信号与线性系统题解 阎鸿森 第二章

信号与线性系统题解 阎鸿森 第二章 习题答案

2.1 (1) 已知连续时间信号()x t 如图P2.1(a)所示。试画出下列各信号的波形图，并加以标

注。

(a) (2)x t - (b) (1)x t - (c) (22)x t +

(2) 根据图P2.1(b)所示的信号()h t ，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) (3)h t + (b) (2)2

t h - (c) (12)h t -

(3) 根据图P2.1(a)和(b)所示的()x t 和()h t ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) ()()x t h t - (b) (1)(1)x t h t -- (c) (2)(4)2

t x h t -+

图P2.1 解：(1) 各信号波形如下图所示：

(a)

(b)(c)

1

2

(2)x t -(1)x t -(22)x t +t

t

t

22

22111

11210

01

-1-1

-2

-2

-3

5

(2) 各信号波形如下图所示：

(a)

(b)(c)

12

12

-32

(3)h t +(2)2t h -(12)

h t -t t

t

00

1

1

1

12468

1-2-3-4-5-

(3) 各信号波形如下图所示：

()()x t h t -(1)(1)x t h t --(2)2

t x -(a)

(b)

(c)

t

t

t

∴(2/2)(4)0

x t h t -+=00

111112

2222

2

1-1-4

6

2

-

2.2 已知信号(52)x t -的波形图如图P2.2所示，试画出()x t 的波形图，并加以标注。

(52)

x t -t

3252

1123

图P2.2

解：波形如下图所示：

32

52

(52)x t -(5)x t -(5)

x t +()x t t

t

t

t

0001111111

2

2233

456

1-2-3-4-5-6-

2.3 (1) 已知离散时间信号()x n 如图P2.3(a)所示，试画出下列各信号的波形图，并加以标

注。

(a) (4)x n - (b) (21)x n +

(c) (),?()30,n x n x n n

??=???其他

(2) 对图P2.3(b)所示的信号()h n ，试画出下列个信号的波形，并加以标注。 (a) (2)h n - (b) (2)h n +

(c) (2)(1)h n h n ++--

(3) 根据图P2.3(a)和(b)所示的()x n 和()h n ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) (2)(12)x n h n +- (b) (1)(4)x n h n -+ (c) (1)(3)x n h n --

()

x n n

()

h n n

12

12-32

32

-12

(a)

(b)

4

-1-1-1-2

-00111

22334

4

21

图P2.3 解：(1) 各信号波形图如下图所示：

(4)

x n -n

(a)

1/2

2-1-011

23456

(21)

x

n +?()x

n n

n

(b)

(c)

2-1-1-00111

1

223

3

(2) 各信号波形图如下图所示：

(2)(1)

h n h n ++--n

1/2

(c)

6-5-4-3-2-2

-2

-1-012

3

(3) 各信号波形如下图所示：

(2)(1

2)x n h n +-(1)(4)x n h n -+

(a)

(b)

n

n

1/2

1/2-3/2

3/2

1/4

3/4

-1-1-0

0111

223

2

(1)(3)

x n h n --(c)n

1/2

1/2-3/2

-1-1-0123

4567

2.4 画出图P2.4所给各信号的奇部和偶部。

()

x t t

()

x t t

(a)

(b)

0011

2

1

12-1-

图P2.4 解：(a)

12

12{}

()d x t O t

t

12

-

1-1

-2

-2-0

1

12

2

{}()u E x t

(b)

{}

()d x t O t

t

12

12

2-2

-1-1-00112

2

12

-1

{}

()u E x t

(c)

()

e x n ()

o x n n

n

4-3-2-2-1

-1-001122334

4

1

1

1

-

(d)

1/2

3/2

1/2

1/2

-1/2

-

1/2-1/2-1/2

-3/2

1/21/21/2

3/2

-()

o x n ()e x n n

n

3-2-1-00

11

23

2.5 已知()x n 如图P2.5所示，设：

12()(2)

(/2),()0,y n x n x n n y n n =?=?

