线性代数教案-向量与向量空间

线性代数教学教案

第3章 向量与向量空间

授课序号01 教 学 基 本 指 标

教学课题 第3章 第1节 维向量及其线性运算

课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学

教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 维向量的概念、向量的线性运算的性质

教学难点 向量的线性运算的性质 参考教材 同济版《线性代数》

作业布置 课后习题

大纲要求 理解维向量的概念 教 学 基 本 内 容

一． 维向量的概念

1．维向量：由个数组成的有序数组称为维向量.

2．称为维行向量，称为维列向量. 二．维向量的线性运算

1．定义：

（1）分量全为0的向量称为零向量；

（2）对于，称为的负向量； （3）对于，，当且仅当时，称与相等；

（4）对于，，称为与的和；

（5）对于，，称为与的差； （6）对于，为实数，称为的数乘，记为.

2．向量的线性运算的性质：对任意的维向量和数，有：

n n n n n n n a a a ,,,21 n ),,,(21n a a a n 12??????????????

n a a a n n ()12T n αa ,a ,,a = ()12---T

n a ,a ,,a αT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β),,2,1(n i b a i i ==αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =βT n n b a b a b a ),,,(2211+++ αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β()1122---T

n n a b ,a b ,,a b αβT n a a a ),,,(21 =αk T n ka ka ka ),,,(21 ααk n γβα，，l k ,

（1）;

（2）;

（3）;

（4）;

（5）;

（6）;

（7）；

（8）.

三．例题讲解

例1． 某工厂两天的产量(单位:吨)按照产品顺序用向量表示,第一天为第二天为求两天各产品的产量和.

αββα+=+)()(γβαγβα++=++αα=+00-αα=αα=?1αα)()(kl l k =βαβαk k k +=+)((k l )αk αl α+=+1(15,20,17,8),=T α2(16,22,18,9),=T α

授课序号02 教 学 基 本 指 标

教学课题 第3章 第2节 向量组的线性关系 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合

教学重点 线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关、线性无关的有关性

质及判别法

教学难点 有关线性相关、

线性无关的证明 参考教材 同济版《线性代数》

作业布置 课后习题

大纲要求 1．理解向量的线性组合与线性表示。 2．理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。

教 学 基 本 内 容

一．向量组的线性组合

线性组合：给定向量组和向量，如果存在一组数，使，则称是的线性组合，或称可由线性表示，称为由线性表示的系数.

二．向量组的等价

1．线性表示与向量组的等价：设有两个向量组 (I): , (II):，若向量组(I)中每个向量都可由向量组(II)中的向量线性表示，则称向量组(I)可由向量组(II)线性表示. 若两个向量可相互线性表示，则称它们等价.

2．向量组等价的性质：

(1) 反身性：每一个向量组都与其自身等价；

(2) 对称性：若向量组(I)与(II)等价，则向量组(II)与(I)也等价；

(3) 传递性：若向量组(I)与(II)等价，向量组(II)与(III)等价，则向量组(I)与(III)等价.

3．向量组可由向量组线性表示的充要条件是矩阵方程有解.

4．推论：若矩阵与矩阵列(行)等价，则矩阵的列(行)向量组与矩阵的列(行)向量组等价.

5．行向量组可由行向量组线性表示的充要条件是方程有解.

m ααα,,,21 βm k k k ,,,21 ,2211m m k k k αααβ+++= β12m α,α,,α β12m α,α,,α m k k k ,,,21 β12m α,α,,α 12,,,m ααα 12s β,β,,β s βββ,,,21 12,,,m ααα B AX =A B A B T s T T βββ,,,21 12T T T m α,α,,α B XA =

三．线性组合的经济学应用举例

在经济学中，需要将某个量，比如成本，分解成几部分时，常常需要用到线性组合的概念.

例如，一个公司生产两种产品A 和B .设生产价值1万元的产品A 需要原料成本0.3万元,人工成本0.25万元,设备成本0.1万元，管理成本0.15万元,则可构造出产品A 的单位成本向量.同理,可构造出产品B 的单位成本向量，假设为.该公司生产价值万元的产品A 和生产价值万元的产品B 需要的总成本为.

四．向量组线性相关性的定义

1．线性相关与线性无关：给定维向量组，如果存在不全为零的数，使

则称线性相关，若当且仅当全为零时，上述等式才成立，则称线性无关.

