高二数学椭圆的概念教案及反思

高二数学椭圆的概念教案及反思

教学目标：

1、通过历史的回溯和实例的展示，了解圆锥曲线的背景和应用，感受其中蕴含的数学文化；

2、经历从具体情境中抽象椭圆的本质特征以及用数量关系形式重塑椭圆定义的过程，掌握椭圆的概念；

根据椭圆的定义建立焦点在轴上的椭圆标准方程，进一步巩固求曲线方程的一般方法和步骤，体验用代数方法研究几何问题的思想方法。

教学重点：掌握椭圆的概念。

教学难点：从具体情境中抽象椭圆的本质特征。

教学过程：

教学过程

设计意图

一、视频引入

1、播放视频：播放经剪辑的嫦娥一号探月的概述，展现嫦娥一号优美的椭圆轨道，引入课题。

2、提出问题

卫星运行的轨迹是椭圆。在生活中还有哪些事物是椭圆？操场的一条跑道线是平面图形，它是不是椭圆呢？什么是数学意义上的椭圆？椭圆有什么性质？椭圆又有哪些应用呢？让我们带着这些问题开始今天的新课——圆锥曲线起始课。

通过振奋人心的音乐和视频剪辑了解圆锥曲线的航天应用并同时引入新课。

通过否定学生心中常见的对椭圆的错误理解，引起认知冲突，激发学生的学习兴趣和求知欲，并引出本节课的学习内容。

二、椭圆的起源和发展

1、介绍椭圆的起源；

2、介绍椭圆的研究成果

介绍解析几何的起

提出问题：能否通过解析几何的方法研究椭圆这些圆锥曲线呢？能否用数量关系表示椭

圆上的点的运动规律呢？

通过介绍圆锥曲线的历史，使学生了解圆锥曲线的最初定义和历史成果，进一步感受几何图形抽象于生活的特征，欣赏古希腊数学家的信念与智慧。

通过对解析几何的简要介绍，使学生了解解析几何诞生的历史必然性、解析几何的核心思想以及它在数学学科中的地位和作用，了解重塑椭圆定义的时代背景和学科发展背景，并创设悬念引出椭圆的性质。

三、椭圆性质的探索

1、考考空间想象力

第一组试题

我们知道，平行直线之间距离处处相等。那么，平行平面之间的距离有什么性质？

我们知道，过圆外一点，引圆的两条切线，切线长相等。那么，过球外一点，引球的两条切线，切线长有什么数量关系？

第二组试题

在圆柱内放置一个与圆柱底面等半径的小球，小球与圆柱侧面的公共点将形成什么曲线？

同样地，在下方也放置一个相同的小球，它与圆柱侧面的公共点将也形成圆，我们把这两个圆记作圆和圆。请问，圆与圆所在平面有怎样的位置关系？

如图，在圆柱的最右侧侧面上取圆与圆之间的线段，它与圆、所在平面有怎样的位置关系？与两小球又有怎样的位置关系？

如果将线段保持铅垂方向，沿着圆柱的侧面转动，与圆、所在平面是否依然垂直？与两小球是否依然相切？

旋转过程中，线段的长度变不变？为什么？

第三组试题

这是平面斜截圆柱得到的交线，它是否椭圆。现在，在圆柱内放置一个刚才那样的小球，且与椭圆所在平面相切，请问共有几个切点？

我们记切点为，在椭圆上任取一点，连结，请问与上方小球有什么位置关系？

同理，在椭圆所在平面另一侧，再放置一个刚才那样的小球，且与椭圆所在平面相切，将切点记作，则与下方小球相切。请问，当点在椭圆上运动时，，分别与上下两个小球相切不相切？

2、发现椭圆的性质

椭圆的性质：椭圆上的任意一点到两个定点的距离之和为常数。其中两个定点叫做焦点，

焦点之间的距离称为焦距。

通过圆柱背景下的“旦德林球法”探索椭圆的性质。由于学生未学习立体几何，直接归纳椭圆的性质有一定的困难，因此通过“考考空间想象力”的环节为椭圆性质的发现做好自然的引导和铺垫，并通过自制教具的展示让部分缺乏空间想象力的学生也能较好地理解这一过程，使学生从问题情境中成功归纳出椭圆的性质，为椭圆定义的重塑做好准备。

四、椭圆定义的重塑

1、活动：画椭圆

根据椭圆的性质，利用细绳和笔，同桌两人共同配合画一个椭圆。

思考：若要画出椭圆，细绳长度与两个连结点之间的距离应具有怎样的大小关系？

2、补充问题：

如果细绳长度等于两个连结点之间的距离，即，动点的轨迹是什么图形？

我们还知道，椭圆是平面截圆柱或圆锥得到的交线，是一个平面图形，因此还需要补充什么条件？

通过创设画椭圆的活动，使学生巩固椭圆的本质特征，为学生将性质修改为定义提供更直观的体验，为完善椭圆定义以及推导椭圆标准方程做好准备。同时，进一步培养学生的团结协作和动手操作能力，并激发学生的学习兴趣。

