关于大学物理作业答案下

65． 如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I ，求：它们在O 点

的磁感应强度。 1 R

I

B 80μ= 方向 垂直纸面向外 2 R

I R I B πμμ2200-= 方向 垂直纸面向里 3 R

I R I B 4200μπμ+= 方向 垂直纸面向外 66． 一半径为R 的均匀带电无限长直圆筒，电荷面密度为σ，该筒以角速度

ω绕其轴线匀速旋转。试求圆筒内部的磁感应强度。

解：如图所示，圆筒旋转时相当于圆筒上具有同向的面电流密度i ，

作矩形有向闭合环路如图中所示．从电流分布的对称性分析可知，在ab 上各点B 的大小和方向均相同，而且B 的方向平行于ab ，在bc 和fa 上各点B 的方向与线元垂直，在de , cd fe ,上各点0=B ．应

用安培环路定理 可得 ab i ab B 0μ=

圆筒内部为均匀磁场，磁感强度的大小为

σωμR B 0=，方向平行于轴线朝右． 67．在半径为R 的长直金属圆柱体内部挖去一个半径为r 的长直圆柱体，两柱

体轴线平行，其间距为a （如图）。今在此导体内通以电流I ，电流在截面上均

匀分布，求：空心部分轴线上O ? 点的磁感应强度的大小。

解：)(22r R I

J -=π

68．一无限长圆柱形铜导体,半径为R ,通以均匀分布的I 今取一矩形平面S （长

为L ，宽为2R ），位置如图，求：通过该矩形平面的磁通量。

解：在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r 处的磁感强度的大小，由安培环路

定律可得： )(220

R r r R

I B ≤π=μ 因而，穿过导体内画斜线部分平面的磁通?1为

在圆形导体外，与导体中心轴线相距r 处的磁感强度大小为

)(20R r r

I B >π=μ 因而，穿过导体外画斜线部分平面的磁通?2为

穿过整个矩形平面的磁通量 21ΦΦΦ+=π=40LI μ2ln 20π+IL

μ

69．如图所示，载有电流I 1和I 2的无限长直导线相互平行，相距3r ，今有载

有电流I 3的导线MN = r 水平放置，其两端M 、N 分别与I 1、I 2距离均为r ，三

导线共面，求：导线MN 所受的磁场力的大小与方向。

解：载流导线MN 上任一点处的磁感强度大小为：)(210x r I B +π=μ)

2(220x r I -π-μ MN 上电流元I 3d x 所受磁力： x B I F d d 3=)(2[103x r I I +π=μx x r I d ])2(210-π-μ 若 12I I >，则F 的方向向下，12I I <，则F 的方向向上

70．一线圈由半径为0.2m 的1/4圆弧和相互垂直的二直线组成，通以电流2A ，把它放在磁感应强度为0.5T 的垂直纸面向里的均匀磁场中，求(1)线圈平面与

磁场垂直时，圆弧AB 所受的力；(2)线圈正法线方向和磁场成30°时，线圈

所受的磁力矩。

解：(1) 圆弧AC 所受的磁力：在均匀磁场中AC 通电圆弧所受的磁力与通有相同电流的AC 直线所受的磁力相等，故有F AC =283.02==RB I F AC N

方向：与AC 直线垂直，与OC 夹角45°，如图． (2) 磁力矩：线圈的磁矩为 n n IS p m 2102-?π== 本小问中设线圈平面与B 成60°角，则m p 与B 成30°角，有力矩

M =1.57×10-2 N ·m 方向：力矩M 将驱使线圈法线转向与B 平行.

71．有一无限大平面导体薄板，自上而下通有电流。已知其电流面密度为i 。

（1）试求：板外空间任一点的磁感应强度；（2）有一质量为m 、带电量为q

（q>0）的粒子，以速度v 沿平板法线方向向外运动，求：带电粒子最初至少

在距板什么位置处才不与大平板碰撞，需经多长时间才能回到初始位置？

解：(1) 由安培环路定理： i B 02

1μ= (大小) 方向：在板右侧垂直纸面向里

(2) 由洛伦兹力公式可求 )/(qB m R v = (至少从距板R 处开始向外运

动)