2．若两个向量和线性相关，则存在不全为零的数，使不妨设，则有 3．两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线，三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.

五．向量组线性相关性的性质

1．一个向量线性相关的充要条件是这个向量为零向量.

推论：一个向量线性无关的充要条件是这个向量为非零向量.

2．两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例.

推论：两个向量线性无关的充要条件是对应分量不成比例.

3．个向量线性相关的充要条件是至少有一个向量可由其余个向量线性表示.

推论：个向量线性无关的充要条件是任意向量都不能由其余个向量线性表示.

4．若线性无关，而，线性相关，则可由线性表示，且表示式唯一.

5．向量组中有一部分向量组线性相关，则整个向量组线性相关.

推论：若整个向量组线性无关，则其任一部分向量组都线性无关.

6．设向量组(I) 与(II)，若(II)可由(I)线性表示，且则(II)(0.3,0.25,0.1,0.15)T

α=(0.25,0.35,0.1,0.1)T β=1x 2x 12+x x αβn 12,,,m ααα m k k k ,,,21 ,02211=+++m m k k k ααα 12,,,m ααα m k k k ,,,21 12,,,m ααα 1α2α21,k k .02211=+ααk k 01≠k 2121

-k αα.k =)2(≥m m 1-m )2(≥m m 1-m 12,,,m ααα 12,,,m ααα ββ12,,,m ααα 12,,,m ααα s βββ,,,21 ,s m >s

βββ,,,21

线性相关.

六．向量组线性相关性的判定

1．定理：个维向量线性相关的充要条件是矩阵

的秩. 推论1．任意个维向量线性无关的充要条件是它们构成的矩阵的秩.

推论2．任意个维向量线性无关的充要条件是矩阵的行列式不等于零.

推论3．当时，个维向量线性相关.

2．定理：若个维向量线性无关，则对应的个维向量也线性无关.

3．延长向量组：称个维向量添加个分量后得到的向量组为原向量组的延长向量组.

推论：若一个向量组线性无关，则其延长向量组线性无关.

七．例题讲解

例1．设，，则，即零向量可由线性表示，更一般地，维零向量可由任意维向量组线性表示.

例2．设维向量组则任意维向量可由线性表示.

例3．向量组中任一向量都可由这个向量组线性表示.

例4．将向量表示成向量组的线性组合. m n 12(,,,)(1,2,,)== T i i i ni a a a i m α()1112121222121

2,,,m m m n n nm a a a a a a A a a a ααα?? ? ?== ? ???

()m n m n m s 12(,,,)(1,2,,)== T i i i si a a a i m αm 1+s 121,(,,,,)(1,2,,)+== T i i i si s i a a a a i m βm s 12(,,,)(1,2,,)== T i i i si a a a i m α-n s 121,1,(,,,,,,,)(1,2,,)+-== T i i i si s i n i ni a a a a a a i m γ12,,, m αααT )3,2,1(1=αT )6,4,2(2=αT

T T )6,4,2(0)3,2,1(0)0,0,0(0?+?==21,ααn n n ,)0,,0,1(1T e =,,)0,,1,0(2 T e =,)1,,0,0(T n e =n T n a a a ),,,(21 =αn e e e ,,,21 ()115T

β,,=-,)3,2,1(1T =α,)4,1,0(2T =αT )6,3,2(3=α

例5．设均为阶矩阵，若，且可逆，则矩阵的列向量组与矩阵的列向量等价. 例6．证明：维基本单位向量组，线性无关. 例7．讨论向量组的线性相关性.

例8．设线性无关，证明：线性无关.

例9． 证明：含有零向量的向量组一定线性相关.

例10．设向量组线性相关，向量组线性无关，证明

(1)可由线性表示；

(2)不可由线性表示. 例11．设3阶矩阵3维列向量，若与线性相关，求. 例12.已知向量，问

为何值时，向量组线性相关、线性无关？

C B A ,,n C AB =B C A n ,)0,,0,1(1T e = ,)0,,1,0(2T

e =T n e )1,,0,0( =T T T )1,2,1(,)1,0,1(,)1,1,2(321--==-=ααα321,,ααα133221,,αααααα+++321,,ααα432,,ααα1α32,αα4α321,,ααα,40321

2221????

