图像压缩毕业设计

XXXXXXX大学毕业设计

图像压缩编码系统设计实现(B)

Design and Implementation of Image

Compression Encoding System (B)

2011 届电气与电子工程学院

专业电气工程及其自动化

学号 xxxxxoooo

学生姓名 xxxxxx

指导教师 xxxxxxxx

完成日期 2011年 6 月 2 日

毕业设计成绩单

毕业设计任务书

毕业设计开题报告

摘要

近年来，随着现代通信技术、计算机技术、网络技术和信息处理技术的迅速发展，人们对各种信息的需求也不断增长，尤其是图像和多媒体信息。未经处理的图像信号的数据量是很大的，使得图像信息的传输，处理和存储都受到一定的限制。因此，研究高效的图像数据压缩编码方法，即怎样处理，组织图像数据，在应用领域中的作用是至关重要的，图像压缩编码技术已经成为多媒体及通讯领域中很关键的技术之一。编码技术是图像压缩的基础，利用信息编码对图像进行压缩，使图像便于传输、存储。本文就是运用编码技术中的游程长度编码对二值图像进行压缩的。压缩前，先将图像转换成二值图像，然后再进行压缩，这样就达到很好的压缩效果。最后通过MATLAB 进行仿真，来验证方案的合理性和可行性。

关键词：图像压缩二值图像MATLAB游程长度编码

Abstract

Along with the rapid development of modern communication technology, computer technology, the network technology and information processing technology, rising incomes have created sharp growth in demand for some information especially image and multi-media resources, in recent years. Untreated image signal data quantity is big, which makes image information transmission, processing and storage are certain limits. Therefore, the effective image data compression coding method, i.e. how to deal with, the organization image data, the role in applications is of vital importance, image compression technology has become multimedia and communication field a key technical one. Therefore, the effective image data compression coding method, i.e. how to handle, organization the image data, the role in applications is of vital importance, image compression technology is one of key technicals in multimedia and communication field. Encoding technology is the basis of image compression, use the information encoding to do image compression, which make the image facilitate transmission and memory. This paper is to use the run-length encoding technology of length coding binary image compression. before compression, make the image become binary image, thus which can reach good compression effect. Finally through MATLAB, and simulation to verify the rationality and feasibility of schemes.

Key words：image compression binary image MATLAB run-length length coding

目录

第1章绪论 (1)

1.1研究背景 (1)

1.2图像压缩综述 (2)

1.3 图像压缩的必要性 (3)

1.4图像压缩的可行性 (3)

第2章图像的基本知识 (5)

2.1图像与数字图像 (5)

2.2图像的采样和量化 (5)

2.3采样点数和量化级数的选取 (5)

第3章图像压缩编码 (7)

3.1概述 (7)

3.2熵编码方法 (7)

3.2.1基本概念 (7)

3.2.2哈夫曼编码方法 (8)

3.2.3香农编码法 (9)

3.2.4算术编码方法 (9)

3.2.4.1算术编码的方法 (9)

3.2.4.2算术编码的特点 (10)

3.3预测法编码 (10)

3.4变换编码 (11)

3.5常见的几种变换编码方法 (12)

3.5.1离散余弦(DCT)变换 (12)

3.5.2小波变换 (12)

3.5.2.1二进小波变换 (12)

3.5.2.2 离散小波变换(DWT) (13)

第4章MATLAB简介 (14)

4.1综述MATLAB (14)

4.1.1MATLAB语言的功能 (14)

4.1.2 MATLAB的特点 (15)

4.2MATLAB在信号处理中的应用 (16)

4.2.1信号及其表示 (16)

4.2.2线性时不变系统的响应 (17)

4.2.2.1线性时不变系统的时域响应 (17)

4.2.2.2LTI系统的单位冲激响应 (18)

4.2.2.3 时域响应的其它函数 (18)

第5章图像压缩算法的实现 (19)

5.1游程编码原理 (19)

5.2游程编码图像压缩算法的实现 (20)

5.3主要程序代码 (20)

第6章功能验证 (22)

第7章结束语 (27)

参考文献 (28)

致谢 (29)

附录A外文资料翻译 (30)

A.1英文资料 (30)

A.2资料译文 (37)

