一维优化方法
一维优化方法
最优化设计数学模型中的基本概念:
1、设计变量
在机械设计中,区别不同的设计方案,通常是以一组取值不同的参数来表示。这些参
数可以是表示构件形状、大小、位置等的几何量,也可以是表示构件质量、速度、加速度、力、力矩等的物理量。在构成一项设计方案的全部参数中,可能有一部分参数根据实际情
况预先确定了数值,它们在优化设计过程中始终保持不变,这样的参数称为给定参数(或
叫预定参数)或设计常数。另一部分参数则是需要优选的参数,它们的数值在优化设计过
程中则是需要优选的参数,它们的数值在优化计算过程中是变化的,这类参数称为设计变量,它相当于数学上的独立自变量。一个优化问题如果有n个设计变量,而每个设计变量
用xi(i=1,2, ,n)表示,则可以把n个设计变量按一定的次序排列起来组成一个列阵或行
阵的转置,即写成
??x1?
x=?x?
2?=[x1,x2, ,xT
?? ?n]
?x?
n?
我们把x定义为n维欧式空间的一个列向量,设计变量x1,x2, ,xn为向量x的n个
分量。以设计变量x1,x2, ,xn为坐标轴展成的空间称为n维欧式空间,用Rn表示。该空
间包含了该项设计所有可能的设计方案,且每一个设计方案就对应着设计空间上的一个设
计向量或者说一个设计点x。
2、目标函数
优化设计是在多种因素下欲寻求使设计者员满意、且适宜的一组参数。“最满意”、“最适宜”是针对某具体的设计问题,人们所追求的某一特定目标而言。在机械设计中,
人们总希望所设计的产品具有最好的使用性能、体积小、结构紧凑、重量最轻和最少的制
造成本以及最多的经济效益,即有关性能指标和经济指标方面最好。
在优化设计中,一般将所追求的目标(最优指标)用设计变量的函数形式表达,称该函
数为优化设计的目标函数。目标函数的值是评价设计方案优劣程度的标准,也可称为准则
函数。建立这个函数的过程称为建立目标函数。一般的表达式为
F(x)=F(x1,x2, ,xn)
它代表着某项重要的特征,例如机器的某种性能、体积、质量、成本、误差、效率等等。
目标函数是设计变量的标量函数。优化设计的过程就是通过优选设计变量使目标函数
达到最优值,最优值的数学表征为最小值minF(x)或最大值maxF(x)。按一般的规范做法,把优化问题归结为求目标函数值的最小值居多。在求解过程中,目标函数值越小,设计方
案越优。对于某些追求目标函数最大值的问题,例如前述求月生产利润最大的问题或谋求
设计的效率最高、寿命最长等等,可转化(8-1) (8-2)
为求目标函数负值的最小值问题,即
maxF(x)?min[-F(x)] (8-3) 因此,本章在后面的叙述中,一律把优化问题规范为求
目标函数的最小值,表达式见式(8-2)。在优化设计中,仅根据一项准则建立的一个目标
函数,称为单目标函数。如前面举例中的生产调度问题中,为了实现单月生产利润最大化
而建立的目标函数即属于单目标优化设计问题。若在设计中需要同时兼顾多个设计准则,
则需要建立多个目标函数,这种问题即为多目标优化问题。
在解决优化设计问题时,正确选择目标函数是非常重要的,它不仅直接影响优化设计
的结果,而且对整个优化计算的繁简难易也会有一定的影响。
3、约束条件与可行域
优化设计不仅要使所选择方案的设计指标达到最佳值,同时还必须满足一些附加的设
计条件,这些附加的设计条件都是对设计变量取值的限制,在优化设计中叫做设计约束或
约束条件。它的表现形式有两种,一种是不等式约束,即
另一种是等式约束,即
gu(x)≤0 或gu(x)≥0hv(x)=0u=1,2, ,m v=1,2, ,p
式中gu(x)和hv(x)分别为设计变量的函数;m和p分别表示不等式约束和等式约束的个数,而且等式约束的个数p必须小于设计变量的个数n。因为从理论上讲,存在一个等
式约束就得以用它消去一个设计变量,这样便可降低优化设计问题的维数。所以,当p=n 时,即可由p个方程组中解得唯一的一组x1,x2, ,xn值。这样,方案的选择就成为唯一
的或确定的了。
在解决工程问题时,约束条件是优化设计获得工程可接受设计方案的重要条件。不等
式约束及其有关概念,在优化设计中是相当重要的。每一个不等式约束(如g(x)≤0)都把
设计空间划分成两部分,一部分是满足该不等式约束条件的,即g(x)
)>0。两部分的分界面叫做约束面,即
由g(x)=0的点集构成。在二维设计空间中约束面是一条曲线或直线,在三维以上的
设计空间中则是一个曲面或超曲面。一个优化设计问题的所有不等式约束的边界将组成一
个复合约束边界,如图8-3表示了一个二维问题的情况。其约束边界所包围的区域(图中
阴影线内)是设计空间中满足所有不等式约束条件的部分,在这个区域中所选择的设计变
