数理统计复习题第八章

第七章 假设检验

三、典型题解

例1：某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为0.015千克.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克):

0.498 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512,

问机器是否正常?

解: 根据样本值判断5.05.0≠=μμ还是.提出两个对立假设

0100:5.0:μμμμ≠==H H 和

选择统计量：)1,0(~/0

N n

X Z σμ-=

取定0.05a =，则/20.025

1.96,z z

a ==又已知

9, 0.015, n s ==由样本计算得0.511x =， 2.2 1.96=>，于是拒绝假设

0H , 认为包装机工作不正常.

例2：某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布),(2

σμN ，

s cm s cm /2,/40==σμ，现用新方法生产了一批推进器，从中随机取25n =只，测得燃

烧率的样本均值为s cm x /25.41=.设在新方法下总体均方差仍为s cm /2，问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？（取显著性水平05.0=α） 解：根据题意需要检验假设

00

:40H m m ?（即假设新方法没有提高了燃烧率）,

10 :H m m >（即假设新方法提高了燃烧率）,

这是右边检验问题，拒绝域为

0.05

1.645x z z =

?，由

3.125

1.645

x z =

=>可得z 值落到拒绝域中故在显著性水平0.05 a =下拒绝0 H .

即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高.

例3：某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今

从一批产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下:

7

.102.107.105.108.106.109.102.103.103.105.104.101.106.104.10

假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变化, 试问该机工作是否正常? （取显著性水

平05.0=α）

解：因为2

~(,), 0.15X N m s s =，要检验假设

0:10.5,H m = 1:10.5H m 1

其中,15=n ,48.10=x ,05.0=α 15

/15.05

.1048.10/

0-=-n x σμ则,516.0-=查表得

,645.1

05.0=z 0.050.516 1.645x z =-<=，故接受0H ，认为该机工作正常.

例4：如果在例3中只假定切割的长度服从正态分布, 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化?

解：依题意2

2

~(,), ,X N m s m s 均为未知，要检验假设01:10.5,

:10.5,H H m m =

,15=n ,48.10=x ,05.0=α,237.0=s 0.327t =

=

=，查t 分布

表得：/20.025(1)(14) 2.14480.327,t n t t a -==>=故接受0 H ，认为金属棒的平均长度无显著变化.

例5：某种电子元件的寿命X (以小时计)服从正态分布,2

,σμ均为未知. 现测得16只元件的寿命如下:

159280101212224379179264222362168250149260485170

问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)? 解：依题意需检验假设 ,225:,225:100>=≤μμμH H 取0.05, a =,16=n ,5.241=x ,7259.98=s 查表得：

0.05(15) 1.75310.6685 t t =>=

=

故接受0 H ，认为原件的平均寿命不大于225小时.

例6：在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率, 试验是在同一只平炉上进行的. 每炼一炉钢时除操作方法外, 其它条件都尽可能做到相同.先采用标准方法炼一炉, 然后用建议的新方法炼一炉, 以后交替进行, 各炼10炉, 其得率分别为

(1)标准方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3； (2)新方法:79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1； 设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总体，问建议的新操作方法能否提高得率? （取

0.05a =）

解：需要检验假设012112: 0, : 0.H H m m m m ->-<分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差：

,101=n ,23.76=x ,325.321=s ,102=n ,43.79=y ,225.22

2=s

且22

2

12(101)(101) 2.775,10102

w

s s s -+-==+-查表可知0.05(18) 1.7341,t =查表7-1知其拒绝

域).2(21-+-≤n n t t α

因为x y

t =

295.4-=,7341

.1)18(05.0-=-≤t 所以拒绝0, H 即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.

例7：有两台光谱仪Ix , Iy ,用来测量材料中某种金属的含量, 为鉴定它们的测量结果有无显著差异, 制备了9件试块(它们的成分、金属含量、均匀性等各不相同), 现在分别用这两台机器对每一试块测量一次, 得到9对观察值如下:

()()

()11

.013.012.011.018.018.012.009.010.0%89.077.068.059.078

.032

.052

.021

.010

.0%00.190.080.070.060.050.040.030.020.0%---=y x d y x

问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异? )01.0(=α

解：本题中的数据是成对的, 即对同一试块测出一对数据, 我们看到一对与另一对之间的差异是由各种因素, 如材料成分、金属含量、均匀性等因素引起的. [这也表明不能将光谱仪

Ix 对9个试块的测量结果(即表中第一行)看成是一个样本, 同样也不能将表中第二行看成

一个样本, 因此不能用表7-3中第1栏的检验法作检验].

