7《学习指南 第七章 静电场中的导体和电介质
第7章 静电场中的导体和电介质
7.1 要求
1、了解导体静电平衡条件和电介质的极化，了解电容器；
2、掌握计算电容器容量的方法；
3、能熟练应用电介质中的高斯定理以及安培环流定理。
7.2 内容提要
1、静电感应现象
当一个不带电的导体放在电场强度0E 的静电场中，在最初短暂的时间内
（约s 1410-数量级）导体内会有电场存在，驱使电子作定向运动，必然引起导
体内部正、负电荷的重新分布，最后达到静电平衡。在导体的两端出现等量、
异号的电荷，这种现象称为静电感应现象。
2、导体静电平衡状态
导体静电平衡时，其内部场强处处为零，导体内部和表面都没有电荷的定
向移动，导体所处的这种状态称为导体静电平衡状态。
3、导体静电平衡条件
导体内任一点的电场强度都等于零。在带电导体上，电荷只分布在导体的
表面上，导体内部处处都没有未被抵消的净电荷。
推论一：导体是等势体，其表面是等势面
0,=?=-=?b
a
b a b a d U U U U ；
推论二：导体表面的场强都垂直导体表面（力线正交等势面）。
4、导体的面电荷密度与场强的关系
导体表面附近的场强在数值上等于该处面电荷σ的0/1ε，方向为导体表面
的法线方向，即
n E 0
εσ=。 导体表面各处的电荷分布与其曲率有关，凸出而尖端的地方曲率较大，电
荷面密度较大；平坦的地方曲率较小，电荷面密度较小，凹陷的地方曲率为负，
电荷面密度更小。在导体尖端的附近电场特别强，会发生尖端放电。
5、电容
（1）、孤立导体的电容
附近没有其他导体和带电体的孤立导体，它所带的电量Q 与其电势U 成正
比，即 U
Q C =，式中比例系数C 称为孤立导体的电容，它与导体的形状和大小有关，而与Q 和U 无关。电容反映了导体储存电荷和电能的能力，其
单位是F （法拉），在实际中常用F μ和pF 。
（2）、平板电容器的电容
d
S C S Q Ed U E 00,,,εσεσ==== （3）、圆柱形电容器的电容
120ln
2R R Q U πε=，U Q C =，,C=1
20/ln 2R R πε （4）、孤立导体球电容器的电容 R C r επε04=，式中R 为球面半径。
（5）、球形电容器的电容
设内、外球半径分别为R 1和R 2，其间介质的相对电容率为r ε，则其电容
为 1
22104R R R R C r -=επε 6、电介质中的高斯定理
通过任一封闭曲面（高斯面）的电位移通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代
数和 数学表达式 q d s
=??。
7、电位移矢量
+=0ε， 在各向同性、线性介质中E E D r εεε==0 式中P 为电极化强度，电位移单位为2/m C 。
8、静电场的能量密度
2
2
E V W w ε== 7.3 解题思路
1、在分析有导体存在时的静电问题时，要根据
（1）、电荷守恒原理，导体上电荷重新分布时，其总电量不变；
（2）、高斯定理；
（3）、导体内电场为零；
（4）、相互连接的导体静电平衡时的电势相等；
2、分析电容器的问题时，要注意Q 是两极板表面上各自所带的电量的
大小。两极板间电压和电场强度的关系要具体分析，平板电容器、圆柱形电
容器和球形电容器的U-E 关系是不相同的；
3、有电介质存在的情况下，求电场E 分布时，一般应先根据自由电荷
的分布求出D 的分布，然后利用E D r εε0=，求出E 的分布。
7.4 思考题解答
在一个原来不带电的导体球的中心r 处放置一电量为q 的点电荷，此导体
球的电势多大？
答：由于放置一电量为q 的点电荷，导体球的表面上感应出大小相等、符
号相反的电量为q '和q '-。导体球是等势体，球心的电势，亦即球的电势：
r
q R q R q r q U 00004444πεπεπεπε='-+'
+= 此式说明导体球是电势等于电荷q 在球心产生的电势。 7.5 习题精解
7.1、如图7.1所示，两个同心的均匀带电球面，内球面带电荷Q 1，外球面带电荷Q 2，则在两球面之间、距离球心为r
处的P 点的场强大小E 为： (A) 2014r Q επ． (B) 2
0214r Q Q επ+． (C) 2024r Q επ． (D) 20124r
Q Q επ-． ［ ］ 图7.1 解：静电平衡时，外球壳的内表面分布电量为- Q 1外表面为Q 1+ Q 2 距离球
心为r 处的P 点的场强大小为：2014r
Q E πε=，选A 。 7.2、图7.2中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势（位）
面，由图可看出： (A) E A ＞E B ＞E C ，U A ＞U B ＞U C ．
(B) E A ＜E B ＜E C ，U A ＜U B ＜U C ． (C) E A ＞E B ＞E C ，U A ＜U B ＜U C ．
(D) E A ＜E B ＜E C ，U A ＞U B ＞U C ． [ ] 图7.2
解：电力线越密的地方，E 越大；负电荷的场强则相反，故B A E E ；
电力线指向电势降低的方向，则B A U U ，
(D) E A ＜E B ＜E C ，U A ＞U B ＞U C ．为正确答案。
7.3、有三个直径相同的金属小球．小球1和2带等量同号电荷，两者的距
离远大于小球直径，相互作用力为F ．小球3不带电，装有绝缘手柄．用小球
3先和小球1碰一下，接着又和小球2碰一下，然后移去．则此时小球1和2
之间的相互作用力为
(A) F / 4．
(B) 3F / 8．
(C) F / 2．
(D) 3F / 4． ［ ］
解：小球1和2
带等量同号电荷，两者的距离远大于小球直径，可视为点
电荷，相互作用力为F 202
4r q πε=；当小球3先和小球1碰一下时，小球3先和
小球1的电量各为q/2，再碰一下球3时，则球3的电量为3q/4。小球1和2
之间的相互作用力为
F r
q q F 834)4/3()2/(20=?='πε
所以(B) 3F / 8．为正确答案。
7.4、电位移矢量的时间变化率t D d /d 的单位是
（A ）库仑／米2 （B ）库仑／秒
（C ）安培／米2 （D ）安培?米2 ［ ］ 答：因为电位移矢量的时间变化率t D d /d 又称位移电流密度，
单位是（C ）安培／米2，而库仑／米 2 是电位移矢量的单位；库仑／秒是电
流的位（安培）；安培?米2是磁矩的单位.
