大学物理答案第六章

S

v

图6-1 A

v i B

m 图6-2

第六章 气体动理论

6-1 一束分子垂直射向真空室的一平板，设分子束的定向速度为v ，单位体积分子数为n ，分子的质量为m ，求分子与平板碰撞产生的压强．

分析 器壁单位面积所受的正压力称为气体的压强．由于压强是大量气体分子与器壁碰撞产生的平均效果，所以推导压强公式时，应计算器壁单位面积在单位时间内受到气体分子碰撞的平均冲力．

解 以面积为S 的平板面为底面，取长度等于分子束定向速度v 的柱体如图6-1所示，单位时间内与平板碰撞的分子都在此柱体内．柱体内的分子数为nS v ．每个分子与平板碰撞时，作用在平板上的冲力为2m v ，单位时间内平板所受到的冲力为根据压强的定义，分子与平板碰撞产生的压强为

6-2 一球形容器，直径为2R ，内盛理想气体，分子数密度为n ，每个分子的质量为m ，(1)若某分子速率为v i ，与器壁法向成θ角射向器壁进行完全弹性碰撞，问该分子在连续两次碰撞间运动了多长的距离？(2)该分子每秒钟撞击容器多少次？(3)每一次给予器壁的冲量是多大？(4)由上结果导出气体的压强公式．

分析 任一时刻容器中气体分子的速率各不相同，运动方向也不相同，由于压强是大量气体分子与器壁碰撞产生的平均效果，气体压强公式的推导过程为：首先任意选取某一速率和运动方向的分子，计算单位时间内它与器壁碰撞给予器壁的冲力，再对容器中所有分子统计求和．解 (1)如图6-2所示，速率为v i 的分子以θ角与器壁碰撞，因入射角与反射角都相同，连续两次碰撞间运动的距离都是同样的弦长，为(2)该分子每秒钟撞击容器次数为(3)每一次撞击给予器壁的冲量为(4)该分子每秒钟给予器壁的冲力为由于结果与该分子的运动方向无关，只与速率有关，因此可得容器中所有分子每秒钟给予器

壁的冲量为

其中．根据压强的定义，分子与器壁碰撞产生的压强为

其中为分子的平均平动动能．

6-3　容积为10 L 的容器内有1 mol CO 2气体，其方均根速率为1440km/h，求CO 2气体的压强（CO 2的摩尔质量为kg/mol ）．

分析在常温常压下可以将气体视为理想气体，理想气体压强公式中引入了统计平均量----方均根速率和分子数密度n，1 mol的气体中分子数为阿伏伽德罗常量N A，根据这些关系可求出压强．

解容积为V的容器中有1 mol CO2气体，则分子总数为N A，摩尔质量为M，则分子数密度为，分子质量为，因此由气体压强公式得

代入数字得

6-4 在实验室中能够获得的最佳真空相当于大约，试问在室温（273K）下在这样的“真空”中每立方厘米内有多少个分子？

分析引入玻尔兹曼常量k和分子数密度n后，理想气体状态方程可以表示为．

解由理想气体状态方程得

6-5 已知气体密度为1 kg/m3，压强为，(1)求气体分子的方均根速率；(2)设气体为氧，求温度．

分析气体密度是单位体积中气体的质量，因此与分子数密度n和分子质量m的关系为．

解压强公式可写为

(1)分子的方均根速率

(2)氧的摩尔质量M =kg/mol，由定义，则

6-6 体积为10-3m3，压强为的气体，所有分子的平均平动动能的总和是多少？

分析气体动理论的能量公式给出了微观量气体分子的平均平动动能和宏观量气体温度之间的关系．分子的平均平动动能是大量分子的统计平均值，是每个分子平均占有的平动动能量值．

解由气体动理论的能量公式，分子的平均平动动能为

容器中分子数，又由压强公式，可得容器中所有分子的平均平动动能的总和为

6-7 一容器内贮有氧气，其压强为，温度T =，求(1)单位体积内的分子数；(2)氧气的密度；(3)氧分子的质量；(4)分子间的平均距离；

(5)分子的平均平动动能；(6)若容器是边长为0.30 m的立方体，当一个分子下降的高度等于容壁的边长时，其重力势能改变多少？并将重力势能的改变与其平均平动动能相比较．

分析常温和常压下，氧气可视为理想气体．从宏观的角度，可以认为气体是空间均匀分布的，因此分子间的平均距离的立方就是每个分子平均占有的体积．通过本题的计算，可以得到气体动理论中常用到的物理量的量级概念．