? ??-=A T a )1,1,(=ααA αa 123(1,2,1,3),(2,1,3,5),(1,17,,1)=-=-=-+-T T T a a αααa 123,,ααα

授课序号03 教 学 基 本 指 标

教学课题 第3章 第3节 极大线性无关组和秩 课的类型 复习、新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 向量组的极大线性无关组和向量组的秩、向量组的等价，向量组的秩与矩阵秩的关系 教学难点 求向量组的极大线性无关组及

秩。

参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题 大纲要求 1．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。

2．了解向量组等价的概念，以及向量组的秩与矩阵秩的关系。

教 学 基 本 内 容

一. 极大线性无关组和向量组的秩

1．极大线性无关组：在向量组中，选取个向量，如果满足

(1)线性无关;

(2)中任意一个向量都可由线性表示，

则称是向量组的一个极大线性无关组，简称为极大无关组.

2．极大线性无关组的等价定义：在向量组中，如果存在个向量满足

(1)线性无关;

(2)中任意个向量都线性相关，

则称是向量组的一个极大线性无关组.

3．两点说明

（1）若向量组是线性无关的,那么极大无关组是唯一的，就是向量组本身.若向量组是线性相关的，则极大无关组不一定唯一.

（2）由极大线性无关组的定义还可以得到，向量组和它的任意一个极大无关组都是等价的，进而同一向量组的任意两个极大无关组是等价的，当向量组线性相关时，其极大无关组不唯一，但是极大无关组所含向量的个数是唯一的.

4．向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记为.

12,,,m αααr 12,,,r i i i ααα12,,,r i i i ααα12,,,m ααα12,,,r i i i ααα12,,,r i i i ααα12,,,m ααα12,,,m ααα 12,,,r i i i ααα12,,,r i i i ααα12,,,m ααα1r +12,,,r i i i ααα12,,,m ααα12,,,m ααα()12,,,m r ααα

5.两点说明：

（1）只含有零向量的向量组没有极大无关组，规定秩为零.

（2）向量组线性无关的充要条件是秩等于，线性相关的充要条件是秩小于.

6．定理：等价的向量组有相同的秩.

二．向量组的秩和矩阵的秩的关系

1．矩阵的行秩和列秩：对于矩阵A ，我们称A 的m 个n 维行向量构成的向量组为A 的行向量组，称n 个m 维列向量构成的向量组为A 的列向量组，并分别称它们的秩为A 的行秩和列秩.

2．定理：设A 为矩阵，则A 的秩等于A 的行秩，也等于A 的列秩.

三．例题讲解

例1．求向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示.

例2．设为矩阵，则.

例3．设为矩阵，为矩阵，则

12,,,m ααα m m m n ?m n ?1234(1,1,4),(1,0,4),(1,2,4),(1,3,4)====T T T T

αααα,A B m n ?()()()r A B r A r B +≤+A m s ?B s n ?()min{(),()}r AB r A r B ≤

授课序号04 教 学 基 本 指 标

教学课题 第3章 第4节 向量空间 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标、变换和坐标变换公式、过渡矩阵

教学难点 过渡矩阵的求法

参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题 大纲要求 1．了解维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念。

2．了解变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵。

教 学 基 本 内 容

一. 向量空间

1．向量空间：设是维向量的非空集合，如果对加法和数乘两种运算都封闭，即 (1)若则(2)若 R ，则则称是R 上的向量空间.

2．子空间：设为向量空间,若称是的子空间.

3．平凡子空间：由零向量构成的零子空间{0}和V 本身,称为V 的平凡子空间;

4. 向量空间的基：设是向量空间，若中有个向量满足

(1)线性无关， (2)中任意一个向量都能由线性表出， 则称为向量空间的一组基, 向量空间的基中所含的向量个数称为向量空间的维数，并称为m 维向量空间.

5．两点说明：

（1）若把向量空间看作向量组，的一组基就是一个极大无关组，而维数就是向量组的秩.

（2）若为向量空间的一组基,则可看作是由生成的向量空间.

