大学物理第六章题解

第六章 经典质点系动力学

6-1．如图，半圆柱立在光滑水平面上从静止开始到下，试判断

质心C 的运动方向．

解 建立如图x 轴，由于水平方向外力分量之和为零

0ix F =∑，

所以水平方向动量守恒x P C =．因初始时静止，故 0x Cx P mv == 由d 0d C Cx x v t

==，可知C x =常量，质心C 竖直向下运动．

6-2．如图，船的质量为5000kg ，当质量为1000kg 的汽车相对船静止时，船尾螺旋桨的转动可使船以加速度20.2m s 前进．在船行进中，汽车相对于船以加速度20.5m s 沿船前进的相反方向加速运动，求此时船的加速度的大小．

解 将船与汽车作为质点系．当汽车相对于船静止时，船的

加速度即为质点系质心的加速度，根据质心运动定理可知船尾螺

旋桨转动时的推力

()=(50001000)021200(N)e C F ma .=+?=

在船的行进过程中，以船的行进方向为x 、x '轴正方向．设船相对于岸的速度、加速度用x 、x 表示，汽车相对于船的速度、加速度用x '、x '表示，则汽车相对于岸的速度、加速度为x x '+、x x '+．根据质点系的动量定理

()d [()]d e m x m x x F t

'++=船车 即 ()()]e m x m x x F '++=船车

500010001000051200x x .+-?= 可求出此时船的加速度的大小2028m s x .=．

6-3．三只质量均为0m 的小船鱼贯而行，速率都是v ，中间一船同时以相对本船的速率u 沿水平方向把两个质量均为m 的物体抛到前后两只船上，求两物体落入船后三只船的速率（忽略水对船的阻力）．

解 以船行方向为速度正方向，设两物体落入船后三只船的速率为1v 、2v 、3v ． 以中间船及两物体为质点系，因为在抛出物体的过程中水平方向不受外力，所以质点系水平方向动量守恒

00222(2)()()m m v m v m v u m v u +=+++-

所以 2v v =

以前船与抛入物体为质点系，因为在抛入物体的过程中水平方向不受外力，所以质点系水平方向动量守恒

001()()m v m v u m m v ++=+

所以 10mu v v m m

=++ 以后船与抛入物体为质点系，同样，根据质点系水平方向动量守恒

003()()m v m v u m m v +-=+

30mu v v m m =-

+

6-4．质量为70kg 的人和质量为210kg 的小船最初处于静止，后来人从船尾向船头走了3.2m ，不计船所受阻力，问船向那个方向运动，移动了几米？（用质心运动定理求解．）

解 建立与地面固连的坐标系Ox ，x 轴的方向为从船尾指向船头．

人视为质点1，坐标为1x ；船视为质点2，坐标为2x ；此二质点构成质点系．

质点系所受合外力为零，由质心运动定理可知质点系质心加速度为零；由于质心速度为常量，质点系初始状态静止，所以质心速度为零，即质心位置保持不变

110

220112201212

C C m x m x m x m x x x m m m m ++===++ 11220m x m x ?+?=

由于123.2x x ?=+?，代入上式得

12123.2 3.2700.8(m)70210

m x m m ??=-=-=-++ 即船向后移动了0.8米．

6-5．试证明质量为m ，长为l 的匀质细杆对过杆中点且与杆垂直的轴的转动惯量为2112

ml ． 证明 以杆中心为原点，沿杆建立坐标系Oxy 如图． 杆的线密度l m l

ρ=（即单位长度的质量）． 用一系列与杆垂直的不同x 的面，把杆分割成无限多个无限小的质元，图中画出了在~d x x x +范围内的小质元．此小质元质量d d d l m m x x l ρ==

，到Oy 轴的距离为||x ，对Oy 轴的转动惯量为22d d d m I x m x x l

==．则整个细杆对Oy 轴的转动惯量 /223/22

/2/211d 312

l l l l m m I x x x ml l l --===?

