不等式证明100题

证一：
若x∈N*,p≥2,0≤x≤1.证明：2^(1-p)≤x^p+(1-x)^p≤1
由对称性不妨设0.5≤x≤1
令f(x)=x^p+(1-x)^p，f'(x)＝px^(p-1)-p(1-x)^(p-1)≥0，即f(x)递增
有f(x)≤f(1)＝1^p+0^p＝1，右边得证
由均值不等式
x^p+(1-x)^p≥2（{(x^p)^(1/p)+[(1-x)^p]^(1/p)}/2）^p＝2^(1-p)
左边得证

证二：
由詹生不等式
[x^p+(1-x)^p]^(1/p)≤[x+(1-x)]＝1 ，即x^p+(1-x)^p≤1右边得证
又由詹生不等式
x^p+(1-x)^p≥[x^(+∞)+(1-x)^(+∞)]^(1/+∞)＝


一根轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为m0的平盘，盘中有一物体，质量为m 。当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了L 。今向下拉盘使弹簧再伸长ΔL后停止，然后松手放开。设弹簧总处在弹性限度以内，则刚松开手时盘对物体的支持力等于多少？

由已知 (m0+m)g＝kL
用力f下拉，弹簧又拉长ΔL，所以f＝kΔL
故f=ΔL/L(m0+m)g
由力的平衡，有f+(m0+m)g＝F
松手后合力为F-(m0+m)g＝f＝ΔL/L(m0+m)g
故松手后盘对物体支持力
N＝[f/(m0+m)]m+mg＝ΔL/Lmg+mg＝(ΔL/L+1)mg





若正数a、b、c满足a+b+c＝1,求证：
(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)≥1000/27.
证：
令f(x)＝x+1/x，由凸分析f(x)为对数凸函数，故
(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)
=f(a)f(b)f(c)≥[f(a/3+b/3+c/3)]^3＝[f(1)]^3＝[1+1/3]^3＝1000/27得证

构造下凸函数f(x)＝㏑(x+1/x),
则依Jensen不等式得
f(a)+f(b)+f(c)≥3f((a+b+c)/3)
∴㏑(a+1/a)+㏑(b+1/b)+㏑(c+1/c)
≥3㏑[(a+b+c)/3+3/(a+b+c)]
＝3㏑(10/3)
＝㏑(10/3)^3
即㏑[(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)]≥㏑(1000/27)
∴(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)≥1000/27。



设0＜a≤b≤c，则1/a≥1/b≥1/c
由排序不等式
(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)≥(a+1/b)(b+1/a)(c+1/c)
(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)≥(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a)
(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)≥(a+1/c)(b+1/a)(c+1/b)
(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)≥(a+1/c)(b+1/b)(c+1/a)
四式相乘有
(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)≥[(a+1/b)(a+1/c)(b+1/a)(b+1/c)(c+1/c)(c+1/a)]^(1/2)








设三角形三边成等差数列，且a^2+b^2+c^2＝21.求b的取值范围。
令d为三边中项，r为公差,(d-r)+d>d+r得r21＝a^2+b^2+c^2=(d-r)^2+d^2+(d+r)^2＜(d/2)^2+d^2+(3/2d)^2=7/2d^2，得 √6＜d
21＝a^2+b^2+c^2≥(a+b+c)^2/3＝(3d)^2/3，得 d≤√7
即三边中项的范围为(√6,√7]
所以最小边d-r＞d-d/2＝d/2＞√6/2，即最小边范围(√6/2,√7]
最大边d+r＜d+d/2＝3/2d＜3√7/2，即最大边范围[√7,3√7/2)
即边长范围(√6/2,3√7/2)


已知a、b、c∈R+,且a+b+c＝1.
求证：(3a+7)^(1/3)+(3b+7)^(1/3)+(3c+1)^(1/3)≤6。
由均值不等式
(3a+7)^(1/3)+(3b+7)^(1/3)+(3c+1)^(1/3)
≤ 3[(3a+7+3b+7+3c+7)/3]^(1/3)
＝ 3·8^(1/3)
＝ 6 得证

在正实数a、b、c满足：abc＝1.求证：a^2+b^2+c^2+3≥2/a+2/b+2/c

不妨设a最小

a^2+b^2+c^2+3-2(1/a+1/b+1/c)
=a^2+(b+c)^2-2bc+3-2(1/a+ac+ab)
=(b+c-a)^2-2bc+3-2/a
=(b+c-a)^2+3-4/a
≥(2√(bc)-a)^2+3-4/a
=(2sqrt1/a-a)^2+3-4/a
=a^2+3-4sqrta

=(a^2+1+1+1)-4sqrta
≥4sqrta-4sqrta
=0

这个不就是熟知的不等式么：a^2+b^2+c^2+2abc+1>=2(ab+bc+ca)
由对称性不妨设(1-a)(1-b)>=0，
左边-右边=(a-b)^2+(c-1)^2+2c(1-a)(1-b)>=0




由1=abc≤[(ab+bc+ca)/3]^(3/2)，即

2/a+2/b+2/c
=(2/a+2/b+2/c)1
=(2/a+2/b+2/c)abc
=2bc+2ca+2ab
=(bc+ca+ab)+(bc+ca+ab)
≤(a^2+b^2+c^2)+(bc+ca+ab)



已知a、b、c>0,且a+b+c＝1.
求证：(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c).

(1+a)(1+b)(1+c)
＝ (2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)
＝ [(a+b)+(a+c)][(b+a)+(b+c)][(c+a)+(c+b)]...由均值不等式
≥ 2[(a+b)(a+c)]^(1/2)·2[(b+a)(b+c)]^(1/2)·2[(c+a)(c+b)]^(1/2)
＝ 8(b+c)(a+c)(a+b)
＝ 8(1-a)(1-b)(1-c)　得证


a+b+c＝1→1+a＝(1-b)+(1-c),
∴1+a≥2√[(1-b)(1-c)].
同理可得，
1+b≥2√[(1-c)(1-a)]，
1+c≥2√[(1-a)(1-b)].
三式相乘，得
(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c)。

求证：(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3＝3(x-y)(y-z)(z-x)。
设x-y=p,y-z=q,z-x=r, 有p+q+r=0
(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3
＝p^3+q^3+r^3
＝(p+q+r)(p^2+q^2+r^2-pq-qr-rp)+3pqr
＝3pqr
＝3(x-y)(y-z)(z-x) 得证


若a、b、c、d∈R+,求证：
a/(b+2c+3d)+b/(c+2d+3a)+c/(d+2a+3b)+d/(a+2b+3c)≥2/3.













