信息学奥赛普及组1-18届问题求解题解析

历届“问题求解”解析（2013竞赛辅导）

问题求解是信息学竞赛初赛中常见题型，它共两题，每题5分，共10分，十六届增加了比重，有三题，占15分。诸如寻找假币、博弈原理、抽屉原理、容斥问题、排列组合、逻辑推理、递推关系等问题出现在问题求解中。（相关问题的具体讲解根据需要考虑发讲义） 第一届（逻辑推理问题）

1. 有标号为A 、B 、C 、D 和1、2、3、4的8个球，每两个球装一盒，分装4盒。标号为字母的球与标号

为数字的球有着某种一一对应的关系（称为匹配），并已知如下条件： ① 匹配的两个球不能在一个盒子内。

② 2号匹配的球与1号球在一个盒子里。

③ A 号和2号球在一个盒子里。

④ B 匹配的球和C 号球在一个盒子里。

⑤ 3号匹配的球与A 号匹配的球在一个盒子里。 ⑥ 4号是A 或B 号球的匹配球。 ⑦ D 号与1号或2号球匹配。 请写出这四对球匹配的情况。 第四届（递推、树、图）

1. 已知一个数列U 1，U 2，U 3，…，U N ，… 往往可以找到一个最小的K 值和K 个数a 1，a 2，…,a n 使得数列从某项开始都满足： U N+K =a 1U N+K-1+a 2U N+K-2+……+a k U N (A)

例如对斐波拉契数列1，1，2，3，5，…可以发现：当K=2，a 1 =1，a 2 =1时，从第3项起（即N>=1）

都满足U n+2 =U n+1+U n 。试对数列13，23，33，…，n 3,…求K 和a 1,a 2, …,a K 使得（A ）式成立。 当K= 4，a 1,a 2,…,a k 为a 1=4, a 2=6, a 3=4，a 4=-1对数列132333,…,n 3,…（A ）成立。

2．给出一棵二叉树的中序遍历：DBGEACHFI 与后序遍历：DGEBHIFCA 画出此二叉树。 3．用邻接矩阵表示下面的无向图：

表示该无向图的邻接矩阵为

0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0

第五届（递推）

将Ln 定义为求在一个平面中用n 条直线所能确定的最大区域数目。例如：当n=1时，L1=2,进一步考虑，用n 条折成角的直线（角度任意），放在平面上，能确定的最大区域数目Zn 是多少？例如：当n=1时，Z1=2（如下图所示）

当给出n 后，请写出以下的表达式：Ln = ______________ 2、Zn = _______________ 答案为：Ln=n(n+1)/2+1(n ≥0) Zn=L2n-2n=2n2-n+1

解析：本题实质是求直线或折线将一个平面分成的最大区域数，从两个方面考虑： （1）求在一个平面中用n 条直线所能确定的最大区域数； n=1,L1=2, F(1)=2

n=2,L2=4, F(2)=F(1)+2 n=3,L3=7, F(3)=F(2)+3 n=4,L4=11, F(4)=F(3)+4 ……

所以， F(n)=F(n-1)+n

把上面的n 个等式左右相加，化简得出：F （n ）=2+2+3+4+……+n 即：L （n ）=n*(n+1)/2+1

（2）求在一个平面中用n条折线所能确定的最大区域数；

n=1,Z1=2, F(1)=0+2

n=2,Z2=7, F(2)=1*(2*2-1)+4

n=3,Z3=16, F(3)=2*(2*3-1)+6

n=4,Z4=29, F(4)=3*(2*4-1)+8

……

所以，F(n)=(n-1)*(2*n-1)+2*n

即：Z（n）=(n-1)*(2*n-1)+2*n 几何+归纳+组合数学！

第六届（树与递推）

1.已知，按中序遍历二叉树的结果为：abc

问：有多少种不同形态的二叉树可以得到这一遍历结果，并画出这些二叉树。

有5种不同形态的二叉树可以得到这一遍历结果; 可画出的这些二叉树为:

①a ②b ③ a ④ c ⑤ c

\ / \ \ / /

b a

c c a b

\ / \ /

c b b a

2.设有一个共有n级的楼梯，某人每步可走1级，也可走2级，也可走3级，用递推公式给出某人从底

层开始走完全部楼梯的走法。例如：当n=3时，共有4种走法，即1+1+1，1+2，2+1，3。

答案：F(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3) n>=4; F(1)=1; f(2)=2; f(3)=4;

解析：两种方法，一是“猜”+“凑”，从具体的n=1,2,3……算起，只能算比较简单的，容易错；二是用组合数学和归纳法进行推导，一般先假设F（n）= a*F（n-1）+b*F（n-2）+c*F（n-3）+……，然后算a，b，c……直到某个系数=0就结束，再代入式子中。

F（1）＝1F（2）＝2 F（3）＝4

F（N）＝F（N－3）＋F（N－2）＋F（N－1）（N≥4）

推导：对于n级楼梯，可以有下面几种走法：

1. 最后走一级，则有f(n-1)种

2. 最后走两级，则有f(n-2)种

3. 最后走三级，则有f(n-3)种

第七届（树与排列组合）

1.已知一棵二叉树的结点名为大写英文字母，其中序与后序遍历的顺序分别为：CBGEAFHDIJ与CGEBHFJIDA则该二叉树的先序遍历的顺序为：ABCEGDFHIJ

2.平面上有三条平行直线，每条直线上分别有7，5，6个点，且不同直线上三个点都不在同一条直线上。问用这些点为顶点，能组成多少个不同四边形？

C(7,2)*(5+6)+C(5,2)*(7+6)+C(6,2)*(7+5)+7*6*5

=21*11+10*13+15*12+210=231+130+180+210=751

第八届（排列与递推）

1.在书架上放有编号为1 ，2 ，．．．，n的n本书。现将n本书全部取下然后再放回去，当放回去时要求每

本书都不能放在原来的位置上。例如：n = 3时：

原来位置为：1 2 3

放回去时只能为：3 1 2 或 2 3 1 这两种

问题：求当n = 5时满足以上条件的放法共有多少种？（不用列出每种放法）

解法一：c(5,0)*5!-c(5,1)*4!+c(5,2)*3!-c(5,3)*2!+c(5,4)*1!-c(5,5)*0!=60-20+5-1=44

解法二：n封装入n个信封时全部装错的装法总数为

?

?

?

?

?

-

+

-

+

-

!

1

)1

(

!2

1

!1

1

1

!

n

n n

。

通常称为伯努利一欧拉错装信封问题，又称为乱序排列，即把n个元素的排列a1，a2，L，an重新排列，使每个元素都不在原来的位置上的排列问题。因此只要你代入公式就行

2．设有一棵k叉树，其中只有度为0和k两种结点，设n 0 ，n k ，分别表示度为0和度为k的结点个数，试求出n 0 和n k之间的关系（n 0 = 数学表达式，数学表达式仅含n k 、k和数字）。n0和nk之间的关系为：n0=(k-1) nk+1。

第九届（图与集合）

1．无向图G有16条边，有3个4度顶点、4个3度顶点，其余顶点的度均小于3，则G至少11个顶点。

2. 某年级学生共选修6门课程，期末考试前，必须提前将这6门课程考完，每人每天只在下午至多考一门课程，设6门课程为C1，C2，C3，C4，C5，C6，S(Ci)为学习Ci 的学生集合。已知S(Ci)∩S(C6)≠ф，i=1，2，...，5，S(Ci)∩S(Ci+1)≠ф，i=1，2，3，4，S(C5)∩S(C1)≠ф，问至少安排_4__天才能考完这6门课程。

第十届(递推)

1. 75名儿童到游乐场去玩。他们可以骑旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船。已知其中20人这三种东西都玩过，55人至少玩过其中的两种。若每样乘坐一次的费用是5元，游乐场总共收入700，可知有名儿童没有玩过其中任何一种。

