希尔伯特变换与傅立叶变换
在数学与信号处理的领域中，一个实数值函数的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积，以得到。因此，希尔伯特转换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此一系统的脉冲响应为。这是一项有用的数学，
用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope)，出现在通讯理论（应用方面的详述请见下文。）
希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。
希尔伯特转换定义如下：
其中
并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在以及
等处的奇点。
另外要指出的是：
若，则可被定义，且属于；其中。频率响应
希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出：
,
其中
?是傅立叶变换，
?i (有时写作j )是虚数单位，
?是角频率，以及
?
即为符号函数。
既然：
,
希尔伯特转换会将负频率成分偏移+90°，而正频率成分偏移?90°。
反（逆）希尔伯特转换
我们也注意到：。因此将上面方程式乘上，可得到：
从中，可以看出反（逆）希尔伯特转换
傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。
?傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。
?傅里叶变换属于谐波分析。
?傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。
?正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
?卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段。
?离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的实现（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT））。
线性性质
两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数和的傅里叶变换和都存在，和为任意常系数，则
；傅里叶变换算符可经归一化成为幺正算符。
平移性质
若函数存在傅里叶变换，则对任意实数，函数也存在傅里叶变换，且有。式中花体是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e为自然对数的底，i为虚数单位。
微分关系
若函数当时的极限为0，而其导函数的傅里叶变换存在，则有
，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子。更一般地，若，且
存在，则，即k阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子。
卷积特性
若函数及都在上绝对可积，则卷积函数
（或者）的傅里叶变换存在，且。卷积性质的逆形式为
，即两个函数卷积的傅里
叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的乘积乘以。
帕塞瓦尔定理
若函数可积且平方可积，则。其
中F(ω)是f(x)的傅里叶变换。
更一般化而言，若函数和皆平方可积，则
。其中F(ω)和G(ω)分别是
f(x)和g(x)的傅里叶变换, *代表复共轭。
连续傅里叶变换
一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”(连续函数的傅里叶变换)。连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。
这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。
连续傅里叶变换的逆变换(inverse Fourier transform)为
即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。
一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。
除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。在通讯或是讯号处理方面，常以来代换，而形成新的变换对:
或者是因系数重分配而得到新的变换对：
一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换
（Fractional Fourier Transform）。
当f（t）为偶函数（或奇函数）时，其正弦（或余弦）分量
将消亡，而可以称这时的变换为余弦转换（cosine transform）
或正弦转换（sine transform）.
另一个值得注意的性质是，当f（t）为纯实函数时，
F(?ω) = F*(ω)成立.
傅里叶级数
连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数(Fourier series)的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：
其中为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：
其中a n和b n是实频率分量的振幅。
傅里叶分析最初是研究周期性现象，即傅里叶级数的，后来通过傅里叶变换
将其推广到了非周期性现象。理解这种推广过程的一种方式是将非周期性现
象视为周期性现象的一个特例，即其周期为无限长。
离散时间傅里叶变换
离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆转换。
离散傅里叶变换
为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数x n 定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，使用离散傅里叶变换，将函数x n表示为下面的求和形式：
其中是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为，而快速
傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为。计算复杂度的降低以及
数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。
在阿贝尔群上的统一描述
以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的对偶群（dual group）。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里亚金对偶性（Pontryagin duality）中的介绍。
时频分析变换
小波变换，chirplet转换和分数傅里叶变换试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。
傅里叶变换家族
下表列出了傅里叶变换家族的成员。容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性.
变换时间频率
连续傅里叶变换
连续，非周期性连续，非周期性
傅里叶级数连续，周期性离散，非周期性离散时间傅里叶变换离散，非周期性连续，周期性
离散傅里叶变换
离散，周期性
离散，周期性
常用傅里叶变换表
下表列出常用的傅里叶变换对。和分别代表函数和的傅里叶变换.
和可以使可积函数或衰减的分布。
函数关系
时域信号
角频率表示的
傅里叶变换
弧频率表示的
傅里叶变换
注释
1 线性
2 时域平移3
频域平移，
变换2的
频域对应
4
如果值
较大，则
会收
缩到原点
附近，而
会扩散并
变得扁平.
当趋向
无穷时，成
为狄拉克δ
函数。
5
傅里叶变
换的二元
性性质。通
过交换时
域变量和
频域变量
得到.