而同一对中两个数据的差异则可看成是仅由这两台仪器性能的差异所引起的. 这样, 局限于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因素, 而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响.表中第三行表示各对数据的差,i i i y x d -=设12,,,n d d d L 来自正态总体2(,)d N m s ，这里 d m ，2s 均为未知，若两台机器的性能一样,则对各数据的差异12,,,n d d d L 属随机误差随机误差可以认为服从正态分布, 其均值为零.

要检验假设01: 0, : 0.d d H H m m = 设12,,,,n d d d L 的样本均值d 样本方差2

,s 按表7-1中第1栏中关于单个正态分布均值的 t 检验, 知拒绝域为：

,)1(/0

2/-≥-=

n t n

s d t α由9,n =,3554.3)8()8(005.02/==t t α,06.0=d ,1227.0=s 可

知 1.467 3.3554,t =<所以接受认为这两台仪器0 H ，认为这两台仪器的测量结果无显著的差异.

例8:某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以来服从方差 2

σ =5000 (2小时) 的正态分布, 现有一批这种电池, 从它生产情况来看, 寿命的波动性有所变化. 现随机的取26只电池, 测出其寿命的样本方差 29200s =(2小时). 问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化?（0.02a =） 解：要检验假设2201:5000,

:5000,

H H s s =

,26=n ,02.0=α,50002

0=σ,314.44)25()1(2

01.022/==-χχαn

,524.11)25()1(2

99.022/1==--χχαn

拒绝域为: )1(

2

2

≤-σs n ,524.11 )1( 2

2

≥-σs n 或

44.314

因为220(1)259200

4644.3145000

n s s - ==>，所以拒绝0 H ，认为这批电池的寿命的波动性较

以往的有显著的变化.

例9:一自动车床加工零件的长度服从正态分布),(2

σμN ，原来加工精度18.02

0=σ，经

过一段时间生产后，抽取这车床所加工的31=n 个零件，测得数据如下所示：

问这一车床是否保持原来得加工精度. 解：由题意要检验假设18.0:;18.0:212

0≠=σσ

H H ，此时我们只要考虑单侧的情形，

由题中所给的数据计算得：∑==-=7

1

2

125.4418.0)(i i x x n χ，对于给定的05.0=α，查自由度为301=-n 的2

χ分布分位数表得临界值8.43)30(2

95.0=χ，此时)30(2

95.02

χχ>，因此

拒绝原假设0H ，这说明自动车床工作一段时间后精度变差.

对于单个正态总体有关方差检验的问题，我们可用2

χ—检验来解决，但如果要比较两个正态总体的方差是否相等，我们就要用下面的F —检验. 例10: 一枚骰子掷了100次，得结果如下表

点数

1

2

3

4

5

6

频数i f

13 14 20 17 15 21

在05.0=α下，检验这枚骰子石头均匀？

解：用X 表示骰子掷出的点数，{}i P x i p ==，1,2,...,6i =.如果骰子是均匀的的，则

1/6i p =，1,2,...,6i =.检验假设

0H ：1/6i p =

计算统计量2

χ的观察值，得

2222100100100100

[(13)(14)...(21)] 3.26666

c =-

+-++-?

查表得20.05(61)11.071c -=.经比较知22

0.053.2(61)11.071c c =<-=故接受，认为骰子是均

匀的.