7.5、充了电的平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的静电作用力F 与
两极板间的电压U 的关系是：
(A) F ∝U ； (B) F ∝1/U ；
(C) F ∝U 1
； (D) F ∝2
1U ； [ ] 解：平行板电容器U
q C =，Eq F =，Ed U = ， 2U d C UC d U F =?=， (D) F ∝21U
，为正确答案。 7.6一平行板电容器，极板面积为S ，相距为d. 若B 板接地，且保持A 板的电势U A ＝U 0不变．如图，把一块面积
相同的带有电荷为Q 的导体薄板C 平行地插入两板中间，则导体薄板C 的电势_____________。
解题思路 根据平行板电容器的定义和特性及已知条
件，可知：导体薄板C 未插入两板中间之前，2/00U U C =，C 插入之后，C 的电势U C ＝10C C U U +，问题转化为求C 插 图7.3
入之后在中点处的电势。
Ed U =，S
Q E 00εεο==， S
Qd d S Q U C 00122εε=?=。 所以
S
Qd U U C 0022ε+=
7.7、如图7.4所示，两同心导体球壳，内球壳带电荷+q ，外球壳带电荷-2q ．静电平衡时，外球壳的电荷分布为：
内表面___________ ； 外表面___________ ． 解题思路 根据静电平衡条件，外球壳的内表面的负电荷，受内球壳带电荷+q 的吸引为-q ，所以外球壳的外表面的电荷亦为
-q ，外球壳的总电荷仍是-2q 。 图7.4
7.8、一空气平行板电容器，电容为C ，两极板间距离为d ．充电后，两极
板间相互作用力为F ．则两极板间的电势差为：___，极板上的电荷为
__________。
U 0U C
A C B
解：因为 EQ F =，Ed U =，
U
Q C =， 所以
22U d
C UC d U F =?=， C Fd U =
， FdC CU Q ==。 7.9、如图7.5所示两个平行共轴放置的均匀带电圆环，它们的半径均为R ，电荷线密度分别是＋λ和－λ，相距为l ．试求以两环的对称中心O 为坐标
原点垂直于环面的x 轴上任一点的电势(以无穷远处
为电势零点)． 解：设轴线上任意点P 的坐标为x ，两带电圆环
在P 点产生的电势分别为： 图7.5 ()2202/2R l x R U +-=+ελ， ()2202/2R l x R U ++-=-ελ ； 由电势叠加原理，P 点的电势为
U =U ++U -()()???????
?++-+-=222202/12/12R l x R l x R ελ 7.10、一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为R 1 = 2 cm ，R 2 = 5 cm ，其间充满相对介电常量为εr 的各向同性、均匀电介质．电容器接在电压U = 32 V 的电源上，(如图7.6所示)，试求距离轴线R = 3.5 cm 处的A 点的电场强度和A
点与外筒间的电势差。
解：设内外圆筒沿轴向单位长度上分别带有电荷+λ和-λ, 根据
高斯定理可得两圆筒间任一点的电场强度为 r E r εελ02π=
两圆筒电势差为
1200ln 22d d 2121R R r r r E U r R R r R R εελεελπ=π==??? , 解得：1
20/ln 2R R U r εελπ=
， 于是可求得Ａ点的电场强度为 A E )
/l n (12R R R U == 998 V/m 方向沿径向向外 A 点与外筒间电势差：
??=='22d )/ln(d 12R R R R r r R R U r E U R R R R U 212ln )/ln(= = 12.5 V 。
图7.6
7.11、已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和∑q ＝0，则可肯定：
(A) 高斯面上各点场强均为零．
(B) 穿过高斯面上每一面元的电场强度通量均为零．
（C ） 通过整个高斯面的电场强度通量为零．
（D ） 以上说法都不对． [ ]
答：由高斯定理010==?=Φ∑?i
i S e q S d E ε，
虽然，∑q ＝0，说明面内净电荷为零。但是，面上不一定E 就为零；只说
明通过整个高斯面的电场强度通量为零，故选（C ）。
7.12、半径为R 的均匀带电球面，总电荷为Q ．设无穷远处
电势为零，则该带电体所产生的电场的电势U ，随离球心的距离r 变化的分布曲线为
［ ］ 答：均匀带电球面内E=0，故为等势体R Q U 04πε=
，球外 r Q
U 04πε=，所以选(A).
7.13、三个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷
面密度都是＋σ，如图7.8所示，则A 、B 、C 、D 三个区
域的电场强度分别为：E A ＝_________，
E B ＝________，E C ＝________， E D =_______ (设方向向右为正)．
解：1、研究电荷分布：∵在静电平衡时，设由左到
右为第一、第二和第三块平板。那么，第二块平板两面都均匀分布2
σ的电荷，则第一块平板内側为2σ-，外側为23σ； 图7.8 同理第三块平板内側为2σ-，外恻为2
3σ。 2、研究E ：B 和C 区是平行板电容器，其场强为E 02εσ=
； E 的方向向右为正，A 区023εσ-
=E ；D 区023εσ=E 。 7.14、A 、B 为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面
间的电场强度大小为0E ，两平面外侧电场强度大小都为3
0E ，方向如图．则A 、B 两平面上的电荷面密度分别为 A σ＝________, B σ＝___________。
(A)
(B) (C) 2 (D) 2 (E) +σ+σ+σA B C D 图7.7
解：平行板电容器内0
0εσ=E ，则板内00εσE =，那末，
对A 板：内侧的电荷密度为 000εσE A -=；
外侧： 3
,300100εσεσE E A A ==， 3
20010εσσσE A A A -=+=， 对B 板：内侧的电荷密度为00εE +；外侧：3400εσE B =
. 7.15、空气平行板电容器的两极板面积均为S ，两板相距很近，电荷在平
板上的分布可以认为是均匀的．设两极板分别带有电荷±Q ，则两板间相互吸
引力为____ ________________．
解：S Q E Ed U U Q C 00,,εεο====，S
Q EQ F 02
ε==。 7.16、两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R 1＝0.03 m
和R 2＝0.10 m ．已知两者的电势差为450 V ，求内球面上所带的电荷。
解：设内球上所带电荷为Q ，则两球间的电场强度的大小为
2
04r Q E επ= (R 1＜r ＜R 2)
两球的电势差 ??π==212120124d R R R R r dr Q r E U ε???? ??-π=21
0114R R Q ε C R R U R R Q 91
2122101014.24-?=-π=ε 7.17、两块“无限大”平行导体板，相距为2d ，
都与地连接，如图7.10所示. 在板间均匀充满着正
