综合法与分析法(公开课教案)

肥东锦弘中学高中部公开课教案设计

2. 2 .1 综合法与分析法

授课时间：2013.4.16下午第一节 地点：高二（15）班 授课人：赵尚平

一．教材分析

《直接证明与间接证明》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子．

二．教学目标

1．知识与技能目标

(1)了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法．

(2)了解综合法和分析法的思维过程和特点．

2．过程与方法目标

(1)通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力．

(2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力．

3．情感、态度及价值观

通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生 活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．

三．教学重难点

重点：综合法和分析法的思维过程及特点．

难点：综合法和分析法的应用．

四．教具准备：多媒体.

五．教法与学法：师生合作探究

六．教学过程:

（一）创设情境 引入新课

证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．

（二） 新 课 讲 授

合情推理分为归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法——直接证明与间接证明.

思考:已知a ,b >0,求证2222

()()4a b c b c a abc +++≥

设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义.

证明:因为222,0b c bc a +≥>,

所以22()2a b c abc +≥,

因为222,0c a ac b +≥>,

所以22()2b c a abc +≥.

因此, 2222()()4a b c b c a abc +++≥.

一. 综合法

1.定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论

证，最后推导出所要证明的结论成立.

2.思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出

结论的一种证明方法

3.框图表示：(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论)

()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ?→?→?→→?

例1 已知a ,b ,c 是不全相等的正数， 求证：c b a a c c b b a lg lg lg 2

lg 2lg 2lg

++>+++++ 证明：+∈R c b a ,,

),lg (lg 21lg 2lg ),lg (lg 2

1lg 2lg ),lg (lg 21lg 2lg ,2

,2,2a c ca a c c b bc c b b a ab b a ca a c bc c b ab b a +=≥++=≥++=≥+∴≥+≥+≥+∴ 以上三式相加，且注意到a ,b ,c 不全相等，

故c b a a c c b b a lg lg lg 2

lg 2lg 2lg ++>+++++

总结：本题主要综合运用基本不等式以及对数的运算性质来证明.

例2 在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别为a , b ，c ,且A ,B ,C 成等差数列, a , b ，c 成等比数列,求证△ABC 为等边三角形.

证明：由 A, B , C 成等差数列，有 2B =A + C ． ○1

因为A ,B ,C 为△ABC 的内角，所以A + B + C =π． ○2

由①② ，得B =3

π. ○3 由a , b ，c 成等比数列，有2b ac =. ○4

由余弦定理及③，可得

222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-.

再由④，得22a c ac ac +-=.

2()0a c -=,

因此a c =.

从而A =C . ○5

由②③⑤，得

A =

B =

C =3

π. 所以△ABC 为等边三角形．

总结:解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．

回顾:《必修五》中基本不等式)0,0(2

>>≥+b a ab b a 的证明方法. 二.分析法

1.定义：一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证

明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为

止,这种证明方法叫做分析法.

2. 思维特点：执果索因步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种 方法

3.框图表示：(用Q 表示要证明的结论,P n 表示充分条件)

()()1121().....()n n n Q P P P P P P P -?←?←?←?

4.分析法的书写格式：

在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但

由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难.

练习:在锐角ABC ?中,求证:1tan tan >?B A

证明:要证明1tan tan >?B A

只需证

1cos cos sin sin >B

A B A 因为A 、B 为锐角,所以0cos ,0cos >>B A 只需证B A B A sin sin cos cos <

只需证0)cos(<+B A

因为C 为锐角,C B A -=+π为钝角

所以0)cos(<+B A 恒成立

所以1tan tan >?B A

要证：??

只要证：?? 只需证：?? ??显然成立 上述各步均可逆

所以,结论成立 例3 求证:5273<+ 证明：因为5273和+都是正数， 所以要证5273<+ 只需证22)52()73(<+ 展开得 2021210<+ 只需证 ,521< 只需证 2521< 因为2521<显然成立，

所以5273<+

七.课时小结:

本节课所学的知识结构

八.作业布置

1．必做题：教材习题2.2 A 组2、3题．

2．选做题：教材习题2.2 B 组2、3题．

九.板书设计

十.教学反思

备用例题1：已知+∈∈R c b a R z y x ,,,,,

求证：)(2222zx yz xy z c

b a y b a

c x a c b ++≥+++++ 证明：由于x ，y ，z ∈R ，a ，b ，c ∈R ＋，则

222z c

b a y b a

c x a c b +++++ 222222z c

b z

c a y b a y b c x a c x a b +++++= )()()(222222x a

c z c a z c b y b c y b a x a b +++++= zx yz xy 222++≥

)(2zx yz xy ++=

所以)(2222zx yz xy z c

b a y b a

c x a c b ++≥+++++. 备用例题2: 已知1tan 2tan 1=+-α

α，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．

证明：要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，

只需证

3sin cos sin cos =+-α

ααα， 只需证3tan 1tan 1=+-αα， 只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12

， ∵1tan 2tan 1=+-α

α，∴1－tan α＝2＋tan α，即2tan α＝－1. ∴tan α＝－12

显然成立，∴结论得证． 2.2.1 综合法和分析法 一.综合法 二.分析法 三.例题分析 1.定义 1.定义 例1 练习1 2.框图表示 2.框图表示 例2 练习2 3.特点. 3.特点 例3 练习3