?偶奇

画出1()y n 和2()y n 的波形图。

()

x n n

4

-1-011

22

34

图P2.5 解：

2.6 判断下列说法是否正确？如果正确，则求出每个信号基波周期之前的关系，如果不正确，

则举出一个反例。

(1) (a) 若()x t 是周期的，则(2)x t 也是周期的。

(b) 若(2)x t 是周期的，则()x t 也是周期的。 (c) 若()x t 是周期的，则(/2)x t 也是周期的。 (d) 若(/2)x t 是周期的，则()x t 也是周期的。 (2) 定义12(/2),()(2),()0,x n n y n x n y n n ?==?

?偶奇

(a) 若()x n 是周期的，则1()y n 也是周期的。 (b) 若1()y n 是周期的，则()x n 也是周期的。 (c) 若()x n 是周期的，则2()y n 也是周期的。 (d) 若2()y n 是周期的，则()x n 也是周期的。

解：(1) (a) 正确。若()x t 的周期为T ，则(2)x t 的周期为/2T 。

(b) 正确。若(2)x t 的周期为T ，则()x t 的周期为2T 。 (c) 正确。若()x t 的周期为T ，则(/2)x t 的周期为2T 。 (d) 正确。若(/2)x t 的周期为T ，则()x t 的周期为/2T 。 (2) 由12(/2),()(2),()0,x n n y n x n y n n ?==?

?偶奇

(a) 正确。设()x n 的周期为N 。如果N 为偶数，则1()y n 的周期为/2N ；如果N

为奇数，则必须有022N N =，才能保证周期性，此时1()y n 的周期为0N N =。 (b) 不正确。设()()()x n g n h n =+，其中()sin

4

n

g n π=，对所有n ，

1,()30,n

n h n n ???? ?=???

??

奇偶 显然()x n 是非周期的，但1()y n 是周期的。 (c) 正确。若()x n 的周期为N ，则2()y n 的周期为2N 。

(d) 正确。若2()y n 的周期为N ，则N 只能是偶数。()x n 的周期为/2N 。

2.7 判断下列各信号是否是周期信号，如果是周期信号，求出它的基波周期。 (a) ()2cos(3/4)x t t π=+ (b) ()cos(8/72)x n n π=+ (c) (1)()j t x t e π-= (d) (/8)()j n x n e π-=

(e) []0

()(3)(13)m x n n m n m δδ∞

==

----∑

(f) ()cos 2()x t t u t π=? (g) ()cos(/4)cos(/4)x n n n π=? (h) []()cos2()v x t E t u t π=? (i) []()cos(2/4)()v x t E t u t ππ=+? (j) ()2cos(/4)sin(/8)2sin(/2/6)x n n n n ππππ=+-+ 解：(a) ()2cos(3/4)x t t π=+，周期信号，23

T π=

。 (b) ()cos(8/72)x n n π=+，周期信号，087

π

Ω= ，7N ∴=

(c) (1)

()j t x t e

π-=，周期信号，2T =。

(d) (/8)

()j n x n e π-=，非周期信号，因为0/2πΩ是无理数。

(e) []()(3)(13)m x n n m n m δδ∞

=-∞

=

----∑，设周期为N ，则有

[]()(3)(13)m x n N n N m n N m δ

δ

∞

=-∞

+=+--+--∑，令

3N k =，（k 为整数） 则()()(3)3()13()m x n k n m k n m k δδ∞=-∞

+=

------????∑，令m k l -=则有

(

)()(3)313m x n k n l n l

δδ∞

=-∞

+=

----????∑ 显然，()x n 是周期信号，其周期为3N =。

(f) ()cos 2()x t t u t π=?，非周期信号。

(g) cos

4

n

是非周期的，∴()x n 是非周期信号。 (h) [][]1

()cos 2()(cos 2)()(cos 2)()2

v x t E t u t t u t t u t πππ=?=?+?-，周期的，周期

1T =。

(i) []()cos(2/4)()v x t E t u t ππ=+?，非周期信号。 (j) ()x n 是周期信号，其周期就是cos sin 48n n ππ???? ? ?????、和sin 26n ππ??

+

???

