两角和差的三角函数(教案)
两角和与差的正弦、余弦、和正切公式教案(一)
教学目标
? 知识与技能：理解利用向量推导两角和差的三角函数公式的过程，进一步体会向量方法的作用，能运用公式进行简单的恒等变换；
? 过程与方法：通过适当强度的课前学生自学，课堂上学生讲解与教师辅助点拨相结合，逐步培养学生自学，敢于展示、认真聆听、积极交流的能力；
? 情感态度与价值观：自主展示实现自我价值，合作学习培养团队合作。 一．课前自学 1．问题提出：
利用熟悉的角的三角函数值验证cos()αβ-是否等于cos cos αβ-，其他三个
，
，
的情况又如何?
设计意图：通过对简单的易于进入的问题的探讨，在学生心中生成问题，激发求知欲，为课程的展开提供主观动力。
2. 公式推导：
如图1，在以坐标原点为圆心的单位圆O 中，已知角
与角的终边为与单位圆的交点分别为A,B,
则____________
根据三角函数的定义：若点A 的坐标为,点B 的坐标为 则
；
则点A 的坐标可以用的三角函数表示为（ ， ） 点B 的坐标可以用的三角函数表示为（ ， ）
则
的坐标（_________________）
,
的坐标（_________________）
_________________________________OA OB ?=
向量夹角
，
的夹角为
cos()cos ,OA OB αβ-==（ ）
（ ）
=______________________________________
____________________________________________(提示：
OA 与OB 的模为？)
=_________________________________
提醒学生思考：如果角α
β、改变结果是否会发生改变，进行推到过程的严谨性探究。
设计意图：公式推导部分，将证明过程进行知识模块化拆分、设计渐进的填空形式问题、学生在逐步解决一个个小问题的同时逐步完成证明过程，这样做使证明过程从教师讲解变为学生课前自学成为可能。相关知识的看书提醒让基础薄弱的同学也能跟上脚步，提升学习信心。教师重点指导学生体会向量方法的作用、证明的严谨性等，课堂上学生自主讲解与教师点拨相结合，注重知识技能的同时培养学生敢于展示，活跃交流的能力。
?例题与练习
1.cos15cos(4530)
=-=____________________________________________________________ ; 同学！除了15你还能求哪些角的余弦值？举两个看看！
_____________________________________________________________________________________
2. 计算=( )
A．B．C．D．
真懂了吗？自己出个类似的题吧！
_____________________________________________________________________________________
设计意图：简单的小问题，方便学生自查能否初步使用公式解决一些问题，为课堂提升奠定基础。二．课堂共学
例题3.已知
45
sin,(,),cos,
5213
π
ααπββ
=∈=-是第三象限的角，求
解答题！你的格式在哪里?
课后巩固：课本
127
P2、3、4
自己来出题吧！
______________________________________________________________________________________
变式4.已知
54
cos(),cos,
135
αββαβ
+==、均为锐角，求。
还是格式！
课后巩固：课本
137
P 4
变式5.已知
312
,cos(),
2413
ππ
αβαβ
<<<-=
3
sin()
5
αβ
+=-，求cos2α的值。
课后巩固:金典P77 达标练习
本节结束了，公式你记住了吗？不看书，自己写写看！
设计意图:课堂上，例题与练习采取学生展，教师评，点评注意公式的记忆、象限、格式等，同时注意学习方法的指导,变式部分视学生课堂的参与情况选择本节或交给学生课后思考,并布置轮到的任务小组重点解决相应问题（方式不限：小组合作、查阅资料、请教老师等），并与下节课上面向全班展示讲解。
教学后记：
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三．下节预览
请尝试推导正弦两角和差公式
=____________________________________________________________________
__________________________________________________________
课本P131 练习1、2、3
两角和与差的三角函数求值 高中数学教案
两角和与差的三角函数求值微课设计 一、教材分析 三角函数的求值主要有两种类型，即给值求值，给值求角. (1)正确地理解、选用公式，把非特殊角的三角函数值化为特殊角的三角函数值; (2)找出已知条件与所求结论之间的联系，一般可以适当变换已知代数式，从而达到解题的目的。 二、教学目标 知识与技能：探究已知与未知的内在联系，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力。 过程与方法：通过两角和与差的三角函数公式的运用，会进行简单的求值、化简，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题的能力。 情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质。 三、学情分析 (1)对公式记忆不准确而使公式应用错误； (2)公式不能灵活应用和变形应用； (3)忽略角的范围或者角的范围判断错误.。 四、教学重、难点 教学重点: 两角和与差的三角函数公式的理解； 教学难点: 两角和与差的三角函数公式的运用。 五、教法学法 讲授法。 六、教学过程设计
故知新 通过分析两角和与差的三角函数公式，加深对知识的理解. 创设情境问题情境： 通过对热点考向的分析， 明确本节主要内容与学习方 向。 通过设计一系列典型例 题,让学生进一步体会两角和 与差的三角函数公式的正用、 逆用，以及整体代换思想的融 合，，提高学生的观察分析能 力，培养学生的应用意识。
典 例 分 析 引导学生从多角度思考 问题，意识到解决问题方法的 不唯一性,加深学生对两角和 与差的三角函数公式的理解, 拓展学生思维。 课 堂梳理公式特点分析； 整体代换思想。 课堂梳理，可以把课堂探究生 成的知识尽快转化为学生的 素质，巩固深化这节课的内 容.