返回时间 )/(4/20i q m R T μπ=π=v

72．如图所示，半径为R 的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且

以单层线圈覆盖半个球面，设线圈的总匝数为N ，通过线圈的电流为I 。求：

球心O 处的磁感应强度。

解：坐标选取如图：

nIdl dI = 其中R

N n π2=

θRd dl = θθμπd n B ?=20202cos =R

NI 40μ 方向沿x 轴正向

73．一电子以速度 v 垂直地进入磁感应强度为B 的均匀磁场中（如图）。求：此电子在磁场中运动轨道所围的面积内的磁通量示多少？

解： ∵ 半径 eB m R e v =

， ∴ eR

m B e v = 磁通量 e R m R B BS Φe /2v π=π?== 74．一半径为R =1.0cm 的无限长1/4圆柱形金属薄片，沿轴向通以电流I =10.0A

的电流，设电流在金属片上均匀分布，试求：圆柱轴线上任意一点P 的磁感应

强度。

解：取d l 段，其中电流为 π=π=π2

1=θθd 2d 2d d I R IR R l I I 在P 点 θμθμμd d 222d d 2000R

I I R R I B π=π?π=π= 选坐标如图 R I B x 20d sin d π-=θθμ, R

I B y 20d cos d π-=θθμ =+=2/122)(y x B B B =πR

I 20

2μ 1.8×10-4 T x

方向 1/tg ==x y B B α， ? =225°，?为 B 与x 轴正向的夹角．

75．一半径为 R 的圆筒形导体通以电流I ，筒壁很薄，可视为无限长，筒外有

一层厚为d ，磁导率为 ? 的均匀顺磁性介质，介质外为真空。画出此磁场的H — r 曲线及B — r 曲线（要求：在图上标明各曲线端点的坐标及所代表的函数值）

76．螺绕环中心周长l=30cm ，横截面S=1.0cm 2，环上紧密地绕有N=300匝的

线圈。当导线中电流I=32mA ，通过环截面的磁通量?=2.0?10-6Wb ，求：铁芯的

磁化率?m 。

解： B = ? /S=2.0×10-2 T

===l NI nI H /32 A/m

==H B /μ 6.25×10-4 T ·m/A =-=1/0μμχm 496

77．均匀带电刚性细杆AB ，线电荷密度为?，绕垂直于直线的轴O 以? ?角速度匀速转动(O 点在细杆AB 延长线上)．求：(1) O 点的磁感强度0B ；(2) 系统的磁矩m p ；(3) 若a >> b ，求B 0及p m ．

1

方向 垂直纸面向里

2

3

78．如图所示,两个共面的带动圆环,其内外径分别为R 1、R 2和R 2、R 3，外面的

圆环以每秒钟n 2转顺时针转动，里面的圆环一每秒钟n 1转的转速反时针转动，

若二者电荷面密度均为σ，求：n 1和n 2的比值多大时，圆心处磁感应强度为

零。

解：(1) 在内圆环上取半径为r 宽度为d r 的细圆环，其电荷为σr r q d 2d π= 由于转动而形成的电流 r rn q n i d 2d d 11σπ==

d i 在O 点产生的磁感强度为

其方向垂直纸面向外．

(2) 整个内圆环在O 点产生的磁感强度为

其方向垂直纸面向外．

(3) 同理得外圆环在O 点产生的磁感强度

)(23203R R n B -π=σμ 其方向垂直纸面向里．

(4) 为使O 点的磁感应强度为零，B 1和B 2的量值必须相等，

即 )(121R R n -π0σμ)(232R R n -π=0σμ

于是求得n 1和n 2之比 1

22312R R R R n n --= 79．两个半径分别为R 和r 的同轴圆形线圈相距x ，且R >>r ，x >>R ．若大线

圈通有电流I 而小线圈沿x 轴方向以速率v 运动，试求x =NR 时(N 为正数)小

线圈回路中产生的感应电动势的大小．

答：由题意，大线圈中的电流I 在小线圈回路处产生的磁场可视为均匀的．

故穿过小回路的磁通量为

由于小线圈的运动，小线圈中的感应电动势为

当NR x =时，小线圈回路中的感应电动势为 80．一导线弯成如图形状，放在均匀磁场B 中，B 的方向垂直图面向里． ∠

bcd =60°，bc =cd =a ．使导线绕轴OO ＇旋转，如图，转速为每分钟n 转．计

算?OO ?＇．

? ? ? ? B ?