6
傅里叶变
换的微分
性质
7
变换6的
频域对应8
表示
和的卷
积—这就
是卷积定理
9 变换8的频域对应。
平方可积函数
时域信号
角频率表示的
傅里叶变换
弧频率表示的
傅里叶变换
注释
1
矩形脉冲
和归一化
的sinc函
数
1
1
变换10的
频域对
应。矩形
函数是理
想的低通
滤波器，
sinc函数
是这类滤
波器对反
因果冲击
的响应。
1
2
tri是三角
形函数
1
3
变换12的
频域对应
1
4
高斯函数
的傅里叶
变换是他
本身.只有
当
时，这是
可积的。
1
5
光学领域
应用较多
1
6
1
7
1
8
a>0
1
9
变换本身
就是一个
公式
2
J0(t)是0
阶第一类
贝塞尔函
数。
2
1
上一个变
换的推广
形
式; T n (t)
是第一类
切比雪夫
多项式。
2
2
U n (t)是第
二类切比
雪夫多项
式。
分布
时域信号
角频率表示的
傅里叶变换
弧频率表示的
傅里叶变换
注释
2
3
代表狄拉克δ函数
分布.这个变换展示了狄
拉克δ函数的重要性：
该函数是常函数的傅立
叶变换
2
4
变换23的频域对应
2
5
由变换3和24得到.
2
6
由变换1和25得到，应
用了欧拉公
式:
2
7
由变换1和25得到
2
8
这里, 是一个自然
数. 是狄拉克δ
函数分布的阶微分。这
个变换是根据变换7和
24得到的。将此变换与
1结合使用，我们可以变
换所有多项式。
2
9
此处为符号函
数；注意此变换与变换7
和24是一致的.
3
变换29的推广.
3
1
变换29的频域对应.
3
2
此处是单位阶跃函
数;此变换根据变换1和
31得到.
3
3
是单位阶跃函数，
且.
3
4
狄拉克梳状函数——有
助于解释或理解从连续
到离散时间的转变.
二元函数
时域信号
角
频
率
表
示
的
傅
里
叶
变
换
弧频率表示的
傅里叶变换
注释
两个函数都是高
斯函数，而且可
能都没有单位体
积.
此圆有单位半
径，如果把circ(t)
认作阶梯函数
u(1-t); Airy分布
用J1 (1阶第一
类贝塞尔函数)
表达; f r是频率矢
量的量值{f x,f y}. 三元函数
时域信号角
频
率
表
示
的
傅
里
叶
变
换
弧频率表示的
傅里叶变换
注释
此球有单位半
径；f r是频率矢
量的量值
{f x,f y,f z}.
1 希尔伯特变换的基本原理
希尔伯特变换在数字信号处理理论和应用中有着十分重要的作 用，它维系着对离散序列进行傅里叶变换后的实部和虚部之间或者幅度和相位之间的关系。 1 希尔伯特变换的基本原理 Hilbert 变换测量法对各次谐波都能有精确的90°移相，给定一连续周期信号x(t)， 连续时间信号x(t)的希尔伯特变换 定义为： t t x t x t x d d πττπττπττ1) (1)(1)(?==??+∞∞--+∞∞-- (1) 由式（1）可得单位冲击响应h(t)=)(1t x ,由于jh(t)=)(t j 的傅里叶变换是符号sgn(w),所以希尔伯特变换器频率特性为： H （e jw ）=—jsgn(w)= ?? ?-j j 00<>x x 记H （j )ω=) (ωj H e j )(ω?,当)(ωj H =1时： ???-=22)(ππω?,, 0 0<>ωω 信号x(t)的希尔伯特变换可以看成信号x(t)通过一个幅度为1的全通滤波器输出，信号通过希尔伯特变换后，其负频率成分作+90的相移，而正频率成分作—90的相移。 这类滤波器要求滤波器的零频率响应为0，若滤波器的阶数为偶，则要求归一化频率为零。即如果滤波器的阶数为偶数，那么增益在频率为0Hz 和2fs 处必须降为零，希尔伯特必须是一个带通滤波器。如果滤波器的阶数为奇数，那么增益在频率为0Hz 处必须降为零，希
尔伯特滤波器必须是一个高通滤波器。 随着信息时代的到来和高速发展,数字信号处理已经成为一门极其重要的学科和技术,并且在通信、语音、图像、自动控制等众多领域得到了广泛应用。在数字信号处理中,数字滤波器占有极其重要的地位,具有精度高、可靠性好、灵活性大等特点。现代数字滤波器可以用软件和硬件两种方式实现。软件方式实现的优点是可以通过滤滤器参数的改变去调整滤波器的性能。本文就是基于MATLAB提出希尔伯特FIR滤波器的设计方法。 MATLAB是matrix与laboratory两个词的组合，意为矩形工厂（矩阵实验室）。是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。MATLAB 是一款十分优秀的计算和仿真软件，其自带的信号处理工具箱为数字滤波器提供了良好的设计与仿真平台。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效的数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言的编辑模式，代表了当今国际科学
