立体几何证明题
立体几何
1. 如图：梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中//,AB DC
1
2
AD CD AB ==
，且O 为AB 中点. ( I ) 求证：//BC 平面POD ； ( II ) 求证：AC ⊥PD .
2.如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=o ,AC BD O =I .将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -,点M 是棱BC
的中点，DM =
（Ⅰ）求证：//OM 平面ABD ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面MDO ； （Ⅲ）求三棱锥M
-的体积.
B
A
C
D
O
P
A A
B
C
M
O
D
3. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD 1
2
已知四棱锥的底面是菱形．PB PD =，为的中点． （Ⅰ）求证：PC ∥平面；
（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．
5. 已知直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，且F E D ,,分别为11,,AA BB BC 的中点. (I) 求证：平面//1FC B 平面EAD ； （II ）求证：⊥1BC 平面EAD .
P
A
B
C
D
Q M
6. 如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，
90ADE ∠=o ，DE AF //，22===AF DA DE .
(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求证：//AC 平面BEF ；
（Ⅲ）求四面体BDEF 的体积.
7. 如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF
8.如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =
1
2
PD ． （I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；
（II ）求棱锥Q —ABCD 的的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值．
A
B
C
D
F
E
(16)
第题图
9. 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°。
（1）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；
（2 ）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。
参考答案：
1. 证明: (I) 因为O 为AB 中点， 所以1
,2
BO AB =
…………………1分 又//,AB CD 1
2
CD AB =
， 所以有,//,CD BO CD BO = …………………2分 所以ODCB 为平行四边形,所以
//,BC OD …………………3分
又DO ⊂平面,POD BC ⊄平面,POD 所以//BC 平面
POD . …………………5分
(II)连接OC .
因为,//,CD BO AO CD AO ==所以ADCO 为
平行四边形， …………………6分 又AD CD =,所以ADCO 为菱形，
B
A
C
D
O
P
所以 AC DO ⊥， …………………7分 因为正三角形PAB ,O 为AB 中点，
所以PO AB ⊥ ， …………………8 分 又因为平面ABCD ⊥平面PAB ,平面ABCD I 平面PAB AB = ， 所以PO ⊥平面
ABCD ， …………………10分
而AC ⊂平面ABCD ，所以 PO AC ⊥， 又PO DO O =I ，所以AC ⊥平面
POD . …………………12分
又PD ⊂平面POD ，所以
AC ⊥PD . …………………13分
2. （Ⅰ）证明：因为点是菱形ABCD 的对角线的交点，
所以是的中点.又点M 是棱BC 的中点，
所以是的中位线，. ……………2分 因为平面ABD ,平面ABD ，
所以//OM 平面ABD . ……………4分
（Ⅱ）证明：由题意，,
因为DM =所以，. ……………6分 又因为菱形ABCD ，所以. …………7分 因为OM AC O =I ,
所以平面ABC ， ……………8分
因为平面MDO ，
A
B
C
M
O
D
所以平面ABC ⊥平面MDO . ……………9分
（Ⅲ）解：三棱锥M ABD -的体积等于三棱锥的体积. ……………10分
由（Ⅱ）知，平面，
所以3OD =为三棱锥的高. ……………11分 的面积为， ……………12分
所求体积等于13ABM S OD ∆⨯⨯=. ……………13分
3. 证明：（Ⅰ）AD
121t =//1
2
⊂⊄（Ⅰ）证明：因为E ，O 分别为PA ，AC 的中点，
所以EO ∥PC ． 因为EO ⊂平面BDE PC ⊄平面BDE
所以PC ∥平面BDE ．
……………………6分
（Ⅱ）证明：连结OP 因为PB PD =，
所以OP BD ⊥．
在菱形ABCD 中，BD AC ⊥ 因为OP AC O =I 所以BD ⊥平面PAC 因为BD ⊂平面BDE
所以平面PAC ⊥平面BDE ． ……………………13分
P
A
B
C
D Q M
N
5. （Ⅰ）由已知可得1//AF B E ，1AF B E =， ∴四边形E AFB 1是平行四边形，
∴1//FB AE ， ……………1分
AE ⊄Q 平面FC B 1，1FB ⊂平面FC B 1， //AE ∴平面FC B 1； ……………2分
又 E D ,分别是1,BB BC 的中点，
∴C B DE 1//， ……………3分 ED ⊄Q 平面FC B 1，1B C ⊂平面FC B 1，
//ED ∴平面FC B 1； ……………4分
,AE DE E AE =⊂Q I 平面EAD ，ED ⊂平面EAD ， ……………5分
∴平面FC B 1∥平面EAD . ……………6分 (Ⅱ) Θ三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱， ∴⊥C C 1面ABC ，又Q ⊂AD 面ABC ，
∴⊥C C 1AD . ……………7分 又Q 直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，D 是BC 边中点， ∴ABC ∆是正三角形，∴BC AD ⊥， ……………8分 而1C C BC C =I ， 1CC ⊂面11B BCC ，BC ⊂面11B BCC ，
⊥∴AD 面11B BCC ， ……………9分
故 1AD BC ⊥ . ……………10分
Q 四边形11BCC B 是菱形，∴C B BC 11⊥， ……………11分
而C B DE 1//，故 1DE BC ⊥ , ……………12分
由D DE AD =I AD ⊂，面EAD ，ED ⊂面EAD ，
得 ⊥1BC 面EAD . ……………13分