O 'O

解：4/2 60/2n π=ω

t BS t O O ωωΦsin )/d =')60/2sin()60/2(nt BSn ππ=

81．电量Q 均匀分布在半径为a 、长为L (L >>a ) 的绝缘薄壁长圆筒表面上，

圆筒以角速度ω绕中心轴线旋转。一半径为2a 、电阻为R 的单匝圆形线圈套

在圆筒上（如图所示）。若圆筒转速按照ωω=0(1－t/t 0)的规律（0ω和t 0是

已知常数）随时间线性地减少，求：圆形线圈中感应电流的大小和方向。

解：筒以?旋转时，相当于表面单位长度上有环形电流π

?2ωL Q ，它和通电流螺线管的nI 等效．按长螺线管产生磁场的公式，筒内均匀磁场磁感强

度为：

L

Q B π=20ωμ (方向沿筒的轴向) 筒外磁场为零．穿过线圈的磁通量为：

在单匝线圈中产生感生电动势为

感应电流i 为 00

202RLt Qa R i ωμ==? i 的流向与圆筒转向一致．

82．两根平行放置相距为2a 的无限长载流直导线，其中一根通以稳恒电流I 0，

另一根通以交变电流i =I 0cos ωt ．两导线间有一与其共面的矩形线圈，线圈的边长分别为l 和2b ，l 边与长直导线平行，且线圈以速度v 垂直直导线向右

运动(如图)．当线圈运动到两导线的中心位置(即线圈中心线与距两导线均为

a 的中心线重合)时，两导线中的电流方向恰好相反，且i =I 0，求：此时线圈

中的感应电动势．

解：设动生电动势和感生电动势分别用?1和?2表示，则总电动势?为

? = ?1 + ?2 ， l B l B 211v v -=ε

∵ 此刻 i =I 0 10002)

(2)(2B b a i b a I B =-π++π=μμ

∴ ?1 =0 ? =?2S t

B d ????-= r i r a I B π+-π=2)2(2000μμ ① 由①式， 得 ???-+==??t

i b a b a l r r t i l S t B d d )(ln 2d 1d d 2d 00πμπμ ∵ i =I 0ω/2π=k t ( k = 1，2，…) ∴ t I b

a b a l I i ωωμεsin ))((ln 2000--+-==π=0 83．有一很长的长方形U 形导轨，与水平面成? 角，裸导线ab 可在导轨上无

摩擦地下滑，导轨位于磁感应强度B 垂直向上的均匀磁场中，如图所示。设导

线ab 的质量为m ，电阻为R ，长度为l ，导轨的电阻略去不计，abcd 形成电路，t=0时，v=0，试求：导线ab 下滑的速度v 与时间t 的函数关系。

解：ab 导线在磁场中运动产生的感应电动势

abcd 回路中流过的电流 θcos R

Bl R I i i v ==? ab 载流导线在磁场中受到的安培力沿导轨方向上的分力为：

由牛顿第二定律： t

m Bl R Bl mg d d cos cos sin v v =-θθθ 令 θsin g A =，)/(cos 222mR l B c θ=

则 )/(d d v v c A t -=

利用t = 0，v ??? 有???---=-=v

v v v v v 0

00)d(1d c A c A c c A d t t ∴ )e 1(cos sin )e 1(222ct ct l B mgR c A ---=-=θ

θv 84．无限长直导线载有电流I ，其旁放置一段长度为l 与载流导线在同一平面

内且成060的导线。计算当该导线在平面上以垂直于载流导线的速度v 平移到

该导线的中点距载流导线为a 时，其上的动生电动势，并说明其方向。

解：在d l 处 )2/(0r I B π=μ 但 ?=30cos /d d r l

∴ r B d 30tg d ?=v ? 其中4/32l a r +=，4/31l a r -= v

l d

B ?v I r

4/34

/3ln 320l a l a I -+π=v

μ 方向从1→2．

？？85．一无限长直导线通有电流t e I I 30-=，一矩形线圈与长直导线共面放置，其长边与导线平行，如图所示。求：（1）矩形线圈中感应电动势的大小及方向；

（2）导线与线圈的互感系数。

86.两个共轴圆线圈，半径分别为R 和r ，匝数分别为1N 和2N ，两者相距L ．设

小线圈的半径很小，小线圈处的磁场近似地可视为均匀，求：两线圈的互感系

数．并讨论R L <<时的情况.