离子气体(与导体板绝缘)，离子数密度为n ，每个离子的电荷为q ．如果忽略气体中的极化现象，可以认
为电场分布相对中心平面OO'是对称的．试求两板
间的场强分布和电势分布．
解：选x 轴垂直导体板，原点在中心平面上，作
一底面为S 、长为2x 的柱形高斯面，其轴线与x 轴平 图7.10
行，上下底面与导体板平行且与中心平面对称．由电荷分布知电场分布与中心
面对称．设底面处场强大小为E ．应用高斯定理： A B E 0E 0/3
E 0/3
图7.9
22εεn q S x q SE i i
==∑ 得 0εnqx E = 方向如图7.10所示
由于导体板接地，电势为零，所以x 处的电势为
)d )(/(d 0??==d
x
d x x x nq x E U ε))(2/(220x d nq -=ε
7.18、为什么引入电场中的试验电荷，体积必须很小，电荷量也必须很小？
答：试验电荷是为了探测电场对电荷有施力作用的性质而引入的．为了
确定电场中各不同点对试验电荷施力的大小和方向，试验电荷的体积很小才能
确定其所处位置，表明在该点所受的力．体积大了位置就无法确定．
试验电荷的电荷也必须足够小，使得它不致影响原有电场的分布，否则所
测得的结果并非是原有电场的真实值．
最新第七章静电场中的导体
第七章 静电场中的导体、电介质 一、选择题： 1. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ，如 图所示，则板外两侧的电场强度的大小为：[ ] （A ）E=02εσ （B ）E=02εσ （C ）E=0εσ （D ）E=02d εσ 2. 两个同心薄金属体，半径分别为R 1和R 2（R 2>R 1），若分别带上电量为q 1和q 2的电荷，则 两者的电势分别为U 1和U 2（选无穷远处为电势零点），现用导线将两球壳相连接，则它们的 电势为[ ] （A ）U 1 （B ）U 2 （C ）U 1+U 2 （D ）2 1（U 1+U 2） 3.如图所示，一封闭的导体壳A 内有两个导体B 和C ，A 、C 不带电， B 带正电，则A 、B 、 C 三导体的电势U A 、U B 、U C 的大小关系是 （A ）U A =U B =U C （B ）U B > U A =U C （C ）U B >U C >U A （D ）U B >U A >U C 4.一厚度为d 的“无限大”均匀带电导体板，电荷面密度为σ，则板的两侧离板的距离均为 h 的两点a 、b 之间的电势差为： [ ] （A ）零 （B ）02εσ （C ）0εσh （D ）02εσh 5. 当一个带电导体达到静电平衡时： [ ] (A) 表面上电荷密度转大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势。 (C)导体内部的电势比导体表面的电势高。 (D)导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零。 6. 如图示为一均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一内、 外半径分别为r 1、r 2的金属球壳、设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势为： [ ]
大学物理知识总结习题答案(第四章)静电场
第四章 静电场 本章提要 1．电荷的基本性质 两种电荷，量子性，电荷首恒，相对论不变性。 2．库仑定律 两个静止的点电荷之间的作用力 12122 2 04kq q q q r r = = F r r πε 其中 9 2 2 910(N m /C )k =?? 12 2-1 -2 018.8510 (C N m ) 4k -= =??επ 3．电场强度 q = F E 0q 为静止电荷。由 10102 2 04kq q q q r r == F r r πε 得 112 2 04kq q r r = = E r r πε 4．场强的计算 （1）场强叠加原理 电场中某一点的电场强度等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电场强度的矢量和。 i = ∑E E （2）高斯定理 电通量：在电场强度为E 的某点附近取一个面元，规定S ?=?S n ， θ为E 与n 之间的夹角，通过S ?的电场强度通量定义为
e cos E S ?ψ=?=??v S θ 取积分可得电场中有限大的曲面的电通量 ψd e s S = ??? E 高斯定理：在真空中，通过任一封闭曲面的电通量等于该封闭曲面内的所有电荷电量的代数和除以0ε，与封闭曲面外的电荷无关。即 i 0 1 d s q = ∑?? E S 内 ε 5．典型静电场 （1）均匀带电球面 0=E （球面内） 2 04q r πε= E r （球面外） （2）均匀带电球体 3 04q R πε= E r （球体内） 204q r πε= E r （球体外） （3）均匀带电无限长直线场强方向垂直于带电直线，大小为 02E r λ πε= （4）均匀带电无限大平面场强方向垂直于带电平面，大小为 2E σ ε= 6．电偶极矩 电偶极子在电场中受到的力矩 =?M P E 思考题 4-1 02 0 4q q r = = πεr 与F E E 两式有什么区别与联系。
第13章静电场中的导体和电介质
思考题 13-1 尖端放电的物理实质是什么？ 答： 尖端放电的物理实质，是尖端处的强电场致使附近的空气分子电离，电离所产生的带电粒子在电场的作用下急剧运动和相互碰撞，碰撞又使更多的空气分子电离，并非尖端所带的电荷直接释放到空间去。 13-2 将一个带电+q 半径为R B 的大导体球B 移近一个半径为R A 而不带电的小导体球A ，试判断下列说法是否正确？并说明理由。 (1) B 球电势高于A 球。 答： 正确。不带电的导体球A 在带电+q 的导体球B 的电场中，将有感应电荷分布于表面。另外，定性画出电场线，在静电场的电力线方向上电势逐点降低，又由图看出电场线自导体球B 指向导体球A ，故B 球电势高于A 球。 (2) 以无限远为电势零点，A 球的电势: V A < 0 答： 不正确。若以无穷远处为电势零点V ∞＝0，从图可知A 球的电力线伸向无穷远处。所以，V A ＞0。 13-3 怎样能使导体净电荷为零 ，而其电势不为零? 答：将不带电的绝缘导体(与地绝缘并与其它任何带电体绝缘)置于某电场中，则该导体有∑=0q 而导体的电势V ≠0 。 图13-37 均匀带电球体的电场能
13-4 怎样理解静电平衡时导体内部各点的场强为零？ 答： 必须注意以下两点： （1） 这里的“点”是指导体内的宏观点，即无限小体积元。对于微观点，例如导体中某电子或某原子核附近的一个几何点，场强一般不为零； （2） 静电平衡的这一条件，只有在导体内部的电荷除静电场力以外不受其他力（如“化学力”）的情况下才能成立。 13-5 怎样理解导体表面附近的场强与表面上对应点的电荷面密度成正比？ 答： 不应产生这样的误解：导体表面附近一点的场强，只是由该点的一个面电荷元S ?σ产生的。实际上这个场强是导体表面上全部电荷所贡献的合场强。如果场中不止一个导体，则这个场强应是所有导体表面上的全部电荷的总贡献。 13-6 为什么不能使一个物体无限制地带电？ 答： 所谓一个物体带电，就是指它因失去电子而有多余的净的正电荷或因获得电子而有多余的负的净电荷。当物体带电时，在其周围空间产生电场，其电场强度随物体带电量的增加而增大。带电体附近的大气中总是存在着少量游离的电子和离子，这些游离的电子和离子在其强电场作用下，获得足够的能量，使它们和中性分子碰撞时产生碰撞电离，从而不断产生新的电子和离子，这种电子和离子的形成过程如雪崩一样地发展下去，导致带电物体附近的大气被击穿。在带电体带电的作用下，碰撞电离产生的、与带电体电荷异号的电荷来到带电体上，使带电体的电量减少。所以一个物体不能无限制地带电。如尖端放电现象。 13-7 感应电荷的大小和分布怎样确定？ 答： 当施感电荷Q 接近于一导体时，导体上出现等量异号的感应电荷±q ′。其分布一方面与导体的表面形状有关，另一方面与施感电荷
