线性系统大作业1

研 究 生 课 程 论 文

(2014-2015学年第一学期)

线性系统的基本特性

研究生：

线性系统理论的研究对象为线性系统。线性系统是最为简单和最为基本的一类动态系统。线性系统理论是系统控制理论中研究最为充分、发展最为成熟和应用最为广泛的一个分支。线性系统理论中的很多概念和方法，对于研究系统控制理论的其他分支，如非线性系统理论、最优控制理论、自适应控制理论、鲁棒控制理论、随机控制理论等，同样也是不可缺少的基础。

线性系统的一个基本特征是其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。叠加原理是指，若表系统的数学描述为L ，则对任意两个输入变量u 1和u 2以及任意两个非零有限常数c 1和c 2必成立关系式：

11221122()()()L c u c u c L u c L u +=+

对于线性系统，通常还可进一步细分为线性时不变系统（linear time-invariant systems)和线性时变系统（linear time-varying systems)两类。

线性时不变系统也称为线性定常系统或线性常系数系统。其特点是，描述系统动态过程的线性微分方程或差分方程中，每个系数都是不随时间变化的函数。从实际的观点而言，线性时不变系统也是实际系统的一种理想化模型，实质上是对实际系统经过近似化和工程化处理后所导出的一类理想化系统。但是，由于线性时不变系统在研究上的简便性和基础性，并且为数很多的实际系统都可以在一定范围内足够精确地用线性时不变系统来代表，因此自然地成为线性系统理论中的主要研究对象。

线性时变系统也称为线性变系数系统。其特点是，表征系统动态过程的线性微分方程或差分方程中，至少包含一个卷数为随时间变化的函数。在视实世界中，由于系统外部和内部的原因，参数的变化是不可避免的，因此严格地说几乎所有系统都属于时变系统的范畴。但是，从研究的角度，只要参数随时间

的变化远慢于系统状态随时间的变化，那么就可将系统按时不变系统来研究，由此而导致的误差完全可以达到忽略不计的程度。

线性时不变系统和线性时变系统在系统描述上的这种区別，既决定了两者在运动状态特性上的实质性差别.也决定了两者在分析和综合方法的复杂程度上的重要差别。事实上，比之线性时不变系统，对线性时变系统的研究要远为复杂得多，也远为不成熟得多。因此本论文将主要介绍线性时不变系统的基本特性及它们之间的内在联系。

1. 叠加性和齐次性

用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性元件或线性系统。线性系统的重要性质是可以应用叠加原理。叠加原理有两重含义,即具有叠加性和齐次性(或均匀性）。现举例说明：设有线性微分方程为

22(t)(t)(t)(t)d c dc c f dt dt

++= 当1(t)(t)f f =时，上述方程的解为1(t)c ；当2(t)(t)f f =时，其解为2(t)c 。如果12(t)(t)(t)f f f =+，容易验证，方程的解必为2(t)(t)(t)t c c c =+，这就是可叠加性。而当1(t)(t)f Af =时，式中A 为常数，则方程的解必为1(t)(t)c Ac =，这就是

齐次性。

线性系统的叠加原理表明，两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和，且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦相应增大同样的倍数。因此，对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外作用词时加于系统，则可以将它们分别处理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输出，然后将它们叠加。此外，每个外作用在数值上可只取单位值，从而大大简化了线性系统的研究工作。

本论文使用了一个简单的线性系统，即RLC 电路仿真来验证线性系统的叠加性和齐次性。RLC 电路图连接如图1：

图1 RLC 串联电路

设电感电流为(t)L i ，电容电压为(t)c u ，根据电路，列出KVL 方程：

改写为标准形式：

利用Matlab 进行仿真，求解状态方程。将RLC 电路微分方程写成状态空间表达式代码如下:

function xdot = funcforex14( t,x,flag,R,L,C )

xdot=zeros(2,1);

xdot(1)=-R/L*x(1)-1/L*x(2)+1/L*f(t);

xdot(2)=1/C*x(1);

function in=f(t)

in=(t>0)*2;

end

end

仿真求解状态方程代码如下：

L=1;

C=0.1;

R=1.5;

[t,x]=ode45('funcforex14',[-1,10],[0;1],[],R,L,C);

figure(1);plot(t,x(:,1),'r');hold on;xlabel('time sec');grid; xlabel('t/ms');ylabel('电压/V');title('齐次性');

text(0.55,0.95,'\leftarrow u_0(t)');

[t,x]=ode45('funcforex15',[-1,10],[0;2],[],R,L,C);

figure(1);plot(t,x(:,1),'b');

text(0.61,0.48,'\leftarrow u_1(t)');