答：设大线圈中通以电流1I ，1N 匝线圈形成的环电流在轴线上产生的磁感应

强度为

小线圈的面积为2r S π=，大线圈通过一匝小线圈的磁通量为

2/3222

211021)(2R L r R I N BS +==πμφ

在小线圈中产生的磁通链数为

互感系数为

当两线圈相距很近时，R L <<时，互感系数约为

？？87．半径为r 的小绝缘圆环，置于半径为R 的大导线圆环中心，二者在同

一平面内，且r <

（取逆时针方向为正）。

88．半径为R 的无限长实心圆柱导体载有电流I ，电流沿轴向流动，并均匀分

布在导体横截面上．一宽为R ，长为l 的矩形回路(与导体轴线同平面)以速度v 向导体外运动(设导体内有一很小的缝隙，但不影响电流及磁场的分布)．设

初始时刻矩形回路一边与导体轴线重合，求： (1) t (t

R ) 时刻回路中的感应电动势． (2) 回路中的感应电动势改变方向的时刻．

答：（1）取逆时针方向为回路正向，则回路中的感应电动势为

（2） 当0=ε时，ε将改变方向

∴ v R v R v R v vR t 2)15(242

2222-=++-= 89．充了电的由半径为r 的两块圆板组成的平板电容器，在放电时两板间的电

场强度大小为RC t e E E /0-=，式中E 0、R 、C 均为常数，:求：两极板间位移电

流的大小。

？？90．如图所示，设平行板电容器内各点的交变电场强度t

E π510sin 720=（V/m ），正方向规定如图。求:（1）电容器中的位移电流密度；（2）电容器内

距中心联线r=0.01m 的一点P ，当t=0,t=6105-?s 时的磁场强度的大小及方向。（不考虑传导电流产生的磁场）

20kW ，假定辐射的能量均匀分布在以电台

10km 处电磁波的辐射强度。

S ，间距为d ，一根长为d 的极细的导

R ，两极板外接交变电压

t U U ωsin 0=（U 0、?为常数）。求：（1）细导线中的电流；（2）通过电容器的

位移电流。

（1）0U sin t U I R R

ω== （2）0d 0S dU I C

U cos t dt d ε==ωω 93. 容积V = 1 m 3的容器内混有N 1= 1.0×10 25个氢气分子和N 2 = 4.0×10 25

个氧气分子,混合气体的温度为400K , 求：（1）气体分子的平动动能总和；（2）混合气体的压强.

答：

94．在容积为2.0×10－3m 3的容器中，有内能为6.75×102J 的刚性双原子分子

理想气体。（1）求：气体的压强；（2）若容器中分子总数为5.4×1022个，求：分子的平均平动动能及气体的温度。

解：(1) 设分子数为N .

据 E = N (i / 2)kT 及 p = (N / V )kT 得： p = 2E / (iV ) = 1.35×

105 Pa

(2) 由 kT N kT E w 2

523= 得 ()21105.75/3-?==N E w J 又 kT N E 2

5= 得 T = 2 E / (5Nk )＝362k ？？95. 速率分布函数的物理意义是什么？试说明下列各量的意义：

（1）f (v )d v (2 ) N f (v ) d v (3 ) ?2

1)(v v dv v f (4 ) ?21)(v v dv v Nf (5 ) ?2

1)(v v dv v vf (6 ) ?∞0

2)(21dv v f mv 96．图中，I 、II 两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度下的麦

克斯韦分子速率分布曲线。试有图中数据求：（1）氢气分子和氧气分子的最概

然速率；（2）两种气体所处温度。

答：（1）由分析知氢气分子的最概然速率为： 利用16/22H O =M M 可得氧气分子最概然速率为

（2）由M RT v /2p =得气体温度：K 1081.42/22p ?==R M v T

？？97. 64g 氧气的温度由00C 升至500C ，（1）保持体积不变；（2）保持压强

不变。在这两个过程中氧气各吸收了多少热量？各增加了多少内能？对外各作

了多少功？

？？98. 一定量的某种理想气体，有状态a 经b 到达c .（如图，abc 为一直

线）求：此过程中（1）气体对外作的功；（2）气体内能的增量；（3）气体吸

收的热量.