希尔伯特变换实现单边调制
希尔伯特变换在单边带系统中的应用 专业：信息安全 班级： 小组成员：
希尔伯特变换在单边带系统中的应用 关键词:高斯白噪声 Matlab巴特沃兹滤波器 SSB 摘要：随机信号在通信系统中有着重要的意义，信号处理技术及通信网络系统与计算机分析技术的相互融合，都要求我们对研究分析随机信号经过系统的响应有一个深入的了解。我们将利用MATLAB仿真软件对随机信号经过数字信号处理进行系统仿真设计，并进行调试和数据分析，获得实验结果。 复杂的实际通信系统可以通过抽象与仿真来研究它的特性。本实验通过MATLAB中的仿真出理想高斯白噪声，并将其作为加性噪声模拟噪声对系统输入信号的影响，通过低通滤波器后，再经过希尔伯特变换后输出来仿真单边带系统对信号的影响，进而研究希尔伯特变换在单边带系统中的应用。 一、选题背景与目的 在单边带调制（SSB）中，利用公式对调制信号进行时域的推导是比较困难的，所以需要将其变换到表示直观、简明的频域进行分析。而跟相移法相比希尔伯特变换更加简便，并且可以更佳地处理加入噪声的调制信号，克服因为噪声函数的随机性导致的相移法无法处理噪声频移的缺点，具有更广泛的应用性。通过这次实验加深对希尔伯特变换的理解，以及对MATLAB中的信号处理的熟悉。 希尔伯特变换(Hilbert)在通讯等领域有着非常广泛的应用，它是信号分析与处理的重要工具，可以用来进行信号的调制与解调、对信号功率的测量、对窄带信号的检测、实现对瞬时频率的估计等，并且它可以用来统一的描述各种模拟调制方式（DSB、SSB、AM、FM）的原理，揭示这些方式之间的内在联系，简化理论分析。 希尔伯特变换是一种将信号相移90度的运算，与其他变换不同，它是属于相同域的变换。它有着一些很好的性质，如正交性、卷积特性等。特别的，对于任意的一个因果系统，它的实部和虚部、模与幅角，都存在着一定的希尔伯特变换关系。继而，由希尔伯特变换得出的任一信号的解析信号，其频率响应总是因果的，即其频率响应仅含有正频率项。 单边带调制（英文是Single-sideband modulation，缩写为SSB），是一种可以更加有效的利用电能和带宽的调幅技术。单边带调制与残留边带调制（VSB）有密切的关系。调幅技术输出的调制信号带宽为源信号的两倍。单边带调制技术可以避免带宽翻倍，同时避免将能量浪费在载波上，不过因为设备变得复杂，成本也会增加。单边带调制技术是原有频率分量的相对关系保持不变的调制技术，也可看作是调幅(AM)的一种特殊形式。调幅信号频谱由载频fc和上、下边带组成，被传输的消息包含在两个边带中，而且每一边带包含有完整的被传输的消息。因此，只要发送单边带信号，就能不失真地传输消息。显然，把调幅信号频谱中的载频和其中一个边带抑制掉后，余下的就是单边带信号的频谱。 一种生成单边带调制信号的方法是将其中一个边带通过滤波去除，只留下上边带或者下边带。而且载波一般也需要经过衰减或者完全滤除（抑制）。这通常称为抑制单边带载波。假如原调制信号的两个边带是对称的，那么经过这一变换后，并不会造成任何的信息遗失。因为最终的射频放大器只发射一个边带，这样有效输出功率就会比普通的调幅方式大。因此单边带调制具有使用带宽小、节省能量的优点，但是它无法被普通的调幅检波器解调。 单边带调制的实现方法有很多种，其中常用的一种就是利用希尔伯特变换，对调制信号进行频移，系统中包括载波信号和两个频移后的调制信号。两个频移后的调制信号分别在载波信
希尔伯特变换与傅立叶变换
在数学与信号处理的领域中，一个实数值函数的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积，以得到。因此，希尔伯特转换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此一系统的脉冲响应为。这是一项有用的数学， 用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope)，出现在通讯理论（应用方面的详述请见下文。） 希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。 希尔伯特转换定义如下： 其中 并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在以及 等处的奇点。 另外要指出的是： 若，则可被定义，且属于；其中。频率响应 希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出： , 其中 ?是傅立叶变换， ?i (有时写作j )是虚数单位， ?是角频率，以及