设a1,a2,a3分别是仅仅玩过一种游戏的人数，仅仅玩过2种游戏的人数，仅仅玩过三种的人数。因此有a2+a3 = 55, a3=20, a1+2*a2+3*a3= 700/5;==>a1= 10

所以结果就是75-a1-a2-a3=10名

2. 已知a, b, c, d, e, f, g七个人中，a会讲英语；b会讲英语和汉语；c会讲英语、意大利语和俄语；d会讲汉语和日语；e会讲意大利语和德语；f会讲俄语、日语和法语；g会讲德语和法语。能否将他们的座位安排在圆桌旁，使得每个人都能与他身边的人交谈？如果可以，请以“a b”开头写出你的安排方案：abdfgec

第十一届（排序与最火柴）

1. 将数组{32, 74, 25, 53, 28, 43, 86, 47}中的元素按从小到大的顺序排列，每次可以交换任

意两个元素，最少需要交换次。

思路一：用直接选择排序实现：

25,74,32,53,28,43,86,47 第一次：32<-->25

25,28,32,53,74,43,86,47 第二次: 28<-->74

25,28,32,43,74,53,86,47 第三次：43<-->553

25,28,32,43,47,53,86,74 第五次：47-->74

25,28,32,43,47,53,74,86 第五次：74<-->86

思路二：首先排序给每个数字标上序号

{32，74，25，53，28，43，86，47}

{3 ，7 ，1 ，6 ，2 ，4 ，8 ，5 }再和标准序列

{1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }比较

找出其中所有的"环" ，这里的"环"就是指它们互相交换之后能成为标准序列的最小集合

比如这里{1,3}是一个"环", {7,2,5,8}是一个"环"。

具体找法很简单首先确定一个不在已找出"环"中的数字。例如第一次从3开始,3对应标准序列的1 再找1对应的标准序列3 3回到了开始的数字那么这个环就是{1，3}第二次从7开始，7->2 2->5 5->8 8->7 所以第二个环是{7，2，5，8} 第三个环是{6,4} 这样所有的数字都在环中了交换的次数=（环中数字总数-环数）=8-3=5

2.一堆火柴有N根，A、B两人轮流取出。每人每次可以取1 根或2 根，最先没有火柴可取的人为败方，

另一方为胜方。如果先取者有必胜策略则记为1，先取者没有必胜策略记为0。当N 分别为100，200，300，400，500 时，先取者有无必胜策略的标记顺序为（回答应为一个由0 和/或1 组成的字符串）。答案：11011

规律：每次可以取1..m根火柴(n为正整数，且1<=m

补：(取石子游戏)现有5堆石子,石子数依次为3,5,7,19,50,甲乙两人轮流从任一堆中任取(每次只能取自一堆,不能不取),取最后一颗石子的一方获胜.甲先取,问甲有没有获胜策略(即无论乙怎样取,甲只要不失误,都能获胜) 如果有,甲第一步应该在哪一堆里取多少请写出你的结果。

规律：将所有的堆的石子数化为二进制后，如果所有数位上的1的个数都是偶数（相加不考虑进位，为零）那么先取者必败；如果有些位上的1的个数是奇数，先取者能够将所有数位上的1的个数都变为偶数的话，那么先取者必胜。（也可以用or不考虑进位来解决）

例：本题：

可见，只有最高位的1是奇数个，其他位上都是偶数个。

所以只需要将最高位的1取走即可必胜。二进制的100000就是10进制的32，所以要将50个石子的那堆取32个，取掉就变成偶数个数目。于是先取者必胜。以后无论对方怎么取，始终保证每一位上的1的个数是偶数即可（一种简单的方法是，他在一堆中取几个，你在另一堆中也取几个就可以）。