量是允许采用的,我们称这个区域为设计可行域或简称为可行域,记作
D={xgu(x)≤0u=1,2, ,m}
若某项设计中除了具有m个不等式约束条件外,还应满足p个等式约束条件时,即对
设计变量的选择又增加了限制。如图8-3所示,当有一个等式约束条件h(x1,x2)=0时,
其可行设计方案只允许在D域内的等式函数曲线的AB段上选择。因此,在一般的情形下,优化问题的设计可行域可表示为
?g(x)≤0 u=1,2, ,m ?D=?u? ?hv(x)=0 v=1,2, ,p
与此相反,除去可行域以外的设计空间称为非可行域。据此,在可行域内的任一设计
点都代表了一个可接受的设计方案,这样的点叫可行设计点或内点,如图所示的x(1)点;在约束边界上的点叫极限设计点或边界点,如点x(3),此时这个边界所代表的约束叫作起作用约束。x(2)点则称为外点,即非可行点,该点为不可接受的设计方案,因为该点违反
了约束条件2,即g2(x(2))>0。
二、优化计算的数值解法及收敛条件
最优化技术总体包含两个方面,首先是根据实际的生产或科技问题构造出优化的数学
模型,再采取恰当的优化方法对数学模型进行求解。无论是无约束优化问题还是约束优化
问题,其本质上都是求极值的数学问题。从理论上,其求解可用解析法,即微积分学和变
分法中的极值理论,但由于实际中的优化数学模型多种多样,往往目标函数及约束函数都
是非线性的,采用解析法求解变得非常复杂和困难,甚至在有些时候无法求解数学模型。
因此,随着优化技术和电子计算机技术的不断发展,逐渐产生了以计算机程序计算为主的
一种更为实用的求优方法—数值计算法,通常也称为求解非线性规划的最优化方法。
1、数值计算法的迭代过程
最优化方法是与电子计算机及计算技术的发展紧密相联系的,数值计算法的迭代过程
也是依赖于计算机的运算特点而形成的。所以,计算过程完全有别于解析法的求解过程。
优化方法的迭代特点是:按照某种人为规定的逻辑结构,以一定的格式反复的数值计算,
寻求函数值逐次下降的设计点,直到满足规定的精度时才终止迭代计算,最后的设计点即
为欲求的最优点,所得到的解是满足规定精度的近似解。
图8-9 二维优化问题的迭代过程
总体做法如图8-9所示,由选定的初始点x(0)出发,沿着某种优化方法所规定的搜寻方向s(0),以一定的步长α(0),按迭代格式产生第一个新的设计点x(1),
x(1)=x(0)+α(0)s(0),且同时满足F(x(1))
一维优化方法
一维优化方法 最优化设计数学模型中的基本概念: 1、设计变量 在机械设计中,区别不同的设计方案,通常是以一组取值不同的参数来表示。这些参 数可以是表示构件形状、大小、位置等的几何量,也可以是表示构件质量、速度、加速度、力、力矩等的物理量。在构成一项设计方案的全部参数中,可能有一部分参数根据实际情 况预先确定了数值,它们在优化设计过程中始终保持不变,这样的参数称为给定参数(或 叫预定参数)或设计常数。另一部分参数则是需要优选的参数,它们的数值在优化设计过 程中则是需要优选的参数,它们的数值在优化计算过程中是变化的,这类参数称为设计变量,它相当于数学上的独立自变量。一个优化问题如果有n个设计变量,而每个设计变量 用xi(i=1,2, ,n)表示,则可以把n个设计变量按一定的次序排列起来组成一个列阵或行 阵的转置,即写成 ??x1? x=?x? 2?=[x1,x2, ,xT ?? ?n] ?x? n? 我们把x定义为n维欧式空间的一个列向量,设计变量x1,x2, ,xn为向量x的n个 分量。以设计变量x1,x2, ,xn为坐标轴展成的空间称为n维欧式空间,用Rn表示。该空 间包含了该项设计所有可能的设计方案,且每一个设计方案就对应着设计空间上的一个设 计向量或者说一个设计点x。 2、目标函数 优化设计是在多种因素下欲寻求使设计者员满意、且适宜的一组参数。“最满意”、“最适宜”是针对某具体的设计问题,人们所追求的某一特定目标而言。在机械设计中, 人们总希望所设计的产品具有最好的使用性能、体积小、结构紧凑、重量最轻和最少的制 造成本以及最多的经济效益,即有关性能指标和经济指标方面最好。 在优化设计中,一般将所追求的目标(最优指标)用设计变量的函数形式表达,称该函 数为优化设计的目标函数。目标函数的值是评价设计方案优劣程度的标准,也可称为准则 函数。建立这个函数的过程称为建立目标函数。一般的表达式为
最优化方法一维搜索法C++程序