已知a>b>c,a+b+c＝1,a^2+b^2+c^2＝3,
求证：-2/3
证明：
a+b+c＝1 ==> b+c＝1-a
3＝a^2+b^2+c^2＝(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)＝1-2[bc+a(1-a)] ==> bc＝a^2-a-1
即b、c为方程x^2-(1-a)x+(a^2-a-1)＝0两实根
a>b>c ==> △＝-3a^2+2a+5>0..(1)，且[(1-a)+√△]/2由(1)得-11，取交集得1即-2/3b>c ==> 4bc<(b+c)^2 ==> 4(a^2-a-1)<(1-a)^2 ==> -1

令b+c=t
则1-t=a
∴b^2+c^2=3-a^2=3-(1-t)^2
又b^2+c^2=(b+c)^2-2bc=t^2-2bc
∴t^2-2bc=3-(1-t)^2=2t-t^2+2
∴2t^2-2t-2=2bc＜2*(b+c/2)^2
t^2-t-1＜(t/2)^2
解方程得
-2/3＜t＜2
-2/3＜b+c＜2


1＝(a+b+c)^2→bc＝a^2-a-1.
∴a^2-a-1≤(b^2+c^2)/2＝(3-a^2)/2,
解得，-1又(a-c)(a-b)>0→a^2-a(b+c)+bc>0
∴3a^2-2a-1>0
→a<-1/3或a>1,而a>0,
即1∴-2/3









设xtan(θ-β)＝ytan(θ+β),(x-y)cos2θ+(x+y)cos2β＝z.
求证：2z(x+y)cos2β＝z^2+4xy.


若a>0,且a^2-2ab+c^2＝0,bc>a^2,试确定a、b、c的大小关系。
a>0，bc>a^2 ==> b≠0，c≠0
a^2-2ab+c^2＝0 ==> (a-b)^2+c^2＝b^2 ==> b^2>(a-b)^2 ==> b>0
bc>a^2 ==> c>0
(a-b)^2+c^2＝b^2 ==> b^2>c^2 ==> b>c
b^2>bc>a^2 ==> b>a
a^2-2ab+c^2＝0 ==> c^2＝2ab-a^2>2a^2-a^2=a^2 ==> c>a
即b>c>a


a^2-2ab+c^2＝0
→b＝(a^2+c^2)/2a>2ac/2a＝c,故b>c.
∴0＝a^2-2ab+c^2∴c>2ab/(b+c)>2ab/b＝a,故c>a.
综上所述，知：b>c>a。




故b^2>bc>a^2 ==> b>a

又bc>a^2 ==> c>0

已知tanA+tanB+tanC＝0.
求证：(tanA)^3+(tanB)^3+(tanC)^3＝3tanAtanBtanC。

证明：
(tanA)^3+(tanB)^3+(tanC)^3
＝ (tanA+tanB+tanC)^3-[3tanA(tanB+tanC)+3tanB(tanC+tanA)+3tanC(tanA+tanB)+6tanAtanBtanC]
＝ -[3tanA(tanB+tanC)+3tanB(tanC+tanA)+3tanC(tanA+tanB)+6tanAtanBtanC]

为方便表达，设x＝tanA,y＝tanB,z＝tanC.
∵x+y+z＝0,
∴(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)＝0
→x^3+y^3+z^3-3xyz＝0
∴(tanA)^3+(tanB)^2+(tanC)^3＝3tanAtanBtanC.


已知△ABC三边满足a+b+c＝1.
求证：5(a^2+b^2+c^2)+18abc≥7/3.
证明：
5(a^2+b^2+c^2)+18abc
＝ 5[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)]+18abc
＝ 5+18[abc-5/9(ab+bc+ca)]
＝ 5+18[(a-5/9)(b-5/9)(c-5/9)-(5/9)^2+(5/9)^3]
＝ 205/81-18(5/9-a)(5/9-b)(5/9-c)
a、b、c为三边 ==> a a<1/2 ==> 5/9-a>0
同理5/9-b>0 ，5/9-c>0
[左边]≥205/81-18[(5/9-a+5/9-b+5/9-c)/3]^3
＝ 205/81-18[(5/3-a-b-c)/3]^3
＝ 205/81-18[(5/3-1)/3]^3
＝ 7/3 得证





由a+b+c=1
a^2+b^2+c^2=1-2(ab+bc+ca)

从而5(a^2+b^2+c^2)+18abc=5-10(ab+bc+ca)+18abc

问题转化为：求5-10(ab+bc+ca)+18abc的最小值。



这提示构造母函数，因为上式提示是-(ab+bc+ca)和abc是(x-a)(x-b)(x-c)展开式的系数

因此构造：f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=x^3-x^2+(ab+bc+ca)x-abc

由于5-10(ab+bc+ca)+18abc=5-18[(5/9)(ab+bc+ca)-abc]

而(5/9)(ab+bc+ca)-abc是f(5/9)-(5/9)^3+(5/9)^2

所以：

5(a^2+b^2+c^2)+18abc

=5-10(ab+bc+ca)+18abc

=5-18[(5/9)(ab+bc+ca)-abc]

=5-18[f(5/9)-(5/9)^3+(5/9)^2]

=205/81-18f(5/9)

问题转化为求f(5/9)的最大值，因为前面有个-号的缘故。



f(5/9)=(5/9-a)(5/9-b)(5/9-c)

因为a+b+c=1且是三角形三边边长，所以1>a>0,1>b>0,1>c>0

所以若某一边大于，比如a>5/9，令两边一定均小于5/9，因此f(5/9)可以改为f(5/9)=(5/9-a)(b-5/9)(c-5/9)

要么三边均小于5/9，因此有

f(5/9)=(5/9-a)(5/9-b)(5/9-c)≤[(5/9-a)^3+(5/9-b)^3+(5/9-c)^3]/3

当且仅当5/9-a=5/9-b=5/9-c，即a=b=c=1/3时取等号，即[(5/9-a)^3+(5/9-b)^3+(5/9-c)^3]/3=(2/9)^3=8/(27)^2

故而：

5(a^2+b^2+c^2)+18abc

=205/81-18f(5/9)

≥205/81-18*8/(27)^2

=7/3

即最小值为7/3

或者在得到a=b=c=1/3时取小值时，直接带入5(a^2+b^2+c^2)+18abc得

最小值为7/3



















5(a^2+b^2+c^2)+18abc
＝5(a^2+b^2+c^2)+18abc-13(a^2+b^2+c^2)
＝9[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]-13(a^2+b^2+c^2)


a、b、为三角形三边，且a+b+c＝1,
将原不等式齐次化，得
5(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+18abc≥7/3·(a+b+c)^3,
整理，得知原不等式等价于：
(2a+2b-c)(a-b)^2+(2b+2c-a)(b-c)^2+(2c+2a-b)(c-a)^2≥0.
此式显然成立，故原不等式成立。

求证tanα+2tan2α+4tan4α+……+2^ntan2^nα=cotα-2^(n+1)cot2^（n+1）α

cot2^nα-tan2^nα=cos2^nα/sin2^nα-sin2^nα/cos2^nα= [(cos2^nα)^2-( sin2^nα)^2]/[sin2^nαcos2^nα]= cos2^(n+1)α/[1/2 sin2^(n+1)α]=2 cos2^(n+1)α/sin2^(n+1)α=2 cot2^(n+1)α
即cot2^nα-tan2^nα=2 cot2^(n+1)α
tan2^nα= cot2^nα-2 cot2^(n+1)α
2^ntan(2^nα)= 2^n cot2^nα- 2^(n+1)cot2^(n+1)α
令n=0,1,2,3……得：tanα= cotα-2 cot2α,2tan2α=2 cot2α-2^2 cot2^2α,2^2tan(2^2α)= 2^2 cot2^2α-2^3 cot2^3α,……………………2^ntan(2^nα)= = 2^n cot2^nα- 2^(

n+1)cot2^(n+1)α，以上各式相加得：tanα+2tan2α+2^2tan(2^2α)+……+2^ntan(2^nα)=cotα-2^(n+1)cot2^(n+1)α.