? 即为符号函数。 既然： , 希尔伯特转换会将负频率成分偏移+90°，而正频率成分偏移?90°。 反（逆）希尔伯特转换 我们也注意到：。因此将上面方程式乘上，可得到： 从中，可以看出反（逆）希尔伯特转换 傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。 ?傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。 ?傅里叶变换属于谐波分析。 ?傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。 ?正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
关于希尔伯特变换的 c语言实现
关于希尔伯特变换的c语言实现 最近毕设需要用到希尔伯特变换的知识，今天做完之后决定还是记录下思路。 当然是数字信号的希尔伯特变换 上面是连续信号的希尔伯特变换，离散的应该也能根据上面写（没现成的图片，懒得编辑公式了）。这里打算采用使用卷积的方法来计算。由于希尔伯特变换的传输函数的傅里叶变换是H(w)= -j w>=0 j w<0 所以我们可以先求原始信号的离散傅里叶变换E（K），然后按照下面的公式就可以求出希尔伯特变换之后的信号的离散傅里叶变换Eh（K）。 然后对Eh（K）求反傅里叶变换就可得到我们需要的信号的希尔伯特变换信号。下面贴代码思路 先建立一个复信号的结构体： typedef struct { Float64 r; /* 实部*/
Float64 i; /* 虚部*/ } CPX;接着是离散傅里叶变换的函数第一个参数dir代表正变换和反变换。 void DFT(int dir,int framelen,CPX *signal,CPX *dft_s) { int i,k; double arg; double cosarg,sinarg;for(i=0;i<framelen;i++) { arg=-dir*2.0*3.141592654*(double)i/(double)framelen; for(k=0;k<framelen;k++) {
cosarg=cos(k*arg); sinarg=sin(k*arg); dft_s[i].r+=(signal[k].r*cosarg-signal[k].i*sinarg); dft_s[i].i+=(signal[k].r*sinarg+signal[k].i*cosarg); } } /*返回数据*/ if(dir==-1) { for(i=0;i<framelen;i++) {
(完整版)Hilbert希尔伯特环变换
黄锷院士在《On Holo-Hilbert spectral analysis: a full informational spectral representation for nonlinear and non-stationary data》中提出一种高维全息谱分析理论HHSA(Holo-Hilbert spectral analysis) 要理解HHSA方法，首先要了解希尔伯特变换、经验模态分解(EMD)、与希尔伯特-黄变换(HHT)。 学术背景： 在信号处理与频谱分析的目的是要描述信号的频谱含量在时间上变化，以便能在时间和频谱上同时表示信号的能量或者强度。傅里叶频谱并没有告诉我们哪些频率在什么时候出现。因此傅里叶变换无法表现信号频率成分的时变性，因此学术界先后发展出了短时傅里叶变换、窗口傅里叶变换、小波等手段，近似的求信号某一时刻的瞬时频率。 希尔伯特变换： 希尔伯特变换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。通过希尔伯特变换，使得我们对短信号和复杂信号的瞬时参数的定义及计算成为可能，能够实现真正意义上的瞬时频率的提取，因而希尔伯特变换在信号处理上具有十分重要的地位，使得希尔伯特变换具有广泛的工程应用。 但在进一步的工程应用中，希尔伯特变换具有以下缺陷： (1)希尔伯特变换只能近似应用于窄带信号。但实际应用中，存在 许多非窄带信号，希尔伯特变换对这些信号无能为力。即便是 窄带信号，如果不能完全满足希尔伯特变换条件，也会使结果