第十二届（递推）

1．将2006 个人分成若干不相交的子集，每个子集至少有3 个人，并且：

（1）在每个子集中，没有人认识该子集的所有人。

（2）同一子集的任何 3 个人中，至少有 2 个人互不认识。

（3）对同一子集中任何2 个不相识的人，在该子集中恰好只有1 个人认识这两个人。则满足上述条件的子集最多能有个？

显然集合的人数为3人以上。4人构造不出满足条件的情况，下面构造5人的情况：（存在边，表示两个人相互认识）

故集合个数为2006 div 5=401

2．将边长为 n 的正三角形每边 n 等分，过每个分点分别做另外两边的平行线，得到若干个正三角形，我们称为小三角形。正三角形的一条通路是一条连续的折线，起点是最上面的一个小三角形，终点是最下面一行位于中间的小三角形。在通路中，只允许由一个小三角形走到另一个与其有公共边的且位于同一行或下一行的小三角形，并且每个小三角形不能经过两次或两次以上（图中是 n=5 时一条通路的例子）。设n=10，则该正三角形的不同的通路的总数为_ 9！

=362880 _。

解析：好的解题习惯是，通过人脑对小规模数据的求解，分析出问题的规律，从而得到解决问题的方法。

本题n=10，而最后一层固定为中间的小三形，所以对结果有影响的，就9层。我们可以假设，对结果有影响的层数：

如果只有一层，结果是什么（1）

如果有两层呢（1×2）

三层？（1×2×3）

……

自然得出答案

第十三届（排列组合与报数）

1．给定n个有标号的球，标号依次为1，2，…，n。将这n个球放入r个相同的盒子里，不允许有空盒，其不同放置方法的总数记为S(n,r)。例如，S(4,2)=7，这7种不同的放置方法依次为{(1) , (234)} , {(2) , (134)} , {(3) , (124)} , {(4) , (123)} , {(12) , (34)} , {(13) , (24)} , {(14) , (23)}。当n=7，r=4时，S(7,4)=标准答案：350

解法一：

此题应用递归思想做，很容易知道S(n,1)=1，为了利用这点，先分析S(n-1,r)与S(n-1,r-1)的情况，而S(n.r)=S(n-1,r)*r+(n-1,r-1)其具体分析如下：

假设已知n-1个球放置的情况数，如今要多加入一个球，有两种新情况：一是放入原有球的箱子，即情况数为S(n-1,r)*r（每种情况中放入任意一箱子都是新情况，所以乘以箱子数r）二是取出所有球，让新加入的球独占一个箱子，则余下r-1个箱子可放球，有n-1个球可用来放，即情况数为S(n-1,r-1)。

综上，得出S(n.r)=S(n-1,r)*r+(n-1,r-1)

解法二：7个球放入4个箱子无非是2+2+2+1或者3+2+1+1或者4+1+1+1三种情况。所以分别求解再加起来：C(7,1)*C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)/P(3,3)+C(7*3)*C(4,2)+C(7,4)。

2．N个人在操场里围成一圈，将这N个人按顺时针方向从1到N编号，然后从第一个人起，每隔一个人让下一个人离开操场，显然，第一轮过后，具有偶数编号的人都离开了操场。依次做下去，直到操场只剩下一个人，记这个人的编号为J(N)，例如，J(5)=3，J(10)=5，等等。

则J(400)= 。（提示：对N=2m+r进行分析，其中0≤r<2m）。

把N写成2的K次方加X的形式则J[N]=2X+1

400=2的8次方加144 所以是第2*144+1=289个人

第十四届

1．有6个城市，任何两个城市之间有一条道路连接，6个城市之间两两之间的距离如下表表示，则城市1到城市6的最短距离为___7_____。

2．书架上有21本书，编号从 1 到21 从中选 4 本，其中每两本的编号都不相邻的选法一共有___________________种。

标准答案是3060种。3060=C(18,4)。这个答案可以怎么推到呢？

一种方法是，先把选到的4本书提出来不考虑，也先不考虑选法的数量（一会我们可以看出这一点）。剩下的17本书的前后我们一共要插入4本书，也就是说有18个位置等待插书。一共要插入4本书，也不能有两本书插入同一个位置，所以最后的插法个数为C(18,4)，很显然，因为这21本书是有序的，所以一开始我们假设抽出的4本书不用考虑有多少情况，因为每种情况和一种选法对应了。

