高等数学习题册答案华东师大Ch 8 Differential of multivariable functions
第8章 多元函数微分学及其应用
参考解答
1、设22
,
y f x y x y x ?
?+=- ???
，求(),f x y ，(),f x y xy -。
解：()()()()221,
1y
y x y x f x y x y x y x y x y y x x y
x -
-??+=+-=+=+ ?+?
?+
，故得 ()2
1,1y f
x y x
y
-=
+，()()
2
1,1xy f x y xy x y xy
--=-+
2、求下列各极限：
2
2422
22
22
2
00
cos sin 1(1) lim
lim
lim
sin 204
x r r y x y
r r x y
r
θθ
θ→→→→===+
注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2
r 为无穷小量，而2sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。
()00
sin sin (2) lim
lim
1x t y a
xy t xy t
→→→==
3、证明极限22
4
00
lim
x y xy
x y
→→+不存在。
证明：当2
y kx =时，()22
4
2
,1xy
k f x y x y
k
=
=
++，故2
22
4
2
lim
1y kx x xy
k x y
k
=→=
++与k 有关。
可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法）
4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性：
（1）()()()222222
22
ln , 0
,0, 0
x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=??
解：
()()
()()()
()()()2
2
2
2
,0,0,0,0
lim ,lim
ln lim ln 00,0x y x y t f
x y x
y
x
y
t t f →→→=
++===
故原函数在()0,0点处连续。
（2）()22
22
222, 0,0, 0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?
解：2
2
2
22lim
1y kx x xy k x y
k
=→=
++与k 有关，故原函数在()0,0点处的极限不存在，因而在该
点不连续。
5、求下列函数的偏导数： （2）(,,0)z
y
u x x y z => (
)
()(
)()1
1
,
ln ,
ln ln z
z
z
z
y y
z y
z
u u u y x
x
x
zy
x
x
y
y x
y
z
--???===???
其余诸小题略。
6、求函数y z x =的各种二阶偏导数①。 解：
1
y z yx
x
-?=?，
ln y
z x x y
?=?
2
1
1
ln y y z x
yx
x y x
--?=+??，
2
1
1
ln y y z yx
x x
x y
--?=+??
7、略。
8、讨论函数()(
)2222
22
sin 0,0, 0
x y x y f x y x y ?++≠?=??+=?在()0,0点处：（1）是否连续；
（2）是否存在偏导数；（3）是否可微；（4）偏导数是否连续。
解：（1）()()
()()()
(
)2
2
,0,0,0,0lim
,lim
sin
x y x y f
x y x y
→→=
+()2
1lim sin
00,0t t f t
→===
故(),f x y 在()0,0点处连续；
①
本参考解答中，我们将
2
z x y
???理解为先对y 再对x 的二阶混合偏导数。
（2）()()()
2
0,00,00,0lim
lim
0x x x f x f f x
x
?→?→+?-===??，
()()()
2
0,00,00,0lim
lim
0y y y f y f f y
y
?→?→+?-===??；
故(),f x y 在()0,0点处的两个偏导数均存在；
（3）()()()()0,00,00,00,0x y f x y f f x f y ??+?+?--?+???
()(
)22
sin x y ??=?+???
而
220
lim
x y ?→
?→
lim
0x y ?→?→
==，
故()()22
sin x y o
???+?=??
，因此
()()()()0,00,00,00,0x y f x y f f x
f y ??+?+?--?+???o
= 即
()()()()0,00,00,00,0x y f x y f f x
f y ??+?+?-=?+???o
+
因此，(),f x y 在()0,0点处可微。
（4）2
2
0x y +≠
时，求出(),f x y
的两个偏导数，结合（2）的结果，得
()22
22
2sin 0,0, 0x x x y f x y x
y ?-+≠?
=?
?
+=?， ()22
22
2sin 0,0, 0
y y x y f x y x y ?-+≠?=?
?+=?，
尽管函
数2sin
x
和2sin
y 在()0,0点处的极限均存在，但函
数
在()0,0点处的极限均不存在（因为根
据两路径判别法，00
lim
x y →→
和0
lim x y →→，故极限
00lim 2sin x y x →→?
? -
?
和
0011
lim 2sin x y y y →→?
? -
?
均不存在。因此，(),x f x y 和(),y f x y 在()0,0点处不连续！
9、设f 具有一阶连续偏导数，求函数,x u f xy y ??
= ??
?的一阶偏导数。
解：121u yf f x
y
?=+
?，
122
u x xf f y
y
?=-
?
10、设f 具有两阶连续偏导数，2
,y
z f x y x ??=
???
