第三章_曲线拟合算法的研究汇总
第三章 曲线拟合算法的研究
3.1 引言
随着航空、汽车等现代工业与计算机技术的发展，圆锥曲线与列表点曲线已经成为形状数学描述的常用方法，得到了广泛的应用。为了满足激光切割加工任务的需要，自动编程系统集成了多种曲线拟合算法，这样利用现有的激光切割机，即可实现特殊曲线的插补功能，极大地丰富系统的插补能力，满足复杂的生产要求。
3.2 圆锥曲线拟合算法的研究
在经济型数控系统中，对于圆锥曲线即平面二次曲线的加工是数控加工中经常遇到的问题，随着数控加工对圆锥曲线插补的需求，近年来有关各种圆锥曲线的插补算法应运而生[26]。常用的解决方法是先用低次的有理参数曲线拟合或将其离散，再用直线、圆弧逼近，然后才能进行数控加工[28]。本章从一个新的视角利用双圆弧方法，提出先对圆锥曲线进行标准化处理，再用双圆弧拟合逼近，然后再进行数控加工。这样的优点是：圆弧样条的等距曲线还是圆弧；双圆弧样条能达到C 1连续，基本上能满足要求；所有数控系统都具有直线插补和圆弧插补功能，无需增加额外负担。
由于工程应用不同，对曲线拟合的要求也不同。有的只要求拟合曲线光滑，有的要求光顺[9-10]。本章中开发的软件要求是：支持多种常用圆锥曲线的拟合；拟合曲线要求光滑；拟合曲线与函数曲线间的误差应控制在允许的范围之内，且拟合圆弧段数较少。
本章提出的对圆锥曲线的插补，是建立在对平面任意二次曲线可以进行分类的基础上，先将二次曲线进行分类，然后对各类曲线分别进行双圆弧拟合，这样就可以直接利用数控系统的圆弧插补功能进行插补。
3.2.1 圆锥曲线的一般理论[9]
在平面直角坐标系中，二元二次方程所表示的曲线称为二次曲线。其中系数A 、B 、
C 、
D 、
E 、
F 为实常数，且A 、B 、C 不同时为零。
022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax
(3.1)
式（3.1）称为圆锥曲线的隐式方程。令
AC B 42-=? （3.2）
称上式为二元二次方程（3.1）的判别式。
0
0>? 时，（3.1）式为双曲型曲线（包括两相交直线）。
在不同的坐标系下，平面上一点的坐标、一条曲线的方程是不同的。通过利用坐标变换（即坐标轴的平移和旋转），可以将一般二次曲线方程化成最简形式，借以确定曲线的形状和位置。 一、坐标轴的平移
只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和长度单位，这样的坐标变换叫做坐标轴的平移，简称平移或移轴。
将旧坐标系oxy 平移到y x o ''',那么平面上任一点M 在旧坐标系与新坐标系的坐标
),(y x 和),(''y x 具有关系：
?
?
?+'=+'=00
y y y x x x （3.3）
其中),(00y x 是新坐标系中的原点o '在旧坐标系里的坐标。公式（3.3）叫做平移变换公式。
二、坐标轴的旋转
坐标原点的位置和长度单位都不改变，让坐标轴绕原点按同一方向旋转同一个角度，这种坐标变换叫做坐标轴的旋转，简称旋转或转轴。
把旧坐标系oxy 绕原点o 旋转同一个角度θ到y x o '''，那么平面上的任一点M 在旧坐标系与新坐标系下的坐标),(y x 和),(''y x 之间具有关系：
??
?'+'='-'=θ
θθ
θcos sin sin cos y x y y x x （3.4）
公式（3.4）叫做旋转变换公式。
适当选择坐标系，二次曲线方程经过坐标系的旋转和平移变换，可简化成几种标准方程。
1．中心二次曲线方程可以简化成下面5种标准方程之一：
a) 122
22=+b y a x （椭圆）；
b) 122
22-=+b
y a x （虚椭圆）；
c) 022
22=+b
y a x （点椭圆或称变态椭圆）；
d) 122
22=-b
y a x （双曲线）；
e) 022
22=-b
y a x （两相交直线，或称变态双曲线）。
2．无心二次曲线的标准方程为：
px y 22= （抛物线）
3．线心二次曲线方程可化简成下面3种标准方程之一： a) 22a y =（两平行直线）； b) 22a y -=（两平行共轭虚直线）； c) 02=y （两重合直线）。
由实际的工程应用可知，在实际的加工中只有椭圆、双曲线、抛物线和直线具有工程价值。数控机床具有直线和圆弧的插补功能，所以在本章中只考虑椭圆、双曲线和抛物线的拟合算法。实现椭圆、双曲线、抛物线的拟合算法主要步骤为：
1）参数输入
遵照数控NC 程序编程规范，以最少输入参数唯一定义曲线为准则，设计了曲线的输入参数，见表1。
2）曲线标准化
利用坐标系平移、旋转变换，将曲线变换到可以利用最简方程表示的坐标系下，并求解方程，详见附录1。为了便于计算，最后确定采用下列形式作为各曲线的标准方程式。
抛物线：b ax y +=2
椭圆：???==θ
θsin cos b y a x
曲线类型 参数说明
抛物线 顺逆方向、起点、终点、焦点坐标
椭圆
顺逆方向、起点、终点、中心坐标、长轴相对于X 轴的
转角
双曲线 顺逆方向、起点、终点、中心坐标、长轴相对于X 轴的转角
表1 平面圆锥曲线输入参数列表
双曲线：?