两角和与差的三角函数教案
两角和与差的三角函数 班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．) 1．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值为( ) A ．1 B ．－1 C.12 D ．－12 解析：将已知两式化为sin α＋sin β＝－sin γ，cos α＋cos β＝－cos γ.两式平方相加，有cos(α－β)＝－12 . 答案：D 2．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12 D ．－2 解析：由已知得 5 sin(α＋φ)＝－ 5 ????其中tan φ＝1 2，即有 sin(α＋φ)＝－1，所以α＋φ＝2k π－π2，α＝2k π－π2－φ，所以tan α＝tan(－π 2 －φ)＝cot φ＝2. 答案：B 3. 3－ sin70° 2－cos 210° ＝( ) A.12 B.22 C ．2 D.32 解析：3－ sin70°2－cos 2 10°＝3－ sin70°2－ 1＋cos20°2＝2(3－cos20°)3－cos20° ＝2. 答案：C 4．(2011·南通)已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝2 3，且x 、y 为锐角，则tan(x －y )的值 是( ) A.214 5 B ．－2145 C ．±2145 D ．±51428
解析：∵sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝2 3，两式相加得：sin x ＋cos x ＝sin y ＋cos y ，∴sin2x ＝sin2y .又∵x 、y 均为锐角，∴2x ＝π－2y ，∴x ＋y ＝π2，∴由cos x －cos y ＝2 3，得sin y －cos y ＝2 3 ，∴2sin ????y －π4＝23， ∴sin ????y －π4＝23 ， ∴cos ????2y －π2＝cos ????2????y －π4＝1－2sin 2????y －π4 ＝1－2×29＝59，∴sin2y ＝59 . 又∵sin y －cos y ＝23＞0，且y 为锐角，故π4＜y ＜π 2， ∴π 2 ＜2y ＜π， ∴cos2y ＝－1－sin 22y ＝－1－2581＝－569 ＝－2149 . ∴tan(x －y )＝tan ????π2－2y ＝cot2y ＝cos2y sin2y ＝－2149×95＝－214 5. 答案：B 5．(2011·西城)已知sin α＝35，且α∈????π2，π，那么sin2α cos 2α的值等于( ) A ．－3 4 B ．－3 2 C.34 D.32 解析：sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2tan α. ∵sin α＝3 5 ，α∈????π2，π， ∴cos α＝－45，tan α＝－34，2tan α＝－3 2，选择B. 答案：B 6．(2011·合肥)已知角α在第一象限且cos α＝3 5，则1＋2cos ????2α－π 4sin ??? ?α＋π2＝( )
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec
12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。
两角和差的三角函数(教案)
两角和与差的正弦、余弦、和正切公式教案(一) 教学目标 ? 知识与技能：理解利用向量推导两角和差的三角函数公式的过程，进一步体会向量方法的作用，能运用公式进行简单的恒等变换； ? 过程与方法：通过适当强度的课前学生自学，课堂上学生讲解与教师辅助点拨相结合，逐步培养学生自学，敢于展示、认真聆听、积极交流的能力； ? 情感态度与价值观：自主展示实现自我价值，合作学习培养团队合作。 一．课前自学 1．问题提出： 利用熟悉的角的三角函数值验证cos()αβ-是否等于cos cos αβ-，其他三个 ， ， 的情况又如何? 设计意图：通过对简单的易于进入的问题的探讨，在学生心中生成问题，激发求知欲，为课程的展开提供主观动力。 2. 公式推导： 如图1，在以坐标原点为圆心的单位圆O 中，已知角 与角的终边为与单位圆的交点分别为A,B, 则____________ 根据三角函数的定义：若点A 的坐标为,点B 的坐标为 则 ； 则点A 的坐标可以用的三角函数表示为（ ， ） 点B 的坐标可以用的三角函数表示为（ ， ） 则 的坐标（_________________） , 的坐标（_________________） _________________________________OA OB ?= 向量夹角 ， 的夹角为 cos()cos ,OA OB αβ-==（ ） （ ） =______________________________________ ____________________________________________(提示： OA 与OB 的模为？) =_________________________________ 提醒学生思考：如果角α β、改变结果是否会发生改变，进行推到过程的严谨性探究。
