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初一数学绝对值难题解析

绝对值是初一数学的一个重要知识点，它的概念本身不难，但却经常拿来出一些难题，考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。

绝对值有两个意义：

（1）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。

即|a| ＝ a（当 a≥0） , |a|＝－a（当a＜0）

（2）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。

灵活应用绝对值的基本性质：

（1）|a| ≥0；（ 2）|ab| ＝|a| ·|b| ；（ 3） |a/b|＝|a|/|b|(b≠0)

（4） |a| －|b| ≤ |a ＋b| ≤|a| ＋ |b| ；（ 5） |a| －|b| ≤ |a －b| ≤|a| ＋ |b| ；

思考： |a ＋b| ＝ |a| ＋ |b| ，在什么条件下成立？

|a － b| ＝ |a| － |b| ，在什么条件下成立？

常用解题方法：

（1）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）

（2）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。

（3）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。

例题解析：

第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用

1、在数轴上表示a、 b 两个数的点如图所示，并且已知表示 c 的点在原点左侧，请化简下

列式子：

（1） |a － b| －|c － b|

解：∵ a＜ 0， b＞0 ∴a－ b＜0

c＜ 0， b＞0 ∴c－ b＜ 0

故，原式＝（ b－ a）－ (b － c)＝c－a

（2） |a － c| －|a ＋ c|

解：∵ a＜ 0， c＜0 ∴a－ c 要分类讨论， a＋ c＜ 0

当a－c≥0时， a≥c，原式＝（ a－ c）＋ (a ＋ c) ＝ 2a

当a－ c＜ 0 时， a＜ c，原式＝（ c－ a）＋ (a ＋ c) ＝ 2c

2、设x＜－1，化简2－|2－|x－2||。

解：∵ x＜－ 1 ∴x－ 2＜ 0

原式＝ 2－ |2 －（ 2－x） | ＝ 2－ |x| ＝ 2＋ x

3、设 3＜ a＜ 4，化简 |a － 3| ＋ |a － 6|。

解：∵ 3＜ a＜4 ∴a－ 3＞ 0，a－ 6＜ 0

原式＝（ a－ 3）－ (a － 6)＝3

4、已知|a－b|＝a＋b，则以下说法：（1） a 一定不是负数；（2）b 可能是负数；哪个是正确的？

答：当 a－b≥0时， a≥b， |a －b| ＝ a－ b，由已知 |a － b| ＝ a＋ b，得 a－ b＝a＋ b，

解得 b＝ 0，这时 a≥0；

当a－ b＜ 0 时， a＜ b， |a － b| ＝b－ a，由已知 |a － b| ＝ a＋ b，得 b－ a＝ a＋

b，解得 a＝ 0，这时 b＞0；

综上所述，（ 1）是正确的。

第二类：考察对绝对值基本性质的运用

5、已知 2011|x － 1| ＋ 2012|y ＋ 1| ＝ 0，求 x＋y＋ 2012的值？

解：∵ |x －1| ≥0， |y ＋1| ≥0∴2011|x － 1| ＋ 2012|y＋1| ≥0

又∵已知 2011|x － 1| ＋ 2012|y＋ 1| ＝ 0，∴ |x － 1| ＝ 0, |y＋ 1| ＝ 0

∴x＝ 1， y＝－ 1，原式＝ 1－1＋ 2012 ＝2012

6、设 a、 b 同时满足：

(1)|a－2b|＋|b－1|＝b－1

(2) |a－4|＝0

那么 ab 等于多少？

解：∵ |a －2b| ≥0， |b －1| ≥0∴|a－2b|＋|b－1|＝b－1≥0

∴（ 1）式＝ |a － 2b| ＋ b－ 1＝ b－ 1 ，得 |a － 2b| ＝ 0，即 a＝ 2b