？？99. 设有一以理想气体为工作物质的热机循环，cb 为绝热过程，如图所

示。 试证明：其效率为1)(1)(

12121---=P P V V γη ？？100. 1 mol 氮气作如图所示的可逆循环过程，其中ab 和cd 是绝热过程，bc 和da 为等容过程，已知V 1 = 16.4升?,V 2 = 32.8升 P a = 1 atm , P b = 3.18 atm , P c = 4 atm , P d = 1.26 atm , 试求：（1）T a = ? T b = ? T c = ? T d

= ?（2）E c = ?（3）在一循环过程中氮气所作的净功A = ？

（1）T a = 400K ，T b = 636K ，T c = 800K ，T d = 504K

（2）9.97×103 J （3）0.748×103 J

101. 1mol 单原子分子理想气体的循环过程如T －V 图所示，其中c 点的温度

为T c =600 K ．试求：(1) ab 、bc 、c a 各个过程系统吸收的热量；(2) 经一循

环系统所作的净功；(3) 循环的效率． 答：

102. 如图所示，AB 、DC 是绝热过程，CEA 是等温过程，BED 是任意过程，组

成一个循环。若图中EDCE 所包围的面积为70 J ，EABE 所包围的面积为30 J ，过程中系统放热100 J ，求：BED 过程中系统吸热为多少？

答：

103. 1 mol 的理想气体，完成了由两个等体过程和两个等压过程构成的循环过程(如图)，已知状态1的温度为T 1，状态3的温度为T 3，且状态2和4在同

一条等温线上．求：气体在这一循环过程中作的功．

答：

？？104. 1 mol 单原子分子的理想气体，经历如图所示的可逆循环，联结ac 两点的曲线Ⅲ的方程为2020/V V p p =, a 点的温度为T 0 (1) 试以T 0 , 普适

气体常量R 表示Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ过程中气体吸收的热量；(2) 求此循环的效率。 答：

105．一观察者测得一沿米尺长度方向匀速运动着的米尺的长度为0.5米，则此米尺以多大的速度接近观察者？

106．设有宇宙飞船A 和B ，固有长度均为l 0=100m ，沿同一方向匀速飞行，在

飞船B 上观测飞船A 的船头、船尾经过飞船B 船头的时间间隔为(5/3)×10-7s ，求：飞船B 相对于飞船A 的速度的大小。

答：设飞船A 相对于飞船B 的速度大小为v ，这也就是飞船B 相对于飞船A 的速度大小。在飞船B 上测得飞船A 的长度为：

故在飞船B 上测得飞船A 相对于飞船B 的速度为：

20)/(1)/(/c v t l t l v -?=?=

解得： 82001068.2)/(1/?=?+?=t c l t l v m/s 所以飞船B 相对于飞船A 的速度大小也为81068.2? m/s 。

107．一艘宇宙飞船的船身固有长度L 0=90m ，相对于地面以v=0.8c （c 为真空

中的光速）的匀速度在一观察站的上空飞过。问：

（1） 观察站测得飞船的船身通过观察站的时间间隔是多少？

（2） 宇航员测得船身通过观察站的时间间隔是多少？

解：(1) 观测站测得飞船船身的长度为

所以Δt 1 = L /v =2.25×10-7 s

(2) 宇航员测得飞船船身的长度为L 0，则

Δt 2 = L 0/v =3.75×10-7 s

108．观察者甲和乙分别静止于两个惯性系K 和Kˊ（Kˊ系相对于K 系作平行于x 轴的匀速运动）中，甲测得在x 轴上两点发生的两个事件的空间间隔和时间间隔分别为500m 和2×10-7s ，而乙测得这两个事件是同时发生的。问：Kˊ系相对于K 系以多大速度运动？

答：设相对运动速度为v 。则根据洛仑兹变换公式可得：

22111)

(1//c c x t t v v --=' ，22222)(1//c c x t t v v --='

乙测得两事件同时发生，则：21t t '=' 可得： 21212/)(c x x t t -=-v

由题： s 102712?=-t t ，500m 12=-x x

则： =--=)/()(12212x x c t t v s /m 106.37?