??==θθ
btg y a x sec
3）求取曲线的极值点、拐点，对曲线进行分割，建立有序的型值点序列。型值点的排序规则为：
抛物线：以A i x x -为标准，按递增顺序排列； 椭圆：以A i θθ-为标准，按递增顺序排列； 双曲线：以A i θθ-为标准，按递增顺序排列；
注：A x 为起点横坐标，i x 为第i 个点横坐标；A θ为起点极角，i θ第i 个极角。 4）取i P ，1+i P 两个型值点，进行双圆弧曲线拟合。
5）如果拟合结果的法向误差满足规定误差，则转6）,否则，则转7）。
6）将拟合结果送入输出链表中，如果曲线全部拟合完成，则结束，否则转4）。 7）在i P ，1+i P 之间按照0.618,0.382的比率插入新的型值点，再转4）。 上述，为曲线拟合的主要步骤，下面详细的介绍一下双圆弧拟合算法。
3.2.2 曲线的常用双圆弧拟合算法[17-25]
按平面曲线给定一列有序型值点（节点），每相邻节点之间由两条相切圆弧构成，两圆弧分别通过一个节点，且节点处的切线斜率与曲线在节点处的斜率相等，叫做曲线的双圆弧拟合。双圆弧拟合有六个参数需要确定：两节点i P ，1+i P ；两节点i P ，1+i P 处的切线斜率；双圆弧的切点T ；双圆弧切点处的公切线斜率。前四个参数可由曲线的参数方程按给定参数值求得。双圆弧拟合方法主要根据后两个参数的求法而不同，但不难证明两圆弧相切点位置结论：相切点位置有无穷多个；相切点的轨迹是一个圆弧——轨迹弧（过相邻两节点的弧，且在两节点处切线夹角等于曲线在两节点处切线夹角）。
为确保双圆弧的正确拟合，要求：
1) 两拟合圆弧应满足保凸要求，即两相邻节点i P ，1+i P 处切线M P M P i i 1,+需有实交点（沿某切线方向前进时，与另一切线的反向延长线的交点，称为实交点，反之为虚交点）；
2) 拟合的圆弧段需要采用劣弧，即两节点连线1+i i P P 与两切线M P M P i i 1,+构成的三角形中πβα<+（见图8，图9，图10）。
3.2.3 公切线确定方法
1.常用的公切线确定方法有以下三种：
1) 垂直平分线法：相邻两节点连线的垂直平分线与轨迹弧的交点作为两拟合圆弧的切点（图8）；
2) 平行弦法：两圆弧的公切线平行于相邻两节点连线1+i i P P ，两圆弧的公切点T 显然是1+?i i MP P 的内心（图9）；
3) 平均转角法：两圆弧的公切线平行于曲线在相邻两节点处切线交角的平分线（图10）；
2.三种方法的特点比较如下： 1) 保凸条件：
a) 垂直平分线法：331≤≤βα；
图8 垂直平分线法拟合双圆弧
图9 平行弦线法拟合双圆弧
图10 平均转角法拟合双圆弧
b) 平行弦法：0>αβ； c) 平均转角法：331<<βα。 2) 两圆半径比（在保凸条件下）： a) 垂直平分线法：4
3sin /43sin
21β
ααβ--=R R ； b) 平行弦法：[]2
21)2sin(/)2sin(αβ=R R ； c) 平均转角法：4
3sin /43sin
21βααβ--=R R 。 3.2.4 双圆弧拟合算法[8]
图11，设节点A 和B 为在第1+i 个区间[]1,+i i P P 上的相邻节点，经坐标变换后AB 为横轴，A 为原点，垂直于AB 为纵轴。有向直线A g 和B g 为拟合曲线j Γ在A 和B 上的
有向切线。设C 是直线A g 和B g 的交点，α和β分别是A g 和B g 与横轴的夹角，逆时 针方向为正;πβαπ<<-,，T 为ABC ?的内心。
如果C 在横轴的上方，且A g 和B g 的方向分别与有向直线AC 和CB 的方向相同，那么，彼此相切且分别以A g 和B g 为切线的双圆弧公切点轨迹是过三点A ，T ，B 且ABC ?内部的圆弧，图11（a ）。
如果B g 的方向与CB 的方向相反，则双圆弧公切点轨迹是过A 点和B 点且弧度为（2/C ∠-π）在AB 下方的圆弧，图11（b ）。
在当0<αβ（保凸）时，双圆弧同向，为C 形双圆弧。当0>αβ时，双圆弧反向，为S 形双圆弧。在局部坐标系下，双圆弧圆心和半径可以统一地由下式给出：
图11 双圆弧曲线
(b) 反向双圆弧
(a) 同向双圆
左圆半径：)2
sin 2sin
2/()2
sin(
1θ
?
αθ
?++=L R , (3.5) 圆心坐标：αsin 1R x A -=， αcos 1R y A =。
(3.6) 右圆半径：)2
sin
2sin 2/()2sin(2θ
??αθ-+-=L R ，
(3.7) 圆心坐标：βsin 2R L x B -=， βcos 2R y B =。 (3.8) 公切点M 的坐标：2
sin
/)2
cos(
)2
sin(?
αθ
αθ
?+++=L x M
(3.9)
2
sin /)2sin()2
sin(
?
αθαθ
?+++=L y M
(3.10)
其中αβ?-=；θ是左圆弧的圆心角，θ?-是右圆弧的圆心角；逆时针方向为正；正圆对应正圆心角，负圆对应负圆心角，πθπ<<-，L 是AB 的长度。
3.2.5 误差分析方法
利用法向误差判断方法，步骤如下：
（1）计算二次曲线在节点i P ，1+i P 间n 等分的各分点坐标。
1）对于抛物线b ax y +=2，在节点i P ，1+i P 间将横轴值x 等分为n 份：
1110+=<<<<=-i i i i i i x x x x x x n n ，计算出抛物线上各对应分点坐标：))(,(r r r i i i x y x P r=1,2,…,n-1。
2）对于椭圆???==θθ
sin cos b y a x 、双曲线???==θθbtg y a x sec ，在节点i P ，1+i P 间将参数θ等分为n
份：1110+=<<<<=-i i i i i i n n θθθθθθ ，计算出椭圆或双曲线上各对应分点坐标：
))(),((r r r i i i y x P θθ r=1,2,…,n-1
（2）判断分点i P 所对应的圆弧，过两圆心),(),,(222111y x o y x o 的直线（必过公切点）方程：
0),(=++=C By Ax y x F
(3.11)
其中：12y y A -=；21x x B -=；2112y x y x C -=。 将节点),(i i i y x P 坐标代入式(3.11)左边，将有
0),(>i i y x F （或0),(
(3.12)
将二次曲线上分点r i P 坐标r r i i y x ,代入式(3.11)左边计算值，如果0),(>r r i i y x F ，则r i P 点对应第一段圆弧，否则对应第二段圆弧。
（3）计算法向误差
对应第一段圆弧的误差公式是：
12121)
1()()(R y y x x r r r
i i i --+-=
? ,)1(,,2,1-≤=n m m r
(3.13)
其中m 是对应第一段圆弧的最后一个分点号。 对应第二段圆弧的误差公式是：
22222)
2()()(R y y x x r r r
i i i --+-=
? ,1,,2,1-++=n m m r
(3.14)
（4）判断最大误差
设.1,,2,1),,max()
2()
1(-=??=?n i r
r i i i
如果ε≤?i （ε为指定的最大的允许误差），则双圆弧拟合结果为所求。如果ε>?i ，则对节点1,+i i P P 间用0.618法缩小区间，重新进行双圆弧拟合，直到满足误差要求。
3.2.6 双圆弧的最佳逼近算法
如何利用双圆弧样条对平面二次曲线进行逼近呢？简单的办法就是先将曲线插值出型值点，再对型值点进行拟合[27-29]，这样做的缺点是：增加了插值误差；型值点过密会增加圆弧的段数。为了很好地解决这个问题，在本章中另外提出的一种方法是先将平面二次曲线进行合适的分割，再用双圆弧拟合，计算逼近误差，如果超过允许误差，再对曲线进行分割、拟合，直至满足要求。这样能够得到在逼近误差允许范围内圆弧段数最少的圆弧样条。
曲线的分割是指在曲线的拐点和奇点处将曲线分成几段，每一段分别处理。另外，为了算法的简捷，要求分割后的曲线两端点的切线角小于90o。如图12所示曲线Г为分割后的平面二次曲线，在两端点1P 、2P 之间无奇点、无拐点。要求过两点1P 、2P 分别作圆弧1C 、2C ，与曲线Г相切于点1P 、2P 同时公切于P 点。
已知P 1、P 2两点坐标，曲线最佳逼近算法为：
P2
C2
图12 分割后的平面二次曲线
曲线Г
（1）计算 1P 、2P 两点的切线1T 、2T 在直角坐标系下，任意二次曲线的方程为：
0222),(33231322212211=+++++≡a y a x a y a xy a x a y x F 过二次曲线上点),(111y x P 的切线方程为：
0)()()(331231131221112111=++++++++a y y a x x a y y a xy y x a x x a 同理可以得出过2P 的切线方程。 （2）确定公切点P