∵|a － 4| ＝ 0∴a－4＝0，a＝4

∵a ＝ 2b∴ b＝2，ab＝4×2＝8

7、设 a、 b、 c 为非零有理数，且|a| ＋ a＝ 0， |ab| ＝ ab，|c|

－ c＝ 0,

请化简： |b| － |a ＋ b| － |c －b| ＋ |a －c|。

解：∵ |a| ＋ a＝ 0，a≠0 ∴a＜ 0

∵|ab| ＝ab≥0 ，b≠0， a＜0∴b＜0，a＋b＜0

∵|c| － c＝0，c≠0 ∴c＞ 0 ， c－ b＞0， a－ c＜0

∴原式＝ b＋（ a＋ b）－（ c－b）＋ c－a＝ b

8、满足 |a － b| ＋ ab＝ 1 的非负整数（a， b）共有几对？

解：∵ a， b 都是非负整数∴|a － b| 也是非负整数， ab 也是非负整数∴要满足

|a － b| ＋ ab＝ 1，必须 |a － b| ＝ 1， ab＝0 或者 |a － b| ＝ 0，ab＝ 1

分类讨论：

当|a － b| ＝1， ab＝0 时， a＝0， b＝ 1 或者 a ＝1， b＝ 0 有两对（ a， b）的取值；

当|a － b| ＝0， ab＝1 时， a＝1， b＝ 1 有一对（ a， b）的取值；

综上所述，（ a， b）共有 3 对取值满足题意。

9、已知 a、 b、c、 d 是有理数， |a －b| ≤9， |c －d| ≤16，且 |a － b－ c＋ d| ＝ 25，

求|b － a| － |d －c| 的？

分析：此咋一看无从下手，但是如果把a－ b 和 c－ d 分看作一个整体，并且运用基本性： |x －y| ≤|x| ＋ |y| 即可快速解出。

解： x＝a－ b， y＝ c－ d， |a － b－c＋ d| ＝ |x- y| ≤|x| ＋ |y|

∵|x| ≤9，|y| ≤16 ∴|x| ＋|y| ≤25 ,|x- y| ≤|x| ＋|y| ≤25

∵已知 |x-y|＝25∴|x|＝9，|y|＝16

∴|b － a| －|d － c| ＝| － x| －| － y| ＝ |x| － |y| ＝9－ 16＝－ 7

第三：多个化，运用零点分段法，分

以上种分化方法就叫做零点分段法，其步是：求零点、分段、区段内化、合。

根据以上材料解决下列：

（1）化：2|x－2|－|x＋4|

（2）求|x－1|－4|x＋1|的最大。

解：（ 1）令 x－ 2＝0， x＋ 4＝ 0，分求得零点：x＝ 2， x＝ -4 ，分区段：

当x≤ -4 ，原式＝－ 2（ x－2）＋（ x＋ 4）＝－ x＋ 8

当-4 ＜x≤2 ，原式＝－ 2（x－ 2）－（ x＋ 4）＝－ 3x

当x＞ 2 ，原式＝ 2（ x－ 2）－（ x＋4）＝ x－8

上，原式＝?（略)

（2）使用“零点分段法”将代数式化，然后在各个取范内求出最大，比

，从中出最大。

令 x－ 1＝ 0， x＋ 1＝0，分求得零点：x＝ 1，x＝ -1 ，分区段：

当 x≤ -1 ，原式＝－（x－1）＋ 4（x＋ 1）＝ 3x＋ 5 ，当 x=-1 ，取到最大等于再加以2；

当-1 ＜x≤1 ，原式＝－（ x－ 1）－ 4（ x＋ 1）＝－ 5x －3，此无最大；

当x＞ 1 ，原式＝（ x－ 1）－ 4（ x＋1）＝－ 3x＋ 3，此无最大。上，当 x=-1 ，原式可以取到最大等于 2。

11、若 2x＋ |4 －5x| ＋ |1 － 3x| ＋ 4 的恒常数，此常数的多少？

解：我知道，互相反数的两个数，它的相等，利用条性，可以把内

x 的的符号由号都成正号，以便于区段内判断正关系。即原式

＝ 2x＋ |5x － 4| ＋ |3x －1| ＋ 4

令5x－ 4＝0， 3x － 1＝ 0，分求得零点： x＝4/5 , x ＝1/3 ，分区段：

当 x≤1/3 ，原式＝ 2x－（ 5x－ 4）－（ 3x－ 1）＋ 4＝－ 6x＋ 9，此不是恒；

当 1/3 ＜x≤4/5 时，原式＝ 2x－（ 5x－ 4）＋（ 3x－ 1）＋ 4＝ 7，此时恒为常数7；当 x＞ 4/5时，原式＝ 2x＋（ 5x－ 4）＋（ 3x－ 1）＋ 4＝ 10x－ 1，此时也不是恒值。综上所述，若原式恒为常数，则此常数等于7 。