第1章绪论

1.1 研究背景

随着多媒体技术的迅速发展，静止图像的应用越来越广泛。它们的应用主要集中在图像存储和图像传输两方面，我们从具体应用中可以发现静止图像占用了越来越多的资源。在这样的背景条件下，静止图像的压缩成为了一个研究的热点。

目前静止图像的压缩算法以JPEG(Joint Photographic Experts Group)和JPEG2000为主。

JPEG是第一个广泛被接受的单色和彩色静止图像压缩标准，JPEG是一种采用预测编码(DPCM)、离散余弦变换(DCT)以及熵编码，以去除其冗余的图像和彩色数据的有损压缩格式，能够将图像压缩在很小的储存空间内，图像中重复或不重要的资料会被丢失，所以容易造成图像数据的损伤。特别是使用过高的压缩比例，将使最终解压缩后解压缩恢复的图像质量明显降低，但是如果追求高品质图像，不宜采用过高压缩比例。它用有损压缩方式去除冗余的图像数据，在获得极高的压缩率的同时能展现十分丰富生动的图像，主要是因为JPEG压缩技术十分先进，也即就是可以用最少的磁盘空间得到较好的图像品质。并且JPEG是一种很灵活的格式，具有调节图像质量的功能，支持多种压缩级别，允许用不同的压缩比例对文件进行压缩，压缩比率通常在10：1到40：1之间，压缩比越大，品质就越低；相反地，压缩比越小，品质就越高。当然也可以在图像质量和文件尺寸之间找到一个平衡点。

JPEG格式压缩的主要是高频信息，对色彩的信息保留较好，适合应用于互联网，可以减少图像的传输时间，可以支持24bit真彩色，也普遍应用于需要连续色调的图像。

JPEG的核心算法是DCT变换编码。但自从JPEG制定后的近10年，许多更有效的图像压缩技术已经得到发展，如小波变换方法、分形方法、区域划分方法等。其中，发展最成熟和性能及通用性最好的静止图像压缩方法是小波变换方法。正因为如此，制定了第二代静止图像压缩标准JPEG2000，它的核心技术就是小波变换编码。其核心编解码器采用小波变换、算术编码以及嵌入式分层组织，它在同一个码流中实现了无损压缩和有损压缩、分辨率和信噪比的累进性以及随机访问等优良特性，比以往的静止图像压缩标准复杂。JPEG2000作为JPEG的升级版，其压缩率比JPEG高约30％左右，同时支持有损压缩和无损压缩。JPEG2000格式有一个极其重要的特征在

于它能实现渐进传输，即先传输图像的轮廓，然后逐步传输图像数据，不断提高图像质量，让图像由朦胧到清晰显示。此外，JPEG2000还支持所谓的"感兴趣区域" 特性，可以任意指定影像上感兴趣区域的压缩质量，还可以选择指定的部分先解压缩。

JPEG2000可取代传统的JPEG格式，因而可以被更广泛应用于互联网、彩色拷贝扫描、打印、数字摄影、医学图像、数字图书馆、数字存档以及移动图像通信等领域。

JPEG压缩技术是所有图像压缩技术的基础。如MJPEG(Motion JPEG)就是在JPEG基础发展起来的动态图像压缩技术，它基本不考虑视频流中不同帧之间的变化，而只是单独的对某一帧进行压缩。使得可以获取清晰度很高的视频图像，而且可以灵活设置每路的视频清晰度和压缩帧数。其压缩后的画面还可以任意剪接。但它的缺陷也非常明显：其一，压缩效率低，存储占用空间比较大；其二，丢帧现象严重、实时性差，在保证每路都必须是高清晰的前提下，是很难完成实时压缩的。随后又出现了多层式JPEG(ML-JPEG)压缩技术，它采取渐层式技术，先传输低解析的图档，然后再补传更细节的压缩资料，使画面品质改善[1]。

1.2 图像压缩综述

近年来，随着计算机技术、现代通信技术、网络技术和信息处理技术的迅速发展，人们对各种信息尤其是图像和多媒体信息的需求也不断增长。未经处理的图像信号的数据量是很大的，使得图像信息的传输、处理和存储都受到一定的限制。因此，研究高效的图像数据压缩编码方法，在应用领域中的作用是至关重要的，图像压缩编码技术已经成为多媒体及通讯领域中很关键的技术之一。图像压缩编码技术研究开展得比较早，理论和实际方法都比较成熟，而且目前还在进一步深化发展，不断出现一些新的编码方法，如分形编码、自适应网络编码、小波变换图像编码等等。