加步探索法 #include 对分法 #include 最优化方法结课作业 年级数学121班 学号201200144209 姓名李强 1、几种方法比较 无约束优化:不对定义域或值域做任何限制的情况下,求解目标函数的最小值。这是因为实际应用中,许多情形被抽象为函数形式后均为凸函数,对于凸函数来说局部最小值点即为全局最小值点,因此只要能求得这类函数的一个最小值点,该点一定为全局最小值。(直接法:又称数值方法,它只需计算目标函数驻点的函数数值,而不是求其倒数,如坐标轮换法,单纯型法等。间接法:又称解析法,是应用数学极值理论的解析方法。首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数,然后根据梯度及海赛矩阵提供的信息,构造何种算法,从而间接地求出目标函数的最优解,如牛顿法、最速下降法共轭梯度法及变尺度法。)在优化算法中保证整体收敛的重要方法就是线搜索法与信赖域法,这两种算法既相似又有所不同。根据不同的线搜索准则就延伸出不同的线搜索算法,譬如比较常见和经典的最速下降法,牛顿法,拟牛顿法以及共辄梯度法等。 一维搜索又称线性搜索(Line Search),就是指单变量函数的最优化,它是多变量函数最优化的基础,是求解无约束非线性规划问题的基本方法之一。 一维搜索技术既可独立的用于求解单变量最优化问题,同时又是求解多变量最优化问题常用的手段,虽然求解单变量最优化问题相对比较简单,但其中也贯穿了求解最优化问题的基本思想。由于一维搜索的使用频率较高,因此努力提高求解单变量问题算法的计算效率具有重要的实际意义。 在多变量函数的最优化中,迭代格式Xk+1=Xk+akdk其关键就是构造搜索方向dk和步长因子ak 设Φ(a)=f(xk+adk) 这样从凡出发,沿搜索方向dk,确定步长因子ak,使Φ(a)<Φ(0)的问题就是关于步长因子a 的一维搜索问题。其主要结构可作如下概括:首先确定包含问题最优解的搜索区间,然后采用某种分割技术或插值方法缩小这个区间,进行搜索求解。 一维搜索通常分为精确的和不精确的两类。如果求得ak使目标函数沿方向dk达到极小,即使得f (xk+akdk)=min f (xk+ adk) ( a>0)则称这样的一维搜索为最优一维搜索,或精确一维搜索,ak叫最优步长因子;如果选取ak使目标函数f得到可接受的下降量,即使得下降量f (xk)一f (xk+akdk)>0是用户可接受的,则称这样的一维搜索为近似一维搜索,或不精确一维搜索,或可接受一维搜索。由于在实际计算中,一般做不到精确的一维搜索,实际上也没有必要做到这一点,因为精确的一维搜索需要付出较高的代价,而对加速收敛作用不大,因此花费计算量 无约束优化:不对定义域或值域做任何限制的情况下,求解目标函数的最小值。 这是因为实际应用中,许多情形被抽象为函数形式后均为凸函数,对于凸函数来说局部最小值点即为全局最小值点,因此只要能求得这类函数的一个最小值点,该点一定为全局最小值。 (直接法:又称数值方法,它只需计算目标函数驻点的函数数值,而不是求其倒数,如坐标轮换法,单纯型法等。 间接法:又称解析法,是应用数学极值理论的解析方法。首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数,然后根据梯度及海赛矩阵提供的信息,构造何种算法,从而间接地求出目标函数的最优解,如牛顿法、最速下降法共轭梯度法及变尺度法。) 在优化算法中保证整体收敛的重要方法就是线搜索法与信赖域法,这两种算法既相似又有所不同。根据不同的线搜索准则就延伸出不同的线搜索算法,譬如比较常见和经典的最速下降法,牛顿法,拟牛顿法以及共辄梯度法等。 一维搜索又称线性搜索(Line Search),就是指单变量函数的最优化,它是多变量函数最优化的基础,是求解无约束非线性规划问题的基本方法之一。 一维搜索技术既可独立的用于求解单变量最优化问题,同时又是求解多变量最优化问题常用的手段,虽然求解单变量最优化问题相对比较简单,但其中也贯穿了求解最优化问题的基本思想。由于一维搜索的使用频率较高,因此努力提高求解单变量问题算法的计算效率具有重要的实际意义。 在多变量函数的最优化中,迭代格式X k+1=X k+a k d k其关键就是构造搜索方向d k和步长因子a k 设Φ(a)=f(x k+ad k) 这样从凡出发,沿搜索方向d k,确定步长因子a k,使Φ(a)<Φ(0)的问题就是关于步长因子a的一维搜索问题。其主要结构可作如下概括:首先确定包含问题最优解的搜索区间,然后采用某种分割技术或插值方法缩小这个区间,进行搜索求解。 一维搜索通常分为精确的和不精确的两类。如果求得a k使目标函数沿方向d k达到 极小,即使得f (x k+a k d k)=min f (x k+ ad k) ( a>0) 则称这样的一维搜索为最优一维搜索,或精确一维搜索,a k叫最优步长因子; 如果选取a k使目标函数f得到可接受的下降量,即使得下降量f (x k)一f (x k+a k d k)>0是用 户可接受的,则称这样的一维搜索为近似一维搜索,或不精确一维搜索,或可接受一维 搜索。 