7《学习指南 第七章 静电场中的导体和电介质
第7章 静电场中的导体和电介质 7.1 要求 1、了解导体静电平衡条件和电介质的极化，了解电容器； 2、掌握计算电容器容量的方法； 3、能熟练应用电介质中的高斯定理以及安培环流定理。 7.2 内容提要 1、静电感应现象 当一个不带电的导体放在电场强度0E 的静电场中，在最初短暂的时间内 （约s 1410-数量级）导体内会有电场存在，驱使电子作定向运动，必然引起导 体内部正、负电荷的重新分布，最后达到静电平衡。在导体的两端出现等量、 异号的电荷，这种现象称为静电感应现象。 2、导体静电平衡状态 导体静电平衡时，其内部场强处处为零，导体内部和表面都没有电荷的定 向移动，导体所处的这种状态称为导体静电平衡状态。 3、导体静电平衡条件 导体内任一点的电场强度都等于零。在带电导体上，电荷只分布在导体的 表面上，导体内部处处都没有未被抵消的净电荷。 推论一：导体是等势体，其表面是等势面 0,=?=-=?b a b a b a d U U U U ； 推论二：导体表面的场强都垂直导体表面（力线正交等势面）。 4、导体的面电荷密度与场强的关系 导体表面附近的场强在数值上等于该处面电荷σ的0/1ε，方向为导体表面 的法线方向，即 n E 0 εσ=。 导体表面各处的电荷分布与其曲率有关，凸出而尖端的地方曲率较大，电 荷面密度较大；平坦的地方曲率较小，电荷面密度较小，凹陷的地方曲率为负， 电荷面密度更小。在导体尖端的附近电场特别强，会发生尖端放电。 5、电容 （1）、孤立导体的电容 附近没有其他导体和带电体的孤立导体，它所带的电量Q 与其电势U 成正 比，即 U Q C =，式中比例系数C 称为孤立导体的电容，它与导体的形状和大小有关，而与Q 和U 无关。电容反映了导体储存电荷和电能的能力，其 单位是F （法拉），在实际中常用F μ和pF 。 （2）、平板电容器的电容 d S C S Q Ed U E 00,,,εσεσ==== （3）、圆柱形电容器的电容
第6章 静电场中导体和电介质
第6章 静电场中的导体与电介质 一、选择题 1. 当一个导体带电时, 下列陈述中正确的是 (A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面上曲率较大处电势较高 (C) 表面上每点的电势均相等 (D) 导体内有电力线穿过 [ ] 2. 关于带电导体球中的场强和电势, 下列叙述中正确的是 (A) 导体内的场强和电势均为零 (B) 导体内的场强为零, 电势不为零 (C) 导体内的电势与导体表面的电势相等 (D) 导体内的场强大小和电势均是不为零的常数 [ ] 3. 当一个带电导体达到静电平衡时 (A) 导体内任一点与其表面上任一点的电势差为零 (B) 表面曲率较大处电势较高 (C) 导体内部的电势比导体表面的电势高 (D) 表面上电荷密度较大处电势较高 [ ] 4. 一个带正电的小球放入一个带等量异号电荷、半径为R 的球壳中，如图1所示．在距球心为r (R r <)处的电场与放入小球前相比将 (A) 放入前后场强相同 (B) 放入小球后场强增加 (C) 因两者电荷异号, 故场强减小 (D) 无法判定 [ ] 5. 设无穷远处电势为零, 半径为R 的导体球带电后其电势为V , 则球外离球心距离为r 处的电场强度大小为 (A) 23R V r (B) V r (C) 2RV r (D) V R [ ] 6. 有两个大小不等的金属球, 其大球半径是小球半径的两倍, 小球带有正电荷．当用金属细线连接两金属球后 (A) 大球电势是小球电势的两倍 (B) 大球电势是小球电势的一半 (C) 所有电荷流向大球 (D) 两球电势相等 [ ] 7. 在某静电场中作一封闭曲面S ．若有 ??=?s S D 0d ? ρ, 则S 面内必定 (A) 没有自由电荷 (B) 既无自由电荷, 也无束缚电荷 (C) 自由电荷的代数和为零 (D) 自由电荷和束缚电荷的代数和为零 [ ] 8. 有一空气球形电容器, 当使其内球半径增大到两球面间的距离为原来的一半时, 此电容器的电容为 (A) 原来的两倍 (B) 原来的一半 (C) 与原来的相同 (D) 以上答案都不对 [ ] 9. 一均匀带电Q 的球体外, 罩一个内、外半径分别为r 和R 的同心金属球壳，如图2所示．若以无限远处为电势零点, 则在金属球壳r ＜R ＇＜R 的区域内 q 图1
梁前德《统计学》(第二版)学习指导与习题训练答案：07第七章 假设检验与方差分析 习题答案
旗开得胜 1 第七章 假设检验与方差分析 习题答案 一、名词解释 用规范性的语言解释统计学中的名词。 1. 假设检验：对总体分布或参数做出某种假设，然后再依据抽取的样本信息，对假设是否正确做出统计判断，即是否拒绝这种假设。 2. 原假设：又叫零假设或无效假设，是待检验的假设，表示为 H 0，总是含有等号。 3. 备择假设：是零假设的对立，表示为 H 1，总是含有不等号。 4. 单侧检验：备择假设符号为大于或小于时的假设检验。 5. 显著性水平：原假设为真时，拒绝原假设的概率。 6. 方差分析：是检验多个总体均值是否相等的一种统计分析方法。 二、填空题 根据下面提示的内容，将适宜的名词、词组或短语填入相应的空格之中。 1. u ， n x σμ0 -，标准正态； ),( ),(2/2/+∞- -∞n z n z σσααY 2. 参数检验，非参数检验 3. 弃真，存伪 4. 方差
旗开得胜 2 5. 卡方， F 6. 方差分析 7. t ，u 8. n s x 0μ-，不拒绝 9. 单侧，双侧 10．新产品的废品率为5% ，0.01 11．相关，总变异，组间变异，组内变异 12．总变差平方和=组间变差平方和+组内变差平方和 13．连续，离散 14．总体均值 15．因子，水平 16．组间，组内 17．r-1，n-r 18. 正态，独立，方差齐
三、单项选择 从各题给出的四个备选答案中，选择一个最佳答案，填入相应的括号中。 1．B 2．B 3. B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．A 9．D 10．A 11．D 12．C 四、多项选择 从各题给出的四个备选答案中，选择一个或多个正确的答案，填入相应的括号中。1.AC 2．A 3.B 4.BD 5. AD 五、判断改错 对下列命题进行判断，在正确命题的括号内打“√”；在错误命题的括号内打“×”，并在错误的地方下划一横线，将改正后的内容写入题下空白处。 1. 在任何情况下，假设检验中的两类错误都不可能同时降低。( ×) 样本量一定时 2. 对于两样本的均值检验问题，若方差均未知，则方差分析和t检验均可使用，且两者检验结果一致。( √) 3
大学物理课后答案第七章静电场中的导体和电介质