，求z 的各种二阶偏导数。 解：()121222
22x y y
z f f xy f xyf x x
?
?=-
+=-+ ??
? ()22
121211y z f f x f x f x x ??=+=+ ???
()()2211112221222
211122xy y z f f f x xf xy f f x x
x x x ??
??
????=-
-
++++ ? ????????????
?
3
111122222
3
122y f f yf xf x yf x
x
=-
-+++（注意到1221f f =）
11、设二元函数(),z z x y =由方程z
z e xy +=所确定，求
2
z x y
???。
解：方程z z e xy +=两边关于x 求偏导，得z
z z e
y x x
??+=??，故得1z
z y x
e
?=?+；又方
程两边关于y 求偏导，得
z
z z e
x y
y
??+=??，故得
1z
z x y
e
?=
?+。
在方程
z
z z e
x y
y
??+=??两边关于x 求偏导，得
2
2
1z
z
z z z z e
e
x y
x y
x y
????++=??????，于是得
()
()()
2
2
2
3
1111111z
z
z
z
z
z
z
z
xy
z z e e e e e xy
z x y
x y
e e
e ??--++-???=
=
=
??+++
或直接根据
1z
z x y
e
?=?+得
()()
()()
2
2
2
111111z
z
z
z
z
z z
z
z y e xe
e xe
z
x x e
x y x e e e ?+-+-?????+===
????+??
++()
()
2
3
11z
z
z
e
e xy
e +-=
+。
12、设方程组22
222
x y uv xy u v ?+-=??-+=??确定函数(),u u x y =，(),v v x y =，求u x ??，u y ??，v x ??和
v y
??。
解：方程两边分别关于x 和y 求偏导数，得
220220
u v x v u x x
u v y u v x x ???--=?????
???-+=????，202220u v y v u y y u v xy u v y y ???--=????????-+=????
即
2 222u
v
v u x x x
u v u v y
x x ???+=????????-=????
，2u v v
u y
y y u v u v
xy
y
y
???
+=?????
???-=????
解得：
()
2
2
2
42u xv y u x
u v
?+=
?+，
()
2
2
2
42v xu y v x
u v
?-=
?+，
2
2
2u yv xyu y
u v
?+=
?+，
2
2
2v yu xyv y
u v
?-=
?+。
13、求曲线(
)23
1x t y t z ?=+??=??=??
在()1,0,1处的切线和法平面方程。
解：
()21dx t dt
=+，
2
3dy t dt
=
，
dz dt
=
。点()1,0,1所对应的参数0t =。故曲线
在点()1,0,1处的切线的方向向量为{}000,,2,0,0t t t dx
dy
dz
dt dt dt ===??
=?
???
，故切线方程为112
00
x y z --==（或即0
1
y z =??=?），法平面方程为10x -=。
14、求曲线222222x y z a
x y ax
?++=??+=??在点()00,0,M a 处的切线与法平面方程。
解：若以x 为参数，则两个方程两边各关于x 求偏导数（将y 和z 看作x 的函数），得 2220
22dy dz x y z dx dx
dy x y a
dx ?
++=??
?
?+=??
解得
222dz
a dx
z dy a x dx
y ?=-???
-?=
?? 很遗憾，在()00,0,M a 处，
dy dx
不存在！因此，可重新考虑以y 为参数，则两个方程两边
各关于y 求偏导数（将x 和z 看作y 的函数），得
2220
22dx dz x y z dy dy
dx dx x y a
dy
dy
?
++=????+=??
解得
()222dx y dy a x dz ay dy
x a z ?=?-?
?
?=-?-? 故曲线在点()00,0,M a 处的切线的方向向量为
()(){}0,0,0,0,, 1, 0,1,0a a dx
dz dy dy ????
=?????
?
故得切线方程为010
x y z a -==（或即0
x z a =??=?
），法平面方程为0y =。
15、求曲面3x e xy z ++=在点()0,1,2处的切平面与法线方程。
解：设(),,3x
F x y z e xy z =++-，则x
x F e y =+，y F x =，1z F =。故得所求切平
面的法向量为
{}{}(0,1,2)
(0,1,2)
(0,1,2)
,,2,0,1x y
z
F
F F =
于是得切平面方程为220x z +-=，法线方程为1220
1
x y z --==。
16、求函数()ln z x y =+在点()1,2处沿从点()1,2
到点(
2,2+
的方向导数。
解：因1
z
x x y ?=?+，1
z
y x y
?=
?+
，{l =
，1cos ,cos 22αβ==，故得 ()
()
(
)
1,21,21,2111cos cos 3
2
3
2
6
z z z l
x
x
αβ???=
+
=
?
+
?