公切点的选择直接影响到双圆弧逼近曲线的光顺性和逼近效果，可以证明双圆弧公切点轨迹是一圆弧，考虑到双圆弧样条与平面二次曲线要取得最好的逼近效果，将公切点取作公切点圆弧与平面二次曲线的交点，这样双圆弧与被逼近的二次曲线段有5个交点（端点相切算两个交点），因而基本上是最佳的双圆弧逼近。
如图13所示，过1P 、2P 作切线1T 、2T 交点为S ，夹角为θ。作等腰三角形211P S P ，使2
1211SP P P S P ∠=∠，则公切点圆弧必然与直线11S P 、12S P 相切。
可以证明公切点P 的轨迹为过1P 、2P 的圆弧0
C [25]
，其圆心及半径分别为： 22212210θ
ctg y y x x x --+= 2
2212210θ
ctg x x y y y -++=
2
csc )()(21212212θy y x x R -+-=
图13 确定公切点
其中：'
1'
22'22'121)
1)(112
y y y y y y ctg
-++++=
（’‘θ
，当
1
1'
2
'1< 求公切点转化为求公切点圆弧轨迹0C 与二次曲线Γ的交点，设交点坐标为),(y x ，则有： ?????=+++++=-+-0 222)()(3323132 22122112 2020a y a x a y a xy a x a R y y x x 解此二元二次方程组，即可求出交点P 坐标),(y x 。 下面证明公切点圆弧轨迹0C 与二次曲线Γ在1P 、2P 之间只有一个交点。从图13可以看出2121θθαα+=+，因此存在三种情况： a) 2211,θαθα<>，则12S P 与曲线Γ有一个交点，而11S P 与曲线Γ无交点； b) 2211,θαθα><，则11S P 与曲线Γ有交点，而12S P 与曲线Γ无交点； c) 2211,θαθα==。 由于对曲线进行了分割，分割后的曲线段与圆弧应是同向凸的，假设为上凸，如图13所示，属情况b)，在1P 附近0C 位于曲线Γ的下方，在2P 附近0C 位于曲线Γ的上方，因此0C 与曲线Γ必有唯一的交点。情况a)同理可证。情况c)是一种特殊情况，0C 即为所求的双圆弧。 （3）求双圆弧1C 、2C 已知两端点1P 、2P 及其斜率，另外又已知两圆弧的公共切点，很容易找到两圆弧的圆心及半径---),(11y x 、1R 、),(22y x 、2R 。 （4）误差估计 逼近的双圆弧与原曲线的误差计算，是算法的重要组成部分。按曲线C 的法线误差计算，可以得出双圆弧1C 、2C 与原曲线Γ的误差1δ、2δ： |()(|12 1211R x x y y --+-=）δ 点),(y x 在1P 和P 之间 |()(|222222R x x y y --+-=）δ 点),(y x 在P 和2P 之间 如何找到1δ、2δ的最大值呢？直接求导很复杂，本章中提出一种区域逼近的方法求 最大值。首先将区域十等分，求每点的误差及其最大值' max δ，由于曲线是单峰的，所以 真正的误差max δ一定在'max δ附近，将区域缩小至'max δ的邻近区域，重复以上过程，直至 两次所得δ’max ' max δ的很接近，已经逼近最大值max δ。 如果max 1δ、max 2δ超过允许误差，则在P 点处将原曲线Γ进行分割，对超差段重新进行双圆弧逼近，直至满足要求。 3.2.7 圆锥曲线拟合算法处理流程 根据实际开发的要求，分别对三种曲线应用上述的原理进行了双圆弧拟合处理，其实现方案图14所示。 3.2.8 应用实例 例如对于椭圆曲线的加工，由用户输入： G91 G02.2 X30 Y20 I0 J20 A0； 图14 圆锥曲线拟合算法流程图 该G代码表示的含义是顺时针加工椭圆，以椭圆的起点坐标作为椭圆加工的相对坐标系的原心，椭圆中心相对于起点的矢量坐标为（0，20），椭圆加工的终点相对于起点的坐标为（30，20），椭圆加工的长轴与横轴的角度为0。通过椭圆的双圆弧拟合，拟合后的曲线如图15所示。 拟合后的数据为： %ellipse.G N0 M54 M50 M20 N5 G91 F100.000 N10 S50 M3 N15 G02 X-6.204 Y0.430 I0.000 J44.990 N20 G02 X-5.803 Y1.242 I5.649 J40.575 N25 G02 X-1.407 Y0.439 I10.812 J37.135 N30 G02 X-1.354 Y0.481 I11.607 J34.857 N35 G02 X-1.664 Y0.676 I12.553 J33.294 N40 G02 X-1.565 Y0.731 I13.144 J30.155 N45 G02 X-1.897 Y1.031 I14.011 J28.028 N50 G02 X-1.715 Y1.097 I14.150 J24.014 N55 G02 X-1.627 Y1.223 I14.895 J21.516 N60 G02 X-1.427 Y1.264 I14.494 J17.803 N65 G02 X-0.340 Y0.334 I15.274 J15.866 N70 G02 X-0.327 Y0.336 I15.099 J15.020 N75 G02 X-1.228 Y1.414 I14.783 J14.072 N80 G02 X-1.020 Y1.428 I14.061 J11.116 N85 G02 X-0.233 Y0.373 I14.520 J9.327 N90 G02 X-0.220 Y0.373 I14.320 J8.693 N95 G02 X-0.261 Y0.474 I14.305 J8.185 N100 G02 X-0.241 Y0.474 I14.071 J7.449 N105 G02 X-1.107 Y3.096 I13.447 J6.554 N110 G02 X-0.361 Y3.084 I12.982 J3.084 N115 G02 X0.611 Y3.995 I13.362 J-0.000 N120 G02 X1.897 Y4.010 I15.366 J-4.814 N125 G02 X0.647 Y0.923 I14.955 J-9.797 N130 G02 X0.732 Y0.918 I15.533 J-11.638 N135 G02 X0.989 Y1.085 I15.523 J-13.169 N140 G02 X1.122 Y1.068 I16.175 J-15.863 N145 G02 X1.498 Y1.227 I15.984 J-17.978 N150 G02 X1.694 Y1.180 I16.474 J-21.842 N155 G02 X1.777 Y1.054 I15.714 J-24.476 N160 G02 X1.952 Y0.982 I15.598 J-28.573 N165 G02 X0.498 Y0.225 I14.094 J-30.526 N170 G02 X0.508 Y0.220 I13.937 J-31.523 N175 G02 X2.589 Y0.979 I13.919 J-32.900 N180 G02 X2.793 Y0.821 I12.531 J-37.469 N185 G02 X0.706 Y0.173 I9.988 J-39.273 N190 G02 X0.716 Y0.162 I9.456 J-40.190 N195 G02 X4.546 Y0.730 I9.019 J-41.637 N200 G02 X4.725 Y0.249 I4.725 J-44.748 N205 G02 X6.204 Y-0.430 I0.000 J-44.990 N210 G02 X5.803 Y-1.242 I-5.649 J-40.575 X 图15 椭圆的双圆弧拟合后曲线 N215G02 X1.407 Y-0.439 I-10.812 J-37.135 N220G02 X1.354 Y-0.481 I-11.607 J-34.857 N225G02 X1.664 Y-0.676 I-12.553 J-33.294 N230G02 X1.565 Y-0.731 I-13.144 J-30.155 N235G02 X1.897 Y-1.031 I-14.011 J-28.028 N240G02 X1.715 Y-1.097 I-14.150 J-24.014 N245G02 X1.627 Y-1.223 I-14.895 J-21.516 N250G02 X1.427 Y-1.264 I-14.494 J-17.803 N255G02 X0.340 Y-0.334 I-15.274 J-15.866 N260G02 X0.327 Y-0.336 I-15.099 J-15.020 N265G02 X1.228 Y-1.414 I-14.783 J-14.072 N270G02 X1.020 Y-1.428 I-14.061 J-11.116 N275 G02 X0.233 Y-0.373 I-14.520 J-9.327 N280 G02 X0.220 Y-0.373 I-14.320 J-8.693 N285 G02 X0.261 Y-0.474 I-14.305 J-8.185 N290 G02 X0.241 Y-0.474 I-14.071 J-7.449 N295 G02 X1.107 Y-3.096 I-13.447 J-6.554 N300 G02 X0.361 Y-3.084 I-12.982 J-3.084 N305 S0 M3 N310 M51 M21 N315 M30 3.3 列表点曲线拟合算法的研究 除了圆锥曲线以外，列表点曲线也是形状数学描述的标准形式。