大学物理课后答案第 七章静电场中的导 体和电介质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2 习题7 7-2 三个平行金属板A ，B 和C 的面积都是200cm 2，A 和B 相距4.0mm ，A 与C 相距2.0 mm ．B ，C 都接地，如题7-2图所示．如果使A 板带正电3.0×10-7C ，略去边缘效应，问B 板和C 板上的感应电荷各是多少以地的电势为零，则A 板的电势是多少 解: 如题7-2图示，令A 板左侧面电荷面密度为1σ，右侧面电荷面密度为 2σ 题7-2图 (1)∵ AB AC U U =，即 ∴ AB AB AC AC E E d d = ∴ 2d d 21===AC AB AB AC E E σσ 且 1σ+2σS q A = 得 ,32S q A = σ S q A 321=σ 而 711023 2 -?-=- =-=A C q S q σC C 10172-?-=-=S q B σ (2) 30 1 103.2d d ?== =AC AC AC A E U εσV
3 7-3 两个半径分别为1R 和2R （1R ＜2R )的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q ，试计算： (1)外球壳上的电荷分布及电势大小； (2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势； *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量． 解: (1)内球带电q +；球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +，且均匀分布，其电势 题7-3图 ? ? ∞ ∞==?=2 2 020π4π4d d R R R q r r q r E U εε (2)外壳接地时，外表面电荷q +入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q -．所以球壳电势由内球q +与内表面q -产生： 0π4π42 02 0=- = R q R q U εε (3)设此时内球壳带电量为q '；则外壳内表面带电量为q '-，外壳外表面带电量为+-q q ' (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且 0π4' π4'π4'2 02 01 0=+-+ - = R q q R q R q U A εεε
C语言程序设计第七章学习辅导.
C++语言程序设计第七章学习辅导 在程序设计中，经常需要将具有一定联系的一组数据类型相同或不同的数据组织起来，进行统一管理。为此，C++提供了结构这一聚合数据类型，它是用一种混合模式将不同的信息块收集到一起，并赋予一个统一的名字。 结构可以是由不同数据类型的数据成员组成，面向对象的结构类型还可以包含函数说明和定义，从而可以定义一个类，用标识符struct定义的类与用标识符class定义的类，其主要区别在于其成员的缺省访问属性不同。组成结构的每个数据称为该结构的成员。在使用结构之前，必须对该结构进行定义，即对该结构的组成进行描述。结构的定义需要告诉编译器：该结构由几个成员组成，每个成员的数据类型是什么。 ㈠结构的定义 1.结构的定义格式 结构的定义以保留字struct作为标识符，其后是结构的名字，然后用一对大括号将该结构的成员包括起来，对于各成员，需要给它们指定一种数据类型，并指定一个成员数据名称。 定义结构类型的一般格式如下： struct 结构类型名{ 成员定义1； 成员定义2； … 成员定义n；}； 结构定义中的结构类型名为用户命名的任何一个有效的标识符，以后使用它就如同使用像int，double这样的简单类型名一样，允许出现在简单类型名能够出现的任何地方。成员定义1-n用来定义该结构的成员，成员定义的格式与无初始化的变量定义完全相同。 值得注意的是，结构的定义是一条语句，在其结尾处需要加一个语句结束符"；"。 2.定义格式举例 如：struct B{ char ch; int x,y; double z;}; struct E{ char ch; int x,y; B z;}; struct F{ int x; F* next;}; 结构类型B包含有一个字符型成员ch，两个整型成员x和y，以及一个双精度浮点型成
大学物理第7章静电场中的导体和电介质课后习题及答案
大学物理第7章静电 场中的导体和电介质课后习题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案 1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1σ和2σ。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球 上电荷分布的影响。试证明：R r =21σσ 。 证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以 半径为R 的导体球的电势为 R R V 0211π4επσ= 14εσR = 半径为r 的导体球的电势为 r r V 0222π4επσ= 24εσr = 用细导线连接两球，有21V V =，所以 R r =21σσ 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。 证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ，4σ （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得 S S d E S ?+= =??)(1 0320 σσε 故 +2σ03=σ 上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。 （2）在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即 022220 4 030201=---εσεσεσεσ 又 +2σ03=σ 故 1σ4σ= 3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。 解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q '，金属球接地时电势0=V 由电势叠加原理，球心电势为 = O V R q dq R 3π4π41 00εε+ ? 03π4π400=+'=R q R q εε
第七章动作技能的学习
第七章动作技能的学习 一、解释下列术语 动作 动作技能 熟练操作 练习 心理练习 集中练习 分配练习 整体练习 局部练习 随机练习 区组练习 情境干扰效应 固有的反馈 增补的反馈 结果的知识 觉错能力 反应时（间） 运动时（间） 运动能力倾向测 验