=
???
17、求函数()2
2
,f x y x xy y =-+在点()01,1P 处的最大方向导数。
解：(),f x y 在点()01,1P 处沿梯度方向的方向导数最大，最大值即为梯度向量的大小。因()
()(){}1,11,11,1,1,1f
f
gradf x y ??????
==?
???????
，故得
()
(
)
1,11,1f gradf
l ?≤=?。
18、求()1cos y
y
z e
x ye
=+-的极值。
解：由()()1s in 0c o s 10y
y y z e x x
z e x y e y
??=-+=??????=-+=???，得cos 1x k y k ππ=??=-?（k 为整数），即驻点为
()2, 0n π和()()21, 2n π--，其中0, 1, 2, 3, n =±±±?。
又因
()2
21cos y
z e
x x
?=-+?，()2
2
cos 2y
z
x y e y
?=--?，
2
sin y
z e x x y
?=-??
故在驻点()2, 0n π处，
()
2
22,020n z A x
π?=
=-
2
2,00n z B x y
π?=
=??，()
2
2
2,01n z C y
π?=
=-?
220H AC B =-=>，
因此，函数在驻点()2, 0n π处取得极大值()2,02f n π=。 在驻点()()21, 2n π--处，
()()
2
2
221,210n z A e
x
π---?=
=+>?，()()
2
21,20n z B x y
π--?=
=??，()()
2
2
2
21,2n z C e
y
π---?=
=-?
()2
2
2
10H AC B e
e --=-=-+<，
因此，驻点()()21, 2n π--并不是函数的极值点，亦即
()()222
121
21, 211f
n e e e
π?
?--=-+
+=- ??
? 不是函数的极值！
19、求函数()(),cos cos cos z f x y x y x y ==++-在闭区域D ：0, 02
2
x y π
π
≤≤≤≤
上
的最值。
解：由
()sin sin 0z x x y x
?=---=?，
()sin sin 0z y x y y
?=-+-=?得
sin sin 0x y +=，
即
2sin
cos
02
2
x y x y +-=
注意到0, 2
2
x y x y π
π
π≤+≤-
≤-≤
，故知上述方程在区域D 的内部．．
没有解。因此，函数在D 内部没有驻点。由此可知，函数的最值必在D 的边界上取得（否则区域内部必有驻点）。 在002x y π?
?
=≤≤
???
上，(),12cos f
x y y =+，最大值为3，最小值为1；
在002y x π?
?
=≤≤
??
?
上，(),12cos f x y x =+，最大值为3，最小值为1；
在022x y ππ?
?
=
≤≤ ???
上，(
),sin
cos sin 4f x y y y y π??
=+=
+ ???
，
最小值为1；
在022y x ππ?
?
=
≤≤ ???
上，(
),sin co s sin 4f x y x x x π??
=+
=
+ ???
，
最小值为1。
因此，函数在区域D 上的最大值为3，最小值为1。
20、设(
)22
22
0,0, 0
x y f x y x y +≠=+=?，讨论(),f x y 在点()0,0处是否连续、存在
偏导数、可微。
解：（1）
()()
()()(
2
,0,0,0,00
sin cos lim
,lim
lim
0x y x y r r f
x y r
θθ
→→→=
==()0,0f =
或由
(
)(
)
2
2
1
0,x y
f x y +≤=
≤
=
而
()(
,0,0lim
0x y →=，故得
()()
()()(
)
,0,0,0,0lim
,lim
0x y x y f
x y →→=
=()0,0f =，因
此，(),f x y 在()0,0点处连续；
（2）()()()
0,00,0000,0lim
lim
0x x x f x f f x
x ?→?→+?--===??，
()()()
0,00,0000,0lim
lim
0y y y f y f f y
y
?→?→+?--===??；
故(),f x y 在()0,0点处的两个偏导数均存在；
（3）()()()()0,00,00,00,0x y f x y f f x f y ??+?+?--?+???
=
而
()
()
2
2
00
lim
lim
x x y y x y
x y ?→?→?→?→??=?+?不存
在（两路径判别法），
故知
o
≠，因此，(),f x y 在()0,0点处不可微。
21、设(),z f x y =在点()1,1处可微，且()1,11f =，
()
1,12f x
?=?，
()
1,13f y
?=?，()x ?=
()(),,f x f x x ，求
()
3
1
x d x dx
?
=。
解：()()()3
23d x x x dx ?
??='()()()212123,,f x f x x f f f f =++????，故
()
3
1
x d x dx
?
==()()()()()()2
121231,11,11,11,11,151
f
f f f f ??+
+=??