[t,x]=ode45('funcforex14',[-1,10],[0;1],[],R,L,C);

figure(2);plot(t,x(:,1),'r');hold on;xlabel('time sec');grid; text(0.55,0.95,'\leftarrow u_1(t)');

[t,x]=ode45('funcforex15',[-1,10],[0;2],[],R,L,C);

figure(2);plot(t,x(:,1),'b');

text(0.61,0.48,'\leftarrow u_2(t)');

[t,x]=ode45('funcforex16',[-1,10],[0;3],[],R,L,C);

figure(2);plot(t,x(:,1),'k');

text(0.58,1.42,'\leftarrow u_0(t)');

xlabel('t/ms');ylabel('电压/V');title('叠加性');

齐次性验证仿真结果如图2:

图2 齐次性的仿真结果

0(t)u 为输入电压4V,电容初始状态为2V 时的系统响应。 1(t)u 为输入电压2V,电容初始状态为1V 时的系统响应，由响应曲线可知0(t)u 的响应为1(t)u 的2倍，齐次性得证。

叠加性仿真结果如图3所示：

图3 叠加性仿真结果

0(t)u 为输入电压6V,电容初始状态为3V 时的系统响应。1(t)u 为输入电压4V,电容初始状态为2V 时的系统响应，2(t)u 为输入电压1V,电容初始状态为1V 时的系统响应，由响应曲线可知0(t)u 的响应为1(t)u 和1(t)u 之和，叠加性得证。 2零输入响应和零状态响应

线性系统的一个基本属性是满足叠加原理。基于叠加原理，可以把系统同时在初始状态0x 和输入u 作用下的状态运动(t)x ，分解为由初始状态0x ,和输入u 分别单独作用所产生的运动0u x 和0x x 的叠加.即00(t)(t)(t)u x x x x =+并且，称0(t)u x 为系统的零输入响应，0(t)x x 为系统的零初态响应。线性系统运动的可分解属性为分析系统运动过程的演化规律提供了简便性和直观件。

线性系统的零输入响应0(t)u x 定义为只有初始状态作用即00x ≠而无输入作用即(t)0u ≡时系统的状态响应。

线性系统的零初态响应0(t)x x 定义为只有输入作用即(t)0u ≠而无初始状态作用即00x =时系统的狀态响应。

利用线性系统的叠加性可得，系统的响应输出为系统的零输入响应和零状态响应之和。利用Matlab 仿真结果如下。

仿真代码如下：

L=1;

C=0.1;

R=1.5;

[t,x]=ode45('funcforex12',[-1,10],[0;0],[],R,L,C);

figure(1);plot(t,x(:,1),'r');hold on;xlabel('time sec');grid; text(0.57,0.20,'\leftarrow 零状态响应');

xlabel('t/ms');ylabel('电压/V');title('系统响应');

[t,x]=ode45('funcforex13',[-1,10],[0;1],[],R,L,C);

figure(1);plot(t,x(:,1),'k');hold on;xlabel('time sec');

text(0.70,0.07,'\leftarrow 零输入响应)');

[t,x]=ode45('funcforex12',[-1,10],[0;1],[],R,L,C);

figure(1);plot(t,x(:,1));hold on;xlabel('time sec');

text(0.55,0.31,'\leftarrow 系统全响应');

仿真结果如图4所示:

图4 系统响应输出与零输入响应和零状态响应的关系

由响应曲线可以看出系统响应是零状态响应和零输入响应之和。

3系统状态空间表达式的非唯一性

对于一个给定的定常系统，可以选取许多种状态变量，相应地有许多种状态空间表达式描述同一系统，也就是说系统可以有多种结构形式。所选取的状态矢量之间，实际上是一种矢量的线性变换（或称坐标变换)。

设给定系统为

;(0)x Ax Bu x x y Cx Du =+==+

我们总可以找到任意一个非奇异矩阵T,将原状态向量x 作线性变換，得到另一状态矢量z,设变换关系为

x Tz =即 1z T x -=

代入上式，得到新的状态空间表达式

11110

;(0)(0)z T ATz T Bu z T x T x y CTz Du

----=+===+ 很明显，由于T 为任意非奇异阵，故状态空间表达式为非唯一的。通常称T 为变换矩阵。

4系统特征值的不变性及系统的不变量

4.1系统特征值

系统

x Ax Bu

y Cx Du =+=+

系统特征值就是系统矩阵A 的特征值，也即特征方程：

0I A λ-=

的根。方阵A 有n 个特征值；实际物理系统中，A 为实数方阵，故特征值或为实数，或为成对共轭复数；如A 为实数对称方阵，则其特征值都是实数。

4.2系统的不变量与特征值的不变性

同一系统，经非奇异变換后，得

11z T ATz T Bu

y CTz Du --=+=+ 公式(4.1) 其特征方程为

10I T AT λ--= 公式(4.2)

