函数的基础知识

第一部分 函数的概念

一、映射的概念

1、相关概念：映射；一一映射、函数

2、构成映射的基本条件： 构成一一映射的基本条件：

3、映射的要素：

4、构成映射的个数：A 中有m 个元素，B 中有n 个元素，则B A f →:的映射个数是m

n 个；

A 中有n 个元素，

B 中有n 个元素，则B A f →:的一一映射个数是！n 个

二、函数的概念

1．函数的定义（1）两要素（2）如何判断给定两个变量之间的关系是否为函数关系（3）判断两

个函数是否为同一个函数

2．函数的表示方法：函数是非空数集与非空数集之间的映射.

3．函数的表示：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判

断一个图形是否是函数图象的依据； （1）解析法：必须注明函数的定义域；

（2）图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征； （3）列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

三、函数的定义域：

1、函数解析式：使得函数成立的自变量的取值范围. （1）整式函数的定义域是全体实数； （2）分式函数的分母不为零；

（3）偶次根式或者是幂指数的指数为分母是偶数时，底数不小于零； （4）奇次根式或者是幂指数的指数为分母是奇数时，定义域是全体实数； （5）对数中底数大于零且不等于1，指数大于零；

（6）零指数或负指数（指数没分母或者分母不是偶数）幂函数时底数不为零； （7）对数函数定义域底数大于0，且不等于1，真数大于0 （8）分段函数各部分的定义域取并集；

（9）几个简单函数通过加减乘除运算的各部分定义域取交集； 2、图表：表中的x 值的集合

3、图像：每个点对应的横坐标的集合

4、实际问题：实际问题实际分析.

四、函数的值域：

（1）单调性求值域：首先求函数的单调性，则只需求解函数两个端点的值就行了；

（2）反函数求值域：

要求函数的值域，只需要求反函数的定义域就是了；

要求函数的定义域，只需要求反函数的值域就是了；

（3）换元法求函数的值域，将函数转换成为复合函数来求；

（4）分式函数：分离系数法、判别式法、直接观察法等.

（5）复合函数：分解成两个函数，分别求值域，注意第一个函数的值域是第二个函数的定义域（6）图像：通过图像观察各部分函数的特点.

（7）分段函数每一段上值域取并集.

五、函数解析式

（1）直接代入法（2）换元法（3）配凑法（4）待定系数法

（5）利用奇偶性等性质求解析式

六、函数的图像及图像变换

一、函数图象的三大基本问题

（1）作图：函数图象是函数关系的直观表达形式，是研究函数的重要工具，是解决很多函数问题的有力武器．作函数图象有两种基本方法：

①描点法：其步骤是：列表、描点、连线

②图象变换法．

作函数图像的一般步骤是：（1）求出函数的定义域；（2）化简函数式；（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点线（如对称轴等）；（4）利用基本函数的图像画出所给函数的图像.

（2）识图：对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．

（3）用图：函数的图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．

二、图像的变换

1、平移变换

f

y+

x

=向平移个单位；以代换

→

=

y

(

f

)

)

(a

x

=

→

=)

)

(向平移个单位；以代换

(

x

x

y+

f

b

y

f

y+

f

=

=向平移个单位

ax

→

y

)

)

(b

(

f

ax

2、翻折问题

f

y=

=：

x

→

(|

|)

y

)

(x

f

f

x

=:可将y＝f（x）的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x y

→

y=

)

|)

(

|

f

(x

轴上方，其余部分不变．

||)(||)(x f y x f y =→=:可将y ＝f (x ),x ≥0的部分作出，再利用偶函数关于y 轴的对称性．

3、对称变换

①y ＝f （－x ）与y ＝f （x ）关于y 轴对称； ②y ＝－f （x ）与y ＝f （x ）关于x 轴对称； ③y ＝－f （－x ）与y ＝f （x ）关于原点对称； ④y ＝f －

1（x ）与y ＝f （x ）关于直线y ＝x 对称；

4、伸缩变换

①y ＝Af （x ）（A ＞0）的图象，可将y ＝f （x ）图象上每一点的纵坐标伸（A ＞1）缩（0＜A ＜1）到原来的A 倍，横坐标不变而得到． ②y ＝f （ax ）（a ＞0）的图象，可将y ＝f （x ）的图象上每一点的横坐标伸（0＜a ＜1）缩（a ＞1）到原来的

a

1

，纵坐标不变而得到． 5、 向量平移：转化为左右上下的平移 三、常见函数图像

第二部分 函数的性质

一、函数的单调性

定义：

定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么

[]1212()()()0x x f x f x -->?

[]1212

()()

0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --

()()0(),f x f x f x a b x x -

定理2：（导数法确定单调区间） 若[]b a x ,∈，那么

()[]b a x f x f ,)(0在?>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在?<'上是减函数.