两角和与差的三角函数练习题及答案
两角和与差的三角函数练习题及答案 一、选择题 1． sin 45°·cos 15°＋cos 225°·sin 15°的值为 ( C ) A ．－ 32 B ．－12 2．已知sin(45°＋α)＝5 5 ，则sin 2α等于 ( B ) A ．－4 5 B ．－35 3．已知cos ? ????π6－α＝33，则sin 2? ????α－π6－cos ? ????5π6＋α的值是 ( A ) B ．－2＋3 3 4．已知向量a ＝? ????sin ? ????α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a⊥b ，则sin ? ????α＋4π3等于 ( B ) A ．－ 3 4 B ．－14 5．已知sin ? ????π6－α＝13，则cos ? ?? ??2π3＋2α的值是 ( A ) A ．－7 9 B ．－13 6．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝2 33，则tan A tan B 的值为( B ) 二、填空题 7．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ 8． 3－sin 70°2－cos 2 10°＝________. 2 9．已知α，β∈? ????3π4，π，sin(α＋β)＝－35， sin ? ????β－π4＝1213，则cos ? ?? ??α＋π4＝ ________. －56 65 三、解答题
(1)2sin ? ????π4－x ＋6cos ? ?? ??π4－x ； (2)2cos 2 α－1 2tan ? ????π4－αsin 2? ?? ? ?π 4＋α. 解 (1)原式＝22??????1 2sin ? ????π4 －x ＋32·co s ? ????π4－x ＝22??????sin π6sin ? ????π4－x ＋cos π6cos ? ????π4－x ＝22cos ? ????π6－π4＋x ＝22cos ? ????x －π12. (2)原式＝cos 2α1－tan α1＋tan α??????1－cos ? ????π2＋2α ＝cos 2α cos 2α1＋sin 2α (1＋sin 2α)＝1. 11．已知函数f (x )＝2sin 2? ?? ??π 4＋x －3cos 2x . (1)求f (x )的周期和单调递增区间； (2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈??????π4，π2上有解，求实数m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝2sin 2? ????π 4＋x －3cos 2x ＝1－cos ? ?? ??π2＋2x －3cos 2x ＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝2sin ? ????2x －π3＋1， 周期T ＝π；令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π 2， 解得单调递增区间为??????k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)x ∈?? ????π4，π2，所以2x －π3∈??????π6，2π3， sin ? ????2x －π3∈???? ??12，1， 所以f (x )的值域为[2,3]． 而f (x )＝m ＋2，所以m ＋2∈[2,3]，即m ∈[0,1]． 12．已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈? ?? ? ?3π2，2π， 且a⊥b . (1)求tan α的值； (2)求cos ? ?? ??α2＋π3的值． 解 (1)∵a⊥b ，∴a·b ＝0. 而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)， 故a·b ＝6sin 2 α＋5sin αcos α－4cos 2 α＝0. 由于cos α≠0，∴6tan 2 α＋5tan
三角函数基础,两角和与差、倍角公式
练习： 一、填空题 1． α是第二象限角，则2 α 是第 象限角. 2．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为 . 同角三角函数的基本关系公式: αααtan cos sin = ααα cot sin cos = 1cot tan =?αα 1cos sin 22=+αα 1?“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 13cos 3sin 2 2 =+αα 2tan 2 cos 2sin ααα = 2?上述关系（公式）都必须在定义域允许的围成立。 3?由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系). ②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系). ③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系). 