弧AC上一点，DE垂直于AB于点H，交圆O 于点E，交AC于点F。

问题：当点D在劣弧AC上什么位置时，才能使AD的平方=DE·DF?

解连AE，AF。因为AB是直径，DE⊥AB，所以AD=AE。当AF=DF时，此时D点在劣弧AC的中点。有AD^2=DE·DF。

等腰ΔAFD∽等腰ΔDAE，AD/DE=DF/AD <==> AD^2=DE*DF。

8. 设：这个直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c。

则a+b=√6,c=2

所以(a+b)^2=6

即a^2+2ab+b^2=6

又因为a^2+b^2=c^2=2^2=4

所以2ab=6-4=2

所以ab=1

所以这个三角形面积为1/2ab=1/2*1=1/2=

9. 8/15＜n/(n+k)＜7/13

化简得6n/7

解得n<=不超过112，检验知112满足k=97.故最大是112.

8/15＜n/(n+k)＜7/13

--->13/7＜(n+k)/k＜15/8--->6/7＜n/k＜7/8

--->8/7＜k/n＜7/6

--->(8/7)n＜k＜(7/6)n

k只有一个--->(7/6)n-(8/7)n≤1--->n≤42

即n的最大值=42

10. 正方体边长是a，沿着x,a-x的刻度切下，一方表面积为2a^2+4a*x,另一方表面积为2a^ 2+4a*(a-x),设前者是后者2倍，即

2a^2+4a*x=4a^2+8a*(a-x),解得x=5a/6,则体积之比为x:(a-x)=5:1.

11. 已知：三角形ABC中，BE,CF是角B,C的平分线，BE=CF

求证：AB=AC

证明一：设AB>AC,于是角ACB>角ABC 角BCF=FCE=ACB>1/2角ABC=CBE=CBF 在三角形BCF和三角形CBF中BC=BC BE=CF 角BCF>CBE 所以BF>CE <1>

作平行四边形BEGF,则角EBF=FGE EG=BF FG=BE=CF 连接CG,三角形FCG为等腰三角形则角FCG=FGC

因为角FCE>FGE 所以角ECGEG=BF <2>

显然〈1〉〈2〉矛盾同理AB

证明二：引证:若三角形AD为角平分线，则BD/c=CD/b=BC/(b+c)=a/(b+c) 所以BD=ac/(b+c) CD=ab/(b+c)

由斯特瓦尔特定理得：c2(ab/(b+c))+b2(ac/(b+c))-aAD2=aa2bc/(b+c)2 则AD2=bc(1-(a/(b+c)2)

三角形ABC中BE CF为角B C的平分线由BE=CE得ca(1-(b/(a+c)2)=ab(1-(c/(a+b)2) 所以a(a+b+c)((a+b+c)(a2+bc)+bc)(b-c)=0

所以b=c

12. 答案有两个分别为15度或60度

13.

15. 作D关于AB的对称点F，连结DF交AB于E，则CE+DE为所求最小值，连结BF，易知BF=1,

CE+DE=CE+EF=CF=√5---[三角形CBF中用勾股定理得］

16.步骤：AO ：OE=AB ：DE=2 ：1得到三角形AOB的面积为（1/2）*1*（4/3）=2/3

三角形BEC的面积为1/2由此得到阴影AOBED的面积为2-2/3-1/2=5/6

一个最简单的方法

1.过0作DC的平行线，交AD于R，BC于T

2.那么RO/DE=AR/AD

RT/DC=BT/BC

3.因为AR=BT AD=BC DC=2DE

所以RO/DE=RT/DC

所以RT=2RO

=1/3

=1/2(BC*DE)+1/2(AD*RO)=1/2*2*(1/2)+1/2*2*(1/3)=1/2+1/3=5/6

17. 设：第一行数字为：A,B ,

第二行数字为：(A+d),(B-d)

因两列相等：

A+(A+d)=B+(B-d)

2(A+d)=2B

B=A+d

与条件矛盾！

此题无解！

我谈一些自己的想法，供同学们参考。

一、扎扎实实打好数学基础

初中数学基础包括基础知识和基本技能两方面。其中基础知识是指数学教材中的概念、法则、公式、定理等必学内容，以及其中蕴涵的数学思想方法，还包括学习数学的经验和解题经验。基本技能是指按照一定的规则和程序进行数及式的运算或式的变形，进行作图以及简单的推理方面的技能。数学是一门系统性很强的学科，前后知识密切相关有内在联系。因此，在总复习中应对初中学过的数学知识进行系统的整理，把逐年累积获得的知识融会贯通，形成对知识体系的整体认识，从而巩固和发展学习成果，提高分析问题和解决问题的能力；同时根据自身实际，如果在某段学习中存在知识欠缺或薄弱环节，必然会对后继学习带来负面影响。因此，要注意查缺补漏。

整理复习基础知识和基本技能训练应注意以下几个方面：

第一、要弄清概念。掌握概念的本质、它所表达的对象的范围以及表示这个概念的符号。（1）对每一个概念必须掌握它的本质；（2）对每一个概念必须掌握它与其它概念的联系和区别；（3）对概念还必须掌握表示这个概念的数学符号。