的公共周期。 ∴ 周期为16N =。

2.8 (a) 设()x t 和()y t 都是周期信号，其基波周期分别为1T 和2T 。在什么条件下，和式

()()x t y t +是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？

(b) 设()x n 和()y n 都是周期信号，其基波周期分别为1N 和2N 。在什么条件下，和式

()()x n y n +是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？

解： (a) ()x t ，()y t 是周期的，1()()x t kT x t +=，2()()y t kT y t += 令()()()f t x t y t =+，欲使()f t 是周期的，必须有 000()()()()()()s t T x t T y t T x t y t f t +=+++=+= 012T kT lT ∴== 即

12T l

T k

=，其中,k l 为整数。 这表明：只要()x t 和()y t 的周期之比

1

2

T T 是有理数，()()x t y t +就一定是周期的。其基波周期0T 是12,T T 的最小公倍数。

(b) ()x n 和()y n 是周期的，12()(),()()x n N x n y n N y n +=+= 令()()()f n x n y n =+，欲使()f n 是周期的，必须有 012N kN mN == （,k m 为整数）

即''

11121''22122

gcd(,)gcd(,)N N N N N m N k N N N N ===

'1N 与'2

N 无公因子， ''

12,m N k N ∴==

'

0211212/gcd(,)N N N N N N N ==

2.9 画出下列各信号的波形图：

(a) ()(2)()t x t e u t -=- (b) []()cos10(1)(2)t x t e t u t u t π-=--- (c) 2()(9)x t u t =- (d) 2()(4)x t t δ=- 解：

各信号波形如下图所示：

图PS2.9

2.10 已知信号()()()sin x t t u t u t π=?--????，求：

(a) 2

12()()()d x t x t x t dt

=+ (b) 2()()t x t x d ττ-∞=?

解： ()()()sin x t t u t u t π=?--????

()()()()()()()

cos sin cos dx t t u t u t t t t dt t u t u t πδδππ=?--+?--????????

=?--????

()()()()()()()()()()()()

22()

sin cos sin cos 0cos sin d x t t u t u t t t t dt

t u t u t t t t u t u t t t πδδππδδπππδδπ=-?--+?+-????????=-?--++-????=-?--+--????

∴ (a) 2

12()()()()()d x t x t x t t t dt

δδπ=+=--

(b) 20

0()()1cos 02t

t x t x d t t t ττππ-∞

≤??

==-<≤??>?

?

2.11 计算下列各积分： (a) sin ()2t t dt π

δ∞

-∞?-? (b)

(2)t e t dt δ∞

--∞?+?

(c) 3

(2)(1)t t t dt δ∞

-∞

++-?

(d)

0()()2

t u t t t dt δ∞

-∞

-

?-?

(e) ()e dt τ

δτ∞

--∞?

(f)

1

21

(4)t dt δ--?

解： (a) sin ()sin 122t t dt ππ

δ∞

-∞?-==?

(b)

(2)2(2)t e t dt e e δ∞

----∞

?+==?

(c) 同(b)，4 (d) 000

00()()()()222

t t t u t t t dt u t u δ∞

-∞

-?-=-=? (e)

0()1e dt e τδτ∞

--∞

==?

(f) 0

2.12 根据本章的讨论，一个系统可能是或者不是：①瞬时的；②时不变的；③线性的；④

因果的；⑤稳定的。对下列各方程描述的每个系统，判断这些性质中哪些成立，哪些不成立，说明理由。 (a) ()

()x t y t e

= (b) ()()(1)y n x n x n =-

(c) ()(2)2(17)y n x n x n =-- (d) ()(1)(1)y t x t x t =--- (e) ()()sin 6y t x t t =? (f) ()()y n nx n =

(g) 0,0()()(100),0t y t x t x t t

+-≥? (h) 0,

()0()()(100),()0x t y t x t x t x t

(i) ()(2)y n x n = (j) ()(/2)y t x t = 解： (a) 无记忆。 输出只决定于当时的输入。 非线性。 1212()()

()()1212()()()()x t x t x t x t e e e y t y t y t y t +==≠+

时不变。 0()

