图论模型简介

图论模型简介

一、图及其矩阵表示

1、起源：哥尼斯堡七桥问题：

欧拉为了解决这个问题，建立数学模型：陆地——点，桥——边，得到一个有四个“点”，七条“边”的“图”。问题转化为能否从任一点出发一笔画出七条边再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画判定法则：图是连通的，且每个顶点都与偶数条边相关联（这种图称为欧拉图）。由此可以得出结论：七桥问题无解。

2、基本概念：

图（graph）：由顶点和边（又称线，边的两端必须是顶点）组成的一个结构。

邻接：一条边的两个端点称是邻接的；关联：边与其两端的顶点称是关联的。

无向图（graph）：边无方向的图；有向图（digraph）：边有方向的图。

路(path)：由相邻边组成的序列，其中中间顶点互不相同。

圈(cycle)：首、尾顶点相同的路，即闭路。

连通图（connected graph）：图中任意两顶点间都存在路的图。

树（tree）：无圈连通图

完全图（complete graph）：任意两个顶点之间都有边相连的无向图，记为K n。

竞赛图（tournament）：由完全图给每条边定向而得到的有向图。

二部图（bipartite graph）：图的顶点分成两部分，只有不同部分顶点之间才有边相连。图G的子图H（subgraph）：H是一个图，H的顶点（边）是图G的顶点（边）。

网络（Network）：边上赋了权的有向图。

3、图的矩阵表示

无向图 有向图

0100010

11001011

011000

1

00???????????????? ????

?

?

?

?

????????0110010100000100100000110

4、著名的图论问题

例1 最短路问题（shortest path problem）

出租车司机要从城市甲地到乙地，在纵横交错的路中如何选择一条最短的路线？例2 最小生成树问题（minimum-weight spanning tree problem）

为了给小山村的居民送电，每户立了一根电杆，怎样连接可使连线最短？

例3 中国邮递员问题（chinese postman problem）

一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何为他设计一条最短的投递路线？

例4（二部图的）最优匹配问题（optimum matching）

在赋权二部图中找一个权最大（最小）的匹配。

例5 旅行推销员问题（traveling salesman problem－TSP）

一名推销员准备前往若干城市推销产品。如何为他设计一条最短的旅行路线？例6 网络流问题（network flow problem）

如何在一个有发点和收点的网络中确定具有最大容量的流。

二、求最短路的迪克斯特拉（Dijkstra ）算法

基本思想是按距0u 由近到远的顺序，依次确定0u 到G 的各顶点的最短路和距离。为避免重复并保留每一步的计算信息，采用标号算法。 Dijkstra 算法如下：

STEP1：1()0l u =，1v u ?≠，∞=)(v l ，1{}S u =，1i =;

STEP2：v S ?∈（\S V S =），)(v l <－ min {(),()()}i i l v l u w u v +, 1i i =+,

计算min{()}v S

l v ∈，记达到这个最小值的一个顶点为i u ，令{}i S S u = ; STEP3：若||i V =，停止；否则，转STEP2。

例 求右图中从顶点u1到其它各

点的最短路及相应的路径.

求解过程列表如下：

例 1 某公司在六个城市621,,,c c c 中有分公司，从i c 到j c 的直接航程票价记在下述矩阵的

),(j i 位置上。（∞表示无直接航路），请帮助该公司设计一张城市1c 到其它城市间的票价最便宜的路

线图。

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?????????∞∞∞∞∞∞

055252510550102025251001020402010015252015050102540500

解 第一个城市到其它城市的最短路径的Matlab 程序如下： clear; clc; M=10000;

a(1,:)=[0,50,M,40,25,10];

a(2,:)=[zeros(1,2),15,20,M,25];

a(3,:)=[zeros(1,3),10,20,M];

a(4,:)=[zeros(1,4),10,25];

a(5,:)=[zeros(1,5),55];

a(6,:)=zeros(1,6);

a=a+a';

pb(1:length(a))=0;pb(1)=1; % 永久标号点

index1=1; % 标记确定为永久标记的次序index2=ones(1,length(a));%标记最短路上各点的先驱顶点d(1:length(a))=M;d(1)=0; % 标记最短距离

temp=1; % 标记最近一个永久标号点while sum(pb)

tb=find(pb==0); % 临时标号点

d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb)); % 更新距离

tmpb=find(d(tb)==min(d(tb))); % 确定新最小距离点

temp=tb(tmpb(1)); % 记录新永久标号点

pb(temp)=1; % 增加新永久标号点

index1=[index1,temp]; % 记录新永久标号点

index=index1(find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1))); % 确定前驱顶点if length(index)>=2 % 前驱顶点多于1个时取第一个

index=index(1);

end

index2(temp)=index; % 记录前驱顶点

end

d, index1, index2

运行结果

d = 0 35 45 35 25 10 index1 = 1 6 5 2 4 3 index2 = 1 6 5 6 1 1 动态规划方法

基本方程： )}())(,(min{)(1++=k k k k k k x L x u x D x L

LINGO 程序

model : ! 动态规划方法;

SETS : !CITIES 表示由1~9组成的集合，是一个基本集合; CITIES /1..9/: L; !属性L(i)表示城市i 到城市1的最优行驶路线的路长; ROADS(CITIES, CITIES)/ ! ROADS 表示网络中的弧，是由CITIES 派生的集合; 1,2 1,3 1,4 !并非所有城市间都有道路直接连接，故将弧具体列出; 2,5 2,6 3,5 3,6 4,5 4,6 5,7 5,8 6,7 6,8