第二、要牢固掌握定理、公式和法则。（1）对重要的定理能用文字语言叙述、能正确地作图、能用数学符号语言表达；（2）对定理、公式、法则能正确地运用，不混淆、不错用；（3）对重要公式既要会双向运用，也要会进行公式变形。

第三、要重视运算技能的过关。运算技能的高低主要表现在运用“算法”的熟练程度上。对于

简单的数、式的计算或变形，应力求准确无误地迅速解答。（1）要养成良好的学习习惯。由于跳步骤运算而产生的错误屡见不鲜；（2）要注重公式、法则中字母的取值范围，消灭由于杜撰法则而产生的种种谬误；（3）对重要公式既要会双向运用，也要会进行公式变形。

运算技能的提高，从根本上来说，是要弄清“算理”。不仅知道怎样算，而且要知道为什么这样算。从而把握运算的方向、途径和程序，形成运算能力。只有把运算技能的训练与基础知识的学习以及能力的培养结合起来，才能真正提高运算能力。画图和推理等技能的培养也是如此。

第四、要学会一些必要的检验手段。（1）逆运算检验法是同学们早已知道的一种检验方法，必须坚持运用；（2）回代检验法；（3）取值检验法；（4）经验检验法。例如，与生活实际是否相符。

第五，掌握一些常用的数学方法，比如换元法，特殊值法，数形结合法，配方法等，这样可以帮助你快速而准确的得到答案。当然，这些方法你应该在平时的学习中总结和掌握的。

希望以上的几点可以帮助你，祝你学习进步！

任何学问都包括知识和能力两个方面，在数学方面，能力比具体的知识要重要的多。当然，我们也不能过分强调能力，而忽视知识的学习，我们应当在学习一定数量知识的同时，还应该学会一些解决问题的能力。

能力是什么？心理学中是这样定义的：能力是指直接影响人的活动效率，使活动顺利完成的个性心理特征。在数学里，我认为，能力就是解决问题的才智。

一、怎样才能提高自己的解题能力

首先是模仿。解题是一种本领，就像游泳、滑雪、弹钢琴一样，开始只能靠模仿才能够学到它。

其次是实践。如果你不亲自下水游泳，你就永远也学不会游泳，因此，要想获得解题能力，就必须要做习题，并且要多做习题。

再次，要提高自己的解题能力，光靠模仿是不够的，你必须要动脑筋。例如，对于课本的定理的证明，例题的解法、证法能读懂听懂还不够，你必须明白人家是怎样想出那个解题方法的，为什么要那样解题？有没有其它的解题途径？我认为这才是最重要的东西。如果你真正领会了人家的解题思路，那么在此基础上你就有所创新，就能够提高你的解题能力。

二、学习数学应注意培养什么样的能力

1运算能力。2空间想象能力。3逻辑思维能力。4将实际问题抽象为数学问题的能力。5形数结合互相转化的能力。6观察、实验、比较、猜想、归纳问题的能力。7研究、探讨问题的能力和创新能力。

三、提高数学解题能力的关键是什么？

灵活应用数学思想方法是提高解题能力的关键，我们的先辈数学家们，已经为我们创造出了很多的数学思想方法，我们应该很好地体会它，理解它，并且要灵活地应用它。对于初中数学主要是以下四类数学思想（所谓思想就是指导我们实践的理论方法，这里主要指想法或方法）：1转化思想。2方程思想。3形数结合思想。4函数思想。5.整体思想6分类讨论思想. 7统计思想。只要我们能够深入地理解上述思想方法，并能灵活地应用到具体的解题实践中，就能极大地提高你的解题能力。

对于上述文章第二部分的每一项数学能力和第三部分中的每一个数学方法，都可以做一长遍大论，但这里由于遍幅的关系，只能简写到此。至于什么是“运算能力”，如何提升自己的运算能力等；什么是“转化思想”，如何运用这一思想利器解决实际问题等，都需要结合例题另外讲解。

1.判断下列命题的真假：

甲：在边长为1的正三角形中（包括边界）的任意四个点，必有两点距离不大于1/2.

乙：在边长为1、一个内角为60度的菱形中（包括边界）的任意六个点，必有两点距离不大于1/2.

A甲真乙真B甲真乙假C甲假乙真D甲假乙假

2.因式分解：ab（a+b)∧2-（a+b)∧2+1 （注：∧为次方）

3.某靶场有红绿靶标共100个，其中红靶标的数量不到绿靶标的1/3.若打中一个红靶标得10分，打中一个绿靶标得分，小明打中了全部的绿靶标和部分红靶标，在计算他所得的总分时，发现总分与红靶标的总数无关（包括打中的和没有打中的），则八场有红靶标个，打中的红靶标的个数为。

4.如图有若干个小正三角形组成，图中共有多少个正三角形？（画的不太标准，就当作是吧，细小偏差忽略不计）A90 B100 C110 D116

还有几题想要请教

1.在式子y=kx+b(k,b为常数）中，当-3≤x≤1时，1≤y≤8则2k-b的值为或。

2.[(a-b)(c-d)]/[(b-c)(d-a)]=8，则[(a-c)(b-d)]/[(a-b)(c-d)]的值等于A1/8 B3/8 C5/8 D7/8

3.已知p，q是有理数，x=(√5-1)/2满足x∧3+px+q=0,则p+q的值等于(注√5表示根号5,x ∧3表示x的三次方)A-1 B1 C-3 D3

1.判断下列命题的真假：

甲：在边长为1的正三角形中（包括边界）的任意四个点，必有两点距离不大于1/2.