其中，最常用的列表点描述方法有： 1. 贝齐尔（Bezier ）曲线； 2. B 样条曲线； 通过对这两种方法的比较，找出适合列表曲线拟合的方法。 3.3.1 贝齐尔曲线[11] 给定一组有序的数据点(0,1 ,,)i P i n =，这些点可以是从某个形状上测量得 到，也可以是设计员给出。要求构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。这些数据点若原来位于某曲线上，则称该曲线为被插曲线。在某种情况下，测量所得或者设计员给出的数据点本身就很粗糙，要求构造一条曲线严格通过给定的一组数据点就没有什么意义。更合理的提法应是，构造一条曲线使之在某种意义下最为接近给定的数据点，称之为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线称为逼近曲线。插值和逼近统称为拟合。 贝齐尔（Bezier ）曲线以数据点j b 表示，其伯恩斯坦（Bernstein ）基表示式为： ∑==n j n j j t B b t p 1 ,)()(， 10≤≤t （3.15） 其中，基函数 n j t t C t B j n j t n n j ,,1,0,)1()(, =-=-，称为伯恩斯坦基函数。 用控制顶点j b 定义的伯恩斯坦（Bernstein ）基表示的贝齐尔曲线是一种独特的参数样条曲线，它不仅具有优良的控制性质，而且几何直观，又惊人的简单，使它特别适合于交互地设计形状，但它不具有局部修改性质且不能解决在描述复杂形状时带来的连接问题。 3.3.2 B 样条曲线[11] B 样条理论早在1946年由舍恩伯格（Schoenberg ）提出，但论文直到1967年才发表。1972年，德布尔（de Boor ）与考克斯(Cox)分别独立地给出B 样条计算的标准算法。但作为CAGD 中的一个形状数学描述的基本方法，是由戈登（Gordon ）与里森费尔德（Rriesenfeld,1974）在研究贝齐尔方法的基础上引入的。 B 样条方法是在保留贝齐尔方法的优点，同时克服其由于整体表示带来的不具有局部性质的缺点，及解决在描述复杂形状时带来的连接问题下提出来的，具有表示与设计自由型曲线曲面的强大功能，是最广泛流行的形状数学描述的主流方法之一。并且，B 样条方法目前已成为关于工业产品几何定义国际标准的有理B 样条方法的基础。 B 样条曲线方程可定为： ,)()(0,∑==n i k i i u N d u p 10≤≤u （3.16） 其中，),,1,0(n i d i =为控制顶点。顺序连成折线称为B 样条控制多边形。 ),,1,0)((,n i u N k i =称为k 次B 样条基函数，其形式如下： 1 ,0,,11,111 1,()0,()() ()000i i i i i k i k i k i i k i k i k i u u u N u u u N u N u u u u u N u u u +++++-+++?≤≤?=?? ?? ?-?=+?-?-? ?-??=?? 若其它规定 （3.17） 其中，)(,u N k i 中，k 表示次数，i 表示序号，第i 个k 次B 样条)(,u N k i 具有支承区间[]1,++k i i u u 。 利用德布尔递推算法拟合B 样条曲线： 给定控制顶点),,1,0(n i d i =、次数k 及确定节点矢量[]110,,,++=k n u u u U ，则定义域为[]1,+∈n k u u u 。若给定一参数值[][]11,,++?∈n k i i u u u u u ，则曲线上的对应点)(u p 可求。 ??? ? ?????--=+-==++++-+--l j k j l j l j l j l j l j l j l j k k i u u u u d d d d u p 11 11)1()(ααα （3.18） 其中，1,,2,1-=k l ；l i j -=,,1,0 。 按照B 样条曲线的节点矢量中节点的分布情况不同，可分为4种类型： 均匀B 样条 准均匀B 样条 分段贝齐尔 非均匀B 样条 图16为相同控制顶点的四种B 样条曲线图。均匀B 样条曲线的首末端点不再是控制多边形的首末顶点，而其它三种曲线的首末端点即是控制多边形的顶点。 均匀B 样条曲线 准均匀B 样条曲线 B 样条曲线 分段贝齐尔曲线 与贝齐尔曲线相比，B 样条方法在表示与设计自由型曲线形状时显示了更加 图 16 四种三次B 样条曲线对比图 强大的威力，得到了更加广泛的应用，所以确定采用B样条方法作为列表点曲线的描述方法。 3.4 本章小结 圆锥曲线与列表点曲线是形状数学描述的主要方法。本章首先针对圆锥曲线的特点对圆锥曲线进行了分类处理，在保证精度的条件下，采用双圆弧拟合的方法用较少的数据点去拟合原始圆锥曲线，总的编程量较少。双圆弧曲线是一阶连续的，数控加工后的零件的表面光滑度好。然后，通过比较确定采用B样条曲线作为列表点曲线的描述方法。在对曲线进行分类的基础上，利用德布尔递推算法计算曲线上的点，利用小直线段拟合曲线。 利用上述算法，可以有效地实现圆锥曲线与列表点曲线的数控加工，对于扩大激光切割的应用范围有很重大的意义，满足了实际生产的需求。另外，对于其他的解析曲线（如正弦线、余弦线）也可以应用本章提出的双圆弧拟合方法进行相关的处理，从而证明了算法的通用性与可扩展性。 第三章 曲线拟合算法的研究 3.1 引言 随着航空、汽车等现代工业与计算机技术的发展，圆锥曲线与列表点曲线已经成为形状数学描述的常用方法，得到了广泛的应用。为了满足激光切割加工任务的需要，自动编程系统集成了多种曲线拟合算法，这样利用现有的激光切割机，即可实现特殊曲线的插补功能，极大地丰富系统的插补能力，满足复杂的生产要求。 3.2 圆锥曲线拟合算法的研究 在经济型数控系统中，对于圆锥曲线即平面二次曲线的加工是数控加工中经常遇到的问题，随着数控加工对圆锥曲线插补的需求，近年来有关各种圆锥曲线的插补算法应运而生[26]。常用的解决方法是先用低次的有理参数曲线拟合或将其离散，再用直线、圆弧逼近，然后才能进行数控加工[28]。本章从一个新的视角利用双圆弧方法，提出先对圆锥曲线进行标准化处理，再用双圆弧拟合逼近，然后再进行数控加工。这样的优点是：圆弧样条的等距曲线还是圆弧；双圆弧样条能达到C 1连续，基本上能满足要求；所有数控系统都具有直线插补和圆弧插补功能，无需增加额外负担。 由于工程应用不同，对曲线拟合的要求也不同。有的只要求拟合曲线光滑，有的要求光顺[9-10]。本章中开发的软件要求是：支持多种常用圆锥曲线的拟合；拟合曲线要求光滑；拟合曲线与函数曲线间的误差应控制在允许的范围之内，且拟合圆弧段数较少。 本章提出的对圆锥曲线的插补，是建立在对平面任意二次曲线可以进行分类的基础上，先将二次曲线进行分类，然后对各类曲线分别进行双圆弧拟合，这样就可以直接利用数控系统的圆弧插补功能进行插补。 3.2.1 圆锥曲线的一般理论[9] 在平面直角坐标系中，二元二次方程所表示的曲线称为二次曲线。其中系数A 、B 、 C 、 D 、 E 、 F 为实常数，且A 、B 、C 不同时为零。 022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (3.1) 式（3.1）称为圆锥曲线的隐式方程。令 AC B 42-=? （3.2） 称上式为二元二次方程（3.1）的判别式。 0 曲线拟合的数值计算方法实验 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过 实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i ，Y i )（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或 拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c 1，c 2 ，…c n )是一些待定参 数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在 二次插值法亦是用于一元函数在确定的初始区间内搜索极小点的一种方法。它属于曲线拟合方法的范畴。 一、基本原理 在求解一元函数的极小点时，常常利用一个低次插值多项式来逼近原目标函数，然后求该多项式的极小点(低次多项式的极小点比较容易计算)，并以此作为目标函数的近似极小点。如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时，可以反复使用此法，逐次拟合，直到满足给定的精度时为止。 