7,9 8,9 /: D; !属性 D(i,j) 是城市i到j的直接距离（已知）; ENDSETS

DATA:

D = 6 3 3 ! D赋值的顺序对应于ROADS中的弧的顺序;

6 5 8 6

7 4

6 7 8 9

5 6;

ENDDATA

min=L(1);

L(9) = 0; !边界条件;

@FOR( CITIES(i)| i #LT# 9: !集合循环语句, #LT#表示逻辑关系"小于";

L(i) = @MIN( ROADS(i,j)|i #LT# j: D(i,j) + L(j)) ); !这就是动态规划基本方程; end

（0－1）规划解法

LINGO程序

model: ! (0,1)--规划方法;

SETS:

CITIES /1..9/;

ROADS(CITIES, CITIES)|&1 #LT# &2: D,x; ENDSETS

DATA:

D = 6 3 3 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 6 5 1000 1000 1000

1000 8 6 1000 1000 1000

7 4 1000 1000 1000

1000 6 7 1000

8 9 1000

1000 5

6;

ENDDATA

min=@SUM(ROADS:D*x);

@SUM(CITIES(j)|j#GT#1:x(1,j))=1;

@SUM(CITIES(i)|i#LT#9:x(i,9))=1;

@FOR(CITIES(i)|i#GT#1 #and# i#LT#9:@SUM(CITIES(j)|j#GT#i:x(i,j))=@SUM(CITIES(j)|j#LT#i:x(j,i)));

@FOR(ROADS:@BIN(x));

end

三、求最小生成树的prim算法

设置两个集合P 和Q ，其中P 用于存放G 的最小生成树的顶点，Q 存放G 的最小生成

树的边。令P 的初值为}{1v P =（假设构造最小生成树时，从顶点1v 出发），

Q 的初值为Φ=Q 。prim 算法的思想是，从所有，(,)P V P -的边中，选取具有最小权值的边pv ，将顶点v 加入P 中，将边pv 加入Q 中，如此不断重复，直到V P =时，最小生成树构造完毕。 prim 算法如下：

STEP1：}{1v P =，Φ=Q ； STEP2：while V P =~

},,min(P V v P p w pv pv -∈∈= }{v P P +=，}{pv Q Q += end

例2 用prim 算法求右图的最小生成树。

解 用n

r e s u l t ?3的第一、二、三行分别表示生成树边的起点、终点、权集合。

Matlab程序如下：

clc;clear;

M=1000;

a(1,2)=50; a(1,3)=60;

a(2,4)=65; a(2,5)=40;

a(3,4)=52;a(3,7)=45;

a(4,5)=50; a(4,6)=30;a(4,7)=42;

a(5,6)=70;

a=[a;zeros(2,7)];

a=a+a';a(find(a==0))=M;

result=[];p=1; % 设置生成树的起始顶点tb=2:length(a); % 设置生成树以外顶点while length(result)~=length(a)-1 % 边数不足顶点数-1

temp=a(p,tb);temp=temp(:); % 取出与p关联的所有边

d=min(temp); % 取上述边中的最小边

[jb,kb]=find(a(p,tb)==d); % 寻找最小边的两个端点(可能不止一个) j=p(jb(1));k=tb(kb(1)); % 确定最小边的两个端点

result=[result,[j;k;d]]; % 记录最小生成树的新边p=[p,k]; % 扩展生成树的顶点

tb(find(tb==k))=[]; % 缩减生成树以外顶点

end

result

weight=sum(result(3,:)) % 计算最小生成树的权

运行结果

result = 1 2 5 4 4 7

2 5 4 6 7 3

50 40 50 30 42 45

weight = 257

四、求最大匹配的匈牙利算法

0、从任意一个匹配M开始；

1、若M饱和X的每个顶点，结束；否则，设u是X中的M非饱和顶点，置S={u},T=Φ;

2、若N(S)=T, 停止；否则，设y∈N(S) \ T;

3、若y是M饱和的，设yz∈M，S←S∪{z}, T←T∪{y}, 转2；否则，设P是M可扩(u,y)

路, M←ME(P), 转1。

MATLAB程序

function match(e)

global n flag1 s t v m y z

n=max(e(:,1));

v=1:n;m=[];e1=e;

while 1-isempty(e1)

m=[m;e1(1,:)];

k1=find(e1(:,1)==e1(1,1)); k2=find(e1(:,2)==e1(1,2)); k=union(k1,k2); e1(k,:)=[]; end

% m

x=m(:,1)';

while length(x)

flag1=2;flag2=0;

u0=setdiff(v,x);

u=u0(1);s=[u];t=[];

z=u;xy=[];yx=[];

while 1

ns=neib(e,s); y0=setdiff(ns,t);

if isempty(y0)

flag1=0;break

end

y=y0(1);

k1=find(e(:,2)==y); k2=e(k1,1)';

k3=intersect(s,k2); yx(y)=k3(1);

while 1

z=m(m(:,2)==y);

if isempty(z) flag2=1;break

else

xy(z)=y;

s=[s,z];

t=[t,y];

break

end

end

if flag2==1

break