二、讲解例： 例1化简：ο440sin 12- 解：原式οοο ο ο 80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 122 2 ==-=+-= 例2 已知α α αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简 解：) sin 1)(sin 1() sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+--- -+++= 原式 |cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2 222ααααα ααα--+=----+= 0cos <∴αα是第三象限角，Θ αα α ααtan 2cos sin 1cos sin 1-=----+= ∴原式 （注意象限、符号） 例3求证： α α ααcos sin 1sin 1cos +=- 分析：思路1．把左边分子分母同乘以x cos ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx ）先满足
两角和与差的三角函数练习含答案
一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分） 1．（4分）（2009?陕西）若3sinα+cosα=0，则的值为（） A．B．C．D．﹣2 2．（4分）已知，则=（） A．B．C．D． 3．（4分）如果α∈（，π），且sinα=，那么sin（α+）+cos（α+）=（） A．B．﹣C．D．﹣ 7．（4分）（2008?海南）=（） A．B．C．2D． 8．（4分）已知sinθ=﹣，θ∈（﹣，），则sin（θ﹣5π）sin（π﹣θ）的值是（） A．B．﹣C．﹣D． 9．（4分）（2007?海南）若，则cosα+sinα的值为（） A．B．C．D． 10．（4分）设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是（） A．s in（α+β）＞sinα+sinβB．c os（α+β）＞cosαcosβ C．s in（α+β）＞sin（α﹣β）D．c os（α+β）＞cos（α﹣β） 11．（4分）（2009?杭州二模）在直角坐标系xOy中，直线y=2x﹣与圆x2+y2=1交于A，B两点，记∠xOA=α（0＜α＜），∠xOB=β（π＜β＜），则sin（α+β）的值为（） A．B．C．﹣D．﹣ 12．（4分）（2008?山东）已知，则的值是（） A．B．C．D． 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 4．（5分）（2008?宁波模拟）已知cos（α+）=sin（α﹣），则tanα=_________ ． 5．（5分）已知sin（30°+α）=，60°＜α＜150°，则c osα的值为 _________ ． 13．（5分）?的值为_________ ． 14．（5分）（2012?桂林一模）若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则sin2α+2cos2α=_________ ．15．（5分）的值为 _________ ． 三、解答题（共4小题，满分0分） 6．化简： （1）； （2）﹣． 16．（2006?上海）已知α是第一象限的角，且，求的值． 17．求值：（1）；
两角和与差的三角函数
两角和与差的三角函数 一．课前热身 1．cos 43sin13sin 43cos167+= 2．tan 3,tan 4αβ==，则tan()αβ+= 3．要使sin 312m αα=-有意义，则m 的取值范围是 4．已知02π α<<，1sin()43 πα-=，则sin α= 5．sin 50(13tan10)+= 二．例题展示 例1：已知向量(sin ,2)(1,cos )a b θθ=-=与互相垂直，其中(0, )2πθ∈． （1）求sin cos θθ和的值； （2）若10sin()102πθ??-= <<，求cos ?的值． 例2：如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为 25105 ． （Ⅰ）求tan(αβ+)的值； （Ⅱ）求2αβ+的值． 例3：已知tan110a =，求tan50的值（用a 表示） 313a +212a a -，对这两种结果，哪个是正确的呢？ 例4：（1）求证： 111sin 2tan tan 2x x x =- （2）化简：*1111,()sin 2sin 4sin8sin 2n n N x x x x +++???+∈
三．课内反馈 1．已知12αβ= sin cos 则 cos αsin β的取值范围是________. 2．已知4π αβ+=，则(1tan )(1tan )αβ++= 3．已知α、β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tan α=_____. 4．已知12ππcos(),sin(),π,0,292322 β ααβαβ-=--=<<<<且 cos 2αβ +求的值 5．若sin ,sin 510A B = =，且A,B 都是钝角，求A+B 的值.