解 (1) 由理想气体的状态方程，可得单位体积内的分子数为

(2) 利用理想气体的状态方程，氧气的密度为

(3) 氧分子的质量为

(4) 分子平均占有的空间开方等于分子间的平均距离

(5) 分子的平均平动动能

(6) 一个氧分子下降的高度等于容壁的边长时，其重力势能改变为

与分子平均平动动能相比较，有

6-8 在什么温度时，气体分子的平均平动动能等于一个电子由静止通过1 V电位差的加速作用所得到的动能（即1eV的能量）．解根据题意，气体分子的平均平动动能

则

6-9 1 mol氢气，在温度时，求(1)具有若干平动动能；(2)具有若干转动动能；(3)温度每升高时增加的总动能是多少？

分析氢气是双原子分子气体，如果作为刚性分子看待，就具有3个平动自由度和2个转动自由度，根据能量按自由度均分原则可以求出平均平动动能和平均转动动能．

解 (1) 1 mol氢气的平动动能为

(2) 1 mol氢气的转动动能为

(3) 温度每升高，1 mol氢气增加的总动能为

6-10 1 mol单原子理想气体和1 mol双原子理想气体，温度升高时，其内能各增加多少？1g氧气和1g氢气温度升高时，其内能各增加多少？

分析一定量理想气体的内能，对于单原子理想气体，对于双原子理想气体，对于1 mol理想气体．氧气和氢气都是双原子气体，氧气的摩尔质量．

解 1 mol单原子理想气体温度升高，内能增量为

1 mol双原子理想气体温度升高，内能增量为

1 g氧气温度升高，内能增量为

1 g氢气温度升高，内能增量为

6-11 计算：(1)氧分子在时的平均平动动能和平均转动动能；(2)在此温度下，4 g氧的内能．

分析氧气是双原子分子气体，如果作为刚性分子看待，就具有3个平动自由度和2个转动自由度，．

解 (1) 氧分子在时的平均平动动能为

平均转动动能为

(2) 4 g氧在时的内能为

6-12 有40个粒子速率分布如下表所示 (其中速率单位为m/s)：

速率区间100以下100~200 200~300 300~400 400~500 500~600 600~700 700~800 800~900 900以上粒子数 1 4 6 8 6 5 4 3 2 1

若以各区间的中值速率标志处于该区间内的粒子速率值，试求这40个粒

Nf (v )

a

0 v 0 2 v 0 3 v 0 v 图6-14

子的平均速率、方均根速率和最概然速率，并计算出所在区间的粒子数占总粒子数的百分率．

分析 为了更深入地理解麦克斯韦速率分布律以及气体动理论中引入的平均速率、方均根速率和最概然速率的统计意义，有必要通过实际例子，经过计算，体验速率分布规律和统计方法．

解 这40个粒子分成了10个速率区间，若取1000 m/s 为粒子速率在900m/s 以上的速率区间的中值速率，则根据定义，其平均速率为方均根速率为

最概然速率．

所在区间的粒子数占总粒子数的百分率为

6-13上题所给分布情况，若以200m/s为间隔作重新统计，列出分布情况表，计算出相应的、和，以及所在区间的粒子数占总粒子数的百分率，并与上题结果进行比较．

分析 通过本题和上题计算结果可以看出，在某一速率区间中的分子数和所计算的三种速率不但与速率区间位置有关，还与速率区间的宽度有关．只有当所统计的分子总数足够大，划分的速率区间足够小时，才可能获得处于平衡状态的气体分子速率的一个确定的分布函数，三种速率也才有确定值．

解 以200m/s 为间隔对上题粒子速率作重新统计，速率分布情况为(其中速率单位为m/s)：

速率区间 200以下 200~400 400~600 600~800 800以上

粒子数 5 14 11 7 3

这40个粒子分成了5个速率区间，若取900 m/s 为粒子速率在800 m/s 以上的速率区间的中值速率，则根据定义，其平均速率为

方均根速率为

最概然速率．

所在区间的粒子数占总粒子数的百分率为

6-14 N 个假想的气体分子，速率分布如图6-14所示．(1)用N 和v 0表示出a 的值；(2)求最概然速率；(3)以v 0为间隔等分为三个速率区间求各区间中分子数占总分子数的百分率．分析 速率分布函数表示气体分子速率在v 值附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分率．本题给出了一个特殊的分布情况，通过计算，理解速率分布函数和最概然速率的物理意义，以及各速率区间中分子数占总分子数的百分率的计算方法．

解 (1) 由图6-14可见，分布函数与气体分子总数N 的乘积曲线下的总

面积应等于气体分子总数N，即

则

(2) 最概然速率

(3) 以v0为间隔等分为三个速率区间，分子数占总分子数的百分率分别为

*6-15 在速率区间～内麦克斯韦速率分布曲线下的面积等于分布在此区间内的分子数的百分率．应用(6-17)式和麦克斯韦速率分布函数表示式(6-18)式，求在速率区间v p～1.01v p内的气体分子数占总分子数的比率．