图像数据压缩的目的可以是节省图像存储器的空间，也可以是减少传输信道容量，还可以是为了缩短图像处理时间。不同的应用目的和不同的图像内容有不同的压缩方法，在数字图像处理领域中常用的方法有三类：

(1)信息保持编码：这一类编码技术主要应用于图像的数字存储方面。图像的数字存储可以实现高速“写”和“读”。各类图像可以通过数字存储介质进行多次重复复制而且不失真。同时，几秒钟内从几百或几千幅图像中随机地读取所需要的某—幅图像是完全有可能的，这些都是模拟图像技术无法做到的。当然，这要求图像信息编码-解码过程中必需保证图像信息完全不丢失，从而可完整地重建原图像，因此也称其为无误差编码。

(2)保真度编码：此编码技术多应用在数字电视技术和多媒体图像通信中，接受图像信息的信宿又往往是人眼，并且这些图像由于受到传输信道容量限制，而过高的空间分辨率和过多的灰度层次，不仅增加了数据量，而且人也接收不了。因此编码过程中就可以丢失一些对信宿无用或作用不大的冗余信息，也就是在允许失真条件或一定的保真度准则下进行图像压缩编码。

(3)特征抽取：在图像识别和分析、理解等技术中，一般情况下并不需要图像的全部信息。如对卫星照片进行农植物分类，只需要区别农植物和非农植物的图像特征，以及区别植物类别之间的特征，而对于动物、道路、河流、建造物等区别特征就不需要，那么就可以只对需要的特征信息编码。这样就可以大大地压缩图像数据量。这显然也是一种非信息保持编码。

1.3 图像压缩的必要性

图像数据的特点是信息量大。在多媒体技术中，海量图像数据的存储和处理是难点之一。根据计算，一张600MB的光盘，仅能存储8s左右的640*480像素的图像信息。毫无疑问，如果不进行编码，压缩处理，那么在多媒体信息保存工作中遇到的困难和成本之高是可想而知的。

在现代通信中，图像传输已经成为主要内容。在工作中除了要求设备可靠，图像保真度高外，实时性也将是重要技术指标之一。很显然，在信道带宽、通信链路容量一定的前提下，采用压缩编码技术，减少传输数据量，是提高信道速度的重要手段。

可以这样认为，如果没有编码压缩技术的发展，大量图像信息的存储和传输可以说是难以实现的。多媒体等新技术在实际中的应用也会碰到很大困难[2]。

1.4 图像压缩的可行性

图像压缩的理论基础是香农信息论和PCM编码理论。基本思想是去除图像信息中的由于各种相关性而存在的冗余。基本方法就是找出这些相关性并进行编码处理以去除冗余信息。信息的冗余有许多种，如空间冗余、时间冗余、结构冗余、知识冗余、视觉冗余等，图像数据压缩实质上就是减少这些冗余量。高效编码的主要方法是尽可能多的去除图像中的冗余成分，进而以最小的码元包含最大的图像信息[3]。

图像压缩技术最初开始于信息论。初期研究的主要内容是有关信息熵、编码方法以及数据压缩比，也就是通过某种方法，对源数据进行编码，使编码后的数据流长度小于源数据流长度，从而达到减少存储空间和提高信息传输速度的目的。

众所周知，组成图像的各像素之间，无论是在行方向还是在列方向，都存在一定的相关特性。比如，背景常取同样的灰度，某种特征中像素灰度相同或者相近。应用某种编码方法提取或者减少这些相关性。这样便可达到压缩图像的目的。

从信息论观点看，描述图像信源的数据是由有效信息和冗余信息两部分组成的。不损坏图像信源中的有效信息量的同时去除冗余信息部分可以节省存储和传输中的开销，这就是压缩技术。

在一些场合，一定限度的失真是允许的。如监视器显示分辨率的限制，人的眼睛对图像灰度分辨的局限性，而且并不妨碍图像的实际应用，都可以对图像信源做一定程度、有时是很大程度上的压缩。