6. (Ⅰ)证明：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，90ADE ∠=o ，
所以DE ⊥平面ABCD ， …………………2分
所以AC DE ⊥. …………………3分 因为ABCD 是正方形，
所以BD AC ⊥，所以AC ⊥平面BDE . …………………4分 (Ⅱ)证明：设AC BD O =I ，取BE 中点G ，连结OG FG ,，
所以，OG //=
12
DE . ……………………5分 因为DE AF //，AF DE 2=，所以AF //=
OG ， ……………………6分 从而四边形AFGO 是平行四边形，AO FG //. ……………………7分 因为FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF , ……………………8分 所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF . ……………………9分 （Ⅲ）解：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥,
所以AB ⊥平面ADEF . ……………………11分 因为DE AF //,90ADE ∠=o ,22===AF DA DE ，
所以DEF ∆的面积为1
22
ED AD ⨯⨯=， ……………………12分
所以四面体BDEF 的体积=⨯=
∆AB S DEF 314
3
. ……………………13分 7. 答案：（1）因为E 、F 分别是AP 、AD 的中点，
,EF PD ∴P 又,PD PCD EF PCD ⊂⊄Q 面面
∴直线
EF AB=AD,BAD=60,∠o Q ABD ∆,BF AD ∴⊥PAD ABCD AD,⋂面面＝,BF PAD BF BEF ∴⊥⊂面面8. 解：（I ）由条件知PDAQ 为直角梯形
因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD. 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC.
在直角梯形PDAQ 中可得DQ=PQ=
2
PD ，则PQ ⊥QD 所以PQ ⊥平面DCQ. ………………6分
（II ）设AB=a .
由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高，所以棱锥Q —ABCD 的体积311.3V a =
由（I ）知PQ 为棱锥P —DCQ 的高，而，△DCQ 2
， 所以棱锥P —DCQ 的体积为321.3
V a =
故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1.…………12分 9. 1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，
∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD ⊥ＤＣ，AD ⊥ＤＢ， 又DB ⋂ＤＣ＝Ｄ，
∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD 平面BDC. ∴平面ABD ⊥平面BDC ．
（2）由（1）知，DA DB ⊥,DB DC ⊥,DC DA ⊥,Q DB=DA=DC=1，
∴
,
11
11,22
DAM DBC DCA S S S ===⨯⨯=V V V 1sin 6022ABC S =︒=
V
∴三棱锥D —ＡＢＣ的表面积是133222
S =⨯+=
立体几何证明题
立体几何 1. 如图：梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中//,AB DC 1 2 AD CD AB == ，且O 为AB 中点. ( I ) 求证：//BC 平面POD ； ( II ) 求证：AC ⊥PD . 2.如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=o ,AC BD O =I .将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -,点M 是棱BC 的中点，DM = （Ⅰ）求证：//OM 平面ABD ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面MDO ； （Ⅲ）求三棱锥M -的体积. B A C D O P A A B C M O D
3. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD 1 2 已知四棱锥的底面是菱形．PB PD =，为的中点． （Ⅰ）求证：PC ∥平面； （Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ． 5. 已知直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，且F E D ,,分别为11,,AA BB BC 的中点. (I) 求证：平面//1FC B 平面EAD ； （II ）求证：⊥1BC 平面EAD . P A B C D Q M
6. 如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直， 90ADE ∠=o ，DE AF //，22===AF DA DE . (Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求证：//AC 平面BEF ； （Ⅲ）求四面体BDEF 的体积. 7. 如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF 8.如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB = 1 2 PD ． （I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ； （II ）求棱锥Q —ABCD 的的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值． A B C D F E (16) 第题图
高中数学立体几何证明题汇总
高中数学立体几何证明题汇总 立体几何常考证明题 1.已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点。 1）证明EFGH是平行四边形。 2）已知BD=23，AC=2，EG=2，求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。 2.如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC,AD=BD，E 是AB的中点。 1）证明AB垂直于平面CDE。 2）证明平面CDE垂直于平面ABC。
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。 证明A1C平行于平面BDE。 4.已知三角形ABC中∠ACB=90，SA垂直于面ABC，AD垂直于SC。 证明AD垂直于面SBC。 5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点。 1）证明C1O平行于面AB1D1. 2）证明AC1垂直于面AB1D1. 6.正方体ABCD-A1B1C1D1中。 1）证明AC垂直于平面B1D1D。