四、练习题

1.某工厂在正常情况下生产电灯泡的使用寿命（单位：小时）服从正态分布2(1600,80)N .某天从该厂生产的一批灯泡中随机抽取10个，测得它们的寿命均值1548x =小时.如果灯泡寿命的标准差不变，能否认为该天生产的灯泡寿命均值1600m =小时？

参考答案：0.0252.06 1.96U U =>=，即认为该天生产的灯泡的寿命均值1600m 1小时. 2.某化学日用品有限责任公司用包装机包装洗衣粉, 洗衣粉包装机在正常工作时, 装包量

)2,500(~2N X (单位:g ), 每天开工后, 需先检验包装机工作是否正常. 某天开工后,

在桩号的洗衣粉中任取9袋, 其重量如下:

503,510,497,498,498,506,502,499,

505

假设总体标准差σ不变,即,2=σ 试问这天包装机工作是否正常?)05.0(=α 参考答案：，

3.已知某种电子元件的平均寿命为3000小时.采用新技术后抽查20个，测得电子元件寿命的样本均值3100x =小时，样本标准差170s =小时.设电子元件的寿命服从正态分布，试问采用新技术后电子元件的平均寿命是否有显著提高？(取显著性水平0.01a =)

参考答案：0.992.63(19) 2.54t t =>=，认为采用新技术后电子元件的平均寿命有显著提高. 4. 某次考试学生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5，标准差为15，在显著性水平0.05α=下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩高于70分？

参考答案：0.051.4 1.6869t t =-<=，故认为这次考试全体考生成绩不高于70分. 5.从甲地发送讯号到乙地，甲地发送的真实讯号值为，而乙地收到的讯号值是服从正态分布

2(,)N m s 的随机变量.现甲地重复发送同一讯号9次，乙地收到的讯号平均值为8.15，标

准差为0.2，试问乙地是否有理由猜测甲地发送的讯号值为8？如果已知00.22s s ==，结论又该如何呢？(取显著性水平0.05a =)

参考答案：0.975|| 2.25(8) 2.306t t =<=,即可猜测甲地发送的讯号值为8.

6.自动车床加工的某种零件的直径(单位：mm )服从正态分布2

~(,)X N m s ，原来的加工精度2

0.09s ￡.经过一段时间后，需要检验是否保持原有加工精度，为此，从该车床加工的零件中抽取30个，测得数据如下：

问加工精度是否变差(显著性水平0.05a =)？

参考答案：220.9543.3(29)42.6c c =>=,即可认为该自动车床的加工精度变差了.

7.某灯泡厂在采用一种新工艺的前后，分别抽取10个灯泡进行寿命(单位：小时)检测，计算得到：采用新工艺前灯泡寿命的样本均值为2460，样本标准差为56；采用新工艺后灯泡寿命的样本均值为2550，样本标准差为48.设灯泡的寿命服从正态分布，是否可以认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高(取显著性水平0.01a =)?

参考答案：因为未知方差未知，为此先检验假设222

2

012112

::H H s s s s = ，得0.951.36(9,9)

3.18F F =<=,即认为两者无显著差异，再检验012112::H H m m m m ⅱ倡<得，

0.993.86(18) 2.55t t =-<-=-，可认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高.

8.机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中，分别抽取若干个测量其尺寸，得： 甲机器的：6.2,5.7,6.5,6.0,6.3,5.8,5.7,6.0,6.0,5.8,6.0;

乙机器的：5.6,5.9,5.6,5.7,5.8,6.0,5.5,5.7,5.5.

问这两台机器的加工精度是否有显著差异(0.05a =）？ 参考答案：0.9750.0250.02511

(10,8) 2.13(10,8) 4.30(8,10) 3.85

F F F F =

=<=<=，即没有发

现两台机器加工零件的尺寸的精度有显著性差别.

9.某校毕业班历年语文毕业成绩接近2

(78.5,7.6)N 今年毕业40名学生，平均分数76.4分，有人说这届学生的语文水平和历届学生相比不相上下，这个说法能接受吗（显著性水平

0.05a =）？

参考答案：0.0251.75 1.96U U =<=，故可以认为这届学生的语文水平和历届学生相比不相上下.

10.某厂生产的电子元件，其电阻值服从正态分布，其平均电阻值 2.6m =()Ω，今该厂换了一种材料生产同类产品，从中抽查了20个，测得其样本电阻均值为3.0()Ω，样本标准差0.11S =()Ω，问新材料生产的元件其平均电阻较之原来的元件的平均电阻是否有明显的提高（0.05a =）？

参考答案：0.0516.26(19) 1.729t t =>=，认为换材料后电阻平均值有明显提高.