已知a、b、c∈R+,且ab+bc+ca+2abc＝1.求证：a+b+c>3/2.
证明：
由基本不等式ab+bc+ca≤(a+b+c)^2/3，abc≤(a+b+c)^2/9
得1＝ab+bc+ca+2abc≤(a+b+c)^2/3+(a+b+c)^2/9＝4/9(a+b+c)^2
即有1≤2/3(a+b+c)，即a+b+c≥3/2 得证


若a、b、c、d∈R+,求证：
a/(b+2c+3d)+b/(c+2d+3a)+c/(d+2a+3b)+d/(a+2b+3c)≥2/3.

证一：
由权方和不等式
a/(b+2c+3d)+b/(c+2d+3a)+c/(d+2a+3b)+d/(a+2b+3c)
＝ a^2/[a(b+2c+3d)]+b^2/[b(c+2d+3a)]+c^2/[c(d+2a+3b)]+d^2/[d(a+2b+3c)]
≥ (a+b+c+d)^2/[a(b+2c+3d)+b(c+2d+3a)+c(d+2a+3b)+d(a+2b+3c)]
＝ (a+b+c+d)^2/[4(ab+bc+cd+da+ca+bd)]
又由基本不等式(a+b+c+d)^2≥8/3(ab+bc+cd+da+ca+bd)
[左边]≥8/3(ab+bc+cd+da+ca+bd)/[4(ab+bc+cd+da+ca+bd)]＝2/3

证二：
由均值不等式
a/(b+2c+3d)+b/(c+2d+3a)+c/(d+2a+3b)+d/(a+2b+3c)
≥ 4/[(b+2c+3d)/a+(c+2d+3a)/b+(d+2a+3b)/c+(a+2b+3c)/d]
＝ 4/[(b/a+c/b+d/c+a/d)+2(c/a+d/b+a/c+b/d)+3(d/a+a/b+b/c+c/d)]
≥ 4/[4(b/a·c/b·d/c·a/d)^1/4+2·4(c/a·d/b·a/c·b/d)^1/4+3·4(d/a·a/b·b/c·c/d)^1/4]
＝ 4/[(b/a+c/b+d/c+a/d)+2(c/a+d/b+a/c+b/d)+3(d/a+a/b+b/c+c/d)]

依Cauchy不等式得
a/(b+2c+3d)+b/(c+2d+3a)+c/(d+2a+3b)+d/(a+2b+3c)
＝(a+b+c+d)^2/[a(b+2c+3d)+b(c+2d+3a)+c(d+2a+3b)+d(a+2b+3c)]
＝(a+b+c+d)^2/[4(ab+bc+cd+da+ca+bd)].
要使原不等式成立，则需
(a+b+c+d)^2/[4(ab+bc+cd+da+ca+bd)]≥2/3.
事实上，
(a-b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2≥0
→3(a+b+c+d)^2≥8(ab+bc+cd+da+ca+bd)
→(a+b+c+d)^2/[4(ab+bc+cd+da+ca+bd)]≥2/3.
故原不等式成立。












涡流相当于纯电感XL串联了一个纯电阻R，此时有阻抗R+jXL（j为虚数单位）
对于输入电压u，能输出电流i＝u/(R+jXL)
对于输入电流i，能输出电压u＝(R+jXL)i

若a、b、c∈R,n∈N,求证：a^(2n+2)/bc+b^(2n+2)/ca+c^(2n+2)/ab≥a^(2n)+b^(2n)+c^(2n)。

a^(2n+2)/(bc)+b^(2n+2)/(ca)+c^(2n+2)/(ab)
＝ [a^(2n+1)·a·a+b^(2n+1)·b·b+c^(2n+3)·c·c]/(3abc)....由三个组的排序不等式
≥ [a^(2n+1)·bc+b^(2n+1)·ca+c^(2n+3)·ab]/(3abc)
＝ a^(2n)+b^(2n)+c^(2n) 得证

由柯西不等式
a^(2n+2)/(bc)+b^(2n+2)/(ca)+c^(2n+2)/(ab)
≥ [a^(n+3/2)+b^(n+3/2)+c^(n+3/2)]^2/(abc+abc+abc)
＝ [a^(n+3/2)+b^(n+3/2)+c^(n+3/2)]^2/(3abc)
＝ [a^(2n+3)+b^(2n+3)+c^(2n+3)+2a^(n+3/2)b^(n+3/2)+2b^(n+3/2)c^(n+3/2)+2c^(n+3/2)a^(n+3/2)]/(3abc)
由排序不等式a^(2n+3)+b^(2n+3)+c^(2n+3)≥ a^(n+3/2)b^(n+3/2)+b^(n+3/2)c^(n+3/2)+c^(n+3/2)a^(n+3/2)
所以
[左边]
≥ [3a^(n+3/2)b^(n+3/2)+3b^(n+3/2)c^(n+3/2)+3c^(n+3/2)a^(n+3/2)]/(3abc)
＝ [a^(n+3/2)b^(n+3/2)+b^(n+3/2)c^(n+3/2)+c^(n+3/2)a^(n+3/2)]/(abc)
≥


设a≥b≥c,则
a^(2n+2)≥b^(2n+2)≥c^(2n+2),
1/c≥1/b≥1/a,1/bc≥1/ca≥1/ab.
于是，依排序不等式得
a^(2n+2)·1/bc+b^(2n+2)·1/ca+c^(2n+2)·1/ab
≥a^(2n+2)·1/ca+b^(2n+2)·1/ab+c^(2n+2)·1/bc
＝a^(2n+1)·1/c+b^(2n+1)·1/a+c^(2n+1)·1/b
≥a^(2

n+1)·1/a+b^(2n+1)·1/b+c^(2n+1)·1/c
＝a^(2n)+b^(2n)+c^(2n).
故原不等式得证。


△ABC和△A'B'C中，AD、A'D'分别为边BC边与边B'C'边的中线，AB＝A'B'，AC＝A'C'，AD＝A'D'。求证：△ABC≌△A'B'C'。

证明：
△ABC中延长AD到E，使AD＝DE
∠ADB＝∠EDC，又AD为BC中线即BD＝DC，故△ADB≌△EDC
有∠BAD＝∠DEC，EC＝AB，故△AEC三边AE＝2AD,AC＝AC,EC＝AB

同理△A'B'C中延长A'D'到E'，使A'D'＝D'E'，有△A'D'B'≌△E'D'C'
有∠B'A'D'＝∠D'E'C'，E'C'＝A'B'，△A'E'C'中A'E'＝2A'D',A'C'＝A'C',E'C'＝A'B'