2）证明BD1垂直于平面ACB1. 7.正方体ABCD-A1B1C1D1中。 1）证明平面A1BD平行于平面B1DC。 2）已知E、F分别是AA1、CC1的中点，证明平面 EB1D1平行于平面FBD。 8.四面体ABCD中，AC=BD，E、F分别为AD、BC的中点，且EF=AC/2，∠XXX。 证明BD垂直于平面ACD。 9.如图P是△ABC所在平面外一点，PA=PB，CB垂直于平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN=3NB。 1）证明XXX垂直于AB。
2）当∠APB=90，AB=2BC=4时，求MN的长度。 10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点。 证明平面D1EF平行于平面BDG。 11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。 1）证明A1C平行于平面BDE。 2）证明平面A1AC垂直于平面BDE。 12、已知矩形ABCD，PA垂直于平面ABCD，AB=2，PA=AD=4，E为BC的中点。 1）证明：连接DE，假设DE不垂直于平面PAE，即DE 与平面PAE有交点F，则EF为平面PAE内的线段，且EF>0.连接AF和PF，由于PA垂直于平面ABCD，所以PA垂直于AF，即PA与AF重合或平行。若PA与AF平行，则PAF为
立体几何100题
立体几何100题 1.如图，三角形中， ， 是边长为l 的正方形，平面 底面 ， 若 分别是 的中点. （1）求证：底面； （2）求几何体 的体积. 2．在三棱锥P ABC -中， PAC ∆和PBC ∆ 2AB =， ,O D 分别是,AB PB 的中点. （1）求证： //OD 平面PAC ； （2）求证: OP ⊥平面ABC ； （3）求三棱锥D ABC -的体积. 3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 090BAC ∠=， 2AB AC ==，点,M N 分别 为111,A C AB 的中点. （1）证明： //MN 平面11BB C C ； （2）若CM MN ⊥，求三棱锥M NAC -的体积.. 4．如图，在三棱柱中， 平面，点是与 的交点，点在线段上，平面 . （1）求证： ；
（2）若,求点到平面的距离. 5．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形， 1 ,//,2 AB BC AD BC AB BC AD ⊥== ， PAD ∆是正三角形， E 是PD 的中点． （1）求证： AD PC ⊥； （2）判定CE 是否平行于平面PAB ，请说明理由． 6．如图，在四棱锥S ABCD -中，侧面SAD ⊥底面ABCD ， SA SD =， //AD BC ， 22AD BC CD ==， M ， N 分别为AD ， SD 的中点． （1）求证： //SB 平面CMN ；（2）求证： BD ⊥平面SCM ． 7．如图，在矩形中， ， 平面 ， 分别为 的中点，点 是 上一个动点． (1) 当是 中点时，求证:平面 平面 ； (2) 当时，求的值． 8．如图，在正三棱柱111A B C ABC -中，点,D E 分别是1,A C AB 的中点． 求证： ED ∥平面11BB C C
立体几何证明题常见题型01
A B C D P E F 立体几何证明题常见题型 1、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，1==DC PD ，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F ． (I) 证明： PA ∥平面EDB ； (II) 证明：PB ⊥平面EFD ； (III) 求三棱锥DEF P -的体积． 2、如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。 （Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ; （Ⅱ）若6AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。 3、如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且ACE BF 平面⊥. （Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥； （Ⅱ）求证；BFD AE 平面//； （Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积. 4、如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。 EF//AC ，AB=2,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDF; 5、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，BCD A MA 平面⊥, PD ∥MA ,E G F 、、分别为 MB 、PC PB 、的中点，且 2MA PD AD ==. (Ⅰ) 求证：平面PDC EFG 平面⊥; A B C D H P A B C D E F A B C D E F G
(Ⅱ)求三棱锥的体积之比与四棱锥 ABCD P MAB P --. 6、如图所示，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE=EB=BC=2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE （1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求证：AE ∥平面BFD ； （3）求三棱锥C-BGF 的体积。 7、在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，且AC =BC =5，SB =55。（如图 所示） （Ⅰ）证明：SC ⊥BC ； （Ⅱ）求三棱锥的体积V S －AB C 。 8、如图在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BC 边中点 （1）求三棱锥D 1-DBC 的体积 （2）证明BD 1//平面C 1DE 9、如图1所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、L 、M 、N 分别为A 1D 1，A 1B 1，BC ，CD ，DA ，DE ，CL 的中点，求证：EF ⊥GF 。 G Ｂ Ａ Ｄ Ｃ Ｆ Ｅ A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E
立体几何证明方法汇总