22、设(),,u f x y z =由连续的一阶偏导数，又函数()y y x =及()z z x =分别由2xy e xy -=和0
sin x z x t e dt t
-=
?
确定，求
du dx
。
解：分别在方程2xy e xy -=和0
sin x z x t e dt t
-=
?
两边关于x 求偏导数
（y 和z 为x 的函数），得0xy dy dy e y x
y x dx dx ??+--= ??
?，()sin 1x
x z dz e x z dx -??=- ?-?
?，解得：
dy y dx
x
=
，
()()
1sin x
x z e dz dx
x z -=-
-
由链式法则，得
()()1231231sin x x z e du
dy
dz
y
f f f f f f dx dx dx x x z ??
-=++=++- ? ?-?
?
23、求由方程组22
33
x u v
y u v z u v
=+??=+??=+?所确定的隐函数点(),z f x y =在点()1,1处的偏导数z x ??，z y ??。
解：由方程组22
x u v
y u v
=+??=+?分别可得： 1 022u v x x
u v
u v x x ???=+?????
???=+????，0 122u v y y u v u v y y ???=+????????=+????
， 解得
u v x v u
v u
x u v ??=???-?
??=??-?，()()1212u y u v v y v u ??=??-????=??-?
于是由33
z u v =+，得
2
2
333z u v u
v
uv x x
x
???=+=-???，
()2
2
3332
z u v u
v
u v y
y
y
???=+=
+???
24、设()2x z e f x y -=--，且当0y =时2z x =。求
z x
??。
解：易知()2x f x e x -=-，故()2x f x e x -'=--，于是
()()
()2222x y x
x
z e
f x y e
e
x y x
----?=--'-=-++-?
25、在椭圆2244x y +=上求一点，使其到直线2360x y +-=的距离最短。
解：本题即求目标函数()236
13
x y f x +-=在约束条件2244x y +=下的极值。构造
Lagrange 函数
()()()2
2
2
,,23644L x y x y x y λλ=+-++-
由(),,L x y λ关于x ，y 和λ的偏导数为零，得方程组
()()()()()
22423620 1623680 2440 3x y L x y x L x y y L x y λλλ?=+-+=??
=+-+=??=+-=?? 解得85
x =
，35
y =
，或85
x =-
，35
y =-
。故所求点为83,
5
5??
???或83, -55??
- ???
。
26、证明：曲面y z xf x ??
=
???
的所有切平面都经过坐标原点。 证明：设(),,y F x y z xf z x ??
=-
???
，则 2x y y y y y y F f xf f f x x x x x x ??????????=+'-=-' ? ? ? ? ???????????，y y F f x ??
=' ???
，1z F =-。
于是曲面在点(),,x y z 处的切平面方程为
()()()0y y
y y f f X x f Y
y Z z x x x x ??
??
???
?-'-+
'---= ? ? ????????
?
??
或
0y y y
y
y
y
y
f f X f Y Z xf yf yf z x
x x
x
x x x ??????????????
-'+'--+'-'+= ? ? ? ? ? ???????????????
?? 即
0y y y y y
f f X f Y Z xf z x
x x x
x
??????????
-'+'--+= ? ? ? ???????????
?? 因点(),,x y z 满足方程y z xf x ??
=
???
，故上述方程变为 0y y y y f f X f Y Z x x
x x ????????
-'+'-= ?