三角函数的和差公式
１ / 2 第四~五课时 三角函数的和角公式、差角公式 [教学目标] 1、通过两角差的正弦公式的推导和证明，继而导出三角函数的和角公式、差角公 式，学生进一步理解与运用函数的思想，进一步渗透基本量的数学思想方法（基本量思想就是一种函数的思想）。 2、使学生掌握三角函数的和角公式、差角公式，并会应用这组公式解决一些有关三 角函数的求值问题。 3、在公式的推导过程中，使学生注意并学习严密而准确的数学思维方法及其数学表 达方式。 [教学重点与难点] 本节课的重点是使学生掌握三角函数的和角公式、差角公式。 难点是应用三角函数的和角公式、差角公式求三角函数值。 [教学过程设计] 一、三角函数的和角公式的推导与证明。 1、推导两角和的正弦公式。（参阅课本第75~76页）。 2、给出两角和的余弦公式。 3、利用同角三角函数恒等式，对正切函数可得两角和的正切公式。 (板书) 三角函数的和角公式 sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β tan(α+β)=β αβαtan tan -1tan tan + 二、三角函数的差角公式的推导。 直接用和角公式结合负角公式，导出三角函数的差角公式：（参阅课本第76页） (板书) 三角函数的差角公式 sin(α-β)=sin αcos β- cos αsin β cos(α-β)= cos αcos β+sin αsin β tan(α-β)=β αβαtan tan 1tan tan +- 三、和角、差角三角函数公式在计算三角函数式值中的应用。 1、求三角函数的值 例4：不使用计算器，求下列各式的值：（略——参阅课本第76页） 练习4：课本第76页，课内练习4） 2、已知角α、β的（部分）三角函数值，求和角、差角的三角函数值。 )tan(),cos(),sin(),23,(,43cos ),,2(,32sin 5βαβαβαππββππαα+++∈-=∈= 求已知例： （解略——参阅课本第78页） 练习5：课本第79页，课内练习5~1、2、3
三角函数两角和与差,以及万能公式的推导
三角函数两角和与差, 以及万能公式的推导-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
向量法： 取直角坐标系，作单位圆 取一点A，连接OA，与X轴的夹角为A 取一点B，连接OB，与X轴的夹角为B OA与OB的夹角即为A-B A（cosA,sinA),B(cosB,sinB) OA=(cosA,sinA) OB=(cosB,sinB) OA*OB =|OA||OB|cos(A-B) =cosAcosB+sinAsinB |OA|=|OB|=1 cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 在直角坐标系xoy中，作单位圆O，并作角α，β，-β，使角α的始边为Ox交⊙O于P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.依三角函数的定义，得P1、P2、P3、P4的坐标分别为P1（1，0），P2（cosα,sinα）、P3（cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).连接P1P3，P2P4. 则∣P1P3∣=∣P2P4∣.依两点间距离公式，得 ∣P1P3|2=〔cos(α+β)-1〕2+〔sin(α+β)-0〕2, ∣P2P4|2=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2 ∴〔cos(α+β)-1〕2+sin2(α+β)=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2 展开整理，得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ) ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ……Cα+β.该公式对任意角α，β均成立 在公式Cα+β中，用-β替代β. cos(α-β)=cos〔α+(-β)〕=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ……Cα-β.该公式对任意角α，β均成立.
两角和与差的三角函数(复习课教案)
两角和与差的三角函数 【知识梳理】 主要公式： 两角和与差的三角函数公式： sin()αβ+＝ sin()αβ-＝ cos cos sin sin αβαβ- = cos cos sin sin αβαβ+= tan()αβ±= 题型一：给角求值 1.求下列各式的值 （1）tan 20tan 403tan 20tan 40++ （2）sin10sin 20cos30 cos10sin 20sin 30 +- 类题演练：求下列三角函数式的值 (1)0 tan 204sin 20+ (2)tan 70cos103sin10tan 702cos 40+- 题型二：给值求角 1.已知1cos 7α=,13cos()14αβ-=,且02 πβα<<<，求β的值. 2.已知1tan 7α=,1 tan 3 β=,若αβ，均为锐角，求2αβ+的值. 3.已知,,(0,)2 π αβγ∈，sin sin sin αγβ+=,cos cos cos γβα+=,求-βα的值. 4.已知11 tan(),tan 27 αββ-==-,且,(0,)αβπ∈,求2αβ-的值.