∵AB＝A'B'，AC＝A'C'，AD＝A'D'
∴△AEC≌△A'E'C'（边边边）
有∠DEC＝∠D'E'C'，∠DAC＝∠D'A'C'
故∠A＝∠BAD+∠DAC＝∠DEC+∠DAC＝∠D'E'C'+∠D'A'C'＝∠B'A'D'+∠D'A'C'＝∠A'
又AB＝A'B'，AC＝A'C'，故△ABC≌△A'B'C'（边角边）











AD＝BC＝5,E为BC中点,AD⊥BC于D，FB⊥AC于F，AD交BE于O，求OD+OE＝?,


不妨设D在中点E左边，令BD＝t，0≤t≤5/2，则DC＝5-t，DE＝5/2-t
AD⊥BC，FB⊥AC ==> ∠DBO＝90-∠C＝∠DAC,∠BDO＝∠ADC ==> △BDO～△ADC
==> BD/AD＝DO/DC ==> t/5＝DO/(5-t) ==> DO＝(5-t)t/5
又AD⊥BC，故OE＝√(DO^2+DE^2)＝√{[(5-t)t/5]^2+(5/2-t)^2}＝t^2/5-t+5/2
所以OD+OE＝(5-t)t/5+t^2/5-t+5/2＝5/2

OE^2=OD^2+DE^2
=[x*(10-x)/10]^2+(5-x)^2
={[x*(10-x)]^2+100*(5-x)^2}/100
令x*(10-x)=a
则，100*(5-x)^2=100*(25-10x+x^2)=100*[25-x*(10-x)]
=100*(25-a)
所以，OE^2=[a^2+100*(25-a)]/100
=(a^2-100a+2500)/100
=(a-50)^2/100




在⊿ABC中，AB=BC。以AB为直径作圆⊙O交AC于点D，点E为⊙O上一点，E与D在AB异侧，连接ED并延长与BC的延长线交于点F.连接AE、BE，
∠BAE=60°，∠F=15°，解答下列问题.
（1）求证：直线FB是⊙O的切线；
（2）若EF=根号3 cm，求AC的长

以下纯用初中知识相似与全等解题，不用高中的知识如三角函数
(1)
AB为⊙O直径，∠BAE=60°==> ∠AEB=90°，∠ABE=30°
∠ACB=∠DFC+∠CDF=15°+∠ADE=15°+∠ABE=15°+30°=45°
又△ABC为等腰三角形AB=BC，所以∠CAB=∠ACB=45°
故∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=90°，即AB⊥BC
AB为⊙O直径，所以FB与⊙O相切
(2)
AB为⊙O直径，故 BD⊥AC，
又△ABC为等腰三角形AB=BC，所以AD=DC，∠ABD=45°
过C作CG//AE交FE于G，知△GCD≌△EAD，GD=DE
所以∠FCG=∠DGC-∠CFG=∠AED-15°=∠ABD-15°=45°-15°=30°
而∠GDC=∠ADE=∠ABE=30°，∠GDC=∠FCG，所以△FGC～△FCD
相似比为GC/CD=AE/AD=(AB/2)/(AB/√2)=1/√2
所以FG=FC/√2=(FD/√2)/√2=FD/2，即有FG=GD=DE=FC/√2
由题已知FE=√3，得FG=GD=DE=1/√3，FC=√2/√3
又FB与⊙O相切于B，所以FB^2=FD·FE=2/√3·√3=2，有FB=√2
所以BC=FB-FC=√2-√2/√3
在△ABC中有AC=√2BC=√2(√2-√2/√3)=2-2√3/3



















过E作EG//AB交AD于G，则AG＝BE，GE＝AB＝AD（1），∠EGH＝∠BAH＝90°
在AD延长线上作一

点H使AH＝AE，连接HE交AF于点I
又∵AF平分∠EAD，即∠EAF＝∠HEAF，AF＝AF，∴△EAF≌△HEAF
同理△EAI≌△HEAI 有 ∠EAI＝∠HAI，∠EAI+∠HAI＝180°所以∠EAI＝∠HEAI＝90°
所以 ∠GHB＝90°-∠HAI＝∠AFD
所以Rt△EGH≌Rt△ADF，有DF＝GH
所以DF+BE＝GH+AG＝AH＝BE
得证



将锡纸弄碎，放入锅里渚沸，再把锡纸碎块反复擦试锅体里的锈迹。原理：Al+H2O ＝ H3AlO3











岁华摇落物萧然，一种清风绝可怜。
琼花人踟蹰，几缕幽丝断成殇。

线性变换存在一一映射的情况，也存在多对一的情况

设域F上的两个线性空间V和V'有映射L：V→V'，满足
(1)L(α+β)＝L(α)+L(β)，α、β∈V
(2)L(aα)＝aL(α)，a∈F,α∈V
则称映射L为线性变换或线性映射，若V＝V'，则称空间V到自身的线性变换（V上的线性变换）。
将线性空间V的任一矢量α都变为线性空间V'的零矢量的变换，称为零变换记作O。即对任意α∈V，有O(α)＝0' (0'为V空间的零矢量）。
将线性空间V的任一矢量α都变为自身的变换称恒等变换，称为零变换记作I，即对任意α∈V，有I(α)＝α 。

可见零变换不是一一映射，而是多对一，而恒等变换是一种一一映射，即线性变换存在一一映射的情况，也存在多对一的情况。

实际上若V上的线性变换L可以用一个矩阵A表示为X'＝AX，当A的秩为满秩即A的行列式|A|≠0时，线性变换L为一一映射，当|A|＝0时线性变换L为多对一的线性变换（退化的线性变换），如零变换。


1/(1-x^2)+1/(1-y^2)
＝(1+x^2+x^4+···)+(1+y^2+y^4+···)
＝2+(x^2+y^2)+(x^4+y^4)+(x^6+y^6)+···
≥2(1+xy+(xy)^2+(xy)^3+···)
＝2/(1-xy),






证明：对于所有正实数a、b、c,有满
a/√(a^2+bc)+b/√(b^2+ca)+c/√(c^2+ab)≥1.

设x＝a/(a+b+c),y＝b/(a+b+c),z＝c/(a+b+c).
则原式为xf(x^2+8yz)+yf(y^2+8zx)+zf(z^2+8xy)≥1.
其中f(t)＝1/√t.依f的凸性及x+y+z＝1,得
xf(x^2+8yz)+yf(y^2+8zx)+zf(z^2+8xy)
≥f[x(x^2+8yz)+y(y^2+8zx)+z(z^2+8xy)].
因为f(t)＝1/√t单调递减，f(1)＝1,即只需证明
1≥x(x^2+8yz)+y(y^2+8zx)+z(z^2+xy).
事实上，
(x+y+z)^3-x(x^2+8yz)-y(y^2+8zx)-z(z^2+8xy)
＝3[x(y-z)^2+y(z-x)^2+z(x-y)^2]
≥0，
故综上知，原不等式成立。



另证：依均值不等式得
a/√b+√b≥2√a,
b/√c+√c≥2√b,
c/√a+√a≥2√c.
三式相加，即得所证式。






在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c;S为其面积.
求证：cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)＝(a+b+c)^2/(4S).