第十五届

1. 拓扑排序是指将有向无环图G中的所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若∈E(G)，则u在线性序列中出现在v 之前，这样的线性序列成为拓扑序列。如下的有向无环图，对其顶点做拓扑排序，则所有可能的拓扑序列的个数为______。

【分析】432

用排列组合即可，先确定12346的顺序，然后将7插入内部有两个位置可选，然后将5插入时候，可以有6个位置选择。最后，放89的时候，考虑两种情况，89在一起，有8个位置选；89不在一起，8个位置选2个。C(2,1)×C(6,1)×[C(8,1)+C(8,2)]=2×6×(8+28)=432

2、某个国家的钱币面值有1，7，7^2，7^3共计四种，如果要用现金付清10015元的货物，假设买卖双方各种钱币的数量无限且允许找零，那么交易过程中至少需要流通______张钱币。

【分析】35

10015化成7进制数是41125，正常是4×7+1=29张7^3面额的，1张7^2面额，2张7面额的，5张1面额的。因为可以无限且找零，并要求最少流通数量。这样就把7进制上大于等于4的数a，用找零7-a 的方法代替，这样就能达到最少。这里29、1、2、5中只有5是大于4的，所以用一张大额的，并7-5找零的方法计算。这样，总数29+1+2+(1+7-5)=35张。

第十六届

1．LZW编码是一种自适应词典编码。在编码的过程中，开始时只有一部基础构造元素的编码词典，如果在编码的过程中遇到一个新的词条，则该词条及一个新的编码会被追加到词典中，并用于后继信息的编码。

举例说明，考虑一个待编码的信息串：“xyx yy yy xyx”。初始词典只有3个条目，第一个为x,编码为1；第二个为y，编码为2；第三个为空格，编码为3；于是串“xyx”的编码为1-2-1（其中-为编码分隔符），加上后面的一个空格就是1-2-1-3。但由于有了一个空格，我们就知道前面的“xyx”是一个单词，而由于该单词没有在词典中，我们就可以自适应的把这个词条添加到词典里，编码为4，然后按照新的词典对后继信息进行编码，以此类推。于是，最后得到编码：1-2-1-3-2-2-3-5-3-4。

我们可以看到，信息被压缩了。压缩好的信息传递到接受方，接收方也只要根据基础词典就可以完成对该序列的完全恢复。解码过程是编码过程的逆操作。现在已知初始词典的3个条目如上述，接收端收到的编码信息为2-2-1-2-3-1-1-3-4-3-1-2-1-3-5-3-6，则解码后的信息串是”____________”。

【分析】：x-- 1 y--2 - 3

2-2-1-2-3 yyxy ---4 xx—5 xyx—6

yyxy xx yyxy xyx xx xyx

2.无向图G有7个顶点，若不存在由奇数条边构成的简单回路，则它至多有__________条边。

3.记T为一队列，初始时为空，现有n个总和不超过32的正整数依次入列。如果无论这些数具体为何值，都能找到一种出队的方式，使得存在某个时刻队列T中的数之和恰好为9，那么n的最小值是___________。答案：18

【分析】

证明：设这些数依次为a1, a2, a3, …, an，且记Si为前i项和，规定S0=0。很明显Si单调递增，且对任意i有0<=Si<=32。

我们可以以Si为顶点构造一张图，两点Si，Sj间连边当且仅当|Si-Sj|=9（图中数字为Si的编号，即i）：0–9–18–27

1–10–19–28

2–11–20–29

3–12–21–30

4–13–22–31

5–14–23–32

6–15–24

7–16–25

8–17–26

我们从这个图中选择一些顶点，将它们的编号排序作为一个可能的序列，比如选择0, 1, 10, 2, 13, 16，排序后得0, 1, 2, 10, 13, 16，作差得ai依次为1,1,8,3,3

