微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解

先回顾一下第一章的几个重要定理

1、0

lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的

关系

2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系

3、零点定理：

条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：

条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠=

结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得

()f C ζ=。

5、介值定理的推论：

闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。

第三章 微分中值定理和导数的应用

1、罗尔定理

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得

'()0f ζ=

2、拉格朗日中值定理

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=-

3、柯西中值定理

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈

结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得

()()'()

()()'()

f b f a f

g b g a g ζζ-=

-

拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。

4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，

则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。

拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式：

122()()-()1()m x f x f x m x <<； 一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便

于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意

正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种：

000,,0*,,0,1,0∞∞∞∞-∞∞∞

每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。 如果极限是0

lim ()

x x

f x → 那么就在0x 附近展开。如果极限是

lim ()x f x →∞

，那么就变形成0

lim ()t t f t →，再在0t 附近展开。一般都是化

成0

lim ()t f t →用迈克劳林展开式展开。

那么展开多少步呢一般分子分母展开的幂应该是一样的，便于上下几次方相抵消，分子分母尾部都跟着一个皮亚诺型余项。如果展开了，发现分母是表面外观的2次方，而上面如果展开后分子的结果为0，则还要继续往更高阶次展开。分母一定会跟着分子有同样阶的。。。算吧，很大的计算量。。。

7、用导数判断函数曲线的单调性和单调区间。

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，且导数'()0(0)f x >< 结论1：()f x 在闭区间[a,b]上单增（单减）

结论2：'()0f x =或不存在 则此点一定是可靠而全面的对单调的分界点 8、函数曲线的凹凸性和拐点（左右凹凸变化的分界点） 方法一：条件：区间连续。结论：

若1212()()

(

)22x x f x f x f ++<，则该曲线在(x1,x2)凹 若1212()()

(

)22

x x f x f x f ++>，则该曲线在(x1,x2)凸 方法二：条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)存在一阶和二阶导数 结论1：''()0f x > 在[a,b]凹；''()0f x < 在[a,b]凸；

结论2：''()0f x =或不存在 则此点一定是全面的但仅是可能的拐点。然后验证

-''()''()f x f x +、的符号。异号则一定为拐点。

9．函数在区间上的极值点，最值点。 定理1：极值点处的导数0'()0f x = 定理2：

条件：()f x 在0x 点处连续，在0x 附近的去心邻域内可导

结论：00'()0,'()0f x f x +->< 则在0x 点取得极大值。00'()0,'()0f x f x +-<> 则在0x 点取得极小值。若左右邻域内符号不变，则该点无极值。 定理3：

条件：()f x 在0x 点处的一阶导数0'()0f x =

结论：0''()0f x > ，则在0x 点取得极小值。0''()0f x < ，则在0x 点取得极小值。

0''()=0f x ,则该点可能是极值，也可能不是极值。

总结：一阶导数就能得出极值点。二阶导数也能得出，但二阶导数有限制

0'()0f x =。

最值：在极值中挑出个最大的，最小的点，再跟两端的值大小比较一下，得到的就是闭区间最大值，最小值。 10、曲率 曲率定义是：d K ds α

=

，曲率半径用a 表示，是曲率的导数，即1a K

=。 所谓曲率半径，是指如果在该点出以这么半径画一个圆，那么该圆的圆弧点上处处的

曲率都是K 。 如何推导曲率

课本典型题：

2扩展

三个定理的条件都是闭区间连续，开区间可导。然后罗尔定律是f(a)=f(b),结论是导数为0。

拉格朗日中值定理结论是存在导数。柯西定理形象来说是拉格朗日中值定理的变形（见物理意义）。

罗尔定理拉格朗日中值定理柯西定理

微分中值定理这部分看起来特别重要。因为它涉及到几个定理。 罗尔定理常用于以下几种题： 1

)('x f 在（a ，b ）上是否存在零点显然，只要找到)()(b f a f =的a 和b 即可。找到了

还能知道至少有几个零点，以及每个零点的区域。如已知)3)(2)(1()(---=x x x x f ，说明0)('=x f 有几个实根范围是什么等。

2 证明)(x f 在（a ，b ）上是否存在零点注意1是)('x f 是否存在零点。故可以求出

?=dx x f x F )()(，这样就成了求)('x F 在(a,b)上是否存在零点。和1一样的方法了。

3 证明)(x f 的根不超过多少个。如证明其根不超过3个。那么，记住用反证法+罗尔定理。设根有四个，分别为x1

拉格朗日中值定理常用于证明不等式：

1 证明),(),(),(b a Q b a F b a P <<，想办法把整个式子都变变形，最重要的是把),(b a F 变成两个同函数相减的方式，)()(a f b f -的形式，再用拉格朗日中值定理改为导数的形式与两端比较。