.

109．假设地球上有一观察者测得一宇宙飞船以0.6c 的速度向东飞行，5.0s 后该飞船将与一个以0.80c 的速率向西飞行的彗星相碰撞。试问：（1）飞船中的人测得彗星将以多大的速率向它运动？（2）从飞船的钟来看，还有多少时间容许它离开航线，以避免与彗星碰撞？

110．两个质点A 和B ，静止质量均为m 0．质点A 静止，质点B 的动能为6m 0c 2．设A 、B 两质点相撞并结合成为一个复合质点．求：复合质点的静止质量． 答：设复合质点静止质量为0M ，运动时质量为M 。由能量守恒定律可得： 其中2mc 为相撞前质点B 的能量。

故： 08m M =

设质点B 的动量为B p ，复合质点的动量为p 。由动量守恒定律：

利用动量与能量关系，对于质点B 可得：

对于复合质点可得：420424202264c m c M c M c p ==+

由此可求得： 20202020164864m m m M =-=

？？111．当粒子的动能等于它的静止能量时，它的运动速度是多少？

112．设快速运动的介子的动能约为E =3000MeV ，而这种介子在静止时的能量为E 0=100MeV ；若这种介子的固有寿命是2×10-6s ，求：它运动的距离。

答：根据： 22202/v 1/c c m mc E -==220/v 1/c E -=

可得： 30//v 1/1022==-E E c

由此求出： s /m 102.996v 8?≈ 又介子运动的时间：022030/v 1/τττ=-=c

因此它运动的距离：m 10798.130v v 40?≈?==ττl

113．波长为?的单色光照射某金属表面发生光电效应，发射的光电子（电量绝对值为e ，质量为m ）经狭缝后垂直进入磁感应强度B 为的均匀磁场（如图示），今已测出电子在该磁场中作圆周运动的最大半径为R 。求：（1）金属材料的逸出功？（2）遏止电势差？

答：（1）由： R m eB /2v v = 得：m ReB /)(=v

代入 A m h +=22

1v ν

可得： 2

22221m B e mR hc

A ?-=λ m

B e R hc 22

22-=λ （2） 221v m U e a = 114．图中所示为在一次光电效应实验中得出的曲线

(1)求证：对不同材料的金属 , AB 线的斜率相同； (2) 由图上数据求出普朗克恒量 h .

答：（1）由 A h U e a -=ν

得： e A e h U a //-=ν e h U a /d /d =ν（=恒量）

由此可知，对不同金属，曲线的斜率相同。

（2） θtg ?=e h 14

10)0.50.10(00.2?--=e =s J 104.634??-

？？115．已知x 射线光子的能量为0.6MeV ，若在康普顿散射中，散射光子的波长变化了20?，试求：反冲电子的动能？

0.10 MeV

116．假定在康普顿散射实验中, 入射光的波长λ0=0.0030nm , 反冲电子的速

度 v = 0.6c , 求：散射光的波长λ .

答：根据能量守恒，有： 220mc h c m h e +=+νν

其中： 2)

/(11c m m e v -= 则： 20c m hc hc e +=λλ])

/(111[2c v -- 解得： ])

/(111[1200

c h c m e v --+=λλλ= 0.00434 nm 117．如果室温下（t=270C ）中子的动能与同温度下理想气体分子的平均平动动能相同，则中子的动能为多少？其德布罗意波长是多少？ 平均平动动能213kT 6.2110J 2-ε==? 118．能量为15eV 的光子 , 被处于基态的氢原子吸收 , 使氢原子电离发射一个光电子 , 求：此光电子的德布罗意波长 .