显然有a2+a3=9 即满足条件

可以发现，若我们选择了图中的两个顶点，且它们之间连边，那么就存在一个和为9的子序列

那么，倘若对于某个n，我们能从图中选择n个顶点，使得任意两点间没有边，那么这个n就是不满足条件的

事实上，我们最多可以选择18个顶点，使得它们之间没有边相连：

第0行~第5行每行可以选第一、三个顶点或第二、四个顶点最多共选10个

第6行~第8行每行可以选第一、三个顶点最多选8个

注意到S0=0是必须选的，那么也就是说不满足条件的n的最大值是17

由鸽巢原理，若我们选择18个顶点，必有2个顶点之间有边连接，即必存在一个子序列的和为9

所以答案就是18。

十七届

第1．平面图可以在画在平面上，且它的边仅在顶点上才能相交的简单无向图。4个顶点的平面图至少有6条边，如右图所示。那么，5个顶点的平面图至少有________条边。

平面图中点数n与边数m之间的关系是：m<=3n-6，当n=5时，m的最大值为9。

2．定义一种字符串操作，一次可以将其中一个元素移到任意位置。举例说明，对于字符串“BCA”可以将A移到B之前，变字符串“ABC”。如果要将字符串“DACHEBGIF”变成“ABCDEFGHI”最少需要________次操作。

求出给定的长度为n的字符串的最长上升序列的长度m，最小的操作次数为n-m

（第十八届）

1、如果平面上任取n个整点（横纵坐标都是整数），其中一定存在两个点，它们连线的中点也是整点，那么n至少是__________。

解：5

想象横纵交错的网格纸，就像棋盘那样的，每个横纵线交点就是一个整点。如下图：

任意三个点如果共线，即处在水平，竖直，或者对角线上，则其中定存在两个点满足连线中点

是整点。

如果n=2，取两个连续的整点，那么连线中点不是整点。

如果n=3，取水平两个连续的点，垂直也两个连续的点，组成三角形。那么连线中点不是整点。如果n=4，取四个整点组成一个正方形，则连线中点不是整点。

而取5个点的话，必然有两个点的连线中点是整点。

2、在NOI期间，主办单位为了欢迎来自各国的选手，举行了盛大的晚宴。在第十八桌，有5名大陆选手和5名港澳选手共同进膳。为了增进交流，他们决定相隔就坐，即每个大陆选手左右旁都是港澳选手，每个港澳选手左右旁都是大陆选手。那么，这一桌一共有_______种不同的就坐方案。注：如果在两个方案中，每个选手左右相邻的选手相同，则视为同一种方案。

解1：2880

相当于1个圆，十个人。先随便找个座，让人去坐，有10个可能，然后顺时针走，下一个座就有5种可能，再下一个就4个，再下一个还是4个，以此类推，就是

10*5*4*4*3*3*2*2*1*1。这其中有重复的，同一种坐法，可以绕着桌子走一圈，就是上一个人坐到下一个人的位置，串一下，这样所有坐法就算重复了10次，再除以10就行了。就是

5*4*4*3*3*2*2*1*1。

解2：2880

首先安排5个大陆选手相隔就坐，他们的位置是任意的，有P（5，5）种坐法，然后再安排五个港澳选手，是共同进膳应该只有5个空，5个人坐5个空，也可以随意坐，也有P（5，5）种坐法，然后相乘。

可到这里并不是就结束了，因为这里面包含了重复的，可是重复的情况非常极端，“每个选手左边相邻的选手均相同”，每一种方案，每个人都往左或者往右移动一个位子，两个位子，三

个位子……跟原先的还是一样的方案，也就是说每十种方案里一共有5种是重复的。所以要去除重复，除以5。

所以应该是P（5，5）*P（5，5）/5。

附：排列组合原理

一、加法原理与乘法原理

1、加法原理：

做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+...+mn 种不同的方法。

2、乘法原理：

做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1 种不同的方法，做第二步有 m2种不同的方法，……，做第n步有种mn不同的方法，那么完成这件事有 N=m1*m2*...*mn 种不同的方法。

3.两个原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”。

二、排列与组合的概念与计算公式

1、排列及计算公式

从n个不同元素中，任取m(1≤m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示。当m

p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!

规定0!=1。

根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同。

2、组合及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号c(n,m) 表示。