发生错误。而实际信号中由于噪声的存在，会使很多原来满足 希尔伯特变换条件的信号无法完全满足； (2)对于任意给定时刻，通过希尔伯特变换运算后的结果只能在 一个频率值，即只能处理任何时刻为单一频率的信号； (3)对于一个非平稳的数据序列，希尔伯特变换得到的结果很大 程度上失去了原有的物理意义。 图1 傅立叶、小波与希尔伯特-黄变换对瞬时频率的分辨率 希尔伯特-黄变换： 针对上述的三个问题，黄锷院士在1998年提出希尔伯特-黄变换(HHT)。其基本思想是：讲一个非稳态、非线性的信号分解为若干个稳态信号，在对分解后的信号进行希尔伯特变换，分别求取对应的瞬时频率。 在这里将非稳态、非线性信号分解为多个稳态信号的算法成为经
希尔伯特变换的定义和性质
1 希尔伯特变换的定义 1) 卷积积分 设实值函数)(t f ,其中),(+∞-∞∈t ，它的希尔伯特变换为 ττπτd t f t f ? +∞ ∞-∧ -=) () ()(， (1) 常记为 )]([)(t f H t f =∧ (2) 由于)(t f ∧ 是函数)(t f 与 π t 1 的卷积积分，故可写成 )(t f ∧=)(t f *π t 1 (3) 2) 2π相位 设])([)(∧ ∧ =t f F f F ，根据(3)式和傅里叶变换性质可知，)(f F ∧ 是)(t f ∧ 的傅里叶变换)(f F 和πt 1的傅里叶变换的乘积。由 ?? ?<>-=-=. 0,,0,)sgn(]1[f j f j f j t F π (4) 得 ).()]sgn([)(f F f j f F -=∧ )sgn(f j -可表达为 ?????<>=-=--. 0,0 ,)sgn()(22f f f j f B e e j j ππ 或者 e f j f B ) sgn(2 )(π -= 所以)(f B 是一个2 π 相移系统，即希尔伯特变换等效于2 π ± 的相移，对 正频率产生2 π -的相移，对负频率产生2 π相移，或者说，在时域信号
中每一频率成分移位4 1波长。因此，希尔伯特变换又称为90度移相器。 3) 解析信号的虚部 为进一步理解希尔伯特变换的意义，引入解析函数)(t Z : ∧ +=)()()(t f j t f t Z (5) 也可以写成 )()()(t j e t A t Z φ-= (6) 其中，)(t A 称为希尔伯特变换的包络；)(t φ称为瞬时响应信号。 希尔伯特变换包络)(t A 定义为 )()()(2 2 t f t f t A ∧+= (7) 相位定义为 ?? ? ?????=∧)()(arctan )(t f t f t φ (8) 瞬时频率定义为 dt f d f ) (210φπ= (9) 根据傅里叶变换式 )]([)(1f Z F t Z -= )()(t f j t f ∧ += ? ??==∧ )](Im[)()] (Re[)(t Z t f t Z t f (10) 为计算)(f Z ，由).()]sgn([)(f F f j f F -=∧ 知 )()]sgn(1[)(f F f f Z += )()(1f F f B = (11)
希尔伯特-黄变换说明及程序
质模态函数(IMF) 任何一个资料，满足下列两个条件即可称作本质模态函数。 ⒈局部极大值(local maxima)以及局部极小值(local minima)的数目之和必须与零交越点(zero crossing)的数目相等或是最多只能差1，也就是说一个极值后面必需马上接一个零交越点。 ⒉在任何时间点，局部最大值所定义的上包络线(upper envelope)与局部极小值所定义的下包络线，取平均要接近为零。 因此，一个函数若属于IMF，代表其波形局部对称于零平均值。此类函数类似于弦波（sinusoid-like），但是这些类似于弦波的部分其周期与振幅可以不是固定。因为，可以直接使用希尔伯特转换，求得有意义的瞬时频率。 经验模态分解(EMD)
EMD算法流程图 建立IMF是为了满足希尔伯特转换对于瞬时频率的限制条件之前置处理，也是一种转换的过程。我们将IMF来做希尔伯特转换可以得到较良好的特性，不幸的是大部分的资料并不是IMF，而是由许多弦波所合成的一个组合。如此一来，希尔伯特转换并不能得到正确的瞬时频率，我们便无法准确的分析资料。为了解决非
