江苏高考数学真题及答案精校版

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2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学

I

参考公式：

圆柱的体积公式：sh V =圆柱，其中s 为圆柱的表面积，h 为高. 圆锥的体积公式：sh V 3

1

=

圆锥，其中s 为圆锥的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．

． 1. 已知集合{

}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为 ▲ ． 2. 已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6，则这组数据的平均数为 ▲ ．

3. 设复数z 满足i z 432

+=（i 是虚数单位），则z 的模为 ▲ ． 4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．

5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄

球. 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ ． 6. 已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若ma +nb =)8,9(-(R n m ∈,), n m -的值为 ▲ ． 7. 不等式42

2<-x

x 的解集为 ▲ ．

8. 已知2tan -=α，7

1

)tan(=

+βα，则βtan 的值为 ▲ ．

9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ▲ ．

10. 在平面直角坐标系x O y 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相

切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ▲ ．

11. 设数列{}n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n (*

N n ∈), 则数列?

??

??

?n a 1前10项的和为 ▲ ．

12. 在平面直角坐标系x O y 中，P 为双曲线12

2

=-y x 右支上的一个动点，若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ▲ ．

13. 已知函数x x f ln )(=，??

?

??>--≤<=,1,24,10,0)(2x x x x g ，则方程1

)()(=+x g x f 实

根的个数为 ▲ ．

14. 设向量a k =(6cos 6sin ,6cos π

ππk k k +)，(12,,2,1,0 =k )，则∑=+?11

1)(k k k a a 的值

为

▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

在ABC ?中，已知

60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值. 16．（本题满分14分）

如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC ⊥，

1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BC C B =11 .

A

B C

D E

A 1

B 1

C 1

求证：（1）C C AA DE 11//平面； （2）11AB BC ⊥.

17.（本小题满分14分）

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建

一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，

，山区边 界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ， 的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，

的距离分别为20千米和千米，以12l l ， 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2a

y x b

=+ （其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；

（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .

①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短求出最短长度.

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b

+=>>的离心率为2，

且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；

（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于 点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.

M

N

l 2

l 1

x

y O

C

P

l

B

A

O

x

y

l

P C

19.（本小题满分16分）

已知函数),()(2

3

R b a b ax x x f ∈++=. （1）试讨论)(x f 的单调性；

（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a

的取值范围恰好是),2

3()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值.

20.（本小题满分16分）

设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2a a a a

依次成等比数列；

（2）是否存在1,a d ，使得234

1234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；

（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得k

n k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说

明理由.

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数学II

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．

，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.（选修4—1：几何证明选讲）

如图，在ABC ?中，AC AB =，ABC ?的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D

求证：

ABD ?∽AEB ?

A

（第21——A 题）

B ．（选修4—2：矩阵与变换）

已知R y x ∈,，向量?

??

?

??-=11α是矩阵?????

?=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值. C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）

已知圆C

的极坐标方程为2sin()404

π

ρθ+--=，求圆C 的半径.

D.（选修4—5：不等式选讲）

解不等式|23|3x x ++≥

【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题．．．．卡．的指定区域内．．．．．．. 22．（本小题满分10分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯 形，2

ABC BAD π

∠=∠=

,2,1PA AD AB BC ====

（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；

（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长

23．（本小题满分10分）

已知集合{

}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈= ，{

,),(a b b a b a S n 整除或整除= }n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.

（1）写出(6)f 的值；

P

A B

C

D

Q

（2）当6n 时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.