数理统计试题

数理统计试题 It was last revised on January 2, 2021

2015-2016学年第1学期《数理统计学》考试试题

1、考试中可以使用不带编程功能的科学计算器。

2、计算题要求写出公式及其主要计算过程，如果没有特殊说明结果保留2位小数。

3、请将选择题的答案（用字母A 、B 、C 、D ）填在下表对应题号后的空格内。

选择题答案表

一、单项选择题（每题2分，共20分，选出最为恰当的一项）。

1. 设总体),(~211σμN X ，),(~2

2

2σμN Y 相互独立，样本量分别为1n ，2n ，样本方差分别为21S ，22S ，检验2221122210::σσσσ

A. )1,1(212221--

B. )1,1(21222

1--

C. )1,1(212221-->n n F S S α

D. )1,1(21222

2

1-->n n F S S α

2. 假设?θ

是θ的一个点估计，那么以下说法中错误的是（ ）。 A.如?()E θ

θ=，则?θ是θ的无偏估计 B.如?θ

是θ的无偏估计，则?()g θ是()g θ的无偏估计 C.如?θ

是θ的极大似然估计，()g θ有单值反函数，则?()g θ是()g θ的极大似然估计

D.?θ

的均方误差定义为2??()()MSE E θθθ=- 3. 设n X X X ,,,21 为来自正态分布),(2σμN 的简单随机样本，X 为样本均值，

∑=-=n

i i n

X X n S 1

22)(1，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。

A.

σ

μ)

(-X n B.

n

S X n )

(μ- C.

σ

μ)

(1--X n D.

n

S X n )

(1μ--

4. 下面不正确的是（ ）。

A. ααu u -=-1

B. )()(2

21n n α

αχχ-=-

C. )()(1n t n t αα-=-

D. )

,(1

),(1n m F m n F αα=-

5.以下关于假设检验的说法，正确的是（ ）。

A. 第一类错误是指，备择假设是真，却接受了原假设

B. 利用样本观测值能够作出拒绝原假设的最小显着性水平称为检验的p 值

C. 当检验的p 值大于显着性水平α时，拒绝原假设

D. 犯两类错误的概率不可以被同时减小

6. 对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则不正确的是（ ）.

A. 无论零假设是否成立，都有T e A S S S =+

B. 无论零假设是否成立，都有

()1~22

-r S A

χσ

C. 无论零假设是否成立，都有

()

r n S E

-22

~χσ

D. 零假设成立时，才有

()r n r F r n S r S e A ----,1~)

()

1(

7. 下面关于μ的置信度为α-1的置信区间的说法，不正确的是（ ）。

A. 置信区间随样本的变化而变化，是随机变量

B. 对固定的样本，置信区间要么一定包含真值μ，要么一定不包含真值μ

C. μ落入区间的概率为α-1

D. 随机区间以１－α的概率包含了参数真值μ

8. 设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本, μ=EX ，则下列正确的是（ ）。

A. 1X 是μ的无偏估计量

B. 1X 是μ的极大似然估计量

C. 1X 是μ的相合（一致）估计量

D. 1X 不是μ的估计量

9. 设621,,,X X X 是来自),(2σμN 的样本，2S 为其样本方差，则2DS 的值为（ ）.

A. 431σ

B. 45

1σ C. 452σ D. .52

2σ

10. 某研究部门准备在全市 200 万个家庭中抽取 2000 个家庭，据此推断该城市所有职工家庭的年人均收入。这项研究的参数是（ ） 。

A. 2000个家庭

B. 200万个家庭

C. 2000个家庭的年人均收入

D. 200万个家庭的年人均收入

二、填空题（每题2分，共20分）。

1. 设n X X ,,1 是来自总体),(~2σμN X 的简单随机样本，2

1

2

)(σ

μ∑=-=n

i i

X

Y ，

则~Y 。 2. 设X 的分布律为

X 1 2 3

已知一个样本值1 1 1 2 2 3，则参数θ的极大似然估计值为 。

3. 设n X X X ,,,21 是来自均匀分布总体),0(θU （0>θ是参数）的一个样本，则θ 的矩估计为 。

4. 单因素方差分析中，数据s j n i X j ij ,,2,1;,,2,1, ==取自s 个总体

()

s j N X j j ,,2,1,,~2 =σμ，则j

n i ij

j n X

X j

∑==

1

服从分布 。

5. 设总体),(~2σμN X ，2,σμ为未知参数，样本n X X X ,,,21 的均值和方差

分别为X 和2S ，则假设0:0:10≠?=μμH H 的t 检验使用的统计量

=t 。

6. 假设1225,,

,X X X 是从均匀分布(0,5)U 抽取的样本，那么样本均值X 的渐近分布

是 。

7. 单因素方差分析中，假设因子有3个水平，每个水平下重复4次试验。现已知

每个水平下试验结果的样本标准差分别为, 和，则误差平方和等于 。

8. 设总体X ~),(2σμN ，已知σ=σ0，要使总体均值μ的置信水平为1-α的置

信区间的长度不大于l ，则需要的样本容量至少为 。 9. 设n X X X ,,,21 是来自二点分布(1,)b p 的一个样本，则p 的极大似然估计

为 。 10. 设129,,

,X X X 是来自正态总体(,0.36)N μ的一个随机样本。经计算，样本均

值等于5，则μ的95%的置信区间为 。

三、计算题（共60分）。

1（18分）. 设总体X 具有概率密度:

其中0>θ为未知参数,n X X X ,,,21 是来自X 的样本,n x x x ,,,21 是相应的样本观察值.

（1）求θ的最大似然估计量.

（2）求θ的矩估计量.

（3）求得的估计量是否是无偏估计量.

2（12分）. 设n X X X ,,,21 来自某总体X 的一个简单随机样本（50>n ），X 的均值θ为未知参数，方差2σ已知。请用大样本方法给出θ的置信度α-1的置信区间。

3（16分）. 设总体X 服从指数分布,其概率密度为?????>=-,

,0,

0,1)(/其它x e x f x θθ0>θ未

知.从总体中抽取一容量为n 的样本.,,,21n X X X 利用结论.

)2(~22n X

n χθ

（1）求θ的置信水平为α-1的置信区间。

（2）利用上题的置信区间，试给出假设检验问题0100::θθθθ≠?=H H 的显着性

水平为α为拒绝域.

4（14分）. 在一项调查中，研究者想要了解房屋装修情况对房屋价格（单位：万元/平方米）的影响。为此调查了30间粗装修，35间精装修和35间毛坯房的价格情况。现对每种房屋的价格进行方差分析，得到的部分计算结果如下表所示。请回答：（05.0=α）

表3: 方差分析表

（1）写出上述方差分析表所检验问题的原假设和备择假设。

（2）请补充填写上面方差分析结果表中的所有空格部分。（3）不同装修情况的房屋价格是否有显着差异为什么