线性（non-linear）与非稳态（non-stationary）资料在分解成IMF时所遇到的困难，便发展出EMD。 经验模态分解是将讯号分解成IMF的组合。经验模态分解是借着不断重复的筛选程序来逐步找出IMF。 以讯号为例，筛选程序的流程概述如下: 步骤 1 : 找出中的所有局部极大值以及局部极小值，接着利用三次样条 (cubic spline)，分别将局部极大值串连成上包络线与局部极小值串连成下包络线。 步骤 2 : 求出上下包络线之平均，得到均值包络线。 步骤 3 : 原始信号与均值包络线相减，得到第一个分量。 步骤 4 : 检查是否符合IMF的条件。如果不符合，则回到步骤1并且将 当作原始讯号，进行第二次的筛选。亦即 重复筛选次 直到符合IMF的条件，即得到第一个IMF分量，亦即 步骤 5 : 原始讯号减去可得到剩余量，表示如下式
希尔伯特变换
§5.6 希尔伯特(Hilbert )变换 ? 希尔伯特变换的引入 ? 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换 一．由傅里叶变换到希尔伯特变换 已知正负号函数的傅里叶变换 根据对称性得到 则 若系统函数为 则冲激响应 系统框图: 系统的零状态响应 利用卷积定理 具有系统函数为 － 的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络 同理可得到: 若系统冲激响应为 ()[]ωj t F 2 sgn =() jt 2 21sgn ??-πω() ωπ-?sgn 1 j t ()为奇函数 ωsgn () ωπ sgn 1j t -?()???<>--=-=090 0 90sgn )(0 0ωωωωj j j j H ()()[]t j H F t h πω11 ==-()()ωF t f ?? ()()ωF t f () ωsgn j - ()()() () t t f t h t f t f π1?*=*=()[] ()()()[ ] () () ???<>-=-?== 0 0 sgn ??ωωωωωωωjF jF j F F t f F ()t t h π1 -=2π()ωsgn j
其网络的系统函数为 该系统框图为 输出信号 利用卷积定理 具有系统函数为 的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络 希尔伯波特变换 二． 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换 可实现系统是因果系统，其冲激响应 ()[] ()? ? ?<->===090 0 90 sgn )(00 ωωωωj j j t h F H ()()ωt f ()(ωF t f ?? ()ωsgn j ()()()() ? ??? ??-*=*=t t f t h t f t f π1??()()() ()() ?? ?<->= ?= 0 0 sgn ?ωωωωωωωjF jF j F F 2π ( )ωsgn j ()[]() () τττπd 1?? ∞∞--==t f t f t f H ()() t t f t f π1? *=()[] ()()τ ττπd 1?1? ∞∞----==t f t f t f H ()()??? ? ? ?-*=t t f t f π 1?
希尔伯特变换
基于希尔伯特变换 的改良加速研究CT图像重建算法GUIQIN YANG, HUANYU NING, HUI WU and ZHAN JUN JIANG 摘要 在本文中，扇束滤波反投影算法（FBP）提高了利用希尔伯特变换来代替原来的一。同时，技术计算统一设备架构（CUDA）的图形处理单元（GPU）是通过加速和缩短并行处理所需的时间，它可以大大提高效率。该算法利用MATLAB模拟。结果表明，重建图像的质量得到改善，重建速度可以提高3.8倍，CUDA技术。 景区简介 CT技术在许多领域如近几年发展迅速工业，航空航天，医疗和安全检查[ 1 ] [ 2 ]。目前，计算机断层扫描（CT）已发展到256排扇束扫描模式商业。主要重建技术被称为滤波反投影（FBP）这是基于经典的傅立叶切片定理算法。作为一个CT技术的重要组成部分，影响了图像重建算法质量直接。计算统一设备架构（CUDA）是一种新的计算机技术可以提高程序效率几乎没有影响原算法[ 3 ]。所以在本文中，希尔伯特变换是用来改善重建算法和CUDA技术应用于加速程序运行。仿真结果表明，提出的算法和技术本文是能够提高图像的信噪比和降低图像重建时间。 图像重建算法的改进 平行束重建算法的改进 扇束、平行束FBP重建的步骤是相同的，即加权投影，坡度滤波反投影，[ 4 ]。扫描采用相同的斜率滤波器的设计，所以本文中的平行束重建提高首先，和那扇束滤波反投影重建进行了改进。 平行束FBP重建公式显示为：