答：远离核的光电子动能为：

4.16.1315212=-==

v e K m E eV 则： ==e

K m E 2v s /m 100.75? 光电子的德布罗意波长为：

119．根据玻尔理论，(1) 计算氢原子中电子在量子数为n 的轨道上作圆周运动的频率；

(2) 计算当该电子跃迁到(n -1)的轨道上时所发出的光

子的频率；

(3) 证明当n 很大时，上述(1)和(2)结果近似相等．

答：（1） r m r e 2

2

024v =πε 联立解出： 3320412n

h me n ?π=εω （2）电子从n 态跃迁到1-n 态所发出光子的频率为：

（3）当n 很大时，上式变为：

120．假设电子绕氢核旋转的玻尔轨道的圆周长刚好为电子物质波波长的整数倍，试从此点出发解出玻尔的动量矩量子化条件．

答：从题设可知，若圆周半径为r ，则有λn r =π2，这里n 是整数，λ是电子物质波的波长。根据德布罗意公式：)v /(m h =λ

得： )v /(2m nh r =π

于是： nh rm =v 2π

这里m 是电子质量，v 是电子速度的大小，v rm 为动量矩，以L 表示, 则上式为：

这就是玻尔的动量矩量子化条件。

121．实验发现基态氢原子可吸收能量为12.75eV 的光子.

(1)试问氢原子吸收该光子后将被激发到哪个能级?

(2)受激发的氢原子向低能级跃迁时 , 可能发出哪几条谱线 ? 请画出能级图

(定性) , 并将

这些跃迁画在能级图上 .

答：（1）

（2）可以发出324243213141,,,,,λλλλλλ六条谱线。能级图如图所示。

？？122．已知第一玻尔轨道半径 a , 试计算当氢原子中电子沿第 n 玻尔轨道运动时 , 其相应的德布罗意波长是多少?

？？123．已知粒子在无限深势阱中运动 , 其波函数为：

)0()/sin(/2)(a x a x a x ≤≤=ψπ

求：发现粒子几率最大的位置 .

124．一维无限深方势阱中的粒子，其波函数在边界处为零，这种定态物质波相当于两端固定的弦中的驻波，因而势阱的宽度a 必须等于德布罗意波半波长的整数倍。试利用这一条件求出能量量子化公式：222

8n ma

h E n = 答：据已知条件： 2/λn a =

又据德布罗意公式： v m h /=λ

得： λ/h m =v

无限深势阱中粒子的能量为： 22

1v m E = 即： mE m

E m m 22==v 解得： 22/2λh mE =

得： 222

42n a

h mE n = 125．一粒子被限制在相距为l 的两个不可穿透的壁之间，如图所示．描写粒

子状态的波函数为)(x l cx -=ψ，其中c 为待定常量．求在0~l 3

1 区间发现该粒子的概率．

答：由波函数的性质得： 1d 0

2

=?x l

ψ

即： 1d )(0

222=-?x x l x c l

由此解得： 52/30l c =，2//30l l c =

设在3/~0l 区间内发现该粒子的概率为P ，则：

126．质量为m 的粒子在外力场中作一维运动，外力场的势能分布为：在0 < x < a 区域 U = 0；在x ≤ 0和x ≥a 区域 U = ∞，即粒子只能在0 < x < a 的区域内自由运动，求：粒子的能量和归一化的波函数．

答：设粒子能量为E , 根据一维定态薛定谔方程：

令： 22/)2( mE k =

上面方程可改写为： 0d d 22

2=+ψψk x 方程的解为： kx B kx A sin cos +=ψ

由题意： 00

=≤ψx 可得： 0)(sin 0

==ka B A

必须： 0)(sin =ka

则： a n k /π=

故： ,3,2,1)

/sin(==n a x n πψ 粒子能量： ,3,2,1)

8/()(222==n ma h n E n 根据归一化条件： 1d 0

2

=?∞

x ψ

可得： 1d )/(sin 0

22=?a x x a x n B π 所以粒子的归一化波函数为：a

x n a π=sin 2ψ ？？127．原子内电子的量子态由n 、l 、m l 及m s 四个量子数表征。当n 、l 、m l 一定时，不同的量子态数目是多少？当n 、l 一定时，不同的量子态数目是多少？当n 一定时，不同的量子态数目是多少？

？？128．根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩在外磁场方向上的投影为 l z m L =，当角量子数l =2时，L z 的可能取值为多少？