① 中位线定理 E 例题：已知如图：平行四边形ABCD中，BC 6，正方形 ADEF H G 所在平面与平面ABCD垂直， G，H分别是 DF， BE的中点． （１）求证： GH∥平面 CDE； D C B （２）若 CD2, DB 4 2 ，求四棱锥F-ABCD的体积． 练习： 1、以下列图所示：在直三棱 柱ABC— A1B1C1中， AC=3， BC=4，AB=5，AA1=4，点 D是 AB的中点。 11 求证： AC∥平面CDB； D 1 2. 如图，ABCD A1 B1 C 1 D 1是正四棱柱侧棱长为1，底面边 A 1 长为 2，E 是棱 BC的中点。（ 1）求证：BD1//平面C1DE； （ 2）D 求三棱锥 D D1 BC 的体积.A 3、如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧 棱 PD底面ABCD，PD4, DC 3 ，E是PC的中点。 （1）证明：PA //平面BDE； （2）求PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积。 例 2、如图 , 在矩形ABCD中 , AB 2BC , P, Q分别为线段AB, CD的中点 , EP⊥平面ABCD.求证:AQ∥平面CEP；（利用平行四边形） 练习：①如图， PA垂直于矩形ABCD所在的平面， E、F 分别是 AB、PD的中P F A C 1 B1 C E B 点。求证： AF∥平面 PCE； ②如图，已知 P 是矩形 ABCD所在平面外一点，PD平面ABCD，M，N分别是 AB， PC中点。求证：MN //平面PAD F G A D ③如图，已知 AB平面 ACD，DE求证：AF A1B1C1D1O ABCD 证：C1O //E E 面AB 1 D 1 ． B B C A
(完整版)立体几何典型例题精选(含答案)
F E D C B A 立体几何专题复习 热点一：直线与平面所成的角 例1．（2014，广二模理 18） 如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形， EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，3AE =. （1）求证：AB ⊥平面BCF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值. 变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，2,1,5,DB DC BC === 2.AB AD ==将左图沿直线BD 折起，使得二面角A BD C --为60,︒如右图. （1）求证：AE ⊥平面;BDC （2）求直线AC 与平面ABD 所成角的余弦值. 变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示． (1)求证：AB ⊥CD ； (2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．
热点二：二面角 例2．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D-AF-E的余弦值． 变式3：[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2. (1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-E的大小． 变式4：[2014·全国19] 如图1-1所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2. (1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 -AB -C的大小．
立体几何常考证明题及答案
立体几何常考证明题 1、已知四边形 ABCD 是空间四边形，E,F,G,H 分别是边AB,BC,CD,DA 的中点 (1) 求证：EFGH 是平行四边形 (2) 若BD=2j3，AC=2 EG=2求异面直线 AC BD 所成的角和 EG BD 所成的角。 1 证明：在 ABD 中，••• E, H 分别是AB, AD 的中点二EH //BD ,EH 二 BD 2 1 同理，FG//BD,FG BD /• EH //FG ,EH = FG 二四边形EFGH 是平行四边形。 2 ⑵ 90 ° 30 ° 考点：证平行(利用三角形中位线) ，异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形 ABCD 中，BC =AC,AD =BD , E 是AB 的中点。 同理，AD —BD =. DE _ AB AE =BE J 又CE ' DE 二 E AB _ 平面 CDE (2)由(1)有AB _平面CDE 又AB 平面ABC , •••平面CDE _平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 求证： (1) AB _ 平面 CDE; (2) 平面CDE _平面ABC 。 证 明： BC 二 AC | — (1) CE 丄 AB AE =BE C
3、如图，在正方体 ABCD —中，E 是AA 的中点, 求证：AC 〃平面BDE 。 证明：连接 AC 交BD 于O ，连接EO , ••• E 为AA 的中点，O 为AC 的中点 ••• EO 为三角形A AC 的中位线••• E0〃 AC 又E0在平面BDE 内，AC 在平面BDE 外 •- AC // 平面 BDE 。 考点：线面平行的判定 4、已知 MBC 中 N ACB =90",SA 丄面 ABC , AD 丄 SC ,求证：AD 丄面 SBC . 证明：T ACB =90 ° . BC _ AC 又 SA_ 面 ABC SA_ BC .BC _ 面 SAC .BC _ AD 又 SC — AD,SC 「BC =C AD —面 SBC 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体 ABCD - A,B]C 1D 1, 0是底ABCD 对角线的交点. 求证：(1 ) C i O // 面 ABD , ； (2) AC _ 面 AB 1D 1 . 证明：(1)连结 A 1C 1，设 AC 1 BlDi 二。1，连结 AO ••• ABCD -ABC J D ,是正方体 • AACG 是平行四边形 • A i C i // AC 且 AC , = AC 又 0i ,0分别是 AC i ，AC 的中点，• O l C i / AO 且 O i C i 二 AO AOC i O i 是平行四边形 G°// AOi ，AO1 面 ABp , CQ 二面 AB ,D , • C i O /面 ABP (2)T CG _ 面 A ^GU CC — BD 又；AG —BP , B I D I —面 A i c i c 即 AC _ BD 同理可证AC 丄AD i ,又DiB c AD i = D i AC —面 AB ,D , 考点：线面平行的判定（利用平行四边形） ，线面垂直的判定 B C C C i C
高中数学立体几何10道大题
