高考数学参数方程所有经典类型

高考数学参数方程所有经典类型（必刷题）

1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为

极轴.已知直线l

的参数方程为1222

x t y ?=+????=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为

2sin 8cos ρθθ=.

（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .

2．已知直线l 经过点1

(,1)2P ，倾斜角α＝6

π，圆C

的极坐标方程为)4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；

(2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．

3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：cos sin θθ=??=?

x y （θ为参数），将1C 上的所有

和2倍后得到曲线2C ．以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l

：sin )4ρθθ+=．

（1）试写出曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的参数方程；

（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求此最小值．

4．在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为

x 3cos y sin ααα

?=??=??（为参数）． (1)已知在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π

，判断点P 与直线l 的位置关系；

(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．

5．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ?

?- ???

，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；

（2）求直线OM 的极坐标方程．

6．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线

（为参数），（为参数）． （1）化

的方程为普通方程； （2）若上的点P 对应的参数为为上的动点，求中点到直线

（为参数）距离的最小值．

在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为???+==α

αsin 22cos 2y x ，(α为参数) M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=

与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A ,B 求AB

8．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4

sin(22π

θρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．

（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；

（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值．

9．以直角坐标系的原点为极点O ，x 轴正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1,-5),点C 的极坐标为

(4,)2π,若直线l 经过点P ,且倾斜角为3π，圆C 的半径为4. (1).求直线l 的参数方程及圆C 的极坐标方程;

(2).试判断直线l 与圆C 有位置关系.

10．已知曲线C :ρsin (θ+34

π)=2,曲线P :ρ2-4ρcosθ+3=0, (1)求曲线C ,P 的直角坐标方程.

(2)设曲线C 和曲线P 的交点为A ,B ,求|AB |.

11．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22

121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R π

θρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求

2C MN ?的面积.

12．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=??=+?

（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =uu u v uuu v

,P 点的轨迹为曲线C 2

（1）求C 2的方程 （2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线

3πθ=

与C 1的异于极点

的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .

13．在极坐标系中, O 为极点, 半径为2的圆C 的圆心的极坐标为(2,

)3

π． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）在以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立的直角坐标系中，直线l 的参数方程为???

????+-=+=t y t x 232211（t 为参数），直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，已知定点)2,1(-M ,求|MA |·|MB |．

14．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C

的参数方程为3cos 13sin x y θθ?=??=+??

（θ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()06πρθ+

=.

（1）写出直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程；

（2）求圆C 截直线l 所得的弦长.

15．选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程是)(242

222是参数t t y t x ???????+==，圆C 的极坐标方程为 )4

cos(2πθρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标；

（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．

16．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l

的参数方程为121122

x x t ?=????=+??

（t 为参数），点A

的极坐标为24π??

? ???

，设直线l 与圆C 交于点P 、Q .

（1）写出圆C 的直角坐标方程；

（2）求AP AQ ?的值.

17．在直角坐标系中，曲线C 1

的参数方程为：2cos x y αα

=???=??（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=，

(1)求曲线C 2的直角坐标方程；

(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求PQ 的最小值.

18．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】

已知曲线C 的极坐标方程为θ

θρ2sin cos 4=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立 平面直角坐标系，直线l 的参数方程为???????+=-=t y t x 2

2122（t 为参数） （1）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线l 的参数方程化为普通方程；

（2）求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长.

19．（本题满分10分）

极坐标系的极点是直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴。已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 2=，曲线2C 的参数方程为

)),0[(sin 3cos 2πααα

α∈???+=+=为字母常数且为参数，其中t t y t x 求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；

当曲线1C 和曲线2C 没有公共点时，求α的取值范围。

20．选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为23(24x t t y t =--??=-?

为参数） 它与曲线C ：221x -=（y-2)交于A 、B 两点。

（1）求|AB |的长

（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P

的极坐标为3)4

π，求点P 到线段AB 中点M 的距离。

参考答案

1．（Ⅰ）由2

sin 8cos ρθθ=，得22sin 8cos ρθρθ=，即曲线C 的直角坐标方程为28y x =．

5分 （Ⅱ）将直线l 的方程代入28y x =，并整理得，2316640t t --=，12163t t +=，12643t t =-．

所以1232||||3AB t t =-==． 10分

考点：1.极坐标方程与普通方程的互化；2.韦达定理.

2． (1)直线l 的参数方程为1cos 261sin 6x t y t ππ?=+????=+??,

即12112

x y t ?=????=+?? (t 为参数)

由)4

πρθ=-,得ρ＝cosθ＋sinθ，所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ， ∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcosθ＝x ，ρsinθ＝y ，∴22111()()222

x y -+-=. (2)

把122112

x t y t ?=+????=+??代入22111()()222x y -+-=. 得t 2＋12t －14＝0，|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝14.故点P 到点A 、B 两点的距离之积为14

. 考点：1.参数方程的应用；2.极坐标方程与直角坐标方程的转化. 3．（1）由已知得曲线1C 的直角坐标方程是221x y +=，所以曲线1C 的极坐标方程是1ρ=，

因为曲线1C 的直角坐标方程是22

1x y +=，所以根据已知的伸缩变换得曲线2C 的直角坐标方程是22124x y +=，所以曲线2C

的参数方程是2sin x y ??