第2章 图像的基本知识

2.1 图像与数字图像

图像就是用各种观测系统以不同的形式和手段观测客观世界而获得的，可以直接或者间接作用于人眼而产生视知觉的实体。大部分信息都是从图像中获得的。图像是人们从出生来体验到的最重要、最丰富、信息量获取最大的部分。就图像本质来说，图像分为两大类：模拟图像和数字图像。数字图像是一个经过等距离矩形网络采样，等幅度进行等间隔量化的二维函数，因此数字图像实际上就是被量化的二维采样数组。

2.2 图像的采样和量化

图像数字化的过程有两个方面:采样和量化。

(1)图像在空间上的离散化称为采样，即让空间上连续变化的图像离散化。即就是用空间上部分点的灰度值来表示图像，这些点被称为样点(或像素、像元、样本)。采样的方法有两类：一是先将图像函数进行某种正交变换，用其变换系数作为采样值，因此称为正交系数采样；二是直接对表示图像的二维函数值进行采样，即读取各离散点上的信号值，所得的结果就是一个样点值阵列，因此也称为点阵采样。

(2)经过采样的图像，只是在空间上被离散为像素(样本)的阵列，而每一个样本灰度值还是个有无穷多个取值的连续变化量，必须将其转换为有限个离散值，赋予不同码字才能真正成为数字图像，这样的转换称为量化。也就是对每个样点值数字化，使其和有限个可能电平数中的一个对应，即使图像的灰度值离散化。量化也可以分为两种，一种是将样点灰度值等间隔分档取整；另一种是将样点灰度值不等间隔分档取整。

2.3 采样点数和量化级数的选取

假设一幅图像采样取M*N 个样点，对样点灰度值进行Q 级分档取整。那么M 、N 和Q 如何取值的问题就必须解决。

首先，M 、N 、Q 一般是取成2的整数次幂，如b

Q 2 ，b 为正整数，通常称为对图像进行b 比特量化。M 、N 可以取成相等，也可以不相等。如取相等，则图像矩阵为 方阵，便于分析运算。

而后，关于确定M、N、b(或Q)的数值大小。对b来讲，取值越大，重建图像失真就越小。若要完全不失真重建原图像，b就得取无穷大。对M*N的取值，主要是依据采样的约束条件。也就是在M*N大到满足采样定理的情况下，重建图像就不会产生失真，否则就会因采样点数不够而产生混淆失真。总是取M*N点数刚好满足采样定理，就是为了减少表示图像的比特数[3]。

第3章 图像压缩编码

3.1 概述

图像压缩编码具体方法有许多种，其中一种分类方法是：

(1)平均信息法：例如不等字长熵编码法中的哈夫曼(HuHman)、香农(Shonnon)、弗农(Fano)编码，还有利用消隐时间法等。

(2)预测法：通常指用线性预测法如差值脉冲编码调制DPCM 和增量调制M ，还有一些非线性预测法如ADPCM 等。

(3)变换法：通常采用正交变换，如广泛应用的Fourier 变换，其他的变换有Wal shHadamard 、Haar 、SIant 、Coslne 和 Holelling 等变换。

(4)其他编码法：有内插法中的低取样和亚取样法如亚行、亚场，还有针对静止图像或二值图像的方块编码、游程编码、跳过白色块编码等等。

以上所有编码方法，都可以针对图像的某些局部或瞬时统计特性，采用自动调整编码方案中的某些参数，从而获得高效能编码效果，即各种编码方法的自适应方案。

图像编码至今已有几十年历史。其中，有纯理论的计算机模拟实验，也有硬件系统研究。主要的应用成果是：各种航天探测器采用压缩编码技术，将获取的巨大信息送回地面，对社会经济各个方面起着推动作用，如农业收成估计、水灾预报、森林防火、矿藏勘探、军事通信等等。随着集成数字电路、计算机科学以及数字通信、数字信号处理等技术的进一步发展，图像压缩编码理论相应用，必构有更大的发展。

3.2 熵编码方法

3.2.1 基本概念

(1)图像熵（Entropy ）

设数字图像像素灰度级集合为(

，，…，

，…，)，其对应的概率分别为，，…， ，…，。按信息论中信源信息熵定义，数字图像的熵H 为 ∑=-=M k k k P P H 12log (bit) (3-1)

由此可见：一幅图像的熵值是图像中各个灰度级比特数的统计平均值。

香农信息论已经证明：信源熵是进行无失真编码的理论极限。低于此极限的无失真编码方法是不存在的，这就是熵编码的理论基础。而且可以证明，计及像素间的相关性，使用高阶熵一定可以获得较高的压缩比。

