中考数学圆的证明讲义

【2017】23．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时．

（1）求弦AC的长；

（2）求证：BC∥PA．

【2016】23．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF ∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．

求证：

（1）FC=FG；

（2）AB2=BC?BG．

【2014】23、（本题满分是8分）

如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB,且OB=6.过点B作⊙O的切线BD，切点为D,延长BO交⊙O于点A,过点A作切线BD的垂线，垂足为C.

(1)求证：AD平分∠BAC;

(2)求AC的长。

A

B

D O

C (第23题图)

【2013】23、（本题满分8分）如图，直线l 与⊙O 相切于点D ，过圆心O 作EF ∥l 交⊙O 于E 、F 两点，点A 是⊙O 上一点，连接AE 、AF,并分别延长交直线l 于B 、C 两点，

（1）求证：∠ABC+∠ACB=0

90

（2）当⊙O 得半径R=5，BD=12时，求tan ACB 的值.

【2012】23．（8分）如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，点M 在PB 上，且OM ∥AP ，MN ⊥AP ，垂足为N ． （1）求证：OM=AN ；

（2）若⊙O 的半径R=3，PA=9，求OM 的长．

（第23题图）

【2011】23．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，0

60B =∠,⊙O 是△ABC 外接圆，过点A 作的切线，交CO 的延长线于P 点，CP 交⊙O 于D

(1) 求证：AP=AC (2) 若AC=3，求PC 的长

【2010】23．如图，在RT △ABC 中∠ABC=90°，斜边AC 的垂直平分线交BC 与D 点，交AC 与E 点，连接BE

（1）若BE 是△DEC 的外接圆的切线，求∠C 的大小？ （2）当AB=1,BC=2是求△DEC 外界圆的半径

一．填空题（共4小题）

1．如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点B的任意一点，则∠BPC=_________度．

2．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠DAB=51°，则∠ACD= _________．

3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为_________．

4．如图，已知⊙O的半径为1，弦AB、CD的长度分别为和1，则弦AC、BD所夹的锐角∠AEB的度数为_________．

二．解答题（共6小题）

5．如图，AC为⊙O的直径，AC=4，B、D分别在AC两侧的圆上，∠BAD=60°，BD与AC的交点为E．

（1）求点O到BD的距离及∠OBD的度数；

（2）若DE=2BE，求cos∠OED的值和CD的长．

6．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，连接EB交OD于点F．

（1）求证：OD⊥BE；

（2）若DE=，AB=，求AE的长．

7．已知如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，D是⊙O上的一点，且AD∥OC．

（1）求证：△ADB∽△OBC；

（2）若AO=2，BC=2，求AD的长．

8．直线AB交圆于点A，B，点M在圆上，点P在圆外，且点M，P在AB的同侧，∠AMB=50度．设∠APB=x°，当点P移动时，求x的变化范围，并说明理由．

9．如图，CD与AB是⊙O内两条相交的弦，且AB为⊙O的直径，CE⊥AB 于点E，CE=5，连接AC、BD．

（1）若，则cosA=_________；

（2）在（1）的条件下，求BE的长．

10．已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，，BF⊥AB

与弦AD的延长线相交于点F．

（1）求证：CD∥BF；

（2）连接BC，若AD=6，，求⊙O的半径及弦CD的长．