题型三：给值求值 1.已知αβ，均为锐角，且cos sin tan cos sin αα βαα -=+,则tan()αβ+= 2.已知4cos()5αβ+=,4 cos()5 αβ-=-，求cos cos αβ= 3.已知22 sin sin ,cos cos 33 x y x y -=--=,且,x y 为锐角，则tan()x y -= 4.已知1sin(),63π α+=则2cos(2)3 π α-= 5.若3177 cos(),45124 x x π ππ+=<<,求2sin 22sin 1tan x x x +-的值. 题组四：综合提升 1.求下列各值 （1 ）sin 12 12 π π = (2)(tan103)sin 40-= (3)若tan 20,tan 60,tan100a b c ===则 111 ab bc ca ++= (4) 222 31 64sin 20sin 20cos 20 -+= 2.已知3,(,)4παβπ∈,312sin(),sin(),5413παββ+=--=则cos()4 π α+= 3.若353sin(),cos(),41345ππαβ+=-=且30,44 ππαβ<<<<求cos()αβ+的值.
高中数学必修4两角和与差的三角函数
两角和与差的三角函数 【知识要点回顾】 1. 两角和与差的正弦、余弦、正切 cos(βα+)= ; sin(βα+)= ; tan(βα+) cos(βα-)= ; sin(βα-)= ; tan(βα-) 2. 二倍角的正弦、余弦、正切 sin2α= ； cos2α= = = ; tan2α= . 3. 公式的推导与联系. 【例题讲解】 例1 ：求下列三角函数的值： （1） 若θ为锐角，53sin =θ，求)6cos(π θ+的值； （2） 若α为锐角，5 3 )6sin(=-πα，求 cosα的值。 例2：利用已知角和特殊角表示下列角： （1）已知角α+β、α-β，则2α= ，2β= ； （2）已知角βπ πα+-4 3,4，则α+β= ； （3）△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，已知2 C A -=α，则A= ， C= 。 例3：（1）已知的范围，求βαβαπβπ α-+<<<<,2 0；
（2）已知)4 sin(,232,53)4cos(παπαππ α+<≤=+求 例4：已知α、β为锐角，的值。求ββααcos ,3 1 )tan(,54cos -=-= 例5： 的值。求且设)sin(,13 5 )43sin(,53)4cos(),4,0(),43,4(βαβππαπβππα+=+=-∈∈ 例6：的值。求已知)4 2cos(,232,53)4cos(παπαππ α+<≤=+ 例7：利用向量的方法证明两角和的余弦公式： cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 【考点针对训练】 一.选择题
1．已知tan （βα+）==+=- )4 tan(,41)4tan(,5 2 π απ β则( ) A ．1813 B ．22 13 C ．183 D ．223 2．若 5tan 1tan 1=+-A A ，则)4 (cot A +π 的值为 .A 5- .B 55- .C 5 .D 5 5 3.已知2cot =α，5 2 )tan(- =-βα，则)2tan(αβ-的值为：( ) A.61 B.61- C.121 D.121- 4．?????75sin 30sin 15sin 值为 .A 43 .B 81 .C 8 3 .D 41 5. 12 cos 12 sin 2 2 π π -的值为（ ） A. 21- B. 21 C. 23- D. 2 3 6． ? ?-?? ?+?8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为（ ） .A 32+ . B 232+ . C 32- . D 2 3 2- 7. 若f(cosx)=cos2x ，则f(sin15°)的值等于 （ ） A ．12 B ．－1 2 C. 32 D ．－ 3 2 8.已知1352 sin = α ，13 122cos -=α，则角α所在的象限是：( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9．已知3 sin( )45x π -=，则sin 2x ＝ （ ） A ．1925 B ．1625 C ．725 D ．1425