11. 已知某种溶液中水分含量2

~(,)X N m s ，要求平均水分含量m 不低于0.5%，今测定该溶液9个样本，得到平均水分含量为0.451%，均方差S=0.039%试在显著性水平0.05a =下，检验溶液水分含量是否合格.

参考答案：0.053.77(8) 1.8595t t =-<=，即认为溶液水分含量低于0.5%，不合格. 12. 某车间生产铜丝，其中一个主要质量指标是折断力大小，用X 表示该车间生产的铜丝的折断力，根据过去资料来看，可以认为X 服从2

(,)N μσ，0285,4,kg kg μσ==今换了一批原材料，从性能上看，估计折断力的方差不会有什么大变化，但不知道折断力的大小与原先有无差别？从现今产品中任取10根，测得折断力数据如下：

289,286,285,284,285,285,286,286,298,292. （单位：kg ）. 参考答案：先检验方差

22200:4H σσ==22

10:H σσ≠

得2

2

2

0.9750.025(9) 2.7010.65(9)19.0χχχ=<=<=，故认为方差无变化.在方差22

4σ=已

知的条件下，检验 00:285H μμ==，10:H μμ≠，得0.0252.05 1.96U U =>=

，故认为铜丝折断力大小与原先有显著性差异.

13.为研究某地两民族间家庭规模是否有所不同，各做了如下的独立的随机抽样：

民族甲：调查户数112n =，均值1 6.8X =，方差1 1.5S = 民族甲：调查户数212n =，均值2 5.3X =，方差20.9S =

试问能否认为甲民族的家庭平均人口高于乙民族的家庭平均人口（显著性水平0.05α=，并认为家庭人口服从正态分布，且方差相等）？

参考答案：0.0250.4951<(22) 2.0739t t ==，故认为甲民族的家庭平均人口高于不乙民族的家庭平均人口.

14.某卷烟厂生产甲，乙两种香烟，分别对它们的尼古丁含量（单位：毫克）作了测定，结果如下：

甲：抽取子样数为6，均值25.50X =，方差2

1 6.25S = 乙：抽取子样数为6，均值25.67Y =，方差229.22S =

试问这两种香烟的尼姑丁含量有无显著差异（显著性水平0.05α=，并认为这两种烟的尼古丁含量都服从正态分布，且方差相等）？

参考答案：0.025-0.1059<(10) 2.2281t t ==，故认为两种香烟尼姑丁含量无显著差异. 15.用两种工艺生产的某种电子元件的抗击穿强度X 和Y 为随机变量，分布分别为

211(,)N μσ和222(,)N μσ（单位：V ）.某日分别抽取9只和6只样品，测得抗击穿强度数

据分别为19,,x x 和16,,,y y 算得

9

9

211370.80,15280.17,i

i i i x

x ====∑∑

6

6

21

1

204.60,6978.93.i

i i i y

y ====∑∑

检验X 和Y 的方差有无明显差异（取0.05a =）.

参考答案：0.9750.0250.025(8,5)1/(5,8)0.14790.9693(8,5) 4.82F F F F ==<=<=，认为

X Y 和的方差无明显差异.

16.需要比较两种汽车用的燃料的辛烷值，得数据：

燃料的辛烷值越高，燃料质量越好，因燃料较燃料A 总体价格便宜，因此，如果两种辛烷值相同时，则使用燃料B.设两总体的分布均为正态的，而且两样本相互独立，问应采用哪种燃料（取0.1α=）？

参考答案：先检验两个总体方差是否有显著性差异，得

0.050.950.051(11,11) 2.820.926(11,11)0.355(11,11)

F F F F =>=>=

=，故可认为两种燃料总体的方差相等. 再检验01:0,:0A B A B H H μμμμ-=->，

0.012.19(22) 2.5083t t =<=，采用燃料B .

17.某厂近年来发生了63次试过，按星期几统计如下

问：事故的发生是否与星期几有关？（05.0=α）

参考答案：22

0.051.66(61)11.071c c =<-=，故事故发生与星期几没有关系.