依余弦定理和面积公式得
cot(A/2)＝(1+cosA)/sinA
＝[1-(b^2+c^2-a^2)/2bc]/sinA
＝[(b+c)^2-a^2]/(2bcsinA)
＝(b+c+a)(b+c-a)/4S.
同理可得
cot(B/2)＝(c+a+b)(c+a-b)/4S,
cot(C/2)＝(a+b+c)(a+b-c)/4S.
∴cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)＝(a+b+c)^2/4S。



设p、q、r分别为△ABC三边a、b、c上的高，
证

明：(q^2+r^2)/a^2+(r^2+p^2)/b^2+(p^2+q^2)/c^2≤9/2.


S＝1/2·absinC＝1/2·ap,
∴p/b＝sinC→p^2/b^2＝(sinC)^2.
同理可得,r^2/b^2＝(sinB)^2.
∴(p^2+r^2)/b^2＝(sinA)^2+(sinC)^2.
同理得，
(q^2+r^2)/a^2＝(sinB)^2+(sinC)^2,
(p^2+q^2)/c^2＝(sinA)^2+(sinB)^2.
故原式等价于
2[(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2]≤9/2
→(1-cos2A)+(1-cos2B)+(1-cos2C)≤9/2
→cos2A+cos2B+cos2C≥-3/2.
事实上，
cos2A+cos2B+cos2C
＝2cos(A+B)cos(A-B)+(cosC)^2-1
≥2(cosC)^2-2|cosC|-1
＝2(|cosC|-1/2)^2-3/2
≥-3/2,





在△ABC中，p、q、r分别为其顶点A、B、C所对旁切圆的半径.
证明：a^2/p(q+r)+b^2/q(r+p)+c^2/r(p+q)＝2。

设S为三角形面积，由平面几何可知旁切圆半径
p＝2S/(b+c-a)，q＝2S/(a+c-b), r＝2S/(a+b-c)
a^2/[p(q+r)]
＝ a^2/（2S/(b+c-a)[2S/(a+c-b)+2S/(a+b-c)]）
＝ a^2(b+c-a)/（4S^2[1/(a+c-b)+1/(a+b-c)]）
＝ a^2(b+c-a)/（8S^2a/[(a+c-b)(a+b-c)]）
＝ a(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)/(8S^2)
同理
b^2/[q(r+p)] ＝ b(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)/(8S^2)
c^2/[r(p+q)] ＝ c(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)/(8S^2)
所以
a^2/[p(q+r)]+b^2/[q(r+p)]+c^2/[r(p+q)]
＝ a(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)/(8S^2)+b(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)/(8S^2)+c(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)/(8S^2)
＝ (a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)/(8S^2)...由海伦公式
＝ 2 得证



在锐角△ABC中，外接圆半径R＝1,A、B、C的对边分别为a、b、c.
求证：a/(1-sinA)+b/(1-sinB)+c/(1-sinC)≥18+12√3

证法一：

R＝1，由正弦定理
a/(1-sinA)+b/(1-sinB)+c/(1-sinC)
＝ 2RsinA/(1-sinA)+2RsinB/(1-sinB)+2RsinC/(1-sinC)
＝ 2[sinA/(1-sinA)+sinB/(1-sinB)+sinC/(1-sinC)]
＝ 2{[1-(1-sinA)]/(1-sinA)+[1-(1-sinB)]/(1-sinB)+[1-(1-sinC)]/(1-sinC)}
＝ 2[1/(1-sinA)+1/(1-sinB)+1/(1-sinC)]-6
令f(x)＝1/(1-sinx)
有f"(x)＝(1+cos^2x-sinx)/(1-sinx)^3＝[9/4-(sinx+1/2)^2]/(1-sinx)^3＞0，则f(x)为凸函数，故
a/(1-sinA)+b/(1-sinB)+c/(-sinC)
＝ 2[1/(1-sinA)+1/(1-sinB)+1/(1-sinC)]-6
＝ 2[f(A)+f(B)+f(C)]-6
≥ 2·3{f[(A+B+C)/3]}-6
＝ 6f(π/3)-6
＝ 6/[1-sin(π/3)]-6
＝ 6/[1-√3/2]-6
＝ 18+12√3 得证

∵tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC→tanAtanBtanC≥3√3,
且cosAcosBcosC≤1/8,a＝2RsinA＝2sinA,
∴a/(1-sinA)+b/(1-sinB)+c/(1-sinC)
＝2sinA/(1-sinA)+2sinB(1-sinB)+sinC/(1-sinC)
＝[(2tanA/cosA)+2(tanA)^2]+[(2tanB/cosB)+2(tanB)^2]+[(2(tanC/cosC+(tanC)^2]
＝2[(tanA)^2+(tanB)^2+(tanC)^2]+2[(tanA/cosA)+(tanB/cosB)+(tanC/cosC)]
≥6(tanAtanBtanC)^(2/3)+6[(tanA/cosA)·(tanB/cosB)·(tanC/cosC)]^(1/3)
＝6(3√3)^(2/3)+6[(3√3)/(1/8)]^(1/3)
＝18+12√3。
故原不等式得证。



R＝1，由正弦定理
a/(1-sinA)+b/(1-sinB)+c/(-sinC)
＝ 2RsinA/(1-sinA)+2RsinB/(1-sinB)+2RsinC/(-sinC)
＝ 2[sinA/(1-sinA)+sinB/(1-sinB)+sinC/(1-sinC)]
＝ 2{[1-(1-sinA)]/(1-sinA)+[1-(1-sinB)]/(1-sinB)+[1-(1-sinC)]/(1-sinC)}
＝ 2[1/(1-sinA)+1/(1-sinB)+1/(1-sinC)]-6
＝ 2{1/[1+cos(A+π/2)]+1/[1+cos(B+π/2)]+1/[1+cos(C+π/2)]}-6
＝ 2{1/[2cos^2(A/2+π/4)]+1/[2cos^2(B/2+π/4)]+1/[2cos^2(C/2+π/4)]}-6
＝ 1/[cos^2

(A/2+π/4)]+1/[cos^2(B/2+π/4)]+1/[cos^2(C/2+π/4)]-6...①

令f(x)＝1/[cos^2(x/2+π/4)]
有f"(x)＝[1+2sin^2(x/2+π/4)]/[2cos^4(x/2+π/4)]＞0，则f(x)为凸函数，有
1/[cos^2(A/2+π/4)]+1/[cos^2(B/2+π/4)]+1/[cos^2(C/2+π/4)]
＝ f(A)+f(B)+f(C)
≥ 3{f[(A+B+C)/3]}
＝ 3f(π/3)
＝ 3/[cos^2(5π/12)]
＝ 6/[1+cos(5π/6)]
＝ 6/[1-√3/2]
＝ 24+12√3
由①有
a/(1-sinA)+b/(1-sinB)+c/(-sinC)
≥ 24+12√3-6
＝ 18+12√3

