2018届北师大版 变化率与导数 单元测试

题组层级快练(十五)

1．y ＝ln(－x)的导函数为( ) A ．y ′＝－1

x

B ．y ′＝1

x

C ．y ′＝ln(x)

D ．y ′＝－ln(－x)

答案 B

2．(2017·广东五校协作体联考)曲线y ＝x ＋1

x －1

在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12

答案 D 解析 y ′＝

（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2

＝－2

（x －1）2

，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝3＝－

2（3－1）

2＝－1

2，故选D. 3．曲线f(x)＝2e x sinx 在点(0，f(0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝x D ．y ＝－2x

答案 B

解析 ∵f(x)＝2e x sinx ，∴f(0)＝0，f ′(x)＝2e x (sinx ＋cosx)，∴f ′(0)＝2，∴所求切线方程为y ＝2x.

4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3

2t 2＋2t ，那么速度为零的

时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末

C ．2秒末

D ．1秒末和2秒末

答案 D

解析 ∵s ＝13t 3－3

2t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2－3t ＋2.

令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2.

5．设正弦函数y ＝sinx 在x ＝0和x ＝π

2附近的平均变化率为k 1，k 2，则k 1，k 2的大小关系

为( ) A ．k 1>k 2 B ．k 1

D ．不确定

答案 A

解析 ∵y ＝sinx ，∴y ′＝(sinx)′＝cosx.k 1＝cos0＝1，k 2＝cos π

2

＝0，∴k 1>k 2.

6．(2017·湖南雅礼中学月考)曲线y ＝a x 在x ＝0处的切线方程是xln2＋y －1＝0，则a ＝( ) A.12 B ．2 C ．ln2 D ．ln 12

答案 A

解析 由题知，y ′＝a x lna ，y ′|x ＝0＝lna ，又切点为(0，1)，故切线方程为xlna －y ＋1＝0，

∴a ＝1

2

，故选A.

7．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x)的图像是( )

答案 A

解析 由题意知???－b

2

＞0，4c －b 2

4＜0，

即?????b ＜0，

b 2

＞4c.

又f ′(x)＝2x ＋b ，∴f ′(x)的图像为A.

8．f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f ′(x)＝g ′(x)，则f(x)与g(x)满足( ) A ．f(x)＝g(x)

B ．f(x)＝g(x)＝0

C ．f(x)－g(x)为常数函数

D ．f(x)＋g(x)为常数函数

答案 C

9．设a ∈R ，函数f(x)＝e x ＋a·e －x

的导函数是f ′(x)，且f ′(x)是奇函数，则a 的值为( )

A ．1

B ．－12

C.12 D ．－1

答案 A

解析 因为f ′(x)＝e x －ae －

x ，由奇函数的性质可得f ′(0)＝1－a ＝0，解得a ＝1.故选A.

10．(2017·《高考调研》原创题)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 017)＝( ) A ．1

B ．2

C.12 017

D.2 0182 017

答案 D

解析 令e x ＝t ，则x ＝lnt ，所以f(t)＝lnt ＋t ，故f(x)＝lnx ＋x. 求导得f ′(x)＝1x ＋1，故f ′(2 017)＝12 017＋1＝2 018

2 017

.故选D.

11．若P 为曲线y ＝lnx 上一动点，Q 为直线y ＝x ＋1上一动点，则|PQ|min ＝( ) A ．0 B.22 C. 2 D ．2

答案 C

解析 如图所示，直线l 与y ＝lnx 相切且与y ＝x ＋1平行时，切点P 到直线y ＝x ＋1的距离|PQ|即为所求最小值．(lnx)′＝1x ，令1

x ＝1，得

x ＝1.故P(1，0)．故|PQ|min ＝

2

2

＝ 2.故选C. 12．y ＝x·tanx 的导数为y ′＝________． 答案 tanx ＋

x

cos 2x

解析 y ′＝(x·tanx)′＝x ′tanx ＋x(tanx)′＝tanx ＋x·(sinx

cosx )′＝tanx ＋x·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tanx

＋x

cos 2x

. 13．已知y ＝13x 3－x －

1＋1，则其导函数的值域为________．

答案 [2，＋∞)

14．已知函数f(x)＝x(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________． 答案 －120

解析 f ′(x)＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x[(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′，所以f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.

15．已知函数f(x)＝f ′(π4)cosx ＋sinx ，所以f(π

4)的值为________．

答案 1

解析 因为f ′(x)＝－f ′(π4)sinx ＋cosx ，所以f ′(π4)＝－f ′(π4)sin π4＋cos π

4，所以

f ′(π4)＝2－1.故f(π4)＝f ′(π4)cos π4＋sin π

4

＝1.

16．(1)(2015·广东，文)若曲线y ＝ax 2－lnx 在点(1，a)处的切线平行于x 轴，则a ＝________．