柯西中值定理常用于证明不等式： 1 证明)()(x Q x P > 方法：把原式转换成

1)

()

(>x G x F 或1<的形式。因为柯西中值定理实质是两个函数相除转换成导数相除，因此要想法给弄成除的形式。拉格朗日中值定理是弄成减的形式。然后证明一下两个导数相除大于或者小于1就行了

证明函数恒等)()(x g x f =，),(b a x ∈

证明原则： 1 )(')('x g x f =，),(b a x ∈【当然还有个条件就是f,g 在(a,b)存在导数】

2 找到任意一点),(0b a x ∈，使得)()(00x g x f = 如果],[b a x ∈还需要验证],[)(),(b a x g x f 在连续

2洛必达法则应用有两个条件 ① ∞

∞

=lim 00lim )()(lim

或者x g x f ② A )

(')

('lim

=x g x f ，即必须存在结果，可以是无穷大，也可以是0等，但不能是诸如)1

sin(lim 0

x A x →=之类的没具体的玩意。但是注意，如果用洛必达法则算出就是这类没具体

的玩意，也不能证明该函数除法式无极限。只能证明洛必达法则此时适用性太小。

3洛必达法则应用

① 求1的七种类型的未定式极限 ② 确定无穷小的阶是多少 K 阶无穷小的定义：若0,0lim

>≠=k C k α

β

，则称β是α的K 阶无穷小。

无穷小阶的运算法则：

设f(x)是x的n阶无穷小，g(x)是x的m阶无穷小，则有：

f(x)+g(x)是x的min( n , m )阶无穷小

f(x)*g(x)是x的n+m阶无穷小

f(x)/g(x)是x的abs( n - m)阶无穷小

这一节内容关于应用洛必达法则讨论极限的问题我学的很差。

泰勒中值定理的来源想象：

任何一个函数f(x)，在0点附近都可以曲线化直的表示成

)(...)(2210x Rn x b x b x b b x f n n +++++=

用导数一算，恰好有!

)

0(...!2)0('',!1)0(',!0)0()(210n f b f b f b f b n n ==== 故在0x 点处可得泰勒展开公式：

（前提：f(x)在含0x 的某个开区间（a , b ）上具有（n+1）阶的导数，这样才能得到拉格朗日余项）

)

()(!

)(...)(!2)())((')()(00)(2

00''000x Rn x x n x f x x x f x x x f x f x f n n +-++-+-+=当n=0时，))((')()(00x x f x f x f -+=ζ其中))(('0x x f -ζ是n=0时的拉格朗日余项 拉格朗日余项为：

),(,)()!

1()

()(Rn 010)1(x x x x n f x n n ∈-+=++ζζ

换成θ表示为：)1,0(),(00∈-+=θθζx x x 这样表示很常见 （不要求精确时）可使用佩亚诺余项：

])[()(Rn 0n x x o x -=（注意：不是拉格朗日余项的n+1次方）

最开始推导时，x 在0处的仿f （x ）多项式称为麦克劳林公式，是泰勒公式的简单形式。 使用迈克劳林公式时，对应拉格朗日余项可以改为

)1,0(,)!

1()()(Rn 1

)1(∈+=++θθn n x n x f x 但是注意这仅是迈克劳林时用。故可以不记这

个特殊形式的式子。只记基本的式子 佩亚诺余项x0=0即可。

※常用的麦克劳林公式（泰勒公式涉及大量运算，而却常考这几个式子的变形）

)!

12()1(...!5!3sin 1

2153--+++-=--n x

x x x x n n )(R n 2x +显然n 从1开始

)()!

2()1(...!4!21cos 12242x R n x x x x n n

n ++-+-+-=显然n 从0开始

)()1(...432)1ln(1432x Rn n

x x x x x x n n +-++-+-=+-显然n 从1开始

...!

3)2)(1(!

2)1(113

2

+--+

-+

+=+x x x x ααααααα

）（

)(R !

)

1)...(2)(1(x n x n n n ++---+

αααα显然n 从0开始

)(!