由于在实际计算中,一般做不到精确的一维搜索,实际上也没有必要做到这一点,因为精确的 三点一维搜索法报告 姓名:张攀班级:2009211102 学号:09210048 算法的基本思想: 三点一维算法是从0.618法衍生而来的,0.618算法使用从两点a,b间选择两个点c,d将原来区域分为三个,抛弃不符合所求数值趋势的两个区域,不断逼近所求值,当|b-a| 实例分析: 选择函数:f[x] := Sin[x^4] + Cos[x] 该函数在[0,1]范围内有极小值,令a=0,b=1,p=0.1,e选取1*10^(-9),运算后结果在x=0.4904089750976563时有最小值0.939949。运算次数为22次, P值选取效率的影响: 在该函数中,[0,1]内函数波动较为平缓,从中间缓慢向两边扩展显然速度较快,因为所求点接近终点,当p增大的时能很快覆盖到所求点效率将变高,如果区域远超过所求点则效率将变低。 P取值以及逼近次数i的关系: P=0.1,i=22 P=0.2,i=26 P=0.25,i=19 P=0.3,i=19 P=0.35,i=21 P=0.4,i=23 P=0.5,i=26 P=0.6,i=30 P=0.7,i=36 P=0.8,i=57 可见最好的取值应为0.25到0.3之间。 总结: 三点一维算法实际通过多次比较,减少了0.618法对点的移动,和对区域的选择,比0.618法稳定。在比较区域大时三点一维算法比起0.618法更加优秀。 实验九、三点一维搜索策略 0.618方法在一元函数的最优化方法中占有重要的地位,它是在解的存在区间中插入两个分点进而对该区间三分,通过比较两个分点处的函数值大小来扔掉区间某侧的一段来提高解的精度——本实验试图构造某种类似的一维搜索策略,主要不同在于这里一次迭代要在解的存在区间中插入三个分点进而对该区间四分,最后考虑在包括原来区间的两个端点在内的五个点中选择相邻的三点,其函数值具有“高低高”结构且区间长度最短,将之保留。 算法: 步1:给定参数25.0=p ,精度要求0>ε,取初始三点0a a =,0b b =,2 b a x += , 令)(a f A =,)(b f B =,)(x f X =; 步2:若ε<-a b ,则输出a 、A 、b 、B ,停; 步 3.1:若 2 b a x += ,则令x x =2,)()1(21a x p a x -?-+=,)(223x b p x x -?+=,X X =2,)(11x f X =,)(33x f X =;否则,转步4.1; 步3.2:若{}3,2,1 2==i X Min X i ,则取1x a =、1X A =、3x b =、3X B =,转步2; 若21X X <,则取2x b =、2X B =、1x x =、1X X =,转步2; 若23X X <,则取1x a =、1X A =、3x x =、3X X =,转步2; 步 4.1:令 2 2b a x += ,)()1(21a x p a x -?-+=,)(223x b p x x -?+=, )(11x f X =,)(22x f X =,)(33x f X =; 步4.2:对)3,2,1(=i x i 、x 按照从小到大排序,记为)4,3,2,1(=i u i , )4,3,2,1(=i U i 表示它们的目标函数值,{}4,3,2,1 * ==i U Min U i ; 若* 1U U =,则取1u x =、1U X =、2u b =、2U B =,转步2; 若* 2U U =,则取1u a =、1U A =、2u x =、2U X =、3u b =、3U B =, 转步2; 若 * 3U U =,则取2u a =、2U A =、3u x =、3U X =、4u b =、4U B =, 一维搜索方法应用比较 一、黄金分割法 (1)黄金分割法的起源 黄金分割在文艺复兴前后,经过阿拉伯人传入欧洲,受到了欧洲人的欢迎,他们称之为"金法",17世纪欧洲的一位数学家,甚至称它为"各种算法中最可宝贵的算法"。这种算法在印度称之为"三率法"或"三数法则",也就是我们现在常说的比例方法。 其实有关"黄金分割",我国也有记载。虽然没有古希腊的早,但它是我国古代数学家独立创造的,后来传入了印度。经考证。欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的,而不是直接从古希腊传入的。 