(2)编码效率

在一般情况下，编码效率往往用下列简单公式表示

R R =ω（） (3-2)

式中H 为信源熵，R 为平均码字长度。

(3)平均码字长度

设k β为数字图像策k 个码字k C 的长度(二进制代码的位数)。其相应出现的概率为k P ，则数字图像所赋予的码字平均长度R 为

∑==

M k k k P R 1β (bit) (3-3)

(4)唯一可译编码

有些情况下，为了减少表示图像的平均码字长度，往往对码字之间是不加同步码的。但是，这样就要求所编码字序列能被唯一的译出来。满足这个条件的编码就称为唯一可译编码，也常称为单义可译码。单义可译码往往是采用非续长代码。

(5)变长最佳编码定理

在变长编码中，对出现概率大的信息符号赋予短码字，对于出现概率小的信息符号赋予长码字。如果码字长度严格按照所对应符号出现概率大小逆序排列，编码结果平均码字长度一定小于任何其它排列方式。 3.2.2 哈夫曼编码方法

哈夫曼编码是根据可变长度最佳编码定理，应用哈夫曼算法而产生的—种编码方法。在具有相同输入概率集合的前提下，它的平均码字长度比其它任何一种唯—可译码都要小，因此亦常称其为紧凑码。

其编码步骤如下：

(1)先将输入灰度级按出现的概率由大到小顺序排列(对概率相同的灰度级可以随意排列位置)。

(2)将最小两个概率相加，形成一个新的概率集合，再按第1步方法重排(这个时候概率集合中概率个数就减少了一个)。如此重复进行直到最后只有两个概率为止。

(3)分配码字。码字分配是从最后一步开始反向进行，对最后两个概率—个赋于“0”码，另外一个赋于“1”码。如此反向进行到开始的概率排列。在此过程中，若

概率不变仍为原码字。若概率分裂为两个，其码字前几位码元仍用原来的码字，码字的最后一位码元一个赋于“0”码元，另一个赋于“1”码元。

3.2.3 香农编码法

香农编码方法的编码步骤如下：

(1)先将输入灰度级(信息符号)按照出现的概率由大到小顺序排列(相等的可以随意排列位置)；

(2)计算各概率所对应的码字长度i t ；

(3)计算各概率所对应的累加概率i a ，即

1a =0

12P a =

12223P P a P a +=+=

123334P P P a P a ++=+=

.

.

.

121P P P a i i i +⋯⋯++=--

(4)把各累加概率i a 由十进制转换成二进制数。

(5)将二进制表示的累加概率去掉多于第2步中计算的i t 的尾数，即获得各个信息符号的码字。

3.2.4 算术编码方法

算术编码是20世纪60年代初期由Rissanen 和Pasco 提出，并首次介绍了算术编码的实用技术。在信源概率分布比较均匀情况下，它的编码效率远远高于哈夫曼编码，没有变换编码对数据输入分块的要求，因此在JPEG 扩展系统中可用它来取代哈夫曼编码。

3.2.

4.1 算术编码的方法

算术编码的方法是将被编码消息表示成实数轴0-1之间的—个间隔(亦称子区间)，消息越长，编码表示的间隔就越小，表示这一间隔所需的二进制位数就越多；反之，消息越短，编码表示的间隔就越长，表示这一间隔所需要的二进制位数就越少。信源中连续符号根据某一模式生成概率的大小来缩小间隔，符号出现可能性要比不太可能出现的符号缩小范围少，只是增加了较少的比特。

3.2.

4.2 算术编码的特点

(1)算术编码模式的选择直接影响效率，有固定模式、自适应模式。

(2)在信源符号概率接近时，算术编码要比哈夫曼编码效率高。

(3)算术编码的自适模式无需先定义概率模型，对无法进行概率统计的信源合适，在这点上优越于哈夫曼编码。

(4)算术编码在JPEG的扩展系统中被推荐为代替哈夫曼编码。

(5)算术编码硬件实现比哈夫曼编码复杂些。

3.3 预测法编码

预测编码的基本原理：

对于有记忆信源，信源输出的各个分量之间是有统计关联的，可以充分利用这种统计关联性。

预测编码：在这种编码方法中，编码器和译码器都存储着过去的信号值，并以此来预测或估计未来的信号值。

在编码端(如图3-1)发出的不是信源信号本身，而是信源信号与预测值之差；在译码端(如图3-2)，译码器把接收到的这一差值与译码器的预测值相加，从而恢复信号。

图3-1 编码器

图3-2 译码器

预测编码可以分为两类：

一类方法是根据差值的大小，决定是否需要传送该信源符号。对于连续函数特别是相关性很强的信源序列，常有很长一串符号可以不送而只需传送这串符号的个数，这样能大量压缩码率。