0()x t t e

y t t -=-

因果。 无记忆系统必然是因果的。

稳定。 当()x t M ≤时，()

()

()x t x t M y t e

e e =≤≤。

(b) 记忆。 输出不只决定于当时的输入。

非线性。 系统不满足可加性和齐次性。 时不变。 000()(1)()x n n x n n y n n ---=-。 因果。 输出只与当时和以前的输入有关。

稳定。 当()x n 有界时，(1)x n -也有界，从而()y n 必有界。 (c) 记忆。 (1)(1)2(16)y x x =---，输出与以前的输入有关。 时不变。 0000()(2)2(17)()x n n x n n x n n y n n -→-----=-。 ？线性。 系统满足可加性和齐次性。 因果。 输出只和以前的输入有关。 稳定。 当()x n 有界时，()y n 一定有界。

(d) 记忆。 (0)(1)(1)y x x =--，输出与以前和以后的输入有关。

时变。 令12()()()y t y t y t =+，其中1()(1)

y t x t =-是时不变的，而2()(1)y t x t =--是时变系统 ∴ 整个系统是时变的。

线性。 系统满足可加性和齐次性。 非因果。 2()(1)y t x t =--是非因果的。

稳定。 ()x t 有界时，(1)x t -和(1)x t -都有界，从而()y t 必有界。 (e) 无记忆。 ()y t 只与当时的输入有关。

时变。 []0000(sin6)()()sin6()()t x t t y t t t t x t t -≠-=-- 线性。 系统满足可加性和齐次性。 因果。 无记忆系统必定是因果的。

稳定。 sin 6t 有界，当()x t 有界时，()y t 必有界。 (f) 无记忆。 ()y n 只与当时的输入有关。

时变。 0000()()()()nx n n y n n n n x n n -≠-=--。 线性。 系统满足可加性和齐次性。 因果。 无记忆系统必定是因果的。

不稳定。 ()x n 有界但n →∞时，()y n →∞。

(g) 记忆。 (0)(0)(100)y x x =+-，输出与以前的输入有关。 时变。 输入为()x t T -时，相应的输出为

,0()()(100),0

t w t x t T x t T t

-+--≥?

而 0

,()()(100),t T y t T x t T x t T t T

-+--≥? 显然()()y t T w t -≠

线性。 系统满足可加性和齐次性。

因果。 ()y t 只和当时以及以前的输入有关。

稳定。 ()x t 有界时，(100)x t -也有界，从而()y t 必有界。

(h) 记忆。 ()0x t ≥时，()y t 不仅与当时的输入而且与以前的输入有关。 时不变。 输入为()x t T -时，相应的输出为

,()0()()()(100),()0

x t T w t y t T x t T x t T x t T -

-+---≥?

非线性。 若12312()0,()0,()()()0x t x t x t x t x t <>=+< 则有 12223()0,()()(100),()0y t y t x t x t y t ==+-= 显然，312()()()y t y t y t ≠+，系统不满足可加性。 因果。 ()y t 只和当时以及以前的输入有关。

稳定。 ()x t 有界时，(100)x t -也有界，从而()y t 必有界。 (i) 记忆。 (1)(2)y x -=-表明输出与以前的输入有关。

时变。 输入为0()x n n -时，输出是0()x n n -的偶数位。显然，输出不等于

0()y n n -。

线性。 系统满足可加性和齐次性。

非因果。 (1)(2)y x =，表明输出与以后的输入有关。 稳定。 ()x n 有界时，(2)x n 也有界，从而()y n 必有界。 (j) 记忆。 1(1)()2

y x -=-表明输出与以后的输入有关。 时变。 输入为0()x t t -时，系统的输出为

00001()()(2)(2)()2

2t z t x t x t t y t t y t t ??=-=-=-≠-????

线性。 系统满足可加性和齐次性。 非因果。 ()y t 与以后的输入有关。

稳定。 ()x t 有界时，()2

t x 也有界，从而()y t 必有界。

2.13 判断下列每个系统是否是可逆的。如果是可逆的，则写出其逆系统；如果不是，则找

出使该系统具有相同输出的两个输入信号。 (a) ()(4)y t x t =- (b) []()cos ()y t x t = (c) ()()y n nx n = (d) ()()t

y t x d ττ-∞

=

?