? ??????????? 显然，这是一个过原点的平面方程。
如有错误，敬请指正；如有疑问，欢迎讨论！
高等数学求极限的常用方法附例题和详解
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f
华师大版七年级上册有理数单元测试题及答案
华东师大版七年级数学练习卷（五） （有理数的单元试题） 一、填空题：（每题 2 分，共 24 分） １、－2的倒数是＿＿＿＿＿。 ２、绝对值为3的数是。＿＿＿＿＿。 ３、比较大小：－22＿＿＿－ ４、温度3°C比－5°C高＿＿＿°C ５、4÷（－0.2）＝4×（＿＿＿） ６、近似数2.40万精确到＿＿＿位，有＿＿＿个有效的数字。 ７、用四舍五入法把740200保留三个有效数字的近似数为＿＿＿＿＿＿＿。 ８、用计算器求2.43＝＿＿＿＿。 ９、在数轴上，点A表示的数为－3，则点A到原点的距离为＿＿＿＿。 10、计算：（－1）2004＋（－1）2005＝＿＿＿＿＿＿＿。 11、比－大而不大于3的所有整数的和为＿＿＿＿＿。 12、若≤2，且x为整数，那么x为＿＿＿＿＿＿＿。 二、选择题：（每题3分，共18分） １、下列说法中，正确的是（） A、零是最小的整数 B、零是最小的正数 C、零没有倒数 D、零没有绝对值 ２、有一种记分方法：以80分为基准，85分记为＋5分，某同学得77分，则应记为（） A、＋3分 B、－3分 C、＋7分 D、－7分 ３、下列各式中，正确的是（） A、－＞－ B、－4＞0 C、－3＜－6 D、－＜－ ４、－(－3)2的运算结果是（） A、6 B－6 C、9 D、－9 ５、一个数的平方等于它本身，这个数是（） A、1 B、1，0 C、0 D、0，±１ ６、如果a＞b，b＜0那么＋等于（） A、a－b B、a＋b C、b－a D、－a－b
三、解答题：（6分） １、在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”号把它们连接起来。 －（－4），－2，0，－3.75，－22 四、计算：（每题5分，共30分） １、7＋（－）－5－（－0.75）１、（－1）÷（－4）×2３、（－2）×3＋（－24）÷3 4、（－－）×（－30）５、－23÷×（－）26、－14－×［2－（－3）2］ 五、用适当的方法进行简便的计算：（每题5分，共10分） １、（－32）－［5－（＋3）＋（－5）＋（－2）］ ２、54×－（－54）×＋54×（－）
大学高等数学上考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
医用高等数学题库复习课程
医用高等数学题库 第一章函数与极限 1．设，求，并作出函数的图形。 2．设，，求，并作出这两个函数的图形。 3．设，求。 4．试证下列函数在指定区间内的单调性： （1） （2） 5．下列函数中哪些是是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1） （2） 6．设。试求下列复合函数，并指出x的取值范围。 7．已知对一切实数x均有，且f(x)为单调增函数，试证：
8．计算下列极限： （1） （2） （3） 9．（1）设，求常数a，b。 （2）已知，求a，b。10．计算下列极限： （1） （2）（x为不等于零的常数） （3） （4） （5）（k为正整数） 11．计算下列极限：
（1） （2） （3） （4）（k为常数） （5） （6） （7） （8）（a>0，b>0，c>0）（9） （10） （11） （12）
（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）
（24） 12．当时，无穷小1-x和（1）（2）是否同阶？是否等价？ 13．证明：当时，有（1）（2） 14．利用等价无穷小的性质求下列极限： （1）（n，m为正整数） （2） 15．试确定常数a，使下列各函数的极限存在： （1） （2） 16．讨论下列函数的连续性：
（1）的连续性 （2）在x=0处的连续性 17．设函数在[0，2a]上连续，,试证方程在[0，a]内至少存在一个实根。 18．设函数在开区间（a，b）内连续，，试证：在开区间(a，b)内至少有一点c，使得（其中）。 第二章导数与微分 1．讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性： （1） （2） 2．设存在，求 3．设，问a，b为何值时，在x=0处可导？ 4．已知，求及，并问：是否存在？
高等数学下册典型例题精选集合.doc
最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)
法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<
而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以
最新高等数学下考试题库(附答案)
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
医用高数精选习题(含答案)
高等数学第1-3章 、求下列各函数的导数或微分 2 a ——ln (x 2 2 ,(x 0)，求 df (2x)。 x 、应用题 3 2 y 2x 3x 的(1)单调性与极值(2)凹凸区间与拐点 2. 求函数f(x) si nx cosx 在［0, 2 ］上的极值。 2 、求下列各极限 ..ta n3(x 1) lim 2 x 1 x 1 1.求极限 3.求极限 lim ln si nx 2x)2 4. 2.求极限lim (—^ x 1 x 1 1 ln(1 x 2) 求极限 lim (cos x) 5.当x 0时，ln(1 x) (ax 2 bx)是x 2的高阶无穷小, 6.求极限 lim 丄旦 x 0 7.求极限 lim (sin - x x cos^)x x 8. 求极限lim x 0 求a , b 的值 e x 2 _~2 sin x 1、求函数 y cosx In tan x 的导数; 2、 xarcs in° 4 2 3、求y f(2 ta ^x )(f (u)可导)的导数; l n (1 x)e x ，求 y (o ) arccosx 6、设方程 x xy e e y 0确定了 y 是x 的隐函数，求y 7、 设y ln(1 e ) x ) si ：x ，求dy 。 5、 设y f(x 2 x) f(x) 1?讨论函数