因为它在造型艺术中具有美学价值,在工艺美术和日用品的长宽设计中,采用这一比值能够引起人们的美感,在实际生活中的应用也非常广泛,建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割,舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央,而是偏在台上一侧,以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观,声音传播的最好。就连植物界也有采用黄金分割的地方,如果从一棵嫩枝的顶端向下看,就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多科学实验中,选取方案常用一种0.618法,即优选法,它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用,所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"。我国数学家华罗庚曾致力于推广优选法中的"0.618法",把黄金分割应用于生活实际及科学应用中。 黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取0.618 ,就像圆周率在应用时取3.14一样。 由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。 公元前4世纪,古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题,并建立起比例理论。 公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果,进一步系统论述了黄金分割,成为最早的有关黄金分割的论著。 中世纪后,黄金分割被披上神秘的外衣,意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例,并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。 到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质,人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法,是由美国数学家基弗于1953年首先提出的,70年代在中国推广。 第三章 常用一维搜索方法 第节维搜索概述 第一节 一维搜索概述一、下降迭代算法的基本思想、下降迭代算法的基本思想 不失一般性,考虑如下的优化问题 min ()x S f x ∈ (3.1) 其中:n f S R R ?→. 下降迭代算法的的基本思想:给定一个初始点1n x R ∈,按 }k 使得当}k 是有限点列时照某种迭代规则产生一个点列{x ,使得当{x 其最后一个点是最优化问题的最优解;当{}k x 是无穷点列时,它有极限点,且其极限点是优化问题的最优解. 设已迭代到点k x 处,则下一次迭代会出现以下两种情况之一: (1) 从k x 出发沿任何方向移动,目标函数不再下降; 出发至少存在个方向使标数有所 (2)从k x 出发至少存在一个方向使目标函数()f x 有所下降.这时,从中选取一个下降方向k d ,即k d 满足 ()0k T k f x d ?<,然后在直线 k k x x d λ=+上适当的确定一个新点 1k k k k x x d λ+=+,使得1()()()k k k k k f x f x d f x λ+=+<,此时就说完成了第1k +次迭代. 基本迭代格式 1k k k k x x d λ+=+ 本代格式 k d ------搜索方向 k λ-----步长因子或搜索步长 最优化问题的求解步骤 最优化问题的求解步骤:(1)选取初始点1x ,令1k =; (2)构造搜索方向k d .依照一定的规则,构造()f x 在点 k x 处的下降方向或可行下降方向作为搜索方向k d ; (3)确定搜索步长k λ.以k x 为起点沿搜索方向k d 选取的 λ适当步长k ,使得目标函数值有某种意义的下降,通常使 ()()k k k k f x d f x λ+<. 1k +令1k k k + (4)求出新的迭代点x .令k x x d λ=+(5)检验终止条件.判定1 k x +是否满足终止条件,若满足 停止迭代输出近似最优解否则令转 停止迭代,输出近似最优解1k x +;否则,令:1k k =+,转(2). 