两角和与差的三角函数练习(含答案)
# 一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分） 1．（4分）（2009?陕西）若3sinα+cosα=0，则的值为（） A．B．& C． D．﹣2 2．（4分）已知，则=（） A．，B．C．D ． / 3．（4分）如果α∈（，π），且sinα=，那么sin （α+）+cos（α+）=（） A．B． ﹣ C ．》 D． ﹣ 7．（4分） （2008?海南）=（） A．B．；C．2D ． 8．（4分）已知sinθ=﹣，θ∈（﹣，），则sin（θ﹣5π）sin（π﹣θ）的值是（） ^ A． B． ﹣ C ． ﹣ D． ~ 9．（4分）（2007?海南）若，则cosα+sinα 的值为（）A．B．C．$D． 10．（4分）设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是（） A．s in（α+β）＞sinα+sinβ。 B． cos（α+β）＞cosαcosβ C．s in（α+β）＞sin（α﹣β）D．c os（α+β）＞cos（α﹣β） /
11．（4分）（2009?杭州二模）在直角坐标系xOy中，直线y=2x ﹣与圆x2+y2=1交于A，B两点，记∠xOA=α（0＜α＜），∠xOB=β（π＜β＜），则sin（α+β）的值为（） A．B．C． ﹣( D． ﹣ 12．（4分）（2008?山东）已知，则的值是（）A．B．…C．D． 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 4．（5分）（2008?宁波模拟）已知cos（α+）=sin（α﹣），则tanα=_________ ． * 5．（5分）已知sin（30°+α）=，60°＜α＜150°，则cosα的值为 _________ ． 13．（5分）?的值为_________ ． 14．（5分）（2012?桂林一模）若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则sin2α+2cos2α=_________ ．15．（5分）的值为 _________ ． 三、解答题（共4小题，满分0分） 6．化简： （1）； ? （2）﹣． 16．（2006?上海）已知α是第一象限的角，且，求的值． 17．求值：（1）； （2）tan（﹣θ）+tan（+θ）+tan（﹣θ）tan（+θ）． 18．（2008?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，． [ （1）求tan（α+β）的值；
两角和与差的三角函数公式基本题型复习
两角和与差的三角函数公式基本题型复习（学案） 1．(2016·鞍山高一检测)cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( ) A ．12 B ．13C ．32D ．33 2．已知sin α＝1 3，α是第二象限角，则cos(α－60°)为( ) A ．－3－222 B ．3－226 C ．3＋226 D ．－3＋22 6 3．(2016·梅州高一检测)若12sin x ＋3 2 cos x ＝cos(x ＋φ)，则φ的一个可能值是( ) A ．－π6 B ．－π3 C ．π6 D ．π3 5．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( ) A ．0B ．1C ．±1D ．－1 1．若α＋β＝ π 4 ，则(1＋tan α)(1＋tan β)等于( ) A ．1B ．－1C ．2D ．－2 2．cos α－3sin α化简的结果可以是( ) A ．12cos ? ????π6－α B ．2cos ? ????π3＋α C ．12cos ? ????π3－α D ．2cos ? ???? π6－α 6．(2016·济南高一检测)已知cos ? ????π3－α＝18，则cos α＋3sin α的值为________． 7．在△ABC 中，sin A ＝45，cos B ＝－12 13，则cos(A －B )＝________. 6．计算1－tan 15° 3＋tan 60°tan 15° ＝________.