高中数学立体几何10道大题 1. 在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC垂直于面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=22，SB=SC=3. 1) 证明平面SCD与平面SAB的交线l平行于AB； 2) 证明SA垂直于BC； 3) 求直线SD与面SAB所成角的正弦值。 2. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，P为其顶点，O为其中心，PO平行于AB且PO=2，M为PD的中点，AD=AC=1，O为AC的中点。 1) 证明PB平行于平面ACM； 2) 证明AD在平面PAC上； 3) 求直线AM与平面ABCD所成角的正切值。 3.
在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD， △PAB与△PAD均为等边三角形。 1) 证明CD垂直于平面PBD； 2) 求二面角CPBD的平面角的余弦值。 4. 在四棱锥P-ABCD中，PA垂直于底面ABCD，AC垂直 于AD，ABCD为梯形，AB平行于DC，AB垂直于BC， PA=AB=BC=3，点E在棱PB上，且PE=2EB。 Ⅰ) 证明平面PAB垂直于平面PCB； Ⅱ) 证明PD平行于平面EAC； Ⅲ) 求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值。 5. 在图中，矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所 在平面于直线AB，平面ABCD与平面ABPE的交线为AB， 且AB=BP=2，AD=AE=1，AE垂直于AB，且AE平行于BP。 1) 在面ABCD内是否存在点N，使得MN垂直于平面ABCD？若存在，请证明；若不存在，请说明理由； 2) 求二面角D-PE-A的余弦值。
必修2立体几何证明题详解（五篇）
必修2立体几何证明题详解（五篇） 第一篇：必修2 立体几何证明题详解 迎接新的挑战! 必修2 证明题 一．解答题（共3小题） 1．（2006•北京）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点． （1）求证：PB∥平面AEC； （2）求二面角E﹣AC﹣B的大小． 考点：三垂线定理；直线与平面平行的判定。 分析：（1）欲证PB∥平面AEC，根据直线与平面平行的判定 定理可知只需证PB与平面AEC内一直线平行即可，连BD 交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线则EO∥PB，满足条件； （2）取AD的中点F，连EF，FO，根据定义可知∠EOF是 二面角E﹣AC﹣D的平面角，在△EOF中求出此角，而二面 角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补． 解答：解：（1）由PA⊥平面ABCD可得PAAC 又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB 连BD交AC于点O，连EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO∥PB ∴PB∥平面AEC （2）取AD的中点F，连EF，FO，则EF是△PAD的中位线，∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD 同理FO是△ADC的中位线，∴FO∥AB，FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角． 又 FO=AB=PA=EF ∴∠EOF=45°而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补，故所
求二面角E﹣AC﹣B的大小为135°． 点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及二面角等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．2．如图，已知∠BAC在平面α内，P∉α，∠PAB=∠PAC，求证：点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上． 考点：三垂线定理。 专题：作图题；证明题。 分析：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，证明Rt△AOE≌Rt△AOF，然后得到点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上． 解答：证明：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA，∵⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE=AF，∵，又∵AB⊥PE，∴AB⊥平面PEO，∴AB⊥OE，同理AC⊥OF． 欢迎加入高一数学组联系电话 :*** 迎接新的挑战! 必修2 证明题 在Rt△AOE和Rt△AOF，AE=AF，OA=OA，∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠EAO=∠FAO，即点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上．点评：本题考查三垂线定理，考查学生逻辑思维能力，是基础题．3．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3． （I）求证：A1C⊥BD； （II）求直线A1C与侧面BB1C1C所成的角的正切值； （III）求二面角B1﹣CD﹣B的正切值． 考点：三垂线定理；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题。 专题：计算题；证明题；综合题。 分析：（I）连AC，要证A1C⊥BD，只需证明AC⊥BD，说明AC 是A1C在平面ABCD 上的射影即可；
(完整版)高中立体几何证明题精选
1、已知正方体 1111 ABCD A B C D -，O是底ABCD对角线的交点. 求证：(１) C1O∥面 11 AB D；(2) 1 AC⊥面 11 AB D． 2、正方体'''' ABCD A B C D -中， 求证：（1）'' AC B D DB ⊥平面；（2）'' BD ACB ⊥平面. 3、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C； (2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD． D1 O D B A C1 B1 A1 C A1 A B1 C1 D1 D G E F
N M P C B A 4、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2 2 EF AC = ， 90BDC ∠=o ，求证：BD ⊥平面ACD 5、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点， 3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥； 6、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .
7、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . 8、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点． 求证：DE ⊥平面PAE ； 9、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0 60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；
立体几何证明题专项练习
1 •如图，正三棱柱ABC—AiBiC,中，AB=2, AAR, D是BC的中点，点P在平而BCC】Bi 内,PBi=PCi=>/2・ (1)求证：PAi 丄BC： (2)求证：PBi〃平面ACiD. 2•在正方体ABCD-A^C^中，M,N分别是AB.BC中点. (I )求证：平而B、MN丄平而BBQD ； (II)若在棱上有一点P,使BDJI平而PMN,求DP与的比.
3•在直三棱柱ABC-A.B.G 中，AB = AC = AA}=3a, BC = 2ci , D是BC的中点，F 是 C&上一点，且CF = 2a・ （1）求证：Bf丄平而ADF； （2）求三棱锥D-AB.F的体枳： （3）试在/th上找一点使得BE//平而ADF. C 4•如图，在四棱锥P-ABCD中，侧而Q4D 是正三角形，且与底而A3CD垂直，底MABCD是边长为2的菱形，ZR4D = 60°, N是PB 中点，过A、N、D三点的平面交PC于M・ （1）求证：DP//平面ANC （2）求证：M是PC中点：
（3〉求证：平而PBC丄平而ADMV
5•已知直角梯形 ABCD^,AB//CD.AB 丄 BC, AB = = 2,CD = 1 +J5,过 A 作 AE 丄CD.垂足为E.G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将AAPE 沿4E 折叠，使得 DE 丄 EC. （I ） 求证：BC 丄面CDE ： （5分） （II ） 求证：FG 〃而BCD ； （5 分） （III ） 在线段AE 上找一点R ，使得面BDR 丄而DCB,并说明理由.（5分） 6•已知等腰梯形PDCB 中（如图1）, PB=3, DC=L PB=BC=迈,A 为PB 辺上一点, 且B4=L 将沿AD 折起，使而PAD±而ABCD （如 图2）. （1） 证明：平而PAD 丄PCD ： （2） 试在棱PB 上确左一点M,使截而AMC 把几何体分成的两部分:V UACB =2:1： （3） 在M 满足（2）的情况下，判断宜线PD 是否平行而AMC. 图1 图2
立体几何证明题
立体几何证明题本页仅作为文档页封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March
立体几何证明题 1、已知直线a ，b 和平面α，且a b ⊥，a α⊥，则b 与α的位置关系是 2、已知直线l α⊥平面，有以下几个判断：①若m l ⊥，则m α//；②若 m α⊥，则m l //；③若m α//，则m l ⊥；④若m l //，则m α⊥．上述 判断中正确的是（ ）A 、①②③ B 、 ②③④ C 、①③④ D 、①②④ 3如图，正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） A ．90° B ．45 C ．60° D ．30° 4、 如图，已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点，求证：PD //平面MAC 5、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，11C D 的中点，求证：EF // 平面11BB D D 6、如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，AB=5,点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1；（II ）求证：AC 1//平面CDB 1 C D A B M P 1A 1B 1D 1C F E A B C D F E C B A s
3 7、如图所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB ，SC ，SD 于E ，F ，G ． 求证：AE SB AG SD ⊥⊥， 8、如图，直角ABC △所在平面外一 点S ，且SA SB SC ==，点D 为斜边AC 的中点． （１）求证：SD ⊥平面ABC ； （２）若AB BC =，求证：BD ⊥面SAC 9、在四棱锥P-ABCD 中，∠DAB=∠ABC=90°，PA ⊥底面ABCD ； AB=BC=1，AD=2求证：平面PCD ⊥平面PAC 。 10、如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点， 面CDE 是等边三角形，棱EF ∥12 BC （I ）证明FO ∥平面CDE ； （II ）设3BC CD =，证明 EO ⊥平面CDF 11、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）O C 1//面11AB D ；（2 ）1 AC ⊥面11AB D ． S A B C F E D G A S C B D D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C A B C D E F O
高中数学立体几何证明题汇总