3. 求函数f(x) x 1 ln x (x 0)的极值 4. 在某化学反应中，反应速度v(x)与反应物的浓度x的关系为v(x) kx(x° x)，其中x° 是反应开始时反应物的浓度，k是反应速率常数，问反应物的浓度x为何值时，反应速度v(x)达到最大值？
七年级数学上册第2章有理数2.1有理数课时练习新版华东师大版
有理数 (30分钟50分) 一、选择题(每小题4分,共12分) 1.(丽水中考)如果零上2℃记作+2℃,那么零下3℃记作( ) A.-3℃ B.-2℃ C.+3℃ D.+2℃ 2.国家食品药品监督管理局对某品牌火腿抽检中,有四包真空小包装火腿, 每包以标准克数(450克)为基准,超过的克数记作正数,不足的克数记作负 数,以下数据是记录结果,其中表示实际克数最接近标准克数的是( ) A.+2 B.-3 C.+3 D.+4 3.已知下列各数:-7,3.6,, 4.7,0,-2.5,10,-1,其中非负数有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题(每小题4分,共12分) 4.诺贝尔文学奖首位中国获奖作家莫言出生于1955年,若用+1955年表示,则孔子出生于公元前551年表示为________年. 5.某综艺节目有一个环节是竞猜游戏:两人搭档,一人用语言描述,一人回答.要求描述者不能说出答案中的字或数.若现在给你的数是0,那么你给搭档描述的是________. 6.(巴中中考)观察下面一列数:1,-2,3,-4,5,-6…根据你发现的规律,第2012个数是________. 三、解答题(共26分) 7.(8分)把-6,0.3,,9,-分成两类,使两类的数具有不同的特征,写出你的分法. 8.(8分)把下列各数填入表示它所在的数集的圈里: -,1.414,-3.14,360,-2013,,-1,-51%,0. 【拓展延伸】 9.(10分)设A,B表示两个数集,我们规定“A∩B”表示A与B的公共部分, 并称之为A与B的交集.例如,若A={4,,0.5,80%},B={6,-5,4,3},则A∩ B={4}.
高数题库
武科院试题 一、填空题（4×3分=12分） 1．设 )(0x f '存在，则=--+→h h x f h x f h ) 3()2(lim 000 2. 函数 593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值为 . 3. 逐次积分? ?=x x dy y x f dx I 22 ),(更换积分次序后为_______________________. 4. 微分方程06'''=--y y y 的通解为 . 二、单项选择题（4×3分=12分） 1．设函数)(x f 在0x x =处连续，若0x 为)(x f 的极值点，则必有 （A ）0)(0='x f （B ）0)(0≠'x f （C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在 （D ）)(0x f '不存在 2．设 )(x f 是[0，+∞]上的连续函数，0>x 时，])([ 0'? dt t f x = (A))(x f - (B))(x f (C))(t f (D))(t f - 3、 已知三点)1,0,1(-A ，)0,2,1(B -，)1,2,1(--C ，则 =? （A ）63 （B ） 62 （C ）26 （D ）36 4、函数x e xy u +=2在点（1,1）处的梯度为_______ （A ）)1,2(e + （B ） )1(2e + （C ）)1(2e + （D ）)2,1(e + 三、计算题（每小题7分，共56分） 1．计算极限 12cos 1lim 21 +-+→x x x x π 2. 求曲面 3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的切平面及法线方程. 3．设 y x z arctan =，而v u y v u x -=+=,，求v u z z , 4. 设()()? ? ?-=-=t y t t x cos 14sin 2，求22dx y d 5. 计算不定积分 ?dx x 2ln 6. 计算二重积分σd y x D ??22 ，其中D 是由直线2=x ，x y =及曲线1=xy 在第一象限内所围成的闭区域. 7. 求微分方程x xy dx dy 42=+的通解. 8. A , B 为何值时，平面054:=-++z By Ax π垂直于直线t z t y t x L 22,35,23:--=-=+=？ 四、（10分）求抛物线342-+-=x x y 及其在点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成的图形的面积. 五、（10分）设)(x f 在[1x ，2x ]上可导，且0＜1x ＜2x ，试证明在（1x ，2x ）内至少存在一点ξ，使 )(')() ()(2 11221ξξξf f x x x f x x f x -=-- 高等数学试题 一、 填空题（每小题3分共15分） 1 .2arccos x y = 则=)0(/y _________. 2. 设x e x f arctan )(=,则=)(x df _______________.