另一类是用实际值与预测值之差进行编码。常用于相关性强的连续信源，也可用于离散信源。在连续信源情况下，就是对此差值量化或取一组差值进行矢量量化。由于相关性很强的信源可以比较精确地预测待编码的值，这差值的方差将远小于原来的值，所以在同样失真要求下，量化级数可明显地减少，从而就可以较显著地压缩码率。

3.4 变换编码

在信号分析中，对连续的模拟信号，如果它是周期性的,则可采用傅氏级数展开；如果它是非周期性的,则可采用傅氏积分变换来表示。但无论是级数还是积分,都是从时域展开成频域的变换。同样的道理,对离散的数据序列信号也可引入同样的离散傅氏变换。并且，还可以进一步将其推广为广义的频域变换。

变换编码的基本原理是将原来在空间域上描述的信号，通过某一种数学变换(例如，傅里叶变换、离散傅氏变换、正交变换等)变换到变换域(如正交矢量空间、频率域)中进行描述。简单地讲，就是把信号由空间域变换到变换域中，用变换系数来描述。这样一来这些变换系数之间的相关性明显下降，并且能量常常集中于低频区域中，这样就大大降低了实现的难度，而且还很容易实现码率的压缩。

变换编码的原理如图3-3：

:图3-3 变换编码原理框图

变换编码工作过程从上图可见，由于变换图像像素之间的相关性大大下降，其能量集中在变换域少数的变换系数上，这本身已经达到了压缩图像数据的效果。为了进—步提高压缩效果，可以再结合一些视觉心理编码，只需保留变换系数A中幅度大

量化

变换

解码器

编码器

信

道

逆变器

发送端

接收端

输入

输出

的元素(虽然数量很少，但往往占有绝大部分能量)，而对其它幅度小而数量大的变换系数，可以全部当作是零，不予编码，这样就可以大大减少图像数据率。如果再进行非线性量化，还可以再进一步压缩图像数据率。但由于变换编码系统中量化器的存在，和A 间必然存在量化误差，从而引起输入图像G 和输出图像之间也必然存在误差，所以这种类型的变换编码属于非信息保持编码。若取消量化这个环节，这种变换编码即可成为信息保持性质的图像编码[4]。

3.5 常见的几种变换编码方法

3.5.1 离散余弦(DCT)变换

离散余弦变换(DCT)是一种实数域变换，变换核心是实数余弦函数。对一幅图像进行离散余弦变换后，许多有关图像的可视重要信息都集中在了DCT 变换的一个小部分系数中。因此，离散余弦变换(DCT)是有损图像压缩JPEG 的核心，同时也是 “变换域信息隐藏算法”的主要“变换域(DCT 域)”之一。因为图像处理运用二维离散余弦变换，所以直接介绍二维DCT 变换。

一个矩阵的二维DCT 定义如下：

N y x g 1

)0,0,,(= (3-4a)

()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+•⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=N v y N u x N v u y x g 2)12(cos 212cos 2),,,(ππ (3-4b) 式中：x ，y 均取0,1,2，……，N -1；u ，v 均取1,2，……，N -1.

3.5.2 小波变换

小波变换是近年来在图像处理中受到十分重视的新技术，面向图像压缩、特征检测以及纹理分析的许多新方法。小波变换是图像压缩JPEG2000的核心[1]。

3.5.2.1 二进小波变换

通常在数值计算中，采用离散化的尺度及位移因子，特别地当取二进伸缩(因

子伸缩为2)和二进位移(每次移动k/2j)时，就形成二进小波。

正交小波定义为满足下列条件的小波： ()(),22,k x x j j k j -=ψψ ∞<<∞-k j ,为整数 (3-5)

它们构成()R L 2（平方可积函数空间）中的正交归一基。