二．过渡矩阵与坐标变换

1．坐标：设是m 维向量空间的一组基，则对中任意向量，存在唯一的一组实数，使得,称有序实数组为向量在基下的坐标.

n n V n V ,,V V αβ∈∈+;V αβ∈,∈∈V k α,k V α∈V 12,V V 12,V V ?1V 2V V V m 12,,...,m ααα12,,...,m αααV 12,,...,m ααα12,,...,m αααV V V V V V 12,,...,m αααV V 12,,...,m ααα12,,...,m αααV V β12,,...,m x x x 1122=+++ m m x x x βααα()12,,...,T

m x x x β12,,...,m ααα

2．基变换公式与过渡矩阵：若和是m 维向量空间的两组基，则它们可以相互线性表示,则存在矩阵C ,使得，称这个表达式为基变换公式, 称矩阵为从基到基的过渡矩阵.

三．例题讲解

例1．全体n 维向量的集合R n 构成向量空间，称为n 维向量空间.特别的，n =1时，R 1表示1维向量空间，即数轴；n =2时, R 2表示2维向量空间，即平面; n =3时，R 3表示3维向量空间，即立体空间.

例2．判断下列集合是否构成向量空间.

(1)

(2)R .

例3. 设为m 个n 维向量，证明：集合是一个向量空间.

例4．对于向量空间,维单位坐标向量组，是一组基,维数为n ,称为n 维向量空间.

例5．对于由向量组生成的向量空间, 的极大无关组就是的一组基, 的秩就是的维数.

例6．设向量组为的一个基，在这组基下的坐标为,求.

例7．求从R 2的基到基的过渡矩阵.

例8．已知R 3的两组基与

（1）求由基到基的过渡矩阵；

（2）求在这两组基下的坐标.

1231210,1,1111ααα????????????===????????????-??????1230111,1,2101βββ-????????????===??????????????????

123,,ααα123,,βββ[9,6,5]T

γ=12,,...,m ααα12,,...,m βββV ()()1212,,...,,,...,m m C βββααα=C 12,,...,m ααα12,,...,m βββ122{(0,,,)|,,R};=∈ T n n V x x x x 222{(1,,,)|,,=∈ T n n V x x x x }12,,...,m ααα112212{|,,,,}m m m V k k k k k k R ==+++∈ ξξαααn R n ,)0,,0,1(1T e = ,)0,,1,0(2T e =T n e )1,,0,0( =12,,...,m αααV 12,,...,m αααV 12,,...,m αααV T T T

123(1,2,1),(1,3,2),(1,,3)===a ααα3R T (1,1,1)=βT (,,1)b c ,,a b c ???? ??-=???? ??=11,0121αα????

??=???? ??=21,1121ββ

授课序号05

7．两向量的夹角：设维向量称为向量和的夹角. 二．向量组的正交规范化 1．两向量正交：若向量和的内积为零,即称和正交.

2．正交向量组：若一个非零向量组的任意两个向量都是正交的,称该向量组为正交向量组.

3．标准正交向量组：若正交向量组的每一个向量都是单位向量,则称为标准正交向量组.

4．标准正交基：如果标准正交向量组的秩等于向量空间的维数，则称该标准正交向量组为标准正交基.

5．正交向量组的重要性质

定理：设n 维向量组是正交向量组，则是线性无关的.

6．施密特正交化方法.

设线性无关，令

，，，， 则是与等价的正交向量组，再令

则是与等价的标准正交向量组.

三．正交矩阵

1．正交矩阵：如果n 阶方阵A 满足则称A 为正交矩阵.

2．正交矩阵的性质：设A 为n 阶方阵，则

(1) A 的行列式为1或-1；

(2) A 为可逆矩阵，且；

(3) A 的列向量组是R n 的一个标准正交基.

四．例题讲解

例1．求4维向量和的夹角.

例2．设，,，请用施密特正交化方法将该向量组规范正交化. n 0,0,αβ≠≠(,)=arccos

,|||| ||||

αβθαβαβαβ(,)=0,αβαβ12,,...,m ααα12,,...,m ααα12,,,s ααα 11βα=2122111(,)(,)αββαβββ=- 121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)s s s s s s s s s αβαβαββαβββββββββ----=---- 12s ,,...,βββ12s ,,...,ααα121212,,,,||||||||||||

s s s βββγγγβββ=== 12,,,s γγγ 12s ,,...,ααα,T A A E =1T A A -==(1,2,2,3)T α(3,1,5,1)T β=()11,1,1T

α=()20,1,1T α=()30,0,1T α=