在公式（1），表示探测器的位置，?表示探测器的旋转角度，是变领域。因此式（1）是重写在式（2）中： 根据傅里叶变换的定义和性质，确定公式（3）显示： F [ ]表明，傅里叶变换表明逆傅里叶变换。所以，投影数据可写为（4）： 是平行束投影数据，是希尔伯特滤波器脉冲响应，所以，公式（2）可以改善（5）： 希尔伯特[ ]代表希尔伯特变换（5）。积分作用可以改写为两步叫派生法和希尔伯特变换在重建算法。 扇束重建算法的改进
希尔伯特黄变换镜像希尔伯特-黄变换及其应用
希尔伯特黄变换镜像希尔伯特－黄变换及其应用 Norden EHuang,NASA Goddard Space Flight Center,USA Samuel SPShen,University of Alberta, Canada Eds Hilbert Huang Transform andits Applications xx,311pp. Hardcover USD98.00 ISBN 981-256-376-8 近年来，基于时频变换理论、用于处理非平稳信号的一种新的变换方法―――Ｈｉｌｂｅｒｔ?Ｈｕａｎｇ变换（Ｈｉｌｂｅｒｔ?ＨｕａｎｇＴｒａｎｓｆｏｒｍ，ＨＨＴ）在各个行业得到越来越
广泛的应用。ＨＨＴ方法能够对非线性、非平稳信号进行处理，不需事先确定基函数，是一种更具适应性的时频局部化分析方法。 本书是第一本关于希尔伯特?黄变换的系统化的论著，具有一定的深度和广度，既讲述了希尔伯特?黄变换的理论，又叙述了希尔伯特?黄变换在地球物理学、气象学、建筑安全学及可视化等领域的实 际应用。 本书包括前言和４部分内容。第一部分：ＨＨＴ理论介绍，包 括ＨＨＴ及其相关的数学问题的介绍、基于ＥＭＤ的Ｂ样条拟合方法、ＥＭＤ等价过滤层的解释及应用、ＨＨＴ筛选和过滤、内在模态函数（ＩＭＦ）的统计学意义实验；第二部分：ＨＨＴ变换在地球物理 学中的应用，包括ＨＨＴ变换在气象学数据集分析中的应用、ＥＭＤ方法及气候变异、在卫星数据流分析中ＥＭＤ对轨道漂移人为误差的修正、非线性非平稳的水面大气温度的ＨＨＴ分析、非线性海洋波的Ｈｉｌｂｅｒｔ谱；第三部分：ＨＨＴ变换在建筑安全中的应用，包括ＥＭＤ和建筑损坏的实时相位检测、基于ＨＨＴ变换的桥梁结构健康监测方法；第四部分：ＨＨＴ变换在可视化中的应用，介绍了ＨＨＴ变换在图像分析中的应用。
利用希尔伯特变换实现单边带调制
希尔伯特变换与单边带幅度调制 摘要:本文主要分析和讨论了希尔伯特变换、单边带调制及利用希尔伯特变换进行的单边调制的方法，并用MATLAB进行了实验和仿真。仿真的结果验证了前面理论分析部分的正确性。 关键词：希尔伯特变换单边带调制MATLAB 引言 希尔伯特变换(Hilbert)在通讯等领域有着非常广泛的应用，它是信号分析与处理的重要工具，可以用来进行信号的调制与解调、对信号功率的测量、对窄带信号的检测、实现对瞬时频率的估计等，并且它可以用来统一的描述各种模拟调制方式（DSB、SSB、AM、FM）的原理，揭示这些方式之间的内在联系，简化理论分析。 希尔伯特变换是一种将信号相移90度的运算，与其他变换不同，它是属于相同域的变换。它有着一些很好的性质，如正交性、卷积特性等。特别的，对于任意的一个因果系统，它的实部和虚部、模与幅角，都存在着一定的希尔伯特变换关系。继而，由希尔伯特变换得出的任一信号的解析信号，其频率响应总是因果的，即其频率响应仅含有正频率项。 单边带调制（英文是Single-sideband modulation，缩写为SSB），是一种可以更加有效的利用电能和带宽的调幅技术。单边带调制与残留边带调制（VSB）有密切的关系。调幅技术输出的调制信号带宽为源信号的两倍。单边带调制技术可以避免带宽翻倍，同时避免将能量浪费在载波上，不过因为设备变得复杂，成本也会增加。单边带调制
技术是原有频率分量的相对关系保持不变的调制技术，也可看作是调幅(AM)的一种特殊形式。调幅信号频谱由载频fc和上、下边带组成，被传输的消息包含在两个边带中，而且每一边带包含有完整的被传输的消息。因此，只要发送单边带信号，就能不失真地传输消息。显然，把调幅信号频谱中的载频和其中一个边带抑制掉后，余下的就是单边带信号的频谱。 一种生成单边带调制信号的方法是将其中一个边带通过滤波去除，只留下上边带或者下边带。而且载波一般也需要经过衰减或者完全滤除（抑制）。这通常称为抑制单边带载波。假如原调制信号的两个边带是对称的，那么经过这一变换后，并不会造成任何的信息遗失。因为最终的射频放大器只发射一个边带，这样有效输出功率就会比普通的调幅方式大。因此单边带调制具有使用带宽小、节省能量的优点，但是它无法被普通的调幅检波器解调。 单边带调制的实现方法有很多种，其中常用的一种就是利用希尔伯特变换，对调制信号进行频移，系统中包括载波信号和两个频移后的调制信号。两个频移后的调制信号分别在载波信号的两侧，其中频率较低的那个信号是频率反转后的信号。 原理分析 在单边带幅度调制中，可以保留上边带，也可以保留下边带。信号单边带调制可以提高信道的利用率。信号单边调制（SSB）有上边带（USB）和下边带（LSB）两种，一般利用希尔伯特变换来实现。 ⒈利用希尔伯特实现单边带调制的原理框图如下所示：