6-6．如图，半径0.1m R =的定滑轮，可绕过轮心的z 轴转动，转动惯量为20.1kg m J =?．一不可伸长之轻绳无滑地跨过定滑轮，一端竖直地悬一质量1kg m =的重物，另一端a 受竖直向下的力F 作用，20.8N F =．试用质点系角动量定理求a 点加速度．

解 用滑轮、绳、重物构成质点系，质点系所受外力为F 、重物

重力mg 和轮轴处所受支撑力N F ．根据质点系对z 轴的角动量定理

2d d ()()d d J Rmv J mR FR mgR t t

ωω+=+=- 所以2

d d FR mgR t J mR ω-=+，a 点加速度为 22d d F mg a R i R i t J mR

ω-==+ 220.819.80.01 1.0(m s )0.110.01

i

i

-?==+?

6-7．可利用阿特伍德机（例题6-3-4）测滑轮转动惯量．设10.46kg m =，20.50kg m =，滑轮半径0.05m R =．由静止开始释放重物测得2m 在5.0s 内下降0.75m ．求滑轮转动惯量J ．

解 （因为不要求求出绳内张力，故可用质点系角动量定理求解．）

用滑轮、绳、重物构成质点系，质点系所受外力为重物和滑轮的重力、以及轮轴处所受支撑力N F ．根据质点系对z 轴的角动量定理

1122d ()d J Rm v Rm v t

ω++ 21221d [()]d J m m R m gR m gR t

ω=++=- 所以21212()d d ()m m gR t J m m R

ω-=++，2m 下降加速度的大小为 212212()d d m m g a R t m m J R

ω-==++ 可见质点2m 作匀加速直线运动．由2212

x a t ?=，求出220.060m s a =．由上式可知 221122

()[]m m g J R m m a -=-- 222(050046)98005[050046]13910kg m 006

........--?=?--=??

6-8．匀质细杆长2l ，质量为0m ，杆上穿有两个质量均为m 的小球．初始时杆以角速度0ω绕过杆中点O 且与杆垂直的光滑竖直轴转动，两小球均位于距O 点2l 处．求当两个小球同时滑动到杆的两端点时杆的角速度的大小．

解 将杆和两个小球作为质点系．由于竖直轴光滑，轴受到的约束力对竖直转动轴力矩为零；细杆和小球的重力与竖直转动轴平行，对竖直转动轴力矩为零．由于质点系所受外力对竖直转动轴合力矩为零，所以质点系对竖直转动轴角动量守恒，设末态角速度为ω，则

002222

l l J m J ml l ωωωω+?=+? 由于220011(2)123J m l m l ==，所以000(23)2(6)

m m m m ωω+=+．

6-9．工程上常用摩擦啮合器使两个飞轮以相同的转速转动，如图，飞轮A 、B 可绕同一固定轴转动，C 为啮合器．设飞轮A 、B 对轴的转动惯量210kg m A J =?，

220kg m B J =?，开始A 轮转速600r min A n =（转每分）

，B 轮静止，求两轮啮合后的转速．

解 将二飞轮A 、B 作为质点系．由于二飞轮所受重力和支撑力对固定轴力矩均为零，飞轮所受外阻（动）力矩比二飞轮啮合时飞轮间的相互作用力矩小得多，故啮合过程中质点系对固定轴的角动量近似守恒，有

2()2A A A B J n J J n ππ?=+

10600200(r min )1020A A A B J n n J J ?=

==++

6-10．有两根原长为0l 、劲度系数为k 的轻弹簧串接于O 点，另两端各系一质量为m 的滑块，置于光滑水平面上．现将两滑块拉开，使其相距2l （0l l >），从静止放手，求两弹簧恢复原长时，弹簧弹性力对两滑块做功之和．（用三种方法求解）