步。其最适当的解释是。（1）被试缺乏学习动机；（2）练习过多导致疲劳；（3）被试不知练习的结果；（4）缺乏适当的指导。 8.在动作技能学习的早期阶段，教师的示范不宜过快。这种现象的最适当解释是。（1）人的短时记忆容量有限；（2）学习应循序渐进；（3）防止过早出现疲劳；（4）先要有准备动作。 9.动作技能的教学方法一般宜于采用。（1）发现法；（2）讲解法；（3）示范法；（4）示范与讲解相结合方法。 10.动作技能教学一般通过示范与指导相结合进行，而不宜采用发现教学法，较恰当的理由是。（1）学生一般不能发现新的动作技能；（2）学生自己尝试的动作方法往往不够准确；（3）通过发现而出现的错误动作难以纠正；（4）以上三者都是可能的解释。 11.普通人每秒只能对外界刺激的变化进行两次调节，而熟练的钢琴家每秒能弹奏10个以上的音符。最适当的信息加工心理学解释是。（1）钢琴家有特殊天赋；（2）熟能生巧；（3）人脑中已形成的产生式系统能自动进行；（4）通过练习，注意分配能力增强。 12.根据动作技能能力倾向测验的原理，测量手指的灵活性可以较准确地预测下述技能的学习：(1)编织； (2)射箭；(3)铅球； (4)画画。 13.下列动作技能不易遗忘的是。(1)打太极拳；(2)骑自行车；(3)游泳；(4)广播操。 14.草书毛笔字主要需要下列运动技能。(1)大肌肉的；(2)小肌肉的；(3)连续的；(4)不连续的。 15.现代认知心理学家认为，动作技能的早期（即认知阶段）的主要任务是。(1)能陈述动作技能的规则； (2)体验动作技能学习的有效感；(3)对要完成的动作任务形成目标意象(goal image) ；(4)既要形成目标意象，又要形成目标期望。 四、研究与设计 1.观察一位中学或小学优秀体育教师的上课情况，并做详细记录（要求教师在课内教学生掌握某项体育动作）。或者收集优秀体育教师的教学经验总结，分析教师在教学时运用了本章介绍的哪些动作技能学习的原理。 2.观察并比较初入学儿童与熟练的书写者在书写常用汉字时的不同特征。 3.以情境干扰效应为例，说明什么是动作技能的学习以及如何测量这种学习。 4.认知领域中的知识和智慧技能学习的第一阶段重点在于理解，动作技能学习的第一阶段重点也在于理解。试分析这两个领域的学习在理解阶段学习的目的和条件的差异。 5.试分析练习在智慧技能学习领域和动作技能学习领域中的相同和不同作用。 6.假定一位小学语文老师要指导学生练好毛笔字，你认为本章阐述的哪些原理可指导教师的教
大学物理同步训练第2版第七章静电场中的导体详解
第七章 静电场中的导体和电介质 一、选择题 1. （★★）一个不带电的空腔导体球壳，内半径为R 。在腔内离球心的 距离为a 处（a 复变函数第七章学习指导 一、知识结构 共形影射概念 共形影射的基本理论"黎曼定理(定理7.1(定理7.13)) 边界对应定理(定理7.14) '保域性(定理7.1) 保角性j定理7.4)保形性j定理7.6^ 解析函数的影射特征 w =⑴“ ,w = z",z = Vvv, w = e z,z = cz + d 的影射性质 共形影射基本问题举例 二、学习要求 (1)理解解析函数的映射性质； ⑵了解幕函数、根式函数、指数函数、对数函数的映射性质; (3)理解分式线性变换的映射性质； (4)会求将区域G映射为G f的共形映射W = /(z) 0 三、内容提要 解析函数的保域性 定理7.1若函数w = /(z)在区域G内解析，且不是一个常数，则G的象G'= /(G)是区域. 解析函数的保角性 定义7. 1设映射w = /(z)在区域G内连续，若它使通过点Z。wG的任意二有向连续曲线间的夹角的大小及方向保持不变，则称该映射在点％是保角的. 若映射W = /(z)在区域G内的每一点都是保角的，则称该映射为区域G内的保角映射，或称该映射在G内是保角的. 定义7.2若映射w = /(Z)在区域G内是单叶口保角的，则称该映射为区域G内的保 形映射，或称该映射在G内是保形的. 定理7.2若函数w = /(z)在区域G内解析，则它在导数不为零处是保介的. 定理7.3若函数w = /(z)在区域G 内单叶口?解析，则它在G 内是保角的. 单叶解析函数的保形性 定理7.4若函数w = /(z)在区域G 内单叶且解析，则 (l)w = /(z)是区域G 内的保形映射,且G 的像G' = /(G)为区域; ⑵vv = /(z)的反函数2 = /T(w)在G'内单叶且解析，并有 几个初等函数的映射性质 1. W 二Z + /?(力为常数)的映射性质： ⑴是一个平移变换. ⑵在复平面处处是保角的.这是因为，在复平面上处处何w' = lH0. ⑶将圆周映射为圆周. 2. w = kz (k 为常数,且k^O)的映射性质： ⑴是旋转与伸长(或缩短)变换的叠加. ⑵在复平面上处处是保角的.这是因为，w r = k^0在复平而上处处成立. 3. w =—的映射性质： z ⑴该映射称为反演变换或倒数变换，它是相继施行两个対称变换的结果，一是关于实轴 对称，二是关于单位圆周对称. ⑵在复平面上除2 = 0外，处处是保角的. ⑶将圆周映射为圆周. 对于z 平面上的圆周(或直线) A(x 2 +y 2 ) + Bx + Cy + D = 0 当/H O,Z)H O 吋，将圆周映射为圆周; 当A^0,D = 0时，将圆周映射为直线; 当A = 0,D^ 0时，将直线映射为圆周; 当A = 0,D = 0时，将直线映射为直线. 4.鬲函数与根式函数的映射性质： 1)幕函数 w 二z n , n 为大于1的自然数 1 7u ) z° wG, w 0 =/(z 0)eG / 第七章 真空中的静电场 7－1 在边长为a 的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q 和2q ，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。 解：如图可看出两2q 的电荷对单位正电荷的在作用力 将相互抵消，单位正电荷所受的力为 )41()2 2( 420+= a q F πε＝,252 0a q πε方向由q 指向-4q 。 7－2 如图，均匀带电细棒，长为L ，电荷线密度为λ。（1） 求棒的延长线上任一点P 的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 的场强。 解：（1）如图7－2 图a ，在细棒上任取电荷元dq ，建立如图坐标，dq ＝λd ξ，设棒的延长线上任一点P 与坐标原点0的距离为x ，则 2 02 0)(4)(4ξπεξ λξπεξ λ-= -= x d x d dE 则整根细棒在P 点产生的电场强度的大小为 )1 1(4)(400 20 x L x x d E L --=-= ? πελξξπελ ＝ ) (40L x x L -πελ方向沿ξ轴正向。 （2）如图7－2 图b ，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 与坐标原点0的距离为y 2 04r dx dE πελ= θπελcos 42 0r dx dE y = ， θπελsin 42 0r dx dE x = 因θ θθθcos ,cos ,2y r d y dx ytg x ===， 习题7－1图 dq ξ d ξ 习题7－2 图a x x dx 习题7－2 图b y 代入上式，则 )cos 1(400θπελ-- =y ＝)1 1(4220L y y +--πελ，方向沿x 轴负向。 θθπελ θd y dE E y y ??= =0 0cos 4 00sin 4θπελy = ＝ 2204L y y L +πελ 7－3 一细棒弯成半径为R 的半圆形，均匀分布有电荷q ，求半圆中心O 处的场强。 解：如图，在半环上任取d l =Rd θ的线元，其上所带的电荷为dq=λRd θ。对称分析E y =0。 