常用的插值多项式为二次或三次多项式，分别称为二次插值法和三次插值法。这里我们主要介绍二次插值法的计算公式。 假定目标函数在初始搜索区间中有三点、和 ，其函数值分别为、和(图1}，且满足，，即满足函数值为两头大中间小的性质。利用这三点及相应的函数值作一条二次曲线，其函数为一个二次多项式 （1） 式中、、为待定系数。 图1 根据插值条件，插值函数与原函数在插值结点、、处函数值相等，得 （2） 为求插值多项式的极小点，可令其一阶导数为零，即 （3） 解式(3)即求得插值函数的极小点（4） 式(4)中要确定的系数可在方程组(2)中利用相邻两个方程消去而得: （5） （6）将式(5)、(6)代入式(4)便得插值函数极小值点的计算公式： （7）把取作区间内的另一个计算点，比较与两点函数值的大小，在保持两头大中间小的前提下缩短搜索区间，从而构成新的三点搜索区间，再继续按上述 方法进行三点二次插值运算，直到满足规定的精度要求为止，把得到的最后的作为 的近似极小值点。上述求极值点的方法称为三点二次插值法。 为便于计算，可将式(7)改写为 （8） 式中： （9） （10） 二、迭代过程及算法框图 (1)确定初始插值结点 通常取初始搜索区间的两端点及中点为，， 。计算函数值，，，构成三个初始插值结点、、。 曲线拟合算法： 本人进行测试通过，完全正常使用。 #region splined private void splined(PointF[] temp, ref ArrayList splinedPt) { double x, y, t; double px, py; int q = 3; int phi; int kaw; int naw; int n = temp.Length; int add; phi = 5; naw = n; add = 5 * (naw + q - 1) + 1; for (t = -phi + 1.0; t < naw + phi; t = t + 0.2) { x = 0.0; y = 0.0; for (kaw = -2 * phi + 1; kaw < naw + 2 * phi; kaw++) { px = 0; py = 0; if (kaw < 1) { px = temp[0].X; py = temp[0].Y; } if (kaw > naw) { px = temp[naw - 1].X; py = temp[naw - 1].Y; } if (kaw > 0 && kaw <= naw) { px = temp[kaw - 1].X; py = temp[kaw - 1].Y; } x = x + nqt(q, t - kaw) * px; y = y + nqt(q, t - kaw) * py; } PointF Point1 = new PointF((float)x, (float)y); splinedPt.Add(Point1); 第三章数据拟合回顾 keywords 最小二乘法 转化的思想 使误差的平方和为最小: 按最小二乘法, 作直线拟合应使 ∑=+-=N i i i x y b a b a Q 1 2 )]([),(为最小，极小值点一阶导数为0：0,0=??=??b Q a Q 最小二乘法（least squares method ） 2min, ()i i e e y a bx i i i =∑=-+2i i i i i i aN b x y a x b x x y ?+=??+=??∑∑∑∑∑得正规方程组： 2i i i i i i i i i i i i a b x y a x b x x y ωωωωωω?+=??+=??∑∑∑∑∑∑加权正规方程组： IF Y*=a0+a1X1+a2X2+a3X3+……+akXk （n>k ）,THEN? 最小二乘法的几何意义(p51) y=a0x0+a1x1+a2x2+a3x3+……+akxk（n>k）其中x0=(1,1,1,.....1)，x i=(xi1,xi2,xi3,.....,xin),i=1,2,3.....n 数据拟合方法一览表 线性关系直线拟合非线性关系曲线拟合 单变量直线拟合多 变 量 直 线 拟 合 多项式拟合非多项式拟合 变量 替换 转换 为直 线拟 合 多项 式拟 合的 最小 二乘 法 变量 替换 为多 变量 直线 拟合 方程 两边 取对 数转 换为 直线 拟合 正 交 多 项 式 拟 合 Y*=a0+a1X1+a2X2+a3X3+……+akXk（n>k）本 thank u 机器学习的十种经典算法详解 毫无疑问，近些年机器学习和人工智能领域受到了越来越多的关注。随着大数据成为当下工业界最火爆的技术趋势，机器学习也借助大数据在预测和推荐方面取得了惊人的成绩。比较有名的机器学习案例包括Netflix根据用户历史浏览行为给用户推荐电影，亚马逊基于用户的历史购买行为来推荐图书。那么，如果你想要学习机器学习的算法，该如何入门呢？就我而言，我的入门课程是在哥本哈根留学时选修的人工智能课程。老师是丹麦科技大学应用数学和计算机专业的全职教授，他的研究方向是逻辑学和人工智能，主要是用逻辑学的方法来建模。课程包括了理论/核心概念的探讨和动手实践两个部分。我们使用的教材是人工智能的经典书籍之一：Peter Norvig教授的《人工智能——一种现代方法》，课程涉及到了智能代理、基于搜索的求解、对抗搜索、概率论、多代理系统、社交化人工智能，以及人工智能的伦理和未来等话题。在课程的后期，我们三个人还组队做了编程项目，实现了基于搜索的简单算法来解决虚拟环境下的交通运输任务。我从课程中学到了非常多的知识，并且打算在这个专题里继续深入学习。在过去几周内，我参与了旧金山地区的多场深度学习、神经网络和数据架构的演讲——还有一场众多知名教授云集的机器学习会议。最重要的是，我在六月初注册了Udacity的《机器学习导论》在线课程，并且在几天前学完了课程内容。在本文中，我想分享几个我从课程中学到的常用机器学习算法。机器学习算法通常可以被分为三大类——监督式学习，非监督式学习和强化学习。监督式学习主要用于一部分数据集（训练数据）有某些可以获取的熟悉（标签），但剩余的样本缺失并且需要预测的场景。非监督式学习主要用于从未标注数据集中挖掘相互之间的隐含关系。强化学习介于两者之间——每一步预测或者行为都或多或少有一些反馈信息，但是却没有准确的标签或者错误提示。由于这是入门级的课程，并没有提及强化学习，但我希望监督式学习和非监督式学习的十个算法足够吊起你的胃口了。监督式学习1.决策树：决策树是一种决策支持工具，它使用树状图或者树状模型来表示决策过程以及后续得到的结果，包括概率事件结果等。请观察下图来理解决策树的结构。 从商业决策的角度来看，决策树就是通过尽可能少的是非判断问题来预测决策正确的概 1 20/"geometry.cfg" 20/"natbib.cfg" 20/"bblopts.cfg" 20/"english.cfg"20/"____________.aux" 插值算法February3,2020 需要根据已知的函数点进行数据，模型的处理和分析，有时候现有的数据是极少的，不足以分析支撑的比较，这时候需要数学的方法，模拟产生一些洗呢但又比较靠谱的值来满足需求。 一维插值问题多项式插值分段插值 拉格朗日插值多项式公式 L n(x)= n ∑ k=0 y k ωn+1(x) (x?x k)ω′ n+! (x k) 其中ωn+1(x)=(x?x0)(x?x1)....(x?x n) 龙格现象(runge phenomenon)高次插值会产生龙格现象,在两端处的波动计大,产生明显的震荡.在不熟悉曲线的运动趋势下,不要轻易使用高次插值. 采用分段低次插值的思路:在随便两个点之间,采用分段二次或者三次插值的方法/又叫分段抛物插值. 牛顿插值法:f(x)=f(x0)+f|x0,x1|(x?x0)+f|x0,x1,x2|(x?x0)(x?x1)+.....差商的定义:称f|x0,x k|=f(x k)?f(x0) x k?x0 两种插值的区别在于没有体现在导数的一致上 埃尔米特插值法:要求节点处的函数值相同,同时要求对应的导数值也相同分段三次埃尔米特插值法: matlab里有内存的函数pchip(x,y,new_w)x是已知样本点的横坐标,y是已知样本点的纵坐标,new_x是要插入的对应的横坐标 n维数据的插值了解:p=interpn(x1,x2,...xn,y,new_x1,newx_2,....newx_n,method) x1,x2,x3...是样本点的横坐标 y是样本点的纵坐标 输入的new是要输入点的横坐标 method是要插值的方法拟合算法 拟合和插值的区别:找到一个确定的曲线保证误差足够小,不要求曲线经过每一个样本点,只要足够接近就可以. 例7.2.1试用最小二乘法求拟合曲线，并估计其误差，做出拟合曲线。 (1)做散点图 x=[-2.5,-1.7,-1.1,-0.8,0,0.1,1.5,2.7,3.6]; y=[-192.9,-85.50,-36.15,-26.52,-9.10,-8.43,-13.12,6.50,68.04]; plot(x,y,'r*') legend('实验数据(xi,yi)') xlabel('x'),ylabel('y') title('例7.2.1的数据点(xi,yi)的散点图') 2.CFTOOL工具箱使用 Shift+enter:换行输入 Gaussian：高斯曲线 Interpolant：最小二乘法差值 Polynomial：多项式 3.y1=polyfit(x,y,3) 拟合多项式的阶数为3 4.matlab绘制三维曲面图已知曲线关系方程 以二元函数图z = xexp(-x^2-y^2) 为例讲解基本操作， （1）首先需要利用meshgrid函数生成X-Y平面的网格数据，如下所示： % 生成二维网格数据 xa = [-2,0.2,2]; ya =[-1,0.15,1.5]; [x,y] = meshgrid(xa,ya); （2）此外，需要计算纵轴数据(z轴），如下所示： % calculate z data z = x.*exp(-x.^2 - y.^2); （3）在计算出(x,y,z)数据后，就可以使用三维绘图函数mesh绘制三维曲面图，如下所示：mesh(x,y,z); 4（2）、另一种方法： [x,y] = meshgrid(-2:0.2:2,-1:0.15:1.5); z = x.*exp(-x.^2 - y.^2); mesh(x,y,z); 5.由三组散点图绘制曲面（网格划分） xyz=[40 2 1.4 40 5 2.5 40 7 1.4 40 9 0.9 70 8 5.6 ]; tri = delaunay(xyz(:,1), xyz(:,2)); 曲线拟合——最小二乘法算法 一、目的和要求 1）了解最小二乘法的基本原理，熟悉最小二乘算法； 2）掌握最小二乘进行曲线拟合的编程，通过程序解决实际问题。 二、实习内容 1）最小二乘进行多项式拟合的编程实现。 2）用完成的程序解决实际问题。 三、算法 1）输入数据节点数n ，拟合的多项式次数m ，循环输入各节点的数据x j , y j (j=0,1,…,n-1) 2）由x j 求S ；由x j ,y j 求T ： S k = ∑-=10n j k j x ( k=0,1,2, … 2*m ) T k = ∑-=1 0n j k j j x y ( k=0,1,2,… m ) 3）由S 形成系数矩阵数组c i,j ：c[i][j]=S[i+j] (i=0,1,2,…m, j=0,1,2,…,m)；由T 形成系数矩阵增广部分c i,m+1：c[i][m+1]=T[i] (i=0,1,2,…m) 4）对线性方程组CA=T[或A C ]，用列主元高斯消去法求解系数矩阵A=(a 0,a 1,…,a m )T 四、实验步骤 1）完成最小二乘法进行曲线拟合的程序设计及录入、编辑； 2）完成程序的编译和链接，并进行修改； 3）用书上P105例2的例子对程序进行验证，并进行修改； 4）用完成的程序求解下面的实际问题。 5）完成实验报告。 五、实验结果 1. 经编译、链接及例子验证结果正确的源程序： #include 二次插值法亦是用于一元函数在确定的初始区间搜索极小点的一种方法。它属于曲线拟合方法的畴。 一、基本原理 在求解一元函数的极小点时，常常利用一个低次插值多项式来逼近原目标函数， 然后求该多项式的极小点(低次多项式的极小点比较容易计算)，并以此作为目标函数 的近似极小点。如果其近似的程度尚未达到所要求的精度时，可以反复使用此法，逐次拟合，直到满足给定的精度时为止。 常用的插值多项式为二次或三次多项式，分别称为二次插值法和三次插值法。这里我们主要介绍二次插值法的计算公式。 假定目标函数在初始搜索区间中有三点、和 ，其函数值分别为、和(图1}，且满足，，即满足函数值为两头大中间小的性质。利用这三点及相应的函数值作一条二次曲线，其函数为一个二次多项式 （1） 式中、、为待定系数。 图1 根据插值条件，插值函数与原函数在插值结点、、处函数值相等，得 （2） 为求插值多项式的极小点，可令其一阶导数为零，即 （3） 解式(3)即求得插值函数的极小点（4） 式(4)中要确定的系数可在方程组(2)中利用相邻两个方程消去而得: （5） （6） 将式(5)、(6)代入式(4)便得插值函数极小值点的计算公式： （7） 把取作区间的另一个计算点，比较与两点函数值的大小，在保持 两头大中间小的前提下缩短搜索区间，从而构成新的三点搜索区间，再继续按上述方法进行 三点二次插值运算，直到满足规定的精度要求为止，把得到的最后的作为的近似极小值点。上述求极值点的方法称为三点二次插值法。 为便于计算，可将式(7)改写为 （8） 式中： （9） （10） 二、迭代过程及算法框图 (1)确定初始插值结点 通常取初始搜索区间的两端点及中点为，，。计算函数值，，，构成三个初始插值结点、、。 最小二乘法拟合一条直线（C语言代码） #include 实验题目： 用多项式模型进行数据拟合实验 1 实验目的 本实验使用多项式模型对数据进行拟合，目的在于： （1）掌握数据拟合的基本原理，学会使用数学的方法来判定数据拟合的情况； （2）掌握最小二乘法的基本原理及计算方法； （3）熟悉使用matlab 进行算法的实现。 2 实验步骤 2.1 算法原理 所谓拟合是指寻找一条平滑的曲线，最不失真地去表现测量数据。反过来说，对测量 的实验数据，要对其进行公式化处理，用计算方法构造函数来近似表达数据的函数关系。由于函数构造方法的不同，有许多的逼近方法，工程中常用最小平方逼近（最小二乘法理论）来实现曲线的拟合。 最小二乘拟合利用已知的数据得出一条直线或曲线，使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。模型主要有：1.直线型2.多项式型3.分数函数型4.指数函数型5.对数线性型6.高斯函数型等，根据应用情况，选用不同的拟合模型。其中多项式型拟合模型应用比较广泛。 给定一组测量数据()i i y x ,，其中m i ,,3,2,1,0Λ=，共m+1个数据点，取多项式P （x ），使得 min )]([020 2=-=∑∑==m i i i m i i y x p r ，则称函数P （x ）为拟合函数或最小二乘解，此时，令 ∑==n k k k n x a x p 0 )(，使得min ])([02 002=??? ? ??-=-=∑∑∑===m i n k i k i k m i i i n y x a y x p I ，其中 n a a a a ,,,,210Λ为待求的未知数，n 为多项式的最高次幂，由此该问题化为求),,,(210n a a a a I I Λ=的极值问题。 由多元函数求极值的必要条件：0)(200 =-=??∑∑==m i j i n k i k i k i x y x a a I ，其中n j ,,2,1,0Λ= 得到： ∑∑∑===+=n k m i i j i k m i k j i y x a x )(，其中n j ,,2,1,0Λ=，这是一个关于n a a a a ,,,,210Λ的线 性方程组，用矩阵表示如下所示： Random Walks and Rehab: Analyzing the Spread of the Opioid Crisis Ellen Considine Suyog Soti Emily Webb University of Colorado Boulder Boulder,Colorado USA ellen.considine@https://www.360docs.net/doc/1114914700.html, Advisor:Anne Dougherty Summary We classify69types of opioid substances into four categories based on synthesis and availability.Plotting use rates of each category over time re-veals that use of mild painkillers and natural alkaloids has stayed relatively constant over time,semi-synthetic drugs have declined slightly,and syn-thetic drugs such as fentanyl and heroin have increased dramatically.These ?ndings align with reports from the CDC.We select54of149socioeconomic variables based on their variance in?ation factor score(a common measure of multicollinearity)as well as on their relevance based on the public health literature. To model the