得证













R＝1，由正弦定理
a/(1-sinA)+b/(1-sinB)+c/(-sinC)
＝ 2RsinA/(1-sinA)+2RsinB/(1-sinB)+2RsinC/(-sinC)
＝ 2[sinA/(1-sinA)+sinB/(1-sinB)+sinC/(1-sinC)]
＝ 2{[1-(1-sinA)]/(1-sinA)+[1-(1-sinB)]/(1-sinB)+[1-(1-sinC)]/(1-sinC)}
＝ 2[1/(1-sinA)+1/(1-sinB)+1/(1-sinC)]-6
＝ 2{1/[1+cos(A+π/2)]+1/[1+cos(B+π/2)]+1/[1+cos(C+π/2)]}-6
＝ 2{1/[2cos^2(A/2+π/4)]+1/[2cos^2(B/2+π/4)]+1/[2cos^2(C/2+π/4)]}-6
＝ 1/[cos^2(A/2+π/4)]+1/[cos^2(B/2+π/4)]+1/[cos^2(C/2+π/4)]-6
≥ (1/3){1/[cos(A/2+π/4)]+1/[cos(B/2+π/4)]+1/[cos(C/2+π/4)]}^2-6...①
令f(x)＝1/[cos^2(x/2+π/4)]
有f"(x)＝[1+2sin^2(x/2+π/4)]/[2cos^4(x/2+π/4)]＞0，则f(x)为凸函数，故
1/[cos(A/2+π/4)]+1/[cos(B/2+π/4)]+1/[cos(C/2+π/4)]
＝ f(A)+f(B)+f(C)
≥ 3{f[(A+B+C)/3]}
＝ 3f(π/3)
＝ 3/[cos^2(5π/12)]
＝ 6/[1+cos(5π/6)]
＝ 6/[1-√3/2]
＝ 24+12√3
代入①中有
a/(1-sinA)+b/(1-sinB)+c/(-sinC)
≥ (1/3)(24+12√3)^2-6
＝

因 R＝1，由正弦定理
a/(1-sinA)+b/(1-sinB)+c/(-sinC)
＝ 2RsinA/(1-sinA)+2RsinB/(1-sinB)+2RsinC/(-sinC)
＝ 2[sinA/(1-sinA)+sinB/(1-sinB)+sinC/(1-sinC)]
＝ 2{[1-(1-sinA)]/(1-sinA)+[1-(1-sinB)]/(1-sinB)+[1-(1-sinC)]/(1-sinC)}
＝ 2[1/(1-sinA)+1/(1-sinB)+1/(1-sinC)]-6......由柯西不等式
≥ 2{(1+1+1)^2/[(1-sinA)+(1-sinB)+(1-sinC)]}-6
＝ 18/[3-(sinA+sinB+sinC)]-6

由柯西不等式得 (sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2 ≥ (sinA+sinB+sinC)^2/3...(1)
因 R＝1，由正弦定理
a/(1-sinA)+b/(1-sinB)+c/(-sinC)
＝ 2RsinA/(1-sinA)+2RsinB/(1-sinB)+2RsinC/(-sinC)
＝ 2[sinA/(1-sinA)+sinB/(1-sinB)+sinC/(1-sinC)]......由柯西不等式
≥ 2(sinA+sinB+sinC)^2/[sinA(1-sinA)+sinB(1-sinB)+sinC(1-sinC)]
＝ 2(sinA+sinB+sinC)^2/{(sinA+sinB+sinC)-[(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2]}...由(1)
≥ 2(sinA+sinB+sinC)^2/[(sinA+sinB+sinC)-(sinA+sinB+sinC)^2/3]

a＝2sinA，b＝2sinB，c＝2sinC




求y=x^2-x+1+√(2x^4-18x^2+12x+68)的最小值。

y/√2=（x^2-x+1)/√2+√[(x^2-5)^2+(x+3)^2],
右边表示抛物线x=y^2上的动点（x^2,x)到直线l:x-y+1=0的离差与到点A（5，-3）的距离的和.
过A作l的垂线：x+y-2=0,与抛物线交于点（1,1）或（4，-2），与l交于点B(1/2,3/2),y/√2的最小值=|AB|=√[(9/2)^2+(9/2)^2]
=9/√2，
∴y|min=9






p+q
＝p·1·1+q·1·1
≤(p^3+1^3+1^3)/3+(q^3+1^3+1^3)/3
＝(p^3+q^3+4)/3
＝(2+4)/3
＝2,
故不等式得证。











数x满足x+1/x＝＝-1,求x^300+1/x^300的值。

x+(1/x)=-1
===> x^2+x+1=0
===> x=(-1±√3i)/2
当x=(-1/2)+

(√3/2)i=cos(2π/3)+isin(2π/3)时
1/x=(-1/2)-(√3/2)i=cos(-π/3)+isin(-π/3)
所以：x^300+(1/x)^300
=cos(200π)+isin(200π)+cos(-100π)+isin(-100π)
=1+0+1+0
=2
当x取另外一个值时，结果一样！

x+1/x＝-1 ==> x^2+x+1＝0 ==> x^3-1＝0 ==> x^3＝1
x^300+1/x^300
＝ (x^3)^100+1/(x^3)^100
＝ 1^100+1/1^100
＝ 2









[CrCln(H2O)6-n]x+ ＋ xR－H ―→ Rx[CrCln(H2O)6-n] ＋ xH+


根据离子交换反应方程式有：0.0015x = 0.12mol/L·0.025L
解得x = 2
所以配位离子为[CrCln(H2O)6-n]2+，由化学知识中心离子是三价的Cr3+，配位体有两种是离子Cl-和分子H2O，根据配位离子对外显2个单位正电荷
列方程: (+3)+n(-1) = +2 ，解得n = 1
所以配离子化学式为[CrCl(H2O)5]2+














小苏打(碳酸氢钠)用作食品工业（包子、馒头、油条、饼干、糕点、面包等）的发酵剂，汽水和冷饮中二氧化碳的发生剂，黄油的保存剂。可直接作为制药工业的原料，用于治疗胃酸过多；可与明矾复合为碱性发酵粉，也可与纯碱复合为民用石碱。
除焦清垢：把小苏打均匀地撒在烧焦的铝锅底上去垢；在热水瓶中倒入浓度为1%的小苏打溶液，暖瓶中的水垢即可清除掉；湿毛巾均匀地撒上一层小苏打粉，然后将电熨斗接通电源，当温度达到100度时，在湿毛巾上来回搓擦，待看不见水蒸气时，再擦掉小苏打粉，电熨斗底部的污垢就除掉了。
清洁美容：将小苏打用做除味剂。将一杯小苏打和两匙淀粉混合起来，放在一个塑料容器内，抹在身上散发异味的部位，可以清除体味。


S原子2p亚层有三个轨道，其中一个轨道已容两电子，另两个轨道每个轨道只装了一个电子，每个轨道与别的原子的轨道共用一个电子形式一个共价键。同理一个P原子能形成三个共价键。一双键是两个共价键(一σ键和一π键)。
一S原子要两个共价键，P4S3中有3个硫原子，所以P4S3分子中S原子要3*2=6个共价键；一P原子要三个共价键，P4S3分子中有4个磷原子，所以其分子中P原子要4*3=12个共价键；考地虑到相邻原子共价键计数重复，所以P4S3分子中有有(6+12)/2=9个共价键。其实可以看一下以下的P4S3分子结构也可以数出来。