θπεθ λsin 42 0R Rd dE x = ??==πθπελ 00sin 4R dE E x R 02πελ = 2 02 2R q επ= ，如图，方向沿x 轴正向。 7－4 如图线电荷密度为λ1的无限长均匀带电直线与另一长度为l 、线电荷密度为λ2的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。 解：在λ2的带电线上任取一dq ，λ1的带电线是无限长，它在dq 处产生的电场强度由高斯定理容易得到为， x E 01 2πελ= 两线间的相互作用力为 θ θπελ θd y dE E x x ??-= -=0 0sin 4x 习题7－3图 λ1 习题7－4图 第9章静电场中的导体和电介质 什么是导体什么是电介质 静电场中的导体静电平衡 9.1.1 静电感应静电平衡 金属导体：金属离子+、自由电子- 1、静电感应：在外电场作用下，导体中电荷重新分布而呈现出的带电现象，叫做静电感应现象，对应的电荷称为感应电荷。（感应电荷与外加电场相互影响，比如金属球置于匀强电场中，外电场使电荷重新分布，感应电荷的分布使均匀电场在导体附近发生弯曲。） 2、导体静电平衡条件 不受外电场影响时，无论对整个导体或对导体中某一个小部分来说，自由电子的负电荷和金属离子的正电荷的总量是相等的，正负电荷中心重合，导体呈现电中性。 若把金属导体放在外电场中，比如把一块金属板放在电场强度为0E r 的匀强电场中，这时导体中的自由电子在作无规则热运动的同时，还将在电场力作用下作宏观定向运动，自由电子逆着电场方向移动，从而使导体中的电荷重新分布。电荷重新分布的结果使得金属板两侧会出现等量异号的电荷。这种在外电场作用下，引起导体中电荷重新分布而呈现出的带电现象，叫做静电感应现象，对应的电荷称为感应电荷。 感应电荷在金属板的内部建立起一个附加 电场，其电场强度'E r 和外在的电场强度0E r 的方向相反。这样，金属板内部的电场强度E r 就是0 E r 和'E r 的叠加。开始时0'E E <，金属板内部的 电场强度不为零，自由电子会不断地向左移动， 从而使'E r 增大。这个过程一直延续到金属板内部的电场强度等于零，即0'0E E E =+=r r r 时为止。这时，导体上没有电荷作定向运动，导体处于静电平衡 状态。 当导体处于静电平衡状态时，满足以下条件： 第七章课程练习题 一、单项选择题： 1．下列选项中，关于课程的说法不正确的一项是（）。 A．“课程”一词含有学习的范围和进程的意思 B．课程与教材、学科的涵义相同 C．课程随社会的发展而演变，反映一定社会的政治、经济要求 D．狭义的课程概念是指某一门学科，如数学课程，历史课程 2．课程论研究的是（）的问题。 A．为谁教 B．怎样教 C．教什么 D．教给谁 3．真正全面而系统地从理论上论证活动课程的特点和价值的是（）。 A．克伯屈 B．杜威 C．卢梭 D．福禄培尔 4．课程论与心理学的联系，最早可以追溯到（）。 A．柏拉图 B．毕达哥拉斯 C．苏格拉底 D．亚里士多德 5．有目的、有计划、有结构地产生教学计划、教学大纲(课程标准)及教科书等系统化活动的过程是（）。 A．课程分类 B．课程评价 C．课程实施 D．课程设计 6．最早提出“隐性课程”的学者是（）。 A．杜威 B．叶圣陶 C．贾克森 D．苏格拉底 7．教育史上，课程类型的两大主要对立流派是（）。 A．学科中心课程与活动中心课程 B．必修课程和选修课程 C．核心课程和广域课程 D．接受课程和发现课程 8．综合课程理论的代表人物是（）。 A．怀特海 B．杜威 C．布鲁纳 D．克伯屈 9．下列选项中，与现代课程改革的总趋势不一致的一项是（）。 A．重视课程内容的功能化、分科化 B．强调知识的系统化、结构化 C．重视智力开发与学习能力的培养 D．重视个别差异 10．基础型课程注重学生基础学力的培养，即培养学生作为一个公民所必需具备的以“三基”为中心的基础教养。“三基”指的是（）。 A．读、写、画 B．读、画、算 C．画、写、算 D．读、写、算 11．以下关于活动课程主要属性的描述中不正确是（）。 A．以儿童为中心，依据儿童当前的兴趣和需要来设置课程 B．打破学科界限，按活动主题来组织学习经验 C．课程组织心理学化，要求按儿童心理发展的顺序和特点来组织课程 D．活动课程即是通常所讲的课外活动 12．根据课程制定者的不同，可将课程分为国家课程、地方课程和（）。 A．分科课程 B．活动课程 C．学校课程 D．综合课程 13．从课程的任务来看，可把课程分为基础型课程、研究型课程和（）。 A．社会中心课程 B．技能性课程 C．拓展型课程 D．地方课程 14．下列属于一级课程的是（）。 A．国家课程 B．地方课程 C．学校课程 D．基础型课程 15．注重培养学生基础学力的课程是（）。 A．基础型课程 B．拓展型课程 C．研究型课程 D．发展型课程 16．在我国，课程具体表现为（）。 A．课程计划、教学大纲、教科书 B．课程计划、课程标准、教学大纲 C．课程标准、教学大纲、教科书 D．课程计划、教学计划、教学大纲 17．衡量各科教学质量的重要标准是（）。 A．教学计划(课程计划) 大学物理课后答案解析第七章静电场中的导体及电介质1习题7 7-2 三个平行金属板A ，B 和C 的面积都是200cm 2 ，A 和B 相距4.0mm ，A 与C 相距2.0 mm ．B ，C 都接地，如题7-2图所示．如果使A 板带正电3.0 ×10-7 C ，略去边缘效应，问B 板和C 板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A 板的电势是多少? 解: 如题7-2图示，令A 板左侧面电荷面密度为1σ，右侧面电荷面密度为2σ 题7-2图 (1)∵AB AC U U =，即∴AB AB AC AC E E d d = ∴ 2d d 21===AC AB AB AC E E σσ且1σ+2σS q A = 得,32S q A = σS q A 321=σ而711023 2 -?-=- =-=A C q S q σC C 10172-?-=-=S q B σ (2) 30 1 103.2d d ?== =AC AC AC A E U εσV 7-3 两个半径分别为1R 和2R （1R ＜2R )的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q (1) (2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及 *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变 解: (1)内球带电q +；球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +，且均匀分布，其电势 题7-3图 ? ? ∞ ∞==?=2 2 2 0π4π4d d R R R q r r q r E U εε(2)外壳接地时，外表面电荷q +入地，外表面不带电，内表面电荷仍为 q -．所以球壳电势由内球q +与内表面q -产生： 0π4π42 02 0=- = R q R q U εε (3)设此时内球壳带电量为q '；则外壳内表面带电量为q '-，外壳外表面带电量为+-q q ' (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且 第十章静电场中的导体和电介质§10-1 静电场中的导体 一、导体的静电平衡 1、金属导体的电结构及静电感应 （1）金属导体：由带正电的晶格和带负电的自由电子组成. 