spread of the opioid crisis across Kentucky,Ohio,Penn-sylvania,West Virginia,and Virginia,we develop two completely different models and then compare them. Our?rst model is founded on common modeling approaches in epidemi-ology:SIR/SIS models and stochastic simulation.We design an algorithm that simulates a random walk between six discrete classes,each of which represents a different stage of the opioid crisis,using thresholds for opioid abuse prevalence and rate of change.We penalize transitions between cer-tain classes differentially based on realistic expectations.Optimization of parameters and coef?cients for the model is guided by an error function in-spired by the global spatial autocorrelation statistic Moran’s I.Testing our model via both error calculation and visual mapping illustrates high accu-racy over many hundreds of trials.However,this model does not provide much insight into the in?uence of socioeconomic factors on opioid abuse The UMAP Journal40(4)(2018)353–380.c Copyright2019by COMAP,Inc.All rights reserved. Permission to make digital or hard copies of part or all of this work for personal or classroom use is granted without fee provided that copies are not made or distributed for pro?t or commercial advantage and that copies bear this notice.Abstracting with credit is permitted,but copyrights for components of this work owned by others than COMAP must be honored.To copy otherwise, to republish,to post on servers,or to redistribute to lists requires prior permission from COMAP. 实验三 函数逼近与曲线拟合 一、问题的提出： 函数逼近是指“对函数类A 中给定的函数)(x f ,记作A x f ∈)(,要求在另一类简的便于计算的函数类B 中求函数A x p ∈)(,使 )(x p 与)(x f 的误差在某中度量意义下最小”。函数类A 通常是区间],[b a 上的连续函数，记作],[b a C ,称为连续函数空间，而函数类B 通常为n 次多项式，有理函数或分段低次多项式等，函数逼近是数值分析的基础。主要内容有： （1）最佳一致逼近多项式 （2）最佳平方逼近多项式 （3）曲线拟合的最小二乘法 二、实验要求： 1、构造正交多项式； 2、构造最佳一致逼近； 3、构造最佳平方逼近多项式； 4、构造最小二乘法进行曲线拟合； 5、求出近似解析表达式，打印出逼近曲线与拟合曲线，且打印出其在数据点上的偏差； 6、探讨新的方法比较结果。 三、实验目的和意义: 1、学习并掌握正交多项式的MATLAB 编程； 2、学习并掌握最佳一致逼近的MATLAB 实验及精度比较； 3、学习并掌握最佳平方逼近多项式的MATLAB 实验及精度比较； 4、掌握曲线拟合的最小二乘法； 5、最小二乘法也可用于求解超定线形代数方程组； 6、 探索拟合函数的选择与拟合精度之间的关系； 四、 算法步骤： 1、正交多项式序列的生成 {n ?（x ）}∞ 0：设n ?（x ）是],[b a 上首项系数a ≠n 0的n 次多项式，)(x ρ为],[b a 上权函数，如果多项式序列{n ?（x ）} ∞0 满足关系式???=>≠==?.,0,, 0)()()()(),(k j A k j x d x x x k k j b a k j ??ρ?? 则称多项式序列{n ?（x ）}∞ 0为在],[b a 上带权)(x ρ正交，称n ?（x ）为],[b a 上带权)(x ρ 的n 次正交多项式。 1）输入函数)(x ρ和数据b a ,; 2）分别求))(),(()),(,(x x x x j j j n ???的内积； 3）按公式①)()) (),(()) (,()(,1)(1 0x x x x x x x x j n j j j j n n n ??? ???∑-=- ==计算)(x n ?，生成正交多项式； 流程图： 开始 第6章曲线拟合的最小二乘法 6.1 拟合曲线 通过观察或测量得到一组离散数据序列，当所得数据比较准确时，可构造插值函数逼近客观存在的函数，构造的原则是要求插值函数通过这些数据点，即。此时，序列与 是相等的。 如果数据序列，含有不可避免的误差（或称“噪音”），如图6.1 所示；如果数据序列无法同时满足某特定函数，如图6.2所示，那么，只能要求所做逼近函数最优地靠近样点，即向量与的误差或距离最小。按与之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数。 图6.1 含有“噪声”的数据 图6.2 一条直线公路与多个景点 插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。插值的目标是要插值函数尽量靠近离散点；拟合的目标是要离散点尽量靠近拟合函数。 向量与之间的误差或距离有各种不同的定义方法。例如： 用各点误差绝对值的和表示： 用各点误差按模的最大值表示： 用各点误差的平方和表示： 或（6.1） 其中称为均方误差，由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛采用。按 均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线的方法。 在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如，它是统计学中估计回归参数的最基本方法。 关于最小二乘法的发明权，在数学史的研究中尚未定论。有材料表明高斯和勒让德分别独立地提出这种方法。勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文，这时高斯指出，他早在1795年之前就使用了这种方法。但数学史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。 在实际问题中，怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线？关键在选择适当的拟合曲线类型，有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情况下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。 例如，某风景区要在已有的景点之间修一条规格较高的主干路，景点与主干路之间由各具特色的支路联接。设景点的坐标为点列；设主干路为一条直线 ，即拟合函数是一条直线。通过计算均方误差最小值而确定直线方程（见图6.2）。 6.2线性拟合和二次拟合函数 线性拟合 给定一组数据，做拟合直线，均方误差为 （6.2） 是二元函数，的极小值要满足 整理得到拟合曲线满足的方程： 一、前言部分 本文首先指明了数据拟合的研究背景和意义，以及关于数据拟合问题所做的相关工作和当前的研究现状。二次拟合曲线由于有着良好的几何特性、较低的次数及灵活的控制参数，成为基本的体素模型之一，在计算机图形学和计算机辅助几何设计等领域中起着重要的作用。 解决数据拟合问题的基本思想是最小二乘法，本文中给出了最小二乘法的基本思想。