复旦附中2018学年第一学期高一上期中考卷

复旦附中2018学年第一学期高一年级

数学期中考试试卷

考试时间：120分钟，满分150分，请将答案写在答题纸上

一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 集合{}?的元素个数是_________

2. 已知()f x =

(2)f x -的定义域是__________

3. 命题“若3x >或2y >，则2

2

4x y +>”的逆否命题是________________________ 4. 函数4

y x x

=+

（0x >）的递增区间是____________ 5. 已知()f x 是定义在上的奇函数，若0x <时，()(2)f x x x =-，则0x >时()f x =

__________

6. 若关于x 的方程22

(1)4(1)10a x a x -+++=无实根，则实数a 的取值范围是__________

7. 函数221()()1

x f x x ++=的值域为_______________

8. 已知正实数,x y 满足xy y x =+2，则y x +2的最小值等于 9.设集合,A B 是实数集

的子集，[1,0]A C B ?=-，[1,2]B C A ?=，

[3,4]C A C B ?=，则A =___________

10. 已知定义在

上的奇函数()f x 在[0,)+∞上递增，则下列函数（1）|()|f x ，（2）(||)f x

（3）

1

()

f x ，（4）()()f x f x -，中在(,0)-∞上递减的是____________ 11. 设函数1(|

)2|x

f x x +=

,区间[,]M a b =（a b <），集合{(),}N y y f x x M ==∈，则使得M N =的实数对(,)a b 有________对

12. 对任何有限集S ，记()p S 为S 的子集个数。设{1,2,3,4}M =，则对所有满足

A B M ??的有序集合对(,)A B ，()()p A p B 的和为_____________

二、选择题（满分20分，每题5分） 13.已知x ∈

，则

12x >是1

2

x <的（） A ．充分非必要条件B.必要非充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件

14. 若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零

点分别位于区间（）

A. (,)a b 和(,)b c 内

B. (,)a -∞和(,)a b 内

C.(,)b c 和(),c +∞内

D. (,)a -∞和(),c +∞内

15. 若整数集

的子集S 满足条件：对任何,a b S ∈，都有a S b -∈，就称S 是封闭集。

下列命题中错误的是（）

A. 若S 是封闭集且{0}S ≠，则S 一定是无限集

B. 对任意整数,a b ，{|,,}S n n ax by x y ==+∈是封闭集

C. 若S 是封闭集，则存在整数k S ∈，使得S 中任何元素都是k 的整数倍 D ．存在非零整数,a b 和封闭集S ，使得,a b S ∈，但,a b 的最大公约数d S ? 16. 设f 是定义在

上的函数，下列关于f 的单调性的说法

（1）若存在实数a b <，使得()()f a f b <，则存在实数c d <，满足[,][,]c d a b ?，且f 在[,]c d 上递增 （2）若f 在

上单调，则存在x ∈

，使得(())f f x x ≠-

（3）若对任意0a >，存在d ∈，使得0d a <<，且()()f x d f x +>对一切x ∈

成

立，则f 在

上递增

其中正确的个数是（）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

三、解答题（满分76分）

17.（满分14分）已知命题:p 0x ≤或2x ≥，q ：x a ≤ （1）若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围 （2）若对任意x ∈，,p q 中至少有一个是真命题，求实数a 的取值范围