?=??=??（?是参数）． 5分 （2）

设,2sin )P ??.由已知得直线l 的直角坐标方程

是4y +=，

即

40y +-=.所以点P 到直线l

的距

离d ==.当sin()14π?+=即

2,4k k z π

?π=+∈时

. min d ==此时点P

的坐标是.所以曲

线2C

上的一点P 到直线l

. 考点：1.极坐标知识.2.参数方程知识.3.几种方程间的互化.4.函数的最值问题.

4．（1）把极坐标系下的点(4,)2P π

化为直角坐标得(0,4)P ，

Q (0,4)P 满足方程40x y -+=，∴点P 在直线l 上.

（2）解法一、因为点Q 是曲线C 上的点，故可设点Q

的坐标为,sin )αα，

所以点Q 到直线l

的距离|2cos()4|)d R παα++==∈ 所以当cos()16π

α+=-时，d

解法二、曲线C 的普通方程为：2

213

x y +=， 平移直线l 到l '使之与曲线C 相切，设:0l x y m '-+=， 由22013

x y m x y -+=???+=?? 得：223()3x x m ++=，即：2246330x mx m ++-= 由2223648(1)48120m m m ?=--=-=，解得：2m =，

曲线C 上的点Q 到l

距离的最小值d ==考点：1.极坐标、参数方程的知识.2.直线与椭圆的位置关系.3.点与直线的位置关系.

5．（1）由πcos =13ρθ?

?- ???

， 得12

ρcos θ

ρsin θ＝1， ∴曲线C

的直角坐标方程为

1=12x y +， 即x

－2＝0．

当θ＝0时，ρ＝2，∴点M 的极坐标为(2,0)；

当π=2θ

时，=ρN

的极坐标为π,32?? ? ???

． （2）由（1）得，点M 的直角坐标为(2,0)，点N

的直角坐标为0,

3?

??， 直线OM 的极坐标方程为0=θ，ρ∈R ．

考点：1．极坐标和直角坐标的互化；2．曲线的极坐标方程．

6．（1）由4cos 3sin x t y t =-+??=+?得4cos 3sin x t y t

+=??-=?， 所以221:(4)(3)1C x y ++-=，

由8cos 3sin x y θθ=??=?得cos 8sin 3

x y θθ?=????=??

4分 （2时，(4,4),(8cos ,3sin )P Q θθ-，故 3C 为直线270x y --=，M 到3C 的距离

()13θ?+

-13≥-= （其中，43cos ,sin 55

??==） 时，d 取得最小值 10分 考点：1、参数方程的应用；2、点到直线的距离；3、三角函数的最值.

8．解：（1）∵点M 的直角坐标是)3,0(，直线l 倾斜角是ο135， …………（1分）

∴直线l 参数方程是???+==οο135sin 3135cos t y t x ，即???

????+=-=t y t x 22322， ………（3分） )4

sin(22πθρ+=即2(sin cos )ρθθ=+， 两边同乘以ρ得22(sin cos )ρρθρθ=+，曲线C 的直角坐标方程

曲线C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；………………（5分）

（2）???

????+=-=t y t x 22322代入02222=--+y x y x ，得03232=++t t ∵06>=?，∴直线l 的和曲线C 相交于两点A 、B ，………（7分） 设03232=++t t 的两个根是21t t 、，321=t t ，

∴||||MB MA ?3||21==t t ． ………………（10分）

9．（1）直线l 的参数方程?????+-=+=3sin 53cos 1ππt y t x ，即???

????+-=+=t y t x 235211（t 为参数） 由题知C 点的直角坐标为()4,0，圆C 半径为4，

∴圆C 方程为16)4(22=-+y x 将?

??==θρθρsin cos y x 代入 得圆C 极坐标方程8sin ρθ= 5分

（2）由题意得，直线l 的普通方程为0353=---y x ，

圆心C 到l 的距离为42

3923

54>+=---=d ， ∴直线l 与圆C 相离. 10分

考点：直线的参数方程、极坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系.

10． (1)由ρsin (θ+)=,得

ρ[sinθ·(-)+cosθ·]=,

∴ρcosθ-ρsinθ-1=0,

∴x -y -1=0,

由ρ2-4ρcos θ+3=0,

得x 2+y 2-4x +3=0.

(2)曲线P 表示为(x -2)2+y 2=1表示圆心在(2,0),半径r =1的圆,

由于圆心到直线C 的距离为d ==,

∴|AB |=2=.

