八年级二次根式复习讲义(非常全面)
二次根式
知识点一：二次根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义：形如
的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，
才有意义．
【典型例题】
【例1】下列各式1
- 其中是二次根式的是_________（填序号）．
举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A
D
2
______个
【例2】
有意义，则x 的取值范围是 ．
举一反三：
1、使代数式
4
3
--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3
B 、x ≥3
C 、 x>4
D 、x ≥3且x ≠4
2
x 的取值范围是
3、如果代数式mn
m 1+
-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=
解题思路：式
子a ≥0），50
,50x x -≥??-≥? 5x =，y=2009，则x+y=2014
举一反三： 1、
2
()x y =+，则x －y 的值为（ ）
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3
2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值
3、当a
1取值最小，并求出这个最小值。
已知a
b 是
1
2
a b +
+的值。
若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 1
2+
的值.
知识点二：二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．
2. ()()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()20
3. a a a a a a 2
00==≥-
?
||()() 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4. 公式a a a a a a 200==≥-
()
与()()a a a 20=≥的区别与联系
（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．
【典型例题】
【例4】
若()2
240a c --=，则=
+-c b a ．
举一反三：
1、若0)1(32
=++-n m ，则m n +的值为 。
2、已知y x ,为实数，且()02312
=-+-y x ，则y x -的值为（ ）
A ．3
B ．– 3
C ．1
D ．– 1
3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2
－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.
4、若
1
a b -+
互为相反数，则
()2005
_____________
a b -=。
（公式)0()(2
≥=a a a 的运用）
【例5】
化简：2
1a -+的结果为（ ）
A 、4—2a
B 、0
C 、2a —4
D 、4
举一反三：
1在实数范围内分解因式:
2
3x
-= ；4244m m -+=
429__________,2__________x x -=-+=
2
1-
3
，则斜边长为
（公式?
??<-≥==)0a (a )
0a (a a a 2的应用）
【例6】已知2x <,
A 、2x -
B 、2x +
C 、2x --
D 、2x -
举一反三：
1、
( )
A ．-3
B ．3或-3
C ．3
D ．9 2、已知a<0
2a │可化简为（ ）
A ．－a
B ．a
C ．－3a
D ．3a
3、若23a
）
A. 52a -
B. 12a -
C. 25a -
D. 21a - 4、若a －3＜0，则化简
a
a a -++-4962的结果是（ ）
(A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7－
2a 5、
2
得（ ）
（A ） 2 （B ）44x -+ （C ）－2 （D ）44x -
6、当a ＜l 且a ≠0时，化简a a a a -+-22
1
2＝ ．
7、已知0a
<
【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a
－b │ 的结果等于（ ）
A ．－2b
B ．2b
C ．－2a
D ．2a
举一反三：实数a 在数轴上的位置如图所示：化
简：
1______a -=．
【例8】
化简1x -2x -5，则x 的取值范围是（ ）
（A ）x 为任意实数 （B ）1≤x ≤4 （C ） x ≥1 （D ）x ≤
1
举一反三：
若代数式2，则a 的取值范围是（ ）
Ａ．4a ≥ Ｂ．2a ≤ Ｃ．24a ≤≤ Ｄ．2a =或4a =
【例9】如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是（ ）
A. a=0
B. a=1
C. a=0或a=1
D. a ≤1
举一反三：
1、如果3a =成立，那么实数a 的取值范围是（ ）
.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥
2、若03)3(2
=-+-x x ，则x 的取值范围是（ ）
（A ）3>x （B ）3 【例10】化简二次根式2 2 a a a +- 的结果是 （A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a 1、把二次根式a a -1 化简，正确的结果是（ ） A. -a B. --a C. -a D. a 2、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时， x x b ＝ ；a a --11)1(＝ 。 知识点三：最简二次根式和同类二次根式 【知识要点】 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式． 2、同类二次根式（可合并根式）： o b a 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 【典型例题】 【例11】在根式 ，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件。 举一反三： 1、)b a (17,54,b 40,2 1 2,30,a 45222+中的最简二次根式是 。 2、下列根式中，不是．． 最简二次根式的是（ ） A B C ． D 3、下列根式不是最简二次根式的是( ) 4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ (1)b a 23 (2)23ab (3)22y x + (4))(b a b a >- (5)5 (6) xy 8 5、把下列各式化为最简二次根式： (1)12 (2)b a 2 45 (3) x y x 2 【例12】下列根式中能与3是合并的是( ) A.8 B. 27 C.25 D. 2 1 举一反三： 1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A 2、在二次根式：①12；② 32；③ 3 2 ；④27中，能与3合并的二次根式是 。 3、如果最简二次根式83-a 与a 217-能够合并为一个二次根式, 则a=__________. 知识点四：二次根式计算——分母有理化 【知识要点】 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确 定方法如下： a = b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a + a ，互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 【典型例题】 【例13】 把下列各式分母有理化 （1 （2 （3 （4 ） 【例14】把下列各式分母有理化 （1 （2 （3 ） （4 ） 【例15】把下列各式分母有理化： （1 （2 （3 举一反三： 1 、已知x = ，y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）22 3x xy y -+ 2、把下列各式分母有理化： （1 )a b ≠ （2 （3 小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①与 ； ② 与 ； ③与 ； ④ 与 ． 知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除 【知识要点】 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值 范围，最后把运算结果化成最简二次根式． 【典型例题】 【例16 】化简 1525?0,0≥≥y x 32? 【例17】计算（1） （2） （3） （4） （5） （6 ） （7） （8） 【例18】化简： )0,0(≥>b a )0,0(> ≥y x )0,0 (>≥y x 【例19】计算： （4 【例20】=x 的取值范围是（ ） A 、2x > B 、0x ≥ C 、02x ≤ ≤ D 、无解 知识点六：二次根式计算——二次根式的加减 【知识要点】 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。 注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数． 【典型例题】 【例20】计算（1 ） （2） ? - ? ； （3 ； （4） + 【例21】 （1 ） （2 （3 3 a +- （4 ） 2 ?+-- ? （ 5 5-（6+- 知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值 【知识要点】 1、确定运算顺序； 2、灵活运用运算定律； 3、正确使用乘法公式； 4、大多数分母有理化要及时； 5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化； 【典型习题】 1、a b b a ab b 3)23(235÷-? 2、 2 2 (212 +4 1 8 － 348 ) 3、 1 3 （ ）÷16、673)3 2272(-?++ 5、62332)(62332(+--+） 6、)54)(54()523(2 -+-+ 7、11 10 )562()562(+- 8、)0()1 22510(9312>--m m m m m m m 【例21】 1．已知： ，求的值． 2．已知，求 的值。 3．已知：，求的值． 4．求的值． 5．已知、是实数，且，求的值． 知识点八：根式比较大小 【知识要点】 1 、根式变形法 当0,0 a b >>时，①如果a b > >a b << 2、平方法 当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。 3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 5、倒数法 6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 7、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0a b a b ->?>；②0a b a b - 它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①1a a b b >?>； ②1a a b b 【典型例题】 【例22】 比较 与的大小。 【例23】 的大小。 【例24】 【例25】 的大小。 【例26】33的大小。