解法一 由于在运动过程中O 点为质心，由质心运动定理可知O 点固定不动．

利用弹簧弹性势能求解．弹簧弹性力对两滑块做功之和等于两弹簧弹性势能增量的负值

220012[0()]()2

W k l l k l l =-?--=- 解法二 由于在运动过程中O 点为质心，由质心运动定理可知O 点固定不动．

在惯性系中积分求功．以弹簧自由伸长处为原点、沿弹簧建立x 轴，则

00220012()d 2()()2

l l W kx x k l l k l l -=?-=?-=-? 解法三 由于在运动过程中O 点为质心，由质心运动定理可知O 点固定不动．

利用求一对力做功之和的方法，在与一个滑块相对静止的参考系中积分求功．以一个滑块为原点、沿弹簧建立x 轴，当另一滑块位于x 处时，每个弹簧的伸长量为

02

x l - 00220022[()]d 2()d()222

l l l l x x x W k l x k l =--=--?? 022202012()|()22l l x k l k l l =--=-

6-11．两个滑冰运动员质量均为70kg ，均以6.5m s 速率沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10m ．当彼此相错时，各抓住10m 长绳的一端，然后开始旋转．（1）在抓住绳端之前，各自对绳中点的角动量多大？抓住后又为多大？（2）他们各自收绳，到绳长5m 时，各自速率多大？（3）绳长5m 时绳内张力多大？（4）收绳过程中二人总动能如何变化？

（5）二人共做多少功？

解 （1）抓绳之前，每个运动员对绳中心角动量均为570 6.5L =??2

2275(kg m =?． 抓绳之后，视两个运动员和绳为质点系，所受外力矢量和为零，所以质点系质心（绳中心）位置不变，绳中心仍为固定点，每个运动员对绳中心的角动量仍为22275kg m s ?．

（2）绳的张力T F 为质点系内力．收绳过程中质点系所受外力对绳中心的力矩为零，所以质点系的角动量守恒，设收绳后运动员速率为v ，则 2 2.57022275v ???=? 所以13m v =．

（3）当绳长5m 时，对每一个运动员，由牛顿第二定律可得

2

T 70134732(N)2.5

F ?== （4）质点系总动能的增量等于组成质点系的每个质点动能增量之和

22k k01270(13 6.5)8873(J)2

E E -=???-= （5）根据质点系的动能定理，二运动员总共做功等于质点系动能增量，

k k08873(J)W E E =-=

6-12．匀质细杆长7m 5

l =，质量为m ，可绕过其一端的光滑水平轴在竖直平面内转动，在杆自由下垂时有一质量为6m 的黏性小球沿水平方向飞来并黏附于杆的中点，使杆摆动的最大角度为60ο．求小球飞来时的速率．（2

10m g =）

解 在小球与杆的碰撞过程中，以小球和杆为质点系．质点系所受外力中，杆的重力mg 和杆所受轴的支撑力N F 对轴O 的力矩为零；小球重力m g '对轴O 的力矩近似为零；所以质点系的角动量近似守恒

221[()]262362l m l m l m v

v ml ω'==+ 故92

v l ω=．在小球和杆一起上摆的过程中，以小球和杆为质点系，仅有小球和杆所受重力做功，而重力为保守力，所以机械能守恒

22211[()]()cos 60236262

m l m l ml m g ωο+=+ 因此2149g l ω=

．根据以上结果即可求出921(m s)2v ===．

6-13．在光滑水平桌面上，有一质量为m 的滑块，滑块与一弹簧相连，弹簧另一端固定于O 点，劲度系数为k ．当弹簧处于原长0l 时，一质量为0m 的子弹以速度0v 垂直于弹簧地射入滑块，并嵌在其中．之后当滑块运动到B 点时，弹簧长度为l ，如图所示．求滑块于B 时的速度v ．