...!212x Rn n x

x x e n x +++++=麦克劳林展开式比较容易，可以现用现推导

大体记一下，然后根据推出的前两个值就能想到全部的结论。一般第二个值如果是负的，就

说明会有（-1）^（k+1）次方等注意。

扩展：

本节课的“泰勒公式（及其扩展公式）”可以做什么 1 对0

型的函数式，可以用泰勒公式求极限，还可以用来确定无穷小的阶。 ①设

0)()(lim lim ==→→x g x f a

x a

x ，并有泰勒公式：

))(()()(n n a x o a x A x f -+-=，其中a x →，A 为非零常数 ))(()()(m m a x o a x B x g -+-=，其中a x →，B 为非零常数

???

?

???<∞>==→m

n m n m n B A

x g x f a x ,,0,)()(lim

，显然这个得零是因为f 比g 更快趋近于0而已 求极限的情况一般都是两个无关的函数相减。如cosx-ln(1+x)啊，cosx-e^x 啊，很多式子还伴随的是除法形式，因为这样能将多余的无穷小系数给约为0.举例中的x 是bx ，x^t 的变形式。 ②若求得泰勒公式))(()()(n

n

a x o a x A x f -+-=，则x →a 时，f(x)是x-a 的n 阶无穷小 2由泰勒公式求)(0)

(x f

n

其实就是将)(x f 用泰勒公式展开后得到第n 阶的通项公式，显然为!

)(!0)(n x x f n x A n

n n n =,因此)(0)

(x f

n 显然值为n A 导出即可。注意的是，有时候并不能得出)(0)(x f n 。而是其他形式，

如展开式n 阶通项为!!)1(2n x A n x n n n n =-，显然结果是!

)1()!2()0()

2(n n f n n -=。得出的结果奇形怪状的都有，有些n 是从3,开始的，这时候就还得考虑()''(),'f f 等。因此也要注意考虑n 。

3由)(x f 含佩亚诺余项的泰勒公式可以得到)()(m x f bx f ，的含佩亚诺余项的泰勒公式，其中b 为常数，m 为自然数，只需令m x t bx t ==,即可。 显然在佩亚诺余项上)()(m x f bx f ，可以随意换项。

4在求)()(x g x f 的三阶麦克劳林式时，显然分别展开3阶的结果为

)()(x g x f =(0A +x A 1+22x A +33x A +O[X3])*(0B +x B 1+22x B +33x B +O[X3])

的式子即可

将其乘开时为取三阶麦克劳林式，只需加阶数3

本节在泰勒公式的变形灵活运用上掌握的不好。本节涉及大量运算，但大部分都是前面给出的五个基本公式的变形。因此一定要熟练背诵使用

寻找拐点还是划分单调区间的点，都是找f’’(x)或者f’(x)等于0，或者不存在的点。定义要求是在（开区间）可导，闭区间连续，但是得到的范围就按连续的区间来，即[闭区间]

1根据定义，求极值总结的三种方法： ①基本定义)()(0x f x f > ②)('0x f 两端异号 ③0)('',0)('00≠=x f x f

若0)(''0=x f 则)(x f 在x0处可能是最大最小值也可能没有极值。说不准。 2可导函数求极值（或最值）的步骤： ①求出导数)('x f

②求出)('x f =0的驻点和不可导点。（如果是求最值还要求定义域端点）

③得出点后求极值要判断驻点不可导点两端导数是否异号。异号的话则该点为极值点。 （求最值还可以不看导数两旁异号，直接带进去求出所有值就比较出最大最小值了） 3若在（任意的一个）定义区间内只有一个驻点是极值点，那么它也一定是最值点。

本节计算实在不过关。对函数的大量运算掌握不精通。

来源：显然，

20

2lim y x ds x ?+?=→?

来源：...)tan '(''=?==

dx

d dx y d y αα，而弧微分中已经求出...=ds ，故==αd ds

K 。

。。就导出来了。这样计算曲率带入公式就很方便了

推导参数方程曲率的时候，注意3

''

'''''''?ψ?ψ?+=y (分母是三次方）另外，注意结果是

绝对值，我在运算时经常忘记变正，带着负号算，特别费力。 求解参数方程的曲率时运算量特别大，一定要一步一步及其谨慎。

普通表达式

参数方程表达式 x=ψ(t) y=Ψ(t)