五、椭圆的标准方程

1、回顾椭圆的定义

2、推导椭圆的标准方程

通过学生亲身经历建立椭圆的标准方程的过程，巩固椭圆的定义、求曲线方程的方法，进一步体验解析几何“用代数方法研究几何问题”的思想方法，并为后续课程中椭圆的性质研究做必要的基础工作。

六、课堂小结

1、椭圆与圆锥曲线

2、椭圆的定义

焦点在轴上的椭圆的标准方程

椭圆的应用

借回顾椭圆的古希腊定义，引出其他圆锥曲线，为本章节的后续学习作简单介绍，激发学生的学习兴趣与动机；通过填空式小结椭圆的定义和标准方程，进一步巩固本节课的重点；通过介绍椭圆在生活中的应用，激发学生学习科学知识的热情和动力。

七、作业布置

思考：

椭圆的标准方程中，有怎样的几何意义？

对称中心在原点且焦点在轴上的椭圆标准方程是什么？

如果是“平面截圆锥”所得的椭圆，能否通过旦德林球的方法说明椭圆上任意一点到两个定点的距离之和为常数？

通过三个与本节课相关的延伸问题，为学生创设课后自主探究的平台，并为后续课程中椭圆性质的研究做好铺垫。

教学反思

本节内容选自上海市二期课改数学教材高中二年级第二学期第12章《圆锥曲线》，《圆锥曲线》章节内容包括圆、椭圆、双曲线、抛物线，对学生数形结合能力要求高。椭圆是学生在高中阶段接触到的第一个新的圆锥曲线图形。《上海市中小学数学课程标准》指出：“以生活中的实例引出椭圆的概念，再抽象为动点的轨迹。根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程，重点讨论焦点在轴上的标准方程。”《全国高中数学课程标准》对本节内容的要求是：“了解圆锥曲线的实际背景；了解圆锥曲线在刻画现实世界和实际问题中的作用和应用；经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程；体会数形结合的思想；掌握椭圆的定义、标准方程。”因此本人将本节课的教学不仅定位于椭圆的第一课时，而更是圆锥曲线的起始课，为学生后续的学习打下基础。

另外，椭圆其实起源于立体几何，而教材中的数量关系角度的定义则是解析几何诞生之后，人们为了用代数方程研究圆锥曲线，根据椭圆的性质对椭圆定义进行的重塑。而立体几何是高三教材内容，高二学生尚未学习。因此，如果设计空间图形为背景的教学过程，需要作较细致的铺垫辅助学生理解，学生思考的过程应以观察、发现为主，而不是严格的证明。

鉴于课标对本章节内容的教学要求以及高二第二学期教科书，本人将本节课的教学内容主要设定为：了解圆锥曲线的历史、背景和应用，从生活实例或具体情境出发形成椭圆的概念并建立椭圆的标准方程。

本校高二学生接触解析几何时日不多，手头没有高二第二学期教科书及配套练习，日常教学主要依靠教师设计的学案及课时作业。本班级学生已经学习了直线的方程、曲线方程的概念和求法、圆的方程，可以判断，学生具备推导椭圆标准方程的基础。因此在教学时，一方面可有意在数学史部分渗透一些解析几何的思想方法；另一方面，在建立椭圆标准方程之前应适当回顾求曲线方程的一般步骤，并给学生搭建一些平台，便于学生推导，以免因推导

过程的漫长乏味影响学生的学习兴趣。

为突出教学重点，提升学生的学习兴趣，培养学生的数学素养，本人考虑将教材第一课时“椭圆的标准方程”的教学内容稍作调整，将焦点在轴上的标准方程以及椭圆标准方程的简单应用移至后续课时完成。本节课将数学史融入数学教学，同时借助信息技术、实物模型，通过丰富的实例，使学生了解圆锥曲线的背景和应用，经历从具体情境中抽象椭圆本质特征的过程，建立椭圆的概念、标准方程。

根据学生的知识基础，在教学设计时，在圆锥曲线的20XX多年的发展史中选取学生能够理解的且有一定教学价值的部分按历史顺序“去支强干”进行重组，将这些丰富的数学文化以符合学生认知基础和认知规律的教学形态呈现给学生。本人选择以历史发展顺序呈现，学生需要分别经历两个探索过程：

发现椭圆的本质特征；重塑椭圆的定义。

在第一个探索过程中，创设一个适合学生抽象椭圆本质特征的情境作为教学载体。历史上最简洁的证明是比利时数学家旦德林的“旦德林双球构造法”，但考虑学生没有学习过立体几何，决定将“旦德林球法”的圆锥背景简化为圆柱背景作为载体，并且辅以教具展示和细致的铺垫便于学生发现椭圆的这一性质。

在第二个探索过程中，教师创设了学生动手画椭圆的活动情境。教师在简单提示了椭圆规的使用方法后，由学生体验画椭圆的过程。不仅巩固了椭圆的本质特征，还为学生将性质修改为定义提供更直观的体验，同时还能培养学生的团结协作和动手操作能力，并激发学生的学习兴趣。