高数典型例题解析
第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设
解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定
高等数学试题库
高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数
高等数学练习题库及答案
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《高等数学》练习测试题库及答案 一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ． ，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（ ） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （ ） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ）
A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 14、设 满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、
华师大版七年级上册数学有理数练习题(有理数分题型专项练习)
七年级2班练习题（有理数） 1、珠穆朗玛峰海拔高度8848米，吐鲁蕃盆地海拔高度－155米，珠穆朗玛峰比吐鲁蕃盆地高（ ） A 9003米 B 8693米 C －8693米 D －9003米 2、某天上午的温度是5℃，中午又上升了3℃，下午由于冷空气南下，到夜间又下降了9℃，则这天夜间的温度是 ℃ 3、海中一潜艇所在高度为－30米，此时观察到海底一动物位于潜艇的正下方30米处，则海底动物的高度为___________． 4、黄山主峰一天早晨气温为－１℃，中午上升了８℃，夜间又下降了10℃，那么这天夜间黄山主峰的气温是_________. 5、某地今年1月1日至4日每天的最高气温与最低气温如下表： 其中温差最大的是（ ） A 、1月1日 B 、1月2日 C 、1月3日 D 、 1月4日 6、某旅游景点11月5日的最低气温为 2-，最高气温为8℃，那么该景点这天的温差是____. C 1、在–2，+3.5，0，3 2-，–0.7，11中．负分数有……………………（ ） A 、l 个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、在数+8.3、 4-、8.0-、 51- 、 0、 90、 334-、|24|--中，________________是正数，____________________________不是整数。 3、在0.6，-0.4，13，-0.25，0，2，-93 中，整数有________，分数有_________． 1、若0|2|)1(2=++-b a ，则b a +=_________。 2、若()()22 110a b -++=,则20042005a b +＝__________. 3、若│a —4│+│b +5│=0，则a —b = 4、若│x+2│+│y-3│=0，则xy=________． 5、已知：｜a-2｜+(b+1)2=0，求b a ,a 3+b 15 的值 6、已知|x —4|+|y +2|=0，求2x —y 的值。 1、 已知a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 绝对值为2，求x n m c b mn --++ -2的值
《高等数学》练习题库完整
华中师大学网络教育 《高等数学》练习测试题库 一．选择题 1.函数y=1 12+x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B ．23，32，45，5 4 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（ ） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 )1sin(lim 21x x x （ ） A.1 B.0 C.2 D.1/2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( )
A.1 B.2 C.6 D.1/6 8.当x 1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） A.x2-1 B. x3-1 C.(x-1)2 D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x0不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x0必不连续 B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x0必不连续
华东师大版七年级数学上册有理数同步练习题共4套
华东师大版七年级数学上册有理数同步练习题共4套2.10有理数的除法 知识点1倒数 1．－7的倒数是() A．7 B．－7 C.17 D．－17 2．下列各数中互为倒数的是() A．－5和5 B．－612和213 C．0.75和34 D．－1和－1 3．下列说法正确的是() A.23的倒数是－32 B．一个数与它的相反数的商是－1 C．任何一个非零有理数的倒数的符号与这个数本身的符号相同 D．正数的倒数大于它本身 4．－2.6的相反数是______，倒数是________；－334的相反数是________，倒数是________． 知识点2有理数的除法法则 5．计算(－18)÷6的结果是() A．－3 B．3 C．－13 D.13 6．下列运算错误的是() A．(－21)÷7＝－3 B.－23÷－113＝12
C.34÷－113＝－1 D.－2467÷(－6)＝417 7．计算(－1)÷(－5)×－15的结果是________．8．被除数是－512，除数是－1211，则商是________．9．计算：(1)(－18)÷(－6)；(2)(－3)÷(－34)； (3)－3.5÷78；(4)725÷－145. 10．化简下列分数： (1)－546；(2)65－15；(3)－72－18.
11．计算： (1)－334×0÷－378； (2)2÷－18÷－12； (3)－23÷－135÷(－0.25)； (4)－2.5÷516×－18.