18.（满分14分）已知,αβ是关于x 的方程2

220x kx k -++=的两实根，且αβ< （1）若1αβ<<，求实数k 的取值范围 （2）若,[0,3]αβ∈，求实数k 的取值范围

19.（满分14分）对关于x 的不等式|2|3x a x -<+（*） （1）当1a =时，求解不等式（*）

（2）若不等式（*）对一切[1,1]x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围

20.（满分16分）已知f 是定义在

上不恒为0的函数，满足对任意,x y ∈

，

()()()f x y f x f y +=+，()()()f xy f x f y =

（1）求f 的零点

（2）判断f 的奇偶性和单调性，并说明理由 （3）①当x ∈

时，求()f x 的解析式 ②当x ∈

时，求()f x 的解析式

21.（满分18分）

（1）设实数0,1t ≠，若关于x 的方程2

2

01t t

x tx +=-+有实根，求t 的取值范围 （2）设r ∈，若存在实数0,1t ≠，使得r 是（1）中方程的实根，求r 的取值范围

（3）设f 是定义在

上的函数，若实数x 满足((()))f f f x x =，但()f x x ≠，则称x 是f

的三阶不动点，对存在三阶不动点的一切函数2

()f x x ax b =++（,a b ∈），及f 的一切

三阶不动点x ，求|()||()(())||(())|m x f x f x f f x f f x x =-+-+-的最小值

复旦附中2018学年第一学期高一年级

数学期中考试答案

一、填空题

1. 1

2. (,2]-∞

3. 若22

4x y +≤，则3x ≤或2y ≤

4. [2,)+∞

5. (2)x x -+

6. (5

,1]3

-- _____ 7．[0,2] 8. 9 9. ,1)(2,3()()4,∞??+∞- 10. （1）（2）（3）11.3 12.2401

二、选择题

13． A 14． A 15． D 16． B

三、解答题

17．（1）,](,0][2,0()a q p a ∞?-∞?+∞-??≤? （2）x ∈，p 或q 为真,]((,0][2,))2(a a ∞?-∞?+∞=-??≥

18．记2

()22f x x kx k =-++

（1）1(1)303f k k αβ<

（2）24(2)0

03(0)20

(34,[0,)1150

3]11

25k k f k k k f k αβαβ??=?

∈????<≤?

?≠????-+>≤≤=+≥=-≥

19．（1）1a =时，（*）为|21|3(3)21432

3

x x x x x x -<+?-+<+?-<<<- （2）对一切[1,1]x ∈-，|2|3x a x -<+， 即(3)23x a x x -+<-<+，即333x a x -<<+ 记()3,[1,1]f x x x ∈-=-，()33,[1,1]g x x x ∈-=+

则,f g 在[1,1]-递增，所以max (1)2f f ==-，min (1)0g g =-= 对一切[1,1]x ∈-，max min ()()f x a g x f a g <

20．记()()()f x y f x f y +=+①()()()f xy f x f y =②

（1）在①中取0y =得(0)0f =. 若存在0x ≠，使得()0f x =，则对任意y ∈

，

()()()()0y y

f x f x f x y f x =?==，与()f x 不恒为0矛盾。所以0x ≠时，()0f x ≠

f 的零点是0

（2）在①中取y x =-得()()(0)0f x f x f +-==，即()(),f x f x x -=-

∈

所以f 是奇函数。

,,y y x x ∈<

时，2()()()()()(0f y f x f y f x f y x f -=+-=-=>

所以f 在

上递增。

（3）②中取,1x y =得2

(1)((1))f f =. 因为(1)0f ≠，所以(1)1f = 对任意正整数n ，由①，(1)()(1)1n f n f n n f +

=+=?=个

，()()f n f n n -=-=-

又因为(0)0f =，所以x ∈时，()f x x =

对任意有理数m n

（*

,m n ∈∈

），由①，)()())((()n m m

m m

f f nf n n n f m f n n

=?

=++=个

，

所以())(

f m f m m

n n n

==，即对一切x ∈，()f x x =

若存在x ∈，使得()f x x ≠，不妨设()f x x >（否则以()f x --代替()f x ，x -代替x 即

可），则存在有理数α，使得()x f x α<<（例如可取1)[

1

](f x n x

+-=，[]1m nx =+，

m

n

α=

）. x α<但(())f x f αα=>，与f 的递增性矛盾。所以x ∈时，()f x x =

21．（1）22

403110t t t t t

t ??=≥??≤->-??≠?

-

或

（2）22

22001100t r t t r

r r t r t rt ??==???--????

≠+

≠+?+?+，所以 存在0,1t ≠，使得r 是关于x 的方程2

2

01t t

x tx +=-+的解

?0,1r ≠，且关于x 的方程2

2

01r r

x rx +=-+有实数解 31r r ?≤->或

（3）设x 是函数2

()f x x ax b =++的三阶不动点， 记()y f x =①()z f y =②则((()))()x f f f x f z ==③

记,,r x y s y z t z x =-=-=-，则0r s t ++=.①-②，②-③，③-①得

()()()r x y a s s y z a t t z x a r

++=??

++=??++=?，因为()f x x ≠，即0r ≠，所以0,s t ≠，即x y a y z a z s r t s r a t x ?

++=??

?++=???

++=??④⑤⑥

⑤-⑥得r r t

t s =-，即21rs t t =-，又因为r s t +=-，所以,r s 是关于关于x 的方程

2

2

01t t

x tx +=-+两根。由（1）（2），(,3](1),,

,rst ∈-∞-?+∞. 因为0r s t ++=，

所以,,r s t 中至少有一个为负，不妨设3t ≤-，则0r s t +=->

，2

01t t

rs =>-，所以,0r s >

||||||26m r s t r s t t =++=+-=-≥

当2294216

a a

b --=

时，f 有三阶不动点542x a

=-，满足6m =，所以m 的最小值为6