分析解决数据拟合问题所采用的算法，并对典型性的算法进行了较为详细的求解。 关键词数据拟合；最小二乘法；多项式拟合； 二、主题部分 2.1 国内外研究动态，背景及意义 数学分有很多学科，而它主要的学科大致产生于商业计算的需要、了解数字间的关系、测量土地及预测天文事件。而在科技飞速发展的今天数学也早已成为众多研究的基础学科。尤其是在这个信息量巨大的时代，实际问题中国得到的中离散数据的处理也成为数学研究和应用领域中的重要的课题。 比如科学实验中，我们经常要从一组试验数据(,) i i x y，i = 0,1,...,n中来寻找自变量x和因变量y之间的函数关系，通常可以用一个近似函数y = f (x)表示。而函数y = f (x)的产生方法会因为观测数据和具体要求不同而不同，通常我们可以采用数据拟合和函数插值两种方法来实现。 数据拟合主要考虑到了观测数据会受到随机观测误差的影响，需要寻求整体误差最小、能够较好的反映出观测数据的近似函数y = f (x)，这时并不要求得 到的近似函数y = f (x)必须满足y i = () i f x,i = 0,1,…,n。 函数插值则要求近似函数y = f (x)在每一个观测点 i x处一定要满足y i= () i f x，i = 0,1,…,n。在这种情况下，通常要求观测数据相对比较准确，即不考虑观测误差的影响。 所以，可以通过比如采样、实验等方法而得到若干的离散的数据，根据这些离散的数据，我们往往希望能得到一个连续函数(也就是曲线)或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合。这个过程叫做拟合。也就是说，如果数据不能满足某一个特定的函数的时候，而要求我们所要求的逼近函数“最优的” 靠近那些数据点，按照误差最小的原则为最优标准来构造出函数。我们称这个函数为拟合函数。 2.1.1 国内外研究现状 在通过对国内外有关的学术刊物、国际国内有关学术会议和网站的论文进行参阅。数据拟合的研究和应用主要是面对各种工程问题，有着系统的研究和很大的发展。通过研究发展使得数据拟合有着一定的理论研究基础。尤其是关于数据 第1章 概述 本文档之目的是利用已知的几组数据通过现有数学模型，求出数学模型中的四个参数，并确保拟合后的数学模型中自变量和因变量的相关度≥0.997. 第二章 设计需求及详细算法 2.1 设计需求 通过已知的吸光度值x 和浓度值y ，进行四参数对数拟合，求出四参数模型中的对应参数a,b,c,d 。 四参数数学模型如下所示： d b c x d a y +?? ? ??+-= 1 需求1：通过已知数据（x,y ）数组拟合后，求出数学模型中的a,b,c,d ； 需求2：要求所计算出的四个参数，能够保证x,y 的相关度≥0.997. 需求3：和软件现有的其他算法如半对数、二参数等算法并行存在于软件中；并在软件后续的数据转换和图像显示中可以调度该功能模块； 2.2 四参数拟合算法详解 数学模型： 具体算法实现： 整个算法基于高斯牛顿迭代法：其基本思想是使用泰勒级数展开式去近似地代替非线性回归模型，然后通过多次迭代，多次修正回归系数，使回归系数不断逼近非线性回归模型的最佳回归系数，最后使原模型的残差平方和达到最小。（在软件算法的实现上，可以进一步参照教程《计算方法》） 第一步：求a, b, c 和d 的初值。（此时x 不能为0值，若输入的x 有0值，则在软件实现过程中设定：x=0.0001） 对上述模型（1）进行数学变换后得到： 在计算的过程中，具体算法进行如下处理： 将d 的初值设为输入的y 值的最大值加1，a 的初值设为输入的y 值的最小值减0.1。通 过简单的直线拟合即可求出b 和c 的初值。 第二步：对方程（2）中的四个参数分别求偏微分。得到y 对给定系数的增量（△a, △b, △c △d ）的泰勒级数展开式。 b c x a y ?? ? ??+=??11 b c x d y ?? ? ??+-=??111 b b c x c x d a c b c y ??? ????????????? ??+-=??21 21ln ??? ???????? ??+-??? ????? ??-=??b b c x d a c x c x b y 由此，将曲线回归转化为多元线性回归，通过迭代计算，得到四个参数的变量△a, △ b, △c, △d ，逐步修正四参数的值。 每一次迭代可计算出参数变量值，新的参数值为原参数值与变量值的叠加。 （迭代的算法可以参照多元线性回归的计算方法） 第三步：相关系数计算方法：为保证迭代收敛，在计算相关系数时，引入一系数m ，初值设为2，将a 与参数的变量矩阵相乘，计算相关系数。m=m/2，循环10次，每次m 的值减半。取循环中得到的相关系数最大的变量矩阵[△a, △b, △c, △d ]。 （采用Gauss 法进行消元。） 第四步：迭代终止条件：默认总的迭代次数为1000次，或者当相关系数满足≥0.997 曲线拟合的数值计算方 法实验 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 曲线拟合的数值计算方法实验 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按原理求出变换后变量的，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近的一种方法。在或社会活动中，通过实验或观测得到量x 与y 的一组数据对（X i ，Y i )（i=1，2，...m ），其中各X i 是彼此不同的 。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x ，c ）来反映量x 与y 之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x ，c)常称作拟合模型 ，式中c=(c 1，c 2，…c n )是一些待定参数。当c 在f 中出现时，称为线性模型，否则称为。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c 使得拟合模型与实际在各点的(或)，c）-f （f y e k k k 的平方和达到最小，此时所求曲线称作在加权最小二乘意义下对数据的拟合曲线。有许多求解拟合曲线的成功方法，对于线性模型一般通过建立和求解来确定参数，从而求得拟合曲线。至于，则要借助求解非线性方程组或用最优化方法求得所需参数才能得到拟合曲线，有时称之为非线性。 曲线拟合：与路径转化时的误差。值越大，误差越大；值越小，越精确。 2.最小二乘法拟合： 曲线拟合方法概述 工业设计张静1014201056 引言：在现代图形造型技术中，曲线拟合是一个重要的部分，是曲面拟合的基础。现着重对最小二乘法、移动最小二乘法、NURBS 三次曲线拟合法和基于RBF 曲线拟合法进行 比较，论述这几种方法的原理及其算法，基于实例分析了上述几种拟合方法的特性，以分析拟合方法的适用场合，从而为图形造型中曲线拟合的方法选用作出更好的选择。 1 曲线拟合的概念 在许多对实验数据处理的问题中，经常需要寻找自变量和对应因变量之间的函数关系，有的变量关系可以根据问题的物理背景，通过理论推导的方法加以求解，得到相应关系式。但绝大多数的函数关系却很复杂，不容易通过理论推导得到相关的表达式，在这种情况下，就需要采用曲线拟合的方法来求解变量之间的函数关系式。 曲线拟合(Curve Fitting) ，是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之问的函数关系的一种数据处理方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对(X i,y i), i=1 , 2, 3…，m，其中各X i是彼此不同的。人们希望用一类与数据的规律相吻合的解析表达式y=f(x)来反映量x与y之间的依赖关系。即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x)称作拟合函数，似的图 像称作拟合曲线。 2 曲线拟合的方法 2.1 最小二乘法 最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，是进行曲线拟合的一种早期使用的方法一般最小二乘法的拟合函数是一元二次，可一元多次，也可多元多次。该方法是通过求出数据点到拟合函数的距离和 最小的拟合函数进行拟合的方法令f(x)=ax 2+bx+c ，计算数据点到该函数 所表示的曲线的距离和最小即：第三章_曲线拟合算法的研究汇总
曲线拟合的数值计算方法实验
二次插值算法
曲线拟合算法
计算方法_数据拟合回顾
机器学习的十种经典算法详解
插值拟合数学建模算法
曲面拟合实例教程总结
曲线拟合——最小二乘法算法
二次插值算法
线性拟合C语言算法
用多项式模型进行数据拟合实验报告(附代码)
回归拟合算法优秀论文2
曲线拟合的最小二乘法讲解
数值计算_第6章 曲线拟合的最小二乘法
数据拟合文献综述
四参数拟合需求及详细算法
曲线拟合的数值计算方法实验
曲线拟合方法浅析