沸水声是因为里面的蒸馏水蒸发的原因，充电电流过大发热，长时间这么充易损坏电瓶的，电瓶老化了要加蒸馏水保养。充电反应式：阴极：PbSO4 + 2e- = Pb + SO42-；阳极：PbSO4 + 2H2O - 2e- = PbO2 + 4H+ + SO42-。可以水要参与反应，充电电流过大，或阴极阳极的活性多孔物质老化都会降低电瓶性能。









asin(x+π/4)＝sin2x+9
asin(x+π/4)＝-cos(2x+π/2)+9
asin(x+π/4)＝2[sin(x+π/4)]^2+8
2[sin(x+π/4)]^2-asin(x+π/4)+8＝0
当-1≤[a±√(a^2-64)]/4≤1时，sin(x+π/4)＝[a±√(a^2-64)]/

4
(1)若a≥10,则-1≤[a-√(a^2-64)]/4≤1,
解得 x＝(-1)^k·arcsin{[a-√(a^2-64)]/4}+kπ，k∈Z
(2)若a≤-10,则-1≤[a+√(a^2-64)]/4≤1,
解得 x＝(-1)^k·arcsin{[a+√(a^2-64)]/4}+kπ，k∈Z







求最小的常数c,使得对所有的实数x、y,总有1+(x+y)^2≤c(1+x^2)(1+y^2).

解法一：
判别式法，简单，略

解法二：
f(x,y)≡[1+(x+y)^2]/[(1+x^2)(1+y^2)]，求驻点，略

解法三：
f(x,y)≡[1+(x+y)^2]/[(1+x^2)(1+y^2)]，求f(x,y)最大值
由于f(x,y)≤f(|x|,|y|)，故可设f(x,y)定义域为[0,+∞)
令s=x+y,t=xy
则f(x,y)＝(s^2+1)/[s^2+(t-1)^2]，0≤s,0≤t≤s^2/4
可知-1≤t-1≤s^2/4-1
（1）当s^2/4-1≥0时，即s≥2时
f(x,y)≤(s^2+1)/s^2＝1+1/s^2≤5/4,在s＝2时等号成立
（2）当s^2/4-1＜0时，即0≤s＜2时
f(x,y)
≤ (s^2+1)/[s^2+(s^2/4-1)^2]
＝ (s^2+1)/(s^2/4+1)^2
＝ 16/[√(s^2+1)+3/√(s^2+1)]^2
≤ 16/(2√3)^2
＝ 4/3
在√(s^2+1)＝3/√(s^2+1)时，即s＝√2时等号成立
综上（1）（2）所述，f(x,y)最大值为4/3，
所以原命题的最小常数c为4/3






设实数a、b使得方程ax^3-x^2+bx-1＝0有三个正实根.对于所有满足条件的实数a、b,求P＝(5a^2-3ab+2)/a^2(b-a)的最小值。

由韦达定理 x1+x2+x3＝1/a，x1x2+x2x3+x1x3＝b/a，x1x2x3＝1/a
有 a＝1/(x1+x2+x3)，b＝(x1x2+x2x3+x1x3)/(x1+x2+x3)，x1x2x3＝x1+x2+x3
令u＝x1+x2+x3，v＝x1x2+x2x3+x3x1
P＝(5a^2-3ab+2)/a^2(b-a)＝u(5-3v+2u^2)/(v-1)≡f(v)
又df/dv ＝ -2u(1+u^2)/(v-1)^2 ＜ 0
有 f(v)≥f(u^2/3)＝3u(5+u^2)/(u^2-3)≡g(u)
又dg/du ＝ 3(u^2-15)(1+u^2)/(u^2-3)^2 ＞ 0
由 ax1x2x3＝1 得
x1+x2+x3 ＝ x1x2x3 ≤ ((x1+x2+x3)/3)^3
得(x1+x2+x3)^2 ≥ 27
于是f(u) ≥ f(3√3) ＝ 12√3










若x、y∈(0,+∞),证明：
1/x^(1/4)+1/y^(1/4)≥2^(5/4)/(x+y)^(1/4)。

证法一：
由权方和不等式
1/x^(1/4)+1/y^(1/4)
＝ 1^(5/4)/x^(1/4)+1^(5/4)/y^(1/4)
≥ (1+1)^(5/4)/(x+y)^(1/4)
＝ 2^(5/4)/(x+y)^(1/4) 得证

证法二：
由柯西不等式
1/x^(1/4)+1/y^(1/4)
＝ 2^2/[x^(1/4)+y^(1/4)].....由均值不等式x^(1/4)+y^(1/4)≤2[(x+y)/2]^(1/4)
≥ 4/{2[(x+y)/2]^(1/4)}
＝ 2^(5/4)/(x+y)^(1/4) 得证



D正确。

A、错。
一个人吸烟，可能有人会觉得酷，但也只是少部分年轻人，大部分人不会如此认为，也很少有人会跟着吸，这也只是一个社会心理行为，也不是物理原因。

B、错。
烟雾实际上是气溶胶，是胶体，其粒子（烟雾颗粒）有布朗运动，但这个烟雾粒子不用显微镜是看不见的，因此肉眼不会看到其做布朗运动。实际上肉眼看到的是整个烟雾胶体的运动，烟雾缭绕是胶体局部或全部受气流扰动的结果，而不是微观的布朗运动。

C、错。
被动吸烟是会吸入烟的对旁人来说，旁人是会吸入烟雾颗粒，一般大多数人是反感的，不会引起烟瘾，如但若旁人不会吸烟，会觉得难受。

这也不是物理原因。

D、正确。
被动吸烟，烟雾粒子实际上是胶粒，物理学中算得上是一种广义分子，一人抽烟，烟雾粒子和烟雾会扩散入周围的空气中，旁人用肺呼吸，烟会被动吸入旁人肺部，对身体产生危害，这才是真正的原因。



















当自然数n≥2时，求证：1/(n+1)+1/(n+2)+···+1/(n+n)>29/50。

def. a(n)＝1/(n+1)+1/(n+2)+···+1/(n+n)
a(n+1)-a(n)
＝ 1/(2n+2)+1/(2n+1)-1/(n+1)
≥ 4/(4n+3)-4/(4n+4)
＞ 0
所以a(n)是递增数列
有a(n) ≥ a(2) ＝ 7/12 ＞ 29/50
得证



证法三：
由柯西不等式
1/(n+1)+1/(n+2)+Λ+1/(n+n)
≥ (1+1+Λ+1)^2/[(n+1)+1/(n+2)+Λ+1/(n+n)]
＝ n^2/[n^2+(1+n)n/2]
＝ 1/[3/2+1/(2n)]
≥ 2/3
＞ 29/50 得证

证法一：
由算术-调和平均值不等式
1/(n+1)+1/(n+2)+Λ+1/(n+n)
≥ n{n/[(n+1)+(n+2)+Λ+(n+n)]}
＝ n^2/[n^2+(1+n)n/2]
＝ 1/[3/2+1/(2n)]
≥ 2/3
＞ 29/50 得证

