(新)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
年 级 高二 学科
数学
内容标题 定积分的计算 编稿老师
马利军
一、教学目标：
1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.
2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题.
二、知识要点分析
1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?
b
a
dx x f )(
2. 定积分的几何意义：
（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分?
b
a
dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）
与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.
?
b
a
dx x f )(的几何意义是介于x 轴、
函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号.
在图（1）中：0s dx )x (f b
a
>=?
，在图（2）中：0s dx )x (f b
a
<=?
，在图（3）中：dx
)x (f b
a
?
表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和.
注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?
b
a
dx x f )(，仅
当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于
?
b
a
dx x f )(.
3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b
a
b a
b
a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [
（2）??
=b
a
b
a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）
（3）
??
?+=b
c
b
a
c a
dx x f dx x f dx x f )()()(
（4）若在区间［a ，b ］上，?
≥≥b
a
dx x f x f 0)(,0)(则
推论：（1）若在区间［a ，b ］上，?
?≤≤b
a
b
a
dx x g dx x f x g x f )()(),()(则
（2）??
≤b
a
b
a
dx x f dx x f |)(||)(|
（3）若f （x ）是偶函数，则??
=-a a
a
dx x f dx x f 0
)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=?-a
a
dx x f
4. 微积分基本定理：
一般地，若)()()(],[)(),()('
a F
b F dx x f b a x f x f x F b
a
-==?
上可积，则
在且
注：（1）若)()('
x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据导数定义知：F （x ）+C 也是f （x ）的原函数，求定积分
?
b
a
dx x f )(的关键是求f （x ）的
原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F （x ）.
（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算.
【典型例题】
知识点一：定积分的几何意义
例1．根据
?
=π
20
0sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成
的曲边梯形面积下列结论正确的是（ ）
A ．面积为0
B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积
C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积
D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积
题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意dx x ?
π
20
sin 与y=sinx 及直线x=a ，x=b 和x 轴
围成的面积的区别.
思路分析：作出函数y=sinx 在区间[0，π2]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断.
解：对于（A ）：由于直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.
对于（B ），（C ）根据y=sinx 在[0，π2]内关于（)0,π对称知两个答案都是错误的. 根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案（D ）是正确的.
解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0，x=π2围成的面积等于
?
π
20
)(dx x f .
例2．利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性 （1）121
=?xdx
（2）
?
=
-1
24
1π
dx x .
题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间[0，1]上函数y=2x ，及y=21x -恒为正时，定积分
?
1
2xdx 表示函数y=2x 图象与x=0，x=1围成的图形的面积，dx x ?-1
2
1表
示函数y=21x -图象与x=0，x=1围成的图形的面积.
思路分析：分别作出函数y=2x 及y=21x -的图象，求此图象与直线x=0，x=1围成的面积.
解：（1）在同一坐标系中画出函数y=2x 的图象及直线x=0，x=1（如图），它们围成的图形是直角三角形.其面积?S =
1122
1
=??.由于在区间[0，1]内f （x ）恒为正，故1210=?xdx .
（2）由]1,0[,11222∈=+?-=x y x x y ，故函数y 21x -=（]1,0[∈x 的图象如图所示，所以函数y 21x -=与直线x=0，x=1围成的图形面积是圆12
2
=+y x 面积的四分之一，
又y 21x -=在区间［0，1］上恒为正.
?
=
-1
24
1π
dx x
解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x 及函数y=21x -在区间［0，1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.
例3．利用定积分的几何意义求
?
-+-4
|)3||1(|dx x x 的值.
题意分析：本题考查定积分的几何意义，
?
-+-4
|)3||1(|dx x x 的值是函数
|3||1|-+-=x x y 的图象与直线x=0，x=4所围成图形的面积.
思路分析：首先把区间［0，4］分割为［0，1］，［1，3］，［3，4］，在每个区间上讨论x －1，x －3的符号，把函数|3||1|-+-=x x y 化为分段函数，再根据定积分的几何意义求
?
-+-4
|)3||1(|dx x x 的值.
解：函数|3||1|-+-=x x y 化为??
?
??∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]
1,0[(,42x x x x x y
由于函数??
?
??∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y 在区间［0，1］，［1，3］，［3，4］都恒为正.
设函数y=－2x+4的图象与直线x=0，x=1围成的面积为S 1 函数y=2的图象与直线x=1，x=3围成的面积是S 2 函数y=2x －4的图象与直线x=3，x=4围成的面积是S 3 由图知：S 1=S 3=
,31)24(2
1
=?+S 2=422=? 由定积分的几何意义知：
?
-+-4
|)3||1(|dx x x =10231=++S S S
解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分
?
-+-4
|)3||1(|dx x x 的值，体现了等价转化的数学思想（把区间［0，4］分割，把函数
y=|x －1|+|x －3|化成分段函数）、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间［0，4］分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.
小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间［a ，b ］上f （x ）恒为正时，f （x ）在区间[a ，b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a ，x=b 围成的面积.在画函数图象时注意x 的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
一、选择题
1．(2010·山东日照模考)a ＝??0
2x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0
2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是
( )
A ．a B ．a C ．c D ．c 2．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.1 12 B.14 C.13 D.712 (2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( ) A.????43，169 B.???? 45，169 C.????43，157 D.????45，137 3．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.4 3 C.18 5 D ．6 4．(2010·湖南省考试院调研)? ?1－1(sin x ＋1)d x 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．2＋2cos1 D ．2－2cos1 5．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π 2 D ．π 6．函数F (x )＝??0 x t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0和最小值－32 3 C ．有最小值－32 3，无最大值 D ．既无最大值也无最小值 7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝??1 x 1 t