(e) ()()(1)y n x n x n =- (f) ()(1)y n x n =- (g) ()

()dx t y t dt

=

(h) ()(2)y t x t = (i) ()(2)y n x n = (j) (/2),()0,

x n n y n n ?=??偶

奇

解: (a) 系统可逆。其逆系统为()(4)y t x t =+。

(b) 系统不可逆。 当1()()2x t x t k π=+时，系统的输出为[]11()cos ()y t x t == []cos ()()x t y t =。这表明系统的输入与输出不是单纯一一对应的。 (c) 系统不可逆。 当输入为()n δ或2()n δ时，系统的输出都为零。 (d) 系统可逆。其逆系统为()()d

y t x t dt

=

。 (e) 系统不可逆。 当输入为()n δ或(1)n δ+时，系统的输出都为零。 (f) 系统可逆。其逆系统为()(1)y n x n =-。

(g) 系统不可逆。 当()x t 为任意常数时，()y t 均为零。 (h) 系统可逆。其逆系统为()()2

t

y t x =。

(i) 系统不可逆。 只要1()x n 和2()x n 的偶数位相同，就会产生相同的输出。 (j) 系统可逆。其逆系统为()(2)y n x n =。

2.14 对图P2.14(a)所示的系统（图中开平方运算产生正的平方根）。

(a) 求出()x t 和()y t 之间的函数关系。 (b) 判断该系统的线性和时不变性。

(c) 当输入()x t 如图P2.14(b)所示时，响应()y t 是什么？

(a)

()

x t t

1

-1

-0

1122

(b)

解： (a) 由图P2.14可得出 22()()(1)2()(1)()(1)y t x t x t x t x t x t x t =

+---=--

(b) 由(a)知，系统的输入输出不满足可加性，故系统是非线性的。

由(a)可看出，当输入为0()x t t -时，输出为0()y t t -，故该系统是时不变的。 (d) 由(a)可得出响应()y t 如图PS2.14所示。

()y t t

1

-0

1

1223

图PS2.14

2.15 判断下列说法是否正确，并说明理由：

(a) 两个线性时不变系统的级联仍然是线性时不变系统。 (b) 两个非线性系统的级联仍然是非线性系统。

解： (a) 结论正确。设两线性时不变系统如图PS2.15所示级联。当12()()()x t ax t bx t =+时，

则有12()()()w t aw t bw t =+，于是12()()()y t ay t by t =+，因此整个系统是线性的。

若输入为0()x t t -，则由于时不变性可知系统1的输出为0()w t t -，这正是系统2

的输入，因此总输出为0()y t t -。即整个系统是时不变的。

()

x t ()

y t 1()

h t 2()

h t ()

w t

图PS2.15

(b) 结论不对。如系统1为()()3w t x t t =+，系统2为()()3y t w t t =-。虽然两系统

都不是线性的，但它们的级联()()y t x t =却是线性的。

2.16 对图P2.16所示的级联系统，已知其3个子系统的输入-输出方程由下列各式给出：

系统1：()()y n x n =-

系统2：()(1)()(1)y n ax n bx n cx n =-+++ 系统3：()()y n x n =- 其中：,,a b c 都是实数。

(a) 求整个互联系统的输入-输出关系；

(b) 当,,a b c 满足什么条件时，整个系统是线性时不变的； (c) 当,,a b c 满足什么条件时，总的输入-输出关系与系统2相同； (d) 当,,a b c 满足什么条件时，整个系统是因果系统。

图P2.16

解： (a) ()()(1)()(1)y n z n aw n bw n cw n =-=--+-+-+

(1)()(1)ax n bx n cx n =+++-

(b) 对任意实数,,a b c ，整个系统都是LTI 系统。 (c) 当a c =时，总的输入输出关系与系统2相同。 (d) 当0a =时，整个系统是因果的。

2.17 已知某线性时不变系统对图P2.17(a)所示信号1()x t 的响应是图P2.17(b)所示的

1()y t 。分别确定该系统对图P2.17(c)和(d)所示输入2()x t 和3()x t 的响应2()y t 和

3()y t ，并画出其波形图。

1()

x t 1()

y t t

t

(a)