12、若 |a|＝ a＋ 1，|x| ＝ 2ax，且 |x ＋ 1| ＋ |x － 5| ＋ 2|x － m|的最小值是 7，则 m等于多少？

解：∵当 a≥0时， |a| ＝ a＝a＋ 1, 得到 0＝ 1 矛盾∴a＜ 0， |a| ＝－ a＝ a＋ 1，解得 a＝－1/2 。

∵|x| ＝ 2ax＝－ x，即 x 的绝对值等于它的相反数∴x≤0

令 x＋ 1＝ 0， x－ 5＝0， x－ m＝ 0，分别求得零点值：x＝－ 1，x＝ 5， x＝ m

∵x≤0 ∴要对 m进行分类讨论，以确定分段区间：

（1）若 m≥0，则 x 取值范围分成x≤－ 1 和－ 1＜x≤0

当x≤－ 1，原式＝－（ x＋ 1）－（ x－ 5）－ 2（ x－ m）＝－ 4x ＋ 4＋ 2m， x ＝－ 1 时取到

最小值 8＋ 2m

当－ 1＜x≤0，原式＝（x＋ 1）－（ x－ 5）－ 2（ x－ m）＝－ 2x＋ 6＋2m， x ＝0 时取到最小

值6＋ 2m

所以当 m≥0时，最小值是6＋2m，令 6＋ 2m＝ 7，得 m＝，符合题意

（2）若－1≤m＜0，则x取值范围分成x≤－ 1 和－ 1＜x≤m和 m＜x≤0

当x≤－ 1，原式＝－（ x＋ 1）－（ x－ 5）－ 2（ x－ m）＝－ 4x ＋ 4＋ 2m， x ＝－ 1 时取到

最小值 8＋ 2m, 因为－ 1≤m＜ 0，所以最小值≥6

当－ 1＜x≤m，原式＝（x＋ 1）－（ x－ 5）－ 2（ x－ m）＝－ 2x＋ 6＋2m， x ＝m时取到最小

值6

所以当－ 1≤m＜ 0 时，最小值是6，和题意不符。

（3）若m＜－1，则x取值范围分成x≤m和 m＜x≤－ 1 和－ 1＜x≤0

当 x≤m，原式＝－（ x＋ 1）－（ x－ 5）－ 2（x－ m）＝－ 4x＋4＋ 2m， x ＝ m时取到最小值 4 －2m

当 m＜x≤－ 1，原式＝－（ x＋ 1）－（ x－ 5）＋ 2（ x－ m）＝ 4－ 2m，这时为恒值 4－ 2m

当－ 1＜x≤0，原式＝（ x＋ 1）－（ x－ 5）＋ 2（ x－ m）＝ 2x－ 2m＋ 6，无最小值所以当

m＜－ 1 时，最小值是 4－ 2m，令 4－ 2m ＝ 7，得 m＝－，符合题意

综上所述， m＝或－。

第四类：运用绝对值的几何意义解题

1、 x 的绝对值的几何意义是在数轴上表示x 的点到原点的距离，

即|x|=|x －0|

|x － 1| 的几何意义是在数轴上表示x 的点到表示 1的点的距离，

|x ＋ 2| 的几何意义是在数轴上表示x 的点到表示－ 2 的点的距离，

|a － b| 的几何意义是在数轴上表示 a 的点到表示 b的点的距离。

2、设 A 和 B 是数轴上的两个点，X 是数轴上一个动点，我们研究下，当X 在什么位置时，X 到A 点和 B 点的距离之和最小？很显然，当 X 点在 A 点和 B 点之间时， X 点到两个点的距离之和最小，最小值即为 A 点到 B 点的距离。当再增加一个 C 点时，如何求动点 X 到三个点的距离之和的最小值呢。经过研究发现，当 X 点在中间的点即 C点时，它到三个点的距离之和最小，最小值

也是 A 点到 B 点的距离。继续研究下去，我们可以得到结论：如果有奇数个点，当动点处在最中间那个点的位置时，它到所有点的距离之和最小。如果有偶数个点，当动点处在最中间的两个点之间时，它到所有点的距离之和最小。用一句话来记忆，就是奇中偶范。即奇数个点时，取最小值是在最中间的点。偶数个点时，取最小值是在最中间的两个点之间的范围内都可以。