11．（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，

∴C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，C 的极坐标方程为

22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分

（Ⅱ）将=4π

θ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，

得240ρ-+=，解得

1ρ

=，2ρ

，|MN |=1ρ－2ρ

，

因为2C 的半径为1，则2C MN V

的面积o 11sin 452?=12

. 考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系

12．（I ）设P (x ,y ),则由条件知M (

,22x y ).由于M 点在C 1上，所以 2cos ,222sin 2x y αα??=????????=+????

即 4cos 44sin x y αα=????=+??

从而2C 的参数方程为 4cos 44sin x y αα=??=+?

（α为参数） （2）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。 射线3πθ=

与1C 的交点A 的极径为

14sin 3πρ=， 射线

3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin 3πρ=。

所以21||||AB ρρ-==13． (1)由题得,

圆心的直角坐标为,

所以圆的直角坐标方程为22(1)(4x y -+=,

再利用极坐标与直角坐标的转化公式可得22(cos 1)(sin 4ρθρθ-+=,化简可得

4sin()6πρθ=+,故圆的极坐标方程为4sin()6

πρθ=+. （2）由题得直线???

????+-=+=t y t x 232211

的普通方程为2y =,设A (11,x y ),B (22,x y ),联立圆与直线方程得

22(1)(42x y y ?-+=???=-?

?24(14130x x -+++

=1212713,24x x x x ++?+=

=.又|MA |·|MB

|=

=

12124|()1|x x x x ==-+

+3=

考点：极坐标 参数方程 圆的方程

14．解：⑴消去参数θ，得圆C

的普通方程为：22((1)9x y +-= ； 由cos()06π

ρθ+=，得0sin 2

1cos 23=-θρθρ， ∴直线l 的直角坐标方程为03=-y x . 5分

⑵圆心到直线l 的距离为()1131

332

2=+-?=d ， 设圆C 截直线l 所得弦长为m ，则22192

22=-=-=d r m ， 24=∴m . 10分

考点：极坐标方程和参数方程.

15．（1）θθρsin 2cos 2-=Θ，

θρθρρsin 2cos 22-=∴， …………（2分） 02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， …………（3分） 即1)22()22(22=++-y x ，)2

2,22(-∴圆心直角坐标为．…………（5分） （2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是 6224)4(4081)242

222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t ， …………（8分） ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62 …………（10分）

方法2：024=+-∴y x l 的普通方程为直线，

圆心C 到l 直线距离是52

|242222|

=++， …………（8分 ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=- …………………(10分)

16．（1）由2cos ρθ=，得2

2cos ρρθ= 222x y ρ=+Q ，cos x ρθ=，

222x y x ∴+=即()2211x y -+=，

即圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=；

（2）由点A

的极坐标24π?? ? ???

得点A 直角坐标为11,22?? ???，

将12211y 22

x t ?=+????=+??代入()2211x y -+=消去x 、y

，整理得211022t t --=， 设1t 、2t

为方程2102t --=的两个根，则1212

t t =-， 所以1212

AP AQ t t ?==. 考点：1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化；2.韦达定理

17． (1)θρcos =Θ， 2分

22x y x +=

221124x y ??-+= ???

. 4分 (2)设P （ααsin 2,cos 2）,)0,2

1

(2C

2PC === 6分

1cos 2

α∴=

时，2min 2PC =， 8分

min 12PQ =

. 10分 考点：1.极坐标方程和直角坐标方程的互化；2.曲线与曲线间的位置关系以及二次函数的性质. 18.（1） 由θ

θρ2sin cos 4=得θρθρcos 4sin 22=即x y 42=； 由???????+=-=t y t x 2

2122（t 为参数），消去参数t ，得01=-+y x ； 曲线C 的直角坐标方程为x y 42=；直线l 的普通方程01=-+y x ； 5分

（2）设直线l 交曲线C 于),(),,(2211y x B y x A ，则

???==-+x

y y x 4012，消去y 得，0162=+-x x ，621=+∴x x ，121=x x ； 843624)(1||212212=-?=-++=x x x x k AB

所以，直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长为8. 10分

19．解析：（1）由θρcos 2=得θρρcos 22=

所以x y x 222=+，即曲线1C ：0222=-+x y x

曲线0tan 23)(tan :2=-+-ααy x C …………………………………4分

),2()6,0[),0[3

3tan 1

1tan |

3tan |0

tan 23)(tan :)2(22ππ

παπαααααα?∈∴∈<∴=>++-=∴=-+-Θr d y x C ………………………………8分 ………………………………………10分

20．(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得

051272=--t t

设A ，B 对应的参数分别为21,t t ，则 75,7122121-==

+t t t t ． ---------------3分 所以771104)(5)4()3(212212122=

-+=--+-=t t t t t t AB ． ------5分 (Ⅱ)易得点P 在平面直角坐标系下的坐标为)2,2(-，根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为

7

6221=+t t ． ---------8分 所以由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为 7

3076)4()3(22=?-+-=PM ． -------10分