1. 函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法

2. 复合函数的单调性的判定

对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当

(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数

(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。

3. 由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断

对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ?≠?： (1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时， ①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同， ②2()()()F x f x g x =?、3()()()F x f x g x =-、4()

()(()0)()

f x F x

g x g x =

≠的增减性不确定； (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么： ①1()()()F x f x g x =+的增减性不能确定；

②2()()()F x f x g x =?、3()()()F x f x g x =-、4()

()(()0)()

f x F x

g x g x =

≠为增函数，5()

()(()0)()

g x F x f x f x =

≠为减函数。 4.奇偶函数的单调性

奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。

二、函数的奇偶性

一、奇偶性：对于两个具有奇偶性的函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且

I J ?≠?：

(1)满足定义式子)()(x f x f =-（偶）0)()(=-+x f x f （奇） (2)在原点有定义的奇函数有0)0(=f

(3)当()f x 和()g x 具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么：

①函数1()()()F x f x g x =+、3()()()F x f x g x =-也为奇函数； ②2()()()F x f x g x =?、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠为偶函数；

③两个偶函数之和、差、积、商为偶函数 (4)当()f x 和()g x 具有相异的奇偶性时，那么：

①1()()()F x f x g x =+、3()()()F x f x g x =-的奇偶性不能确定；

②2()()()F x f x g x =?、4()()(()0)()

f x F x

g x g x =≠、5()()(()0)()g x F x f x f x =≠为奇函数 简单地说：奇函数±奇函数=奇函数， 偶函数±偶函数=偶函数， 奇函数×奇函数=偶函数， 偶

函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数.

（5）任意函数)(x f 均可表示成奇函数2)()()(x f x f x g --=与偶函数2)

()()(x f x f x h -+=的和

（6）图形的对称性 关于y 轴对称的函数（偶函数）关于原点()0,0对称的函数（奇函数） （7）若)(x f 是偶函数，则必有[])()(b ax f b ax f +-=+

若)(x f 是奇函数，则必有[])()(b ax f b ax f +--=+ （8）若)(b ax f +为偶函数，则必有)()(b ax f b ax f +-=+

三、函数对称性

1、对称性的概念

①函数轴对称：曲线上任意一点关于轴对称后的点还在曲线上。该轴称为该函数的对称轴。 ②中心对称：曲线上任意一点关于定点对称后的点还在曲线上。该点称为该函数对称中心。

3、函数y =f (x )的图象的对称性： （1）函数轴对称

函数()y f x =的图象关于直线2

a b x +=对称()()f a x f b x ?+=-()()f a b x f x ?+-=

①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=。

②函数()y f x =的图象关于y 轴对称)(x f ?为偶函数)()(x f x f =-?。 ③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ?关于a x =对称

④函数)(x f 是偶函数?)(a x f y +=关于a x -=对称 （2）函数中心对称

函数()y f x =图象关于(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ?=--?b x a f x a f 2)()(=-++

①函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ?=--

②函数()y f x =的图象关于原点对称)(x f ?为奇函数)()(x f x f -=-? ③函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ?关于点()0,a 对称。 ④函数)(x f 是奇函数?b a x f y ++=)(关于),(b a -对称 4、设（x,y ）为原曲线图像上任一点，

如果（x,-y ）也在图像上，则该曲线关于x 轴对称（y ＝－f （x ）与y ＝f （x ）关于x 轴对称） 如果（-x,y ）也在图像上，则该曲线关于y 轴对称（y ＝f （－x ）与y ＝f （x ）关于y 轴对称） 如果（-x,-y ）也在图像上，则该曲线关于原点对称(y ＝－f （－x ）与y ＝f （x ）关于原点对称）

如果（y,x ）也在图像上，则该曲线关于y=x 对称； 如果（-y,-x ）也在图像上，则该曲线关于y=-x 轴对称。

四、函数周期性

一、周期性的定义：对于函数)(x f y =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的

每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 如果非零常数T 是函数()f x 的周期，那么T -、nT （*

n N ∈）也是函数()f x 的周期。

二、函数的周期性的主要结论：

（一）函数周期性的一般规律：

1、如果()()f x a f x b +=+（a b ≠），那么()f x 是周期函数，其中一个周期T a b =-

2、如果()()f x a f x b +=-+（a b ≠），那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-

3、如果()()f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T p =

4、如果1()()f x p f x +=或1()()f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T p =

5、如果1()()21()p f x f x f x ++=-或1()()21()p f x f x f x -+=+，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T p =

（二）函数周期性与对称性的联系：

1、如果定义在R 上的函数()f x 有两条对称轴x a =、x b =对称，那么()f x 是周期函数，其

中一个周期2T a b =-

2、如果函数同时关于两点(),a c 、(),b c （a b ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中

一个周期2T a b =-

3、如果函数()f x 的图像关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，且关于直线x b =（a b ≠）成轴

对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a b =-

（三）函数周期性和奇偶性的联系：

1、如果偶函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周

期2T a =

2、如果奇函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周

期4T a =

3、如果奇函数()f x 关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期

2T a =

五、恒成立和有解问题

（一）恒成立问题

1、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立?在区间D 上函数()y f x =和图象在函数

()y g x = 图象上方

2、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立?在区间D 上函数()y f x =和图象在函数

()y g x = 图象下方；

3、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 【方法】分离参数、变更主元、最值求解、根的分布（主要是二次函数）

（二）有解问题

有解问题的转化：()a f x >有解?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.

（三）存在任意性问题

1、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则

()()x g x f min min ≥

2、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则

()()x g x f max max ≤

3、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则

()()x g x f m i n m a x ≥

4、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则

()()x g x f m a x m i n ≤

5、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，则两个函

数在相应区间上值域交集不为空集