12．下列说法正确的是() A．任何有理数都有倒数 B．一个数的倒数一定小于这个数 C．若两个数的商为0，则被除数等于零，除数不能为0 D．倒数等于本身的数是±1，0 13．从－3，－1，1，5，6五个数中任取两个数相乘，若所得积中的最大值为a，最小值为b，则ab的值为() A．－53 B．－2 C．－56 D．－10 14．下列计算：①(－1)×(－2)×(－3)＝6；②(－36)÷(－9)＝－4；③23×(－94)÷(－1)＝32；④(－4)÷12×(－2)＝16.其中正确的有() A．4个B．3个C．2个D．1个 15．一个数的倒数是－12，则这个数的相反数是________． 16．我们规定符号“※”的意义是a※b＝a×ba＋b(a ≠－b)，求2※(－3)※(－4)的值．
高等数学 大一 题库
（一）函数、极限、连续 一、选择题： 1、 在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。 (A) ;1+=x y (B);2x x y -= (C)34+-=x y (D)25-=x y 2、 当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( ) （A ）无穷大量 （B ）无穷小量 （C ）无界函数 （D ）有界函数 3、 当x →1时，31)(,11)(x x x x x f -=+-= ?都是无穷小，则f (x )是)(x ?的( ) （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ） 等阶无穷小 4、 x =0是函数1 ()arctan f x x =的( ) （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点； （C ）振荡间断点 （D ）无穷间断点 5、 下列的正确结论是（ ） （A ）)(lim x f x x →若存在，则f (x )有界； （B ）若在0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0 x g x x →),(lim 0 x h x x →都存在，则 ),(lim 0 x f x x →也 存在； （C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0, 在(a , b )内有唯一的实根; （D ） 当∞→x 时，x x x x x a sin )(,1)(==β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能 比. 二、填空题： 1、 若),1(3-=x f y Z 且x Z y ==1 则f (x )的表达式为 ; 2、 已知数列n x n 101 4- =的极限是4, 对于,101 1=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ; 3、 3214lim 1 x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、 设,)(a x a x x f --= 则x =a 是f (x )的第 类 间断点; 5、 ,0 , ; 0, )(,sin )(?? ?>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则
温州医科大学医用高等数学测试题(答案)
温州医科大学 《高 等 数 学》测试题（A ） 不定项选择题：将你认为正确的答案填入括号中，可单选，多选，每题4分，共24题。 1. 当0x →时，下列变量中（ B ）是无穷小量。 x x sin .A x e 1.B - x x x .C 2 - x ) x 1ln(.D + 2. 22x 2sin lim 2sin x x x x x →∞+-=+（ A ）． A 1 2 B 2 C 0 D 不存在 3．半径为R 的金属圆片，加热后伸长了R ?，则面积S 的微分dS 是（ B ） A 、 RdR π B 、RdR π2 C 、dR π D 、dR π2 注：dS=RdR π2; 4． cos x xdx π π- =?( C ) A 、 1 B 、 2 C 、 0 D 、 4 注：偶倍奇零 1 12 11 1 1 10 5.12,(). (12); .2(12); .2(12); .(2). x t f x dx ABCD A f t dt B f t dt C f t dt D f t dt --=-≠-----?? ???作变量替换 则( ). 6. 设)(x f 在区间[]b a ,上连续， ? ≤≤=x a b x a dt t f x F )()()(，则)(x F 是)(x f 的（ B ）. A 、不定积分 B 、一个原函数 C 、全体原函数 D 、在[]b a ,上的定积分 7.若()(),f x x φ''=则下列各式 AD 不成立。 ()()0A f x x φ-= ()()B f x x C φ-= ()()C d f x d x φ=?? ()()d d D f x dx x dx dx dx φ=?? 注：
关于高等数学经典方法与典型例题归纳
2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自 动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；
(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过 于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有：
高等数学题库
高等数学（专升本）-学习指南 一、选择题 1．函数()22ln 2z x y =+- D 】 A ．222x y +≠ B ．224x y +≠ C ．222x y +≥ D ．2224x y <+≤ 2．设)(x f 在0x x =处间断，则有【 D 】 A ．)(x f 在0x x =处一定没有意义； B ．)0()0(0+≠-x f x f ; (即)(lim )(lim 0 0x f x f x x x x +- →→≠)； C ．)(lim 0x f x x →不存在，或∞=→)(lim 0 x f x x ； D ．若)(x f 在0x x =处有定义，则0x x →时，)()(0x f x f -不是无穷小 3．极限22221 23lim n n n n n n →∞??++++= ??? L 【B 】 A ． 14 B ．1 2 C ．1 D ． 0 4．设2tan y x =，则dy =【 A 】 A ．22tan sec x xdx B ．22sin cos x xdx C ．22sec tan x xdx D ．22cos sin x xdx 5．函数2(2)y x =-在区间[0,4]上极小值是【 D 】 A ．-1 B ．1 C ．2 D ．0 6．对于函数(),f x y 的每一个驻点()00,x y ，令()00,xx A f x y =，()00,xy B f x y =， ()00,yy C f x y =，若20AC B -<，则函数【C 】 A ．有极大值 B ．有极小值 C ．没有极值 D ．不定 7．多元函数(),f x y 在点()00,x y 处关于y 的偏导数()00,y f x y =【C 】 A ．()()00000 ,,lim x f x x y f x y x ?→+?-? B ．()() 00000,,lim x f x x y y f x y x ?→+?+?-? C ．()()00000 ,,lim y f x y y f x y y ?→+?-? D ．()()00000,,lim y f x x y y f x y y ?→+?+?-? 8．向量a 与向量b 平行，则条件：其向量积0?=a b 是【B 】