带电导体：总电量不为零的导体； 中性导体：总电量为零的导体； 孤立导体：与其他物体距离足够远的导体. “足够远”指其他物体的电荷在该导体上激发的场强小到可以忽略. （2）静电感应过程：导体内电荷分布与电场的空间分布相互影响的过程. （3）静电平衡状态：导体中自由电荷没有定向移动的状态. 2、导体静电平衡条件 （1）从场强角度看： ①导体内任一点，场强； ②导体表面上任一点与表面垂直. 证明：由于电场线与等势面垂直，所以导体表面附近的电场强度必定与该处表面垂直. 说明：①静电平衡与导体的形状和类别无关. ②“表面”包括内、外表面； （2）从电势角度也可以把上述结论说成：静电平衡时导体为等势体. ①导体内各点电势相等； ②导体表面为等势面. 证明：在导体上任取两点A，B，.由于=0，所以. （插话：空间电场线的画法. 由于静电平衡的导体是等势体，表面是等势面.因此，导体正端发出的电场线绝对不会回到导体的负端.应为正电荷发出的电场线终于无穷远，负电荷发出的电场线始于无穷远.） 二、静电平衡时导体上的电荷分布 1、导体内无空腔时电荷分布 如图所示，导体电荷为Q，在其内作一高斯面S，高斯定理为： 导体静电平衡时其内， ， 即. S面是任意的，导体内无净电荷存在. 结论：静电平衡时，净电荷都分布在导体外表面上. 2、导体内有空腔时电荷分布 （1）腔内无其它电荷情况 如图所示，导体电量为Q，在其内作一高斯面S，高斯定理为： 第七章动态规划 规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。动态规划（dynamic programming）同前面介绍过的各种优化方法不同，它不是一种算法，而是考察问题的一种途径。动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。当然，由于动态规划不是一种特定的算法，因而它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，动态规划必须对具体问题进行具体的分析处理。在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。1961年贝尔曼出版了他的第二部著作，并于1962年同杜瑞佛思（Dreyfus）合作出版了第三部著作。在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhauser）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。梅特顿提出了许多对动态规划后来发展有着重要意义的基础性观点，并且对明晰动态规划路径的数学性质做出了巨大的贡献。 动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。在经济管理方面，动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。许多规划问题用动态规划的方法来处理，常比线性规划或非线性规划更有效。特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。 动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法，并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。 §7.1 动态规划的基本理论 1.1多阶段决策过程的数学描述 有这样一类活动过程，其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策，以使整个过程达到最佳的活动效果。任何一个阶段（stage，即决策点）都是由输入（input）、决策（decision）、状态转移律（transformation function）和输出（output）构成的，如图7-1（a）所示。其中输入和输出也称为状态（state），输入称为输入状态，输出称为输出状态。 复变函数第七章学习指导 一、 知识结构 ()()()()()( )7.17.137.147.17.47.6,,,n z az b w w z z w e z Lnw cz d ???? ??????? ?? ?? ?? ?? ??+??=====??+?? ?? ?????? 共形影射概念共形影射的基本理论黎曼定理定理定理边界对应定理定理保域性定理保角性定理保形性定理解析函数的影射特征的影射性质共形影射基本问题举例 二、 学习要求 ⑴ 理解解析函数的映射性质； ⑵ 了解幂函数、根式函数、指数函数、对数函数的映射性质； ⑶ 理解分式线性变换的映射性质； ⑷ 会求将区域G 映射为G '的共形映射)(z f W =。 三、 内容提要 解析函数的保域性 定理7.1 若函数)(z f w =在区域G 内解析，且不是一个常数，则G 的象='G )(G f 是区域． 解析函数的保角性 定义7.1 设映射)(z f w =在区域G 内连续，若它使通过点G z ∈0的任意二有向连续曲线间的夹角的大小及方向保持不变，则称该映射在点0z 是保角的． 若映射)(z f w =在区域G 内的每一点都是保角的，则称该映射为区域G 内的保角映射，或称该映射在G 内是保角的． 定义7.2 若映射)(z f w =在区域G 内是单叶且保角的，则称该映射为区域G 内的保形映射，或称该映射在G 内是保形的． 定理7.2 若函数)(z f w =在区域G 内解析，则它在导数不为零处是保角的． 定理7.3 若函数)(z f w =在区域G 内单叶且解析，则它在G 内是保角的． 单叶解析函数的保形性 定理7.4 若函数)(z f w =在区域G 内单叶且解析，则 ⑴)(z f w =是区域G 内的保形映射，且G 的像)(G f G ='为区域； ⑵)(z f w =的反函数)(1 w f z -=在G '内单叶且解析，并有 G z f w G z z f w f '∈=∈'= ' -)(,,) (1 )(000001 几个初等函数的映射性质 ⒈h z w += (h 为常数)的映射性质： ⑴是一个平移变换． ⑵在复平面处处是保角的．这是因为，在复平面上处处有01≠='w ． ⑶将圆周映射为圆周． ⒉kz w = (k 为常数，且0≠k )的映射性质： ⑴是旋转与伸长（或缩短）变换的叠加． ⑵在复平面上处处是保角的．这是因为，0≠='k w 在复平面上处处成立． ⒊z w 1 = 的映射性质： ⑴该映射称为反演变换或倒数变换，它是相继施行两个对称变换的结果，一是关于实轴对称，二是关于单位圆周对称． ⑵在复平面上除0=z 外，处处是保角的． ⑶将圆周映射为圆周． 对于z 平面上的圆周（或直线） 0)(22=++++D Cy Bx y x A 映射z w 1= 当0,0≠≠D A 时，将圆周映射为圆周； 当0,0=≠D A 时，将圆周映射为直线； 当0,0≠=D A 时，将直线映射为圆周； 当0,0==D A 时，将直线映射为直线． ⒋幂函数与根式函数的映射性质： 1） 幂函数 n z w n ,=为大于1的自然数复变函数第七章学习指导.docx
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