解 在子弹射入滑块的过程中，由子弹和滑块构成质点系．因质点系在0v 方向不受外力，故质点系沿0v 方向动量守恒

000()m v m m v '=+ 所以000()v m v m m '=+．

在子弹和滑块由A B →的过程中，视子弹和滑块为一

个质点．由于过程中只有弹簧弹性力做功，弹簧弹性力为

保守力，故质点机械能守恒；又因质点受力对过O 点的竖

直轴力矩为零，所以质点对过O 点的竖直轴角动量守恒．

222000111()()()222

m m v m m v k l l '+=++- 000()()sin m m v l m m vl θ'+=+

所以 222

12000200

()[]()m v k l l v m m m m -=-++ 00022212

0000arcsin [()()]m v l l m v m m k l l θ=-+-

6-14．大容器内水的自由表面的高度为0h ，放在水平地面上，离自由表面h 深处有一小孔A ，小孔横截面积远小于容器横截面积．求：（1）由小孔A 流出的水流到达地面的水平射程x ；（2）与小孔A 在同一竖直线上，距自由表面多深处再开一孔，可使水流的水平射程与前者相等？（3）在多深处开孔，可使水流具有最大水平射程？最大水平射程是多少？

解 （1）由于容器横截面积远大于小孔横截面积，水流稳定后可认为容器中水面高度不变．认为水是理想流体．水流稳定后，取一条从容器中水自由表面到小孔的流线，以容器底为重力势能零点，由伯努利方程

200001()2

gh p g h h v p ρρρ+=-++

所以小孔流速v =

流体微团从流出小孔到落地降落的高度2012h h gt -=

，

可知降落时间t =

因此水平射程x vt ==． （2）在h '深处另开一孔而水平射程相同，则由

=可求出0h h h '=-．（略去h h '=．）

（3）根据（1

）x =

由

d 0d x h ==，有唯一极值点012h h =使水流具有最大射程．当012

h h =时，max 0x x h ==．

6-15．如图是测量液体流量的流量计原理图．已知细管和粗管的横截面积为1S 、2S ，使用时把它串接在水平液流管道中，稳定流动时两竖直管内液体自由表面高度差为h ．求流量表达式．

解 沿管道中心轴取一流线，对该流线上1、2两点，根据伯努利方程，因12h h =，故

2211221122

v p v p ρρ+=+ （1） 连续性方程 1122v S v S = （2） 1、2两点压强差 21p p gh ρ-= （3） 由（1）、（3）式，可得

22122v v gh -=

由（2）式，得1122

v S v S =，代入上式 2211

22(1)2S v gh S -=

，即1v S =所以

11221Q v S v S S S ===

6-16．如图装置，出口处堵塞时，注满可视为理想流体的水．水平细管横截面积处处相等，其直径远小于大容器直径．打开塞子在水流稳定后，求两竖直细管内水面高度．

解 由于细管直径远小于大容器直径，水流稳定后可认为大容器中水面高度不变．在水流稳定之前，竖直细管内的水会流出，而水流稳定后竖直细管内水面高度不变．

作从大容器水面开始经水平细管的流线，取水平细管处为势能零点，根据伯努利方程

22201223304111222

p gh p v p v p v ρρρρ+=+=+=+ 因为234S S S ==，根据连续性方程

223344S v S v S v ==

可得 234v v v ==

所以 230p p p ==

两竖直细管内为静止流体，根据

2002p p p gh ρ==+

3003p p p gh ρ==+

所以230h h ==．

6-17．如题6-16图，若其中装有密度为31000kg m 的黏性流体，流动稳定后

10.18m

h =，20.1m h =，30.05m h =．求出口流速．（不计大容器内内能量损失） 解 由于细管直径远小于大容器直径，水流稳定后可认为大容器中水面高度不变．在水流稳定之前，竖直细管内的水会流出，而水流稳定后竖直细管内水面高度不变．

作从大容器水面开始经水平细管的流线，取水平细管处为势能零点．根据连续性方程，因为水平细管横截面处处相等，故水平细管中的2、3、4点流速相等，以v 表示其流速．

根据不可压缩黏性流体作稳定流动时的功能关系式，对3、4点，有

2230341122

p v p v W ρρ+

=++

竖直细管内为静止流体，可知303p p gh ρ=+，所以 343W gh ρ=

根据不可压缩黏性流体作稳定流动时的功能关系

式，对1、4点，有

20101412

p gh p v W ρρ+=++ 由于水平细管横截面处处相等，不计大容器内内能量损失，故可知34143W W =，所以

0767(m v .===

（第六章题解结束）