Hilbert希尔伯特环变换
黄锷院士在《OnHolo-Hilbert spectral analysis: afull informational spectralrepresentation for nonlinear andnon-stationary data》中提出一种高维全息谱分析理论HHSA(Holo-Hilbert spectral analysis) 要理解HHSA方法，首先要了解希尔伯特变换、经验模态分解(EMD)、与希尔伯特-黄变换(HHT)。 学术背景： 在信号处理与频谱分析的目的是要描述信号的频谱含量在时间上变化，以便能在时间和频谱上同时表示信号的能量或者强度。傅里叶频谱并没有告诉我们哪些频率在什么时候出现。因此傅里叶变换无法表现信号频率成分的时变性，因此学术界先后发展出了短时傅里叶变换、窗口傅里叶变换、小波等手段，近似的求信号某一时刻的瞬时频率。 希尔伯特变换： 希尔伯特变换是以著名数学家大卫〃希尔伯特(David Hilbert)来命名。通过希尔伯特变换，使得我们对短信号和复杂信号的瞬时参数的定义及计算成为可能，能够实现真正意义上的瞬时频率的提取，因而希尔伯特变换在信号处理上具有十分重要的地位，使得希尔伯特变换具有广泛的工程应用。 但在进一步的工程应用中，希尔伯特变换具有以下缺陷： (1)希尔伯特变换只能近似应用于窄带信号。但实际应用中，存 在许多非窄带信号，希尔伯特变换对这些信号无能为力。即 便是窄带信号，如果不能完全满足希尔伯特变换条件，也会
使结果发生错误。而实际信号中由于噪声的存在，会使很多 原来满足希尔伯特变换条件的信号无法完全满足； (2)对于任意给定时刻，通过希尔伯特变换运算后的结果只能在 一个频率值，即只能处理任何时刻为单一频率的信号； (3)对于一个非平稳的数据序列，希尔伯特变换得到的结果很大 程度上失去了原有的物理意义。 图1 傅立叶、小波与希尔伯特-黄变换对瞬时频率的分辨率 希尔伯特-黄变换： 针对上述的三个问题，黄锷院士在1998年提出希尔伯特-黄变换(HHT)。其基本思想是：讲一个非稳态、非线性的信号分解为若干个稳态信号，在对分解后的信号进行希尔伯特变换，分别求取对应的瞬时频率。 在这里将非稳态、非线性信号分解为多个稳态信号的算法成为经
希尔伯特变换的定义和性质(精)
1 希尔伯特变换的定义 1 卷积积分 设实值函数,其中，它的希尔伯特变换为 ， (1 常记为 (2 由于是函数与的卷积积分，故可写成 =* (3 2 相位 设，根据(3式和傅里叶变换性质可知，是的傅里叶变换和的傅里叶变换的乘积。由 (4 得 可表达为 或者
所以是一个相移系统，即希尔伯特变换等效于的相移，对正频率产生的相移，对负频率产生相移，或者说，在时域信号中每一频率成分移位波长。因此，希尔伯特变换又称为90度移相器。 3 解析信号的虚部 为进一步理解希尔伯特变换的意义，引入解析函数: (5 也可以写成 (6 其中，称为希尔伯特变换的包络；称为瞬时响应信号。 希尔伯特变换包络定义为 (7 相位定义为 (8 瞬时频率定义为 (9 根据傅里叶变换式
(10 为计算，由知 (11 其中 因此，可以简单地从得到，而的虚部即。 2. 希尔伯特变换的性质 1 线性性质 若a,b为任意常数，且，，则有 (12 2 移位性质 (13 3 希尔伯特变换的希尔伯特变换 (14
此性质表明，两重希尔伯特变换的结果仅使原函数加一负号，由此可以进一步得到 (15 4 逆希尔伯特变换 (16 为与的卷积，可表示为 (17 其中，。 5 奇偶特性 如果原函数是的偶（奇），则其希尔伯特变换就是的奇（偶）函数，即 (18 6 能量守恒 根据帕塞瓦尔定理可知 和
因而有 (19 7 正交性质 (20 8 调制性质 对任意函数，其傅里叶变换是带限的，即 则有 (21 9 卷积性质 (22 另外，希尔伯特变换具有周期性和同域性，即希尔伯特变换不改变原函数的周期性，也不改变域表示，而不像傅里叶变换那样，把时间函数（信号）从时域表示换成频域表示。