(b)

1111

2

22

2()

x t 3()

x t t

t

(c)(d)

22

2

11

1

1001

-1-34

图P2.17

解： (a) 211211()()(2)()()(2)x t x t x t y t y t y t =--∴=-- 如图PS2.17(a)所示。 (b) 311311()(1)()()(1)()x t x t x t y t y t y t =++∴=++ 如图PS2.17(b)所示。

(a)(b)

t

t

2()y t 3()

y t 2

-1-001

122

2

34

图PS2.17

2.18 (a) 某离散时间线性系统对输入12(),()x n x n 和3()x n 分别有响应12(),()y n y n 和

3()y n 如图P2.18(a)所示。如果该系统的输入为图P2.18(b)所示的()x n ，求系

统的输出()y n 。

(b) 如果一个离散时间线性时不变系统对图P2.18(a)所示的输入1()x n 有响应1()y n ，

那么该系统对2()x n 和3()x n 的响应是什么？

1()x n 2()x n 2()y n 1()y n n

n

n

n

1

-0000111

1

1

11

1

222223

333

3()x n 3()y n n

n

1-1

-1-001

1

112

2

3

4(a)

n

()

x n 1-2

-0

11

2(b)

图P2.18

解：(a) 123123()3()2()2()()3()2()2()x n x n x n x n y n y n y n y n =-+∴=-+ 如图

PS2.18(a)所示。

(b) 211211()()(1)()()(1)x n x n x n y n y n y n =+-∴=+- 如图PS2.18(b)所示。 3131()(1)()(1)x n x n y n y n =+∴=+ 如图PS2.18(c)所示。

(a)

(b)

(c)

2()y n 1()y n 3()

y n n n n

4

-1-1

-0

001111

11222

2

33

3

24

4

2

-

图PS2.18

2.19 对图P2.19所示的反馈系统，假定0n <是，()0y n =。 (a) 当1()()x n n δ=时，求输出1()y n ，并画出其波形图。

(b) 当2()()x n u n =时，求输出2()y n ，并画出其波形图。

⊕

+-D

()

x n ()

y n ()z n

图P2.19

解： 由图P2.19可得出(1)()()y n y n x n ++=

(a) 当1()()x n n δ=时，由递推可得1()y n 如图PS2.19(a)所示。 (b) 当2()()x n u n =时，由递推可得2()y n 如图PS2.19(b)所示。

(a)

(b)

n n

7

66

55

4433

221

1001-2-1

-11

图PS2.19

2.20 某线性时不变系统，当输入为图P2.20(a)所示的1()x t 时，输出1()y t 如图P2.20(b)

所示。试求当输入为P2.20(c)所示的2()x t 时，系统的输出2()y t 。

图P2.20

解： 由观察可知 2112()()(1)(2)x t x t x t x t =--+- 当输入为1()x t 时，输出为1()y t

∴ 由LTI 系统性质可知当输入为2()x t 时，输出2112()()(1)(2)y t y t y t y t =--+-。

t

t

1()y t 1(1)

y t -3/2

3/2

0011223344556

6

t

2()

y t 3/2

0123456

t

1(2)y t -3/2

0123456

2.21 试写出图P2.21所示模拟图对应的微分或差分方程。

⊕

⊕

⊕

()

y n ()

x n ()

x t ()

y t ?D

a

b

1

3

图P2.21

解： (a) 由图P2.21(a)可得（设积分器前输入端为1()y t ）

11111()()()()()()()()()x t ay t y t dy t dy t by t y t dt y t b y t dt dt +=??

?+=+=??

?或

消去1()y t 可得 ()()

()(1)()dx t dy t b

x t ab ay t dt dt

+=-- (b) 由图P2.21(b)可得

1

()(1)()3x n y n y n +

-= 即 1

()(1)()3

y n y n x n =-+