错误:如果有这么4个点,分别是在三个顶点和一个重点,那么他们之间的距离最短是(根号3/ 3)>1/2

乙：在边长为1、一个内角为60度的菱形中（包括边界）的任意六个点，必有两点距离不大于1/2.

错误:这个菱形其实就是上面的正三角形两个加起来的,找的6个点和上面的一样的话,同样两点之间最短的还是(根号3/3)>1/2

所以第一题选D

2,ab(a+b)^2-(a+b)^2 +1

=(ab-1)(a+b)^2+1

=(ab-1)a^2+(ab-1)b^2+2ab(ab-1)+1

=(ab-1)a^2+(ab-1)b^2+2(ab)^2-2ab+1

=(ab-1)a^2+(ab-1)b^2+(ab)^2+(ab)^2-2ab+1

=(ab-1)a^2+(ab-1)b^2+(ab)^2+(ab^2-2ab+1)

=(ab-1)a^2+(ab-1)b^2+(ab)^2+(ab-1)^2

=[(ab-1)a^2+(ab)^2]+[(ab-1)b^2+(ab-1)^2]

=a^2[(ab-1)+b^2]+(ab-1)[(ab-1)+b^2]

=[a^2+(ab-1)][b^2+(ab-1)]

=(a^2+ab-1)(b^2+ab-1)

3.某靶场有红绿靶标共100个，其中红靶标的数量不到绿靶标的1/3.若打中一个红靶标得1 0分，打中一个绿靶标得分，小明打中了全部的绿靶标和部分红靶标，在计算他所得的总分时，发现总分与红靶标的总数无关（包括打中的和没有打中的），则八场有红靶标个，打中的红靶标的个数为。

解:设靶场有红靶x个，其中被打中的红靶为在a个，则靶场有绿靶100-x个

小明得分：(100-x)+10a=850+10a

因为得分与红靶数无关，所以10a=0，即a=(17/20)x

因为红靶的数量不到绿靶数量的1/3，即x<(100-x)/3 ==> x<25

又a、x都是整数，所以只有当x=20，a=17一种情形

答：靶场有红靶标20个，打中了17个红靶标。

4,答案应该是116个

方法就是一个一个去数,不过也要有技巧.

首先是数最小的,再是数两层的三角形,然后是3层的,最后是4层的

当然正反都要考虑进去

这样的话小三角形是54个

两层的是36个

三层的是20个

四层的是6个

总共是116个

1.在式子y=kx+b(k,b为常数）中，当-3≤x≤1时，1≤y≤8则2k-b的值为或。

解:首先你要考虑k是正是负

当k>0时:函数是增函数

那么也就是k+b=8,-3k+b=1

得:2k+b=39/4

当k<0时:函数是增函数

那么也就是k+b=1,-3k+b=8

得:2k+b=-3/4

所以2k-b的值为39/4 或-3/4

2.[(a-b)(c-d)]/[(b-c)(d-a)]=8，则[(a-c)(b-d)]/[(a-b)(c-d)]的值等于A1/8 B3/8 C5/8 D7/8 解: [(a-b)(c-d)]/[(b-c)(d-a)]=[(ac+bd)-(ad+bc)]/[(ac+bd)-(ab+cd)]=8

[(a-c)(b-d)]/[(a-b)(c-d)]=[(ab+cd)-(ad+bc)]/[(ac+bd)-(ad+bc)]

令ac+bd=A,ad+bc=B,ab+cd=C

所以:[(ac+bd)-(ad+bc)]/[(ac+bd)-(ab+cd)]=(A-B)/(A-C)=8

要求的是(C-B)/(A-B)

(C-B)/(A-B)=(A-B)/(A-B)-(A-C)/(A-B)=1-1/[(A-B)/(A-C)]=1-1/8=7/8

所以答案选D

3.已知p，q是有理数，x=(√5-1)/2满足x∧3+px+q=0,则p+q的值等于(注√5表示根号5, x∧3表示x的三次方)A-1 B1 C-3 D3

解:这个题目有问题,其实你只要画个图象就知道了,这个点((√5-1)/2,2-√5)是函数y=-x^3和直线y=px+q的交点,但是只告诉我们一个点,那么直线是不能确定的,而是有无数条,那么其实p +q就是直线在x=1处的值,如果直线不确定,那在x=1处的值也无法确定,所以建议你再确定一下你的题目是不是还少了一个条件.