证法二：
因1/(n+1) ＞ ln[1+1/(n+1)] ＝ ln[(n+2)/(n+1)]，
即1/(n+1) ＞ ln[(n+2)/(n+1)]
同理
2/(n+1) ＞ ln[(n+3)/(n+2)]
……
n/(n+1) ＞ ln[(n+n+1)/(n+n2)]

上面式子两边相加有
1/(n+1)+1/(n+2)+Λ+1/(n+n)
＞ ln[(n+2)/(n+1)]+ln[(n+3)/(n+2)]+Λ+ln[(n+n+1)/(n+n2)]
＝ ln[(2n+1)/(n+1)]
＝ ln[2-1/(n+1)]
＞ ln2
＞ 29/50 得证



已知两实数x、y满足：|x|<1、|y|<1,求证：1/(1-x^2)+1/(1-y^2)≥2/(1-xy)。

证法一：
由柯西不等式
1/(1-x^2)+1/(1-y^2)
≥ 2^2/[(1-x^2)+(1-y^2)]
＝ 2/[1-(x^2+y^2)/2]........由均值不等式(x^2+y^2)/2≥xy
≥ 2/[1-xy] 得证

证法二：
由均值不等式
1/(1-x^2)+1/(1-y^2) ≥ 2/√[(1-x^2)(1-y^2)]
所以要证原不等式，只须证 √[(1-x^2)(1-y^2)]≤1-xy <==> (1-x^2)(1-y^2)≤(1-xy)^2 <==> -x^2-y^2≤-2xy ，显然成立。




设正数x、y、z满足2x+2y+z＝1.
(1)求3xy+yz+zx的最大值；
(2)证明：3/(1+xy)+1/(1+yz)+1/(1+zx)≥125/26。

(1)
2x+2y+z＝1 ==> z＝1-2(x+y)
3xy+yz+zx
＝ 3xy+(x+y)[1-2(x+y)]
＝ 3xy+(x+y)-2(x+y)^2
≤ 3·1/4(x+y)^2+(x+y)-2(x+y)^2
＝ -5/4[(x+y)-2/5]^2+1/5
≤ 1/5
即3xy+yz+zx的最大值为1/5

(2)
由柯西不等式
3/(1+xy)+1/(1+yz)+1/(1+zx)
≥ (3+1+1)^2/[3(1+xy)+1(1+yz)+1(1+zx)]
＝ 25/[(3xy+yz+zx)+5]..........由(1)
≥ 25/(1/5+5)
＝ 125/26


函数f(x)＝e^x-ln(x+1)-1(x≥0).
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)已知0≤y㏑(x+1)-㏑(y+1).

（1）df/dx ＝ e^x-1/(x+1) ≥ (1+x)-1/(x+1) ＝ (x^2+2x)/(x+1) ＞ 0
所以 f(x) 是增函数，最小值只能在 x ＝ 0 取得，即f|min ＝ f(0) ＝ 0 。

（2）因 e^(x-y)-1 ＞ 1+(x-y)-1 ＝ x-y ，所以只要证得 x-y ≥ ㏑[(x+1)/(y+1)] 原命题就成立
即证 e^(x-y) ≥ (x+1)/(y+1)
也只要证得 1+(x-y) ≥ (x+1)/(y+1)
即要证y(x-y) ≥ 0 ，显然成立







设x∈(0,π/2),证明：[1/(sinx)^4-1][1/(cosx)^4-1]≥9。

[1/(sinx)^4-1][1/(cosx)^4-1]
＝ [1/(sinx)^2-1][1/(sinx)^2+1][1/(cosx)^2-

1][1/(cosx)^2+1]
＝ (tanx)^2[1/(sinx)^2+1](cotx)^2[1/(cosx)^2+1]
＝ [1/(sinx)^2+1][1/(cosx)^2+1]..........由柯西不等式
≥ [1+1/sinxcosx]^2
＝ [1+2/sin2x]^2
≥ [1+2]^2
＝ 9



设x、y、z∈R+,且x^4+y^4+z^4＝1,求
f(x,y,z)＝x^3/(1-x^8)+y^3/(1-y^8)+z^3/(1-z^8)的最小值。

x(1-x^8)
＝ [x^8(1-x^8)^8]^(1/8)
＝ [(8x^8)(1-x^8)^8/8]^(1/8).........由均值不等式，在x=1/3^(1/4)取等号
≤ [1/8·(8/9)^9]^(1/8)
＝ 8/[9·3^(1/4)]
故1/[x(1-x^8)] ≥ 9/8·3^(1/4)
x^3/(1-x^8) ≥ 9/8·3^(1/4)x^4
同理
y^3/(1-y^8) ≥ 9/8·3^(1/4)y^4
z^3/(1-z^8) ≥ 9/8·3^(1/4)z^4
上面三式相加得
x^3/(1-x^8)+y^3/(1-y^8)+z^3/(1-z^8) ≥ 9/8·3^(1/4)(x^4+y^4+z^4) ＝ 9/8·3^(1/4)
即 f(x,y,z)的最小值为9/8·3^(1/4)




设a、b为正常数，0
令 (sinx)^2 ＝ s , (cosx)^2 ＝ t , s+t ＝1 , s、t＞0
a/(sinx)^n+b/(cosx)^n
＝ a/s^(n/2)+b/t^(n/2)
＝ a(1/s)^(n/2)+b(1/t)^(n/2)
≥ (a+b){[a(1/s)+b(1/t)]/(a+b)}^(n/2)
＝ (a+b)^[1-(n/2)][a(1/s)+b(1/t)]^(n/2)
＝ (a+b)^[1-(n/2)][a/(sinx)^2+b/(cosx)^2]^(n/2)


由权方和不等式
a/(sinx)^n+b/(cosx)^n
＝ （a^[2/(n+2)]）^(n/2+1)/[(sinx)^2]^(n/2)+（b^[2/(n+2)]）^(n/2+1)/[(cosx)^2]^(n/2)
≥ （a^[2/(n+2)]+b^[2/(n+2)]）^(n/2+1)/[(sinx)^2+(cosx)^2]^(n/2)
＝ （a^[2/(n+2)]+b^[2/(n+2)]）^(n/2+1)
即f(x)最小值为 （a^[2/(n+2)]+b^[2/(n+2)]）^(n/2+1)


由谢尔德不等式
[a/(sinx)^n+b/(cosx)^n]^[2/(n+2)]
＝ [a/(sinx)^n+b/(cosx)^n]^[2/(n+2)]·[(sinx)^2+(cosx)^2]^[n/(n+2)]
≥ [a/(sinx)^n]^[2/(n+2)]·[(sinx)^2]^[n/(n+2)]+[(b/(cosx)^n]^[2/(n+2)]·[(cosx)^2]^[n/(n+2)] ＝ a^[2/(n+2)]+b^[2/(n+2)]
即 a/(sinx)^n+b/(cosx)^n ≥（a^[2/(n+2)]+b^[2/(n+2)]）^(n/2+1)
即f(x)最小值为 （a^[2/(n+2)]+b^[2/(n+2)]）^(n/2+1)