立体几何常考证明题 1、四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点 (1)求证：EFGH是平行四边形 (2)假设BD=2、/3，AC=2 EG=2求异面直线AC BD所成的角和EG BD所成的角。 A C 2、如图，空间四边形ABCD 中，BC AC,AD BD，E是AB的中点。 求证：〔1〕AB 平面CDE; 〔2〕平面CDE 平面ABC 。 C 3、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AAi的中点, 求证：AC//平面BDE。
4、ABC 中ACB 90 ,SA 面ABC, AD SC,求证：AD 面SBC. 5、正方体ABCD AB1C1D1 , O是底ABCD对角线的交点 求证：(1 ) C i O // 面AB1D1; (2) AC 面AB1D1. 6、正方体ABCD A'B'C'D'中，求证：〔门AC 平面B'D'DB ；〔2〕BD '平面ACB'C B
⑵假设E 、F 分别是 AA i , CC i 的中点，求证：平面 EB i D i //平面FBD . 8、四面体 ABCD 中， AC BD,E, F 分别为AD,BC 的中点，且EF —2 AC , 2 BDC 90，求证： BD 平面ACD P 是ABC 所在平面外一点, 3NB 9、如图 AN 〔i 〕求证：MN AB ;〔 2〕当 APB PA PB,CB 平面 90 , AB 2BC PAB , M 是PC 的中点, N 是AB 上的点, I I B i 4时，求MN 的长。
平面BDG . 2 11、如图，在正方体ABCD A B i C i D i中，E是AA i的中点. 〔1〕求证：AC//平面BDE ； 〔2〕求证：平面A,AC 平面BDE . 12、ABCD 是矩形，PA 平面ABCD , AB 2 , PA AD 4 , E 为BC的中点. 〔1〕求证：DE 平面PAE ;〔2〕求直线DP与平面PAE所成的角.
立体几何证明题精选
立体几何大题证明 解答题 <共10道题> 1.<2014XX,18,12分> <本小题满分12分> 在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形. <Ⅰ>若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1; <Ⅱ>设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论. 2.<2014XX,16,14分>如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5. 求证:<1>直线PA∥平面DEF; <2>平面BDE⊥平面ABC. 3.<2014XX,18,12分> 如图,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F 分别为线段AD,PC的中点. <Ⅰ>求证:AP∥平面BEF; <Ⅱ>求证:BE⊥平面PAC. 4.<2014天津,17,13分> 如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,BA=BD=,AD=2,PA=PD=,E,F分别是棱AD,PC的中点. <Ⅰ>证明EF∥平面PAB; <Ⅱ>证明平面PBC⊥平面ABCD; 5.<2014北京,17,14分>如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点. <Ⅰ>求证:平面ABE⊥平面B1BCC1; <Ⅱ>求证:C1F∥平面ABE; <Ⅲ>求三棱锥E-ABC的体积. 6.<2014课标Ⅱ,18,12分>如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点. <Ⅰ>证明:PB∥平面AEC; <Ⅱ>设AP=1,AD=,三棱锥P-ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离. 7.
高中数学立体几何证明题汇总
立体几何常考证明题 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 A E D 1 C B 1 D C B A A H G F E D C B A E D B C
4、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 6、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面. 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C A 1 B 1 C 1 D 1
N M P C B A (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点， 且2 EF AC = ， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD 9、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点， 3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。 10、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、 AD 、 11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .
高中数学立体几何证明题汇总
高中数学立体几何证明题汇总 LT
立体几何常考证明题 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若BD=23AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的 角和EG 、BD 所成的角。 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 A H G F E D C B A E D B C
3、如图，在正方体11 1 1 ABCD A B C D -中，E 是1 AA 的中点， 求证： 1 //A C 平面BDE 。 4、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 线 5、已知正方体111 1 ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角 的交点. 求证：(１) C 1O ∥面1 1 AB D ；(2)1 AC ⊥面1 1 AB D ． A E D C B D C B A S D C B A D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C
N M P C B A 9、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求 MN 的长。 10、如图，在正方体11 1 1 ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、 BDG . 11 C D 的中点.求证：平面1 D EF ∥平面
高一数学常考立体几何证明的题目及答案
实用标准文案 1、如图，已知空间四边形ABCD中，BC = AC, AD =BD , E是AB的中点。 求证：（1）AB _平面CDE; （2）平面CDE _平面ABC。A C D 2、如图，在正方体ABC^A1B1C1D1中，E是AA的中点, 求证：AC//平面BDE 。 3、已知：ABC 中.ACB =90, SA_ 面ABC, AD_SC,求证：AD _面SBC •B C D1 D B 4、已知正方体ABCD -A^B1C1D1, O是底ABCD对角线的交点 求证：(1 ) CQ// 面AB1D1; (2) AC _ 面AB1D1• C 5、正方体ABCD-A'BCD '中，求证： （1）AC _ 平面B'D'DB ； （2）BD '丄平面ACB '. 6、正方体ABC—ABCD中. （1）求证：平面ABD//平面BDC; ⑵若E、F分别是AA, CC的中点，求证：平面EBD //平面FBD A B
实用标准文案 7、四面体 ABCD 中，AC=BD,E,F 分别为 AD,BC 的中点，且 EF 2 AC , BDC = 90：, 2 求证： BD _平面ACD 在正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，E 、F 、G 分别是 AB 、AD 、 BDG . 在正方体 ABCD - A i B 1C 1D 1中，E 是AA 的中点. (1)求证：AC//平面BDE ； 10、已知 ABCD 是矩形，PA_平面 ABCD ，AB = 2，PA 二 AD = 4， (1)求证：DE _平面PAE ； (2)求直线DP 与平面PAE 所成的角. 11、如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是乙DAB =60°且边长为a 的菱 侧面PAD 是等边三角形，且平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1 )若G 为AD 的中点，求证：BG _平面PAD ； (2)求证：AD _ PB • 12、如图1,在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为CC 1的中点，AC 交BD 于点0, 9、如图, (2)求证：平面AAC _平面BDE .
高一数学常考立体几何证明的题目及答案
1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 2、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 3、已知ABC ∆中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥, 求证：AD ⊥面SBC ． 4、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． A E D B C A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
5、正方体'''' ABCD A B C D -中，求证： （1）'' AC B D DB ⊥平面； （2）'' BD ACB ⊥平面. 6、正方体ABCD—A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C； (2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD． 7、四面体ABCD中，,, AC BD E F =分别为, AD BC的中点，且2 2 EF AC =，90 BDC ∠=o，求证：BD⊥平面ACD 8、如图，在正方体 1111 ABCD A B C D -中，E、F、G分别是AB、AD、 11 C D的中点.求证：平面 1 D EF∥平面BDG. 9、如图，在正方体 1111 ABCD A B C D -中，E是 1 AA的中点. （1）求证： 1 // A C平面BDE； （2）求证：平面 1 A AC⊥平面BDE. 10、已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，2 AB=，4 PA AD ==，E为BC的中点．（1）求证：DE⊥平面PAE； A A B1 C1 C D1 D G E F
最新高一数学常考立体几何证明题及答案
高一数学常考立体几何证明题 1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 2、如图，在正方体1111 ABCD A B C D -中，E 是 1 AA 的中点， 求证： 1// A C 平面BDE 。 3、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥, 求证：AD ⊥面SBC ． 4、已知正方体 1111 ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C1O ∥面11 AB D ；(2) 1 AC ⊥面 11 AB D ． 5、正方体''''ABCD A B C D -中，求证： ''AC B D DB ⊥平面； 6、正方体ABCD —A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD ∥平面B1D1C ； (2)若E 、F 分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD ． A E D B C A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C A 1 A B 1 B C 1 C D 1 D G E F
7、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2 2EF AC = ，90BDC ∠=， 求证：BD ⊥平面ACD 8、如图，在正方体 1111 ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、 11 C D 的中点.求证：平面 1D EF ∥平面BDG . 9、如图，在正方体1111 ABCD A B C D -中，E 是 1 AA 的中点. （1）求证： 1// A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥ 平面BDE . 10、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==， E 为BC 的中点． 求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0 60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．
高中立体几何证明方法及例题
1. 空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。 2. 立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。 对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。 对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。 （一）平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： ⇒a c //) αβ αγβγ //,// ==⇒⎫⎬⎭ a b a b 面面平行性质 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ⊂=⇒⎫⎬⎪ ⎭ ⎪ 面面平行性质1 αβαβ ////a a ⊂⇒⎫ ⎬ ⎭ 面面平行性质 αγβγαβ //////⎫⎬ ⎭⇒ 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：