一维搜索方法:(方法比较) “成功—失败”法、二分法、0.618法(黄金分割法)、牛顿法、二次插值法、D.S.C法、Powell法、D.S.C—Powell组合法。 1、“成功—失败”法:主要思想:从一点出发,按一定的步长搜索新点,若成功,加大步长继续搜索,否则,缩短步长小步后退。此方法可以求最优解所在区间,称为“搜索区间”。 2、二分法:主要思想:区间[a,b]的中间值x0,判断f(x)的导数在三个点处的值,舍去一部分区间再求f(x)的极小值。 3、0.618法:等比例收缩原则,每次留下来的区间长度是上次留下来的区间长度的w倍。以及对称原则、去坏留好原则。W=0.618 4、牛顿法:基本思想:在极小值点附近用目标函数的二阶泰勒多项式近似代替目标函数,从而求得目标函数的极小值点的近似值。 5、二次插值法:牛顿法是在x k附近的目标函数用泰勒多项式近似代替,而此法是将f(x)用二次插值多项式p(x)近似代替。把p(x)的极小值点作为f(x)极小值点的代替,从来求得函数的极小值。 6、D.S.C法:主要思想:利用成功—失败法寻找靠近极小值点的三点,进行二次插值。 优点是:收敛速度快,且不要求函数可微。 7、Powell法:基本思想:在搜索方向开始得到三点x0,x1,x2后,作二次插值,求得最小值x, 在四点中去坏留好,在余下的三点中再作二次插值…… 8、D.S.C—Powell组合法: 几种方法比较: D.S.C—Powell组合法是非常好的一种方法,它比任何一个单个方法都好 D.S.C—Powell组合法与0.618法比较:D.S.C—Powell法中函数值的计算要比黄金分割法少得多,一般来讲它优于黄金分割法。 但:D.S.C—Powell法不一定能收敛到最优解。 最速下降法与修正牛顿法: 对于正定二次函数,牛顿法一步可以求得最优解,对于非二次函数,牛顿法并不能保证有限次求得其最优解,但由于目标函数在极小值的附近近似于二次函数,故当初始点靠近极小值时,牛顿法收敛的速度比较快。 牛顿法的缺点是:计算量大。 故:开始几步用最速下降法,后面用牛顿法。 最速下降法、牛顿法、修正牛顿法是无约束优化方法中的基本方法。 现代设计一维优化方法——黄金分割法c程序 该程序是现代设计优化方法,黄金分割法的c语言源代码 该程序无错误,已经调试,后面附有实例,仅供参考 希望对你有所帮助………… #include "stdio.h" #include "math.h" #include "conio.h" #define e 0.001 #define tt 0.01 double function(double x) { double y; y=8*pow(x,3)-2*pow(x,2)-7*x+3; return(y); } void searching(double a[3],double f[3]) {double t=tt,a1,f1,ia; int i; a[0]=0; f[0]=function(a[0]); for(i=0;;i++) {a[1]=a[0]+t; f[1]=function(a[1]); if(f[1] } if(a[0]>a[2]) { a1=a[0];f1=f[0]; a[0]=a[2];f[0]=f[2]; a[2]=a1;f[2]=f1; } return; } double gold(double *ff) { double a1[3],f1[3],a[4],f[4]; double aa; int i; searching(a1,f1); a[0]=a1[0];f[0]=f1[0]; a[3]=a1[2];f[3]=f1[2]; a[1]=a[0]+0.382*(a[3]-a[0]); a[2]=a[0]+0.618*(a[3]-a[0]); f[1]=function(a[1]); f[2]=function(a[2]); for(i=0;;i++) { if(f[1]>=f[2]) {a[0]=a[1];f[0]=f[1]; a[1]=a[2];f[1]=f[2]; a[2]=a[0]+0.618*(a[3]-a[0]); f[2]=function(a[2]); } else{ a[3]=a[2];f[3]=f[2]; a[2]=a[1];f[2]=f[1]; a[1]=a[0]+0.382*(a[3]-a[0]); f[1]=function(a[1]); } if(a[3]-a[0]最优化方法,汇总
常用一维搜索算法
三点一维搜索法报告
三点一维搜索策略
黄金分割法 二次插值 牛顿 matlab 程序一维搜索方法比较
第三章 一维搜索
一维搜索方法
现代设计一维优化方法——黄金分割法c程序源代码