分析麦克斯韦速率分布律表明，由速率分布函数可得气体分子速率在v～速率区间内的分子数占分子总数的百分率为．

解麦克斯韦速率分布函数，因，则分布函数可写为

速率区间v p～1.01v p内的气体分子数占总分子数的比率为

*6-16应用平均速率表示式(6-20)*式、麦克斯韦速率分布函数表示式(6-18)式以及积分公式

求的值．

分析这里采用的是数学中加权求某量值的平均值的方法，权重就是麦克斯韦速率分布函数．如果要计算方均根速率，可先求速率平方的平均值，只需将积分式中的v改为，即，再将积分结果开方．解麦克斯韦速率分布函数表示式(6-18)式和平均速率表示式(6-20)*式给出

利用积分公式

得

*6-17 试由麦克斯韦速率分布律推出相应的平动动能分布律，并求出最概然能量E p，它是否就等于．

分析要找出分子按平动动能的分布规律，即求出分布在平动动能区间E k～E k+d E k中的分子数占总分子数的百分率．

解速率为v的分子的平动动能为E k= ，则，麦克斯韦速率分布律可改写为

即分子按平动动能分布律，其中分布函数

参考最概然速率的定义，令，由上式得最概然动能

因，则

6-18 飞机起飞前机舱中的压强计指示为，温度为．起飞后压强计指示为，温度仍为．试计算飞机此时距地面的高度．

解根据玻尔兹曼分子数密度按高度分布公式和压强公式，在高度和

的压强分别为和，则有

得

6-19 设地球大气是等温的，温度为，海平面上的气压为，已知某地的海拔高度为h = 2000 m，空气的摩尔质量，求该地的气压值．解根据玻尔兹曼分子数密度按高度分布公式和理想气体状态方程，在高度处的压强为

6-20 在某一粒子加速器中，质子在的压强和273 K的温度的真空室内沿圆形轨道运动．(1)估计在此压强下每立方厘米内的气体分子数；

(2)如果分子有效直径为2.0×10-8 cm．则在此条件下气体分子的平均自由程为多大？

分析由理想气体状态方程可得压强和分子数密度的关系，并由此可计算平均自由程．

解 (1) 由理想气体状态方程可得

(2) 由定义，平均自由程为

6-21设电子管内温度为300 K，如果要管内分子的平均自由程大于10 cm时，则应将它抽到多大压强？（分子有效直径约为3.0×10-8 cm）．分析由平均自由程定义和理想气体状态方程可建立压强与平均自由程以及温度之间的关系．

解由平均自由程定义和理想气体状态方程，得

6-22 计算：(1)在标准状态下，一个氮分子在1 s内与其它分子的平均碰撞次数；(2)容积为4 L的容器，贮有标准状况下的氮气，求1 s内氮分子间的总碰撞次数．（氮分子的有效直径为3.76×10-8 cm．）解 (1) 因平均速率，标准状态下22.4 L中的分子数为，则平均碰撞次数

(2) 4 L氮的分子数N=，分子间的总碰撞次数为

6-23 假设氦气分子的有效直径为10-10m，压强为，温度为300 K，(1)计算氦气分子的平均自由程和飞行一个平均自由程所需要的时间τ；(2)如果有一个带基本电荷的氦离子在垂直于电场的方向上运动，电场强度为104V/m，试计算氦离子在电场中飞行τ时间内沿电场方向移动的距离s及s与的比值；(3)气体分子热运动的平均速率与氦离子在电场方向的平均速率的比值；(4)气体分子热运动的平均平动动能与氦离子在电场中飞行一个远的距离所获得的能量和它们的比值．解 (1) 由平均自由程定义和理想气体状态方程，得

平均速率

则

(2)氦离子质量为，沿电场方向受到的电场力为，加速度，在τ时间内沿电场方向移动的距离为

(3) 氦离子沿电场方向的平均速率为

(4) 氦气分子平均平动动能为

氦离子在电场中飞行一个远的距离所获得的能量为

二者之比为

*6-24 用范德瓦耳斯方程计算压强为，体积为0.050 L的1 mol氧气的温度，如果用理想气体状态方程计算，将引起怎样的相对误差？已知氧的范德瓦耳斯常数为：；．

解由范德瓦耳斯方程得

由理想气体状态方程得

相对误差为

*6-25 在时，2 mol氮气的体积为0.1 L，分别用范德瓦耳斯方程及理想气体状态方程计算其压强，并比较结果．已知氮气，．解范德瓦耳斯方程，得

由理想气体状态方程得

结果表明由理想气体状态方程计算出的压强小于由范德瓦耳斯方程的计算值．

*6-26 实验测知时氧的粘滞系数1.92×10-4，试用它来求标准状态下氧分子的平均自由程和分子的有效直径．

解粘滞系数

其中密度．又由理想气体状态方程

平均速率，联立可得

分子的有效直径为

*6-27 实验测知氮气时热传导系数为23.7×10-3W/(m·K)，定体摩尔热容为20.9 J/(mol·K)，试由此计算氮分子的有效直径．

解热传导系数

其中密度，平均速率，平均自由程，则