公式(4.1)与公式(4.2)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：

11111111()I T AT T T T AT T T T AT

T I A T T I A T

T T I A I A

λλλλλλλ---------=-=-=-=-=-=- 将特征方程写成多项式形式1110...0n n n I A a a a λλλλ---=++++=。由于特征值全由特征多项式的系数1210,,...,n n a a a a --唯一地确定，而特征值经非奇异变换

是不变的，那么这些系数1210,,...,n n a a a a --也是不变的量。所以称特征多项式的

系数为系统的不变量。

5记忆性与因果性

若一个系统当前的输出只与当前的输入有关，则该系统称为无记忆性系统。纯电阻电路就是一个无记忆性的系统。若一个系统当前的输出与过去、当前和将来的输入有关，则该系统称为有记忆性的系统。特殊地，当系统的当前输出只与过去和当前的输入有关，而与将来的输入无关，则该系统为具有因果性的系统。任何一个物理系统都是因果系统，即在建立一个物理系统时，因果性是一个必要的条件。

当系统的输入为一个理想的脉冲信号并且初始状态为0时，令系统的输出

即脉冲响应为，t 为系统的当前时刻，为脉冲信号作用到系统的时刻。

对于因果系统来说，当时，。

记单位脉冲信号为，即

或

在单位脉冲信号作用下系统的零状态响应称为系统的单位脉冲响应，用

表示。

考虑一个单输入单输出线性系统的零状态响应。令为图X所示的

脉冲，其宽度为Δ，高度为1/Δ，作用时间是时刻。因此，输入可以近

似看成多个脉冲序列的和，即可近似看成多个之和，即

图５t i时刻的脉冲

图6输入信号的近似

令

为输入的脉冲响应函数，根据线性系统的齐次性和叠

加性，有如下：

所以当系统的输入为时，可得到的近似输出如下：

当时，该叠加和可用积分表示：

对于一个因果系统来说，当前的输出与将来的输入无关，故当时，

，所以有

。设定系统的初始时刻为，可得：

6时变与时不变系统

一个系统的输出响应与输入信号施加于系统的时间起点有关，称为时变系统。时变系统的特性随时间变化而变化。火箭就是时变系统的一个典型的例子，在飞行中它的质量会由于燃料的消耗而随时间减少；另一个常见的例子是机械手，在运动时其各关节绕相应轴的转动惯量是以时间为自变量的一个复杂函数。

时变系统的特点增加了分析和研究的复杂性，对于线性时变系统，其状态空间表达式中A、B、C、D都是随时间变化的，比定常系统复杂得多。对于线

性时变系统，有：。

若一个系统的输出响应只与输入信号有关，而与施加于系统的时间起点无关，则称为时不变系统。时不变系统在任何时刻同样输入下，其输出波形一致。时不变系统有如下的性质：

对于任意的Δ,有：

当系统为线性时不变时，令，有

令初始时刻从开始，则

线性时不变系统仿真说明：

图7 线性时不变系统框图

图8输入信号在0时刻的响应

图9 输入信号在2s的响应

在如图7所示的线性系统中，在初始时刻t=0时对系统施加阶跃信号，得到如图8所示的输出波形，在t=2时也对系统施加阶跃信号，得到如图9所示的输出波形，由以上图可见，当系统输入信号延迟了两个单位时间后，其输出波形一致，只是延迟了两个单位时间，由此可验证时不变系统的特性。

7 能控性与能观性

能控性定义

线性定常连续系统的状态方程：

若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从任意初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。若系统任意t0时刻的所有状态x(t0)都是能控的，就称此系统是状态完全能控的，简称能控。

系统能控性仿真

已知线性系统

式中各系统矩阵为

运用Matlab进行仿真，检验其系统的能控性。

由上面的仿真结果显示：The system is controllable.所以该系统是能控的。

能观性定义

线性系统

对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0)，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。

系统能观性仿真

已知线性系统

式中各矩阵分别为Array

运用Matlab进行仿真，检验其系统的能观性。

运行结果显示：The system is observable.所得此系统是能观的。

能控性与能观性的内在联系

系统的能控性是研究输入u(t)与状态x(t)之间的关系，而能观性是研究输出y(t)与状态x(t)之间的关系。通过分析可知能控性与能观性无论在概念上还是判定方法上，都很相似。所以就给人一启示两者之间有无内在联系呢？最后由卡尔曼得出了两者的联系，即对偶性。

其表现形式如下：系统∑1 (A1,B1,C1)和∑2 (A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统，则∑1 的能控性等价于∑2 的能观性，∑1的能观性等价于∑2 的能控性。或者说，若∑1是状态完全能控的（完全能观的），则∑2是完全能观的（完全能控的）。即线性系统

能控，则线性系统

定能观。