7．若sin(α＋β)＝15，sin(α－β)＝3 5，则tan αtan β＝________. 8．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求证：cos(α－β)＝－1 2. 9．已知tan α＝4 3，cos(α＋β)＝－11 14，α、β均为锐角，求cos β的值． 2．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π 2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值． 8．设方程 12x 2－πx －12π＝0的两根分别为α，β，求cos αcos β－3sin αcos β－3cos αsin β－sin αsin β的值． 9.如图3－1－1，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为 210、25 5 . 图3－1－1 (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 两角和与差的三角函数公式基本题型复习 1．(2016·鞍山高一检测)cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )
三角函数两角和差公式考点及例题讲解
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考纲解读 1.直接正用公式求值；2.逆用公式化简求值；3.利用公式求角． [基础梳理] 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin_β. (3)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. (4)C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β. (6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β. 2．倍角公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α. (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α－1 ＝1－2sin 2α. (3)T 2α：tan 2α＝2tan α 1－tan 2α. 3．降幂公式 (1)cos 2α＝1＋cos 2α 2. (2)sin 2α＝ 1－cos 2α 2 . [三基自测] 1．已知sin ????α－π3＝1517，α∈????π2，5 6π，则sin α的值为( ) A.8 17 B.153＋834 C.15－8334 D.15＋8334 答案：D 2．化简cos 15 °cos 45°－cos 75°sin 45°的值为( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－ 32
答案：A 3．若α是第二象限角，且sin(π－α)＝3 5，则tan 2α＝( ) A.247 B ．－247 C.724 D ．－724 答案：B 4．(必修4·习题3.1A 组改编)tan 54π＋tan 512 π1－tan 5 12π ＝________. 答案：－3 5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)若α∈????0，π2，cos α＝5 5，则cos 2α＝__________. 答案：－3 5 [考点例题] 考点一 给角求值|方法突破 [例1] (1)cos π9·cos 2π 9·cos ????－23π9＝( ) A ．－1 8 B ．－1 16 C.116 D.18 (2)2cos 10 °sin 70° －tan 20°＝________. [解析] (1)cos π9·cos 2π 9·cos ????－23π9＝cos 20°· cos 40°· cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80° ＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80° sin 20° ＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20° ＝－18sin 160°sin 20°＝1 8sin 20°－sin 20°＝－18. (2)2cos 10°sin 70°－tan 20°＝2cos 10°cos 20°－sin 20°cos 20°
高中数学两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式 本节重点：熟练掌握并运用两角和与差的三角函数公式 课前引入： 3215tan ,4 2 615cos ,42 615sin -=?+=?-= ? （一）．两角和差的余弦公式推导：首先在单位圆上任取两点A （cos ααsin ,）B(ββsin ,cos ) ) si n ,(c os ),si n ,(c os ββαα==∴OB OA )(,sin sin cos cos βαβαβα-?=?+=?∴OB OA OB OA Θ又=cos(βα-) βαβαβαsin sin cos cos cos +=-∴）（得出 用得替换ββ- βαβαβαsin sin cos cos cos -=+）（用诱导公式得 β αβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(+=+-=- β αβ αβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(,tan tan 1tan tan )tan(+-=--+= +∴ 二倍角公式： ①θθθcos sin 22sin = ②θθθθθ2222 sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ③θ θ θ2tan 1tan 22tan -= 例1、 求?15cos 练习1、求? ? -?70sin 20sin 10cos 2
课堂练习： 1．下列等式中一定成立的是（ ） A ．cos()cos cos αβαβ+=+ B ．cos()cos cos αβαβ-=- C ．sin( )sin 2π αα-= D ．cos()sin 2 π αα-= 2．化简sin119sin181sin91sin 29???-???等于（ ） A ． 12 B ．1 2 - C ．- 3．若1cos 2α=- ，sin β=(,)2παπ∈，3(,2)2 π βπ∈， 则sin()αβ+的值是（ ） A ． 2 B ．2 -．1- D ．0 4．若,(0, )2 π αβ∈， cos()2 2β α-= ，1sin()22αβ-=-，则cos()2 αβ +的值等于（ ） A ．1 B ．12- 或1 C ．1 2 或1 D ．2 5.已知α为第二象限的角，3 sin 5 a =,则tan 2α= . 6．已知1sin cos 2αβ-=，1 cos sin 3 αβ-=，则sin()αβ+= ． 7.要使32cos 1 m x x m -=-有解，求实数m 的范围
新高二三角函数及两角和与差的正弦、余弦和正切公式
新高二三角函数及两角和与差的正弦、余弦和 正切公式 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
三角函数及两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；(4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α 1－tan α. 3．常用的公式变形 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2 ； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ??? ?α±π4. 1．(2011·福建高考)若tan α＝3，则sin 2α cos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A ．－2 2 B.22 C.32 D ．1 3．已知sin α＝2 3，则cos(π－2α)等于( ) A ．－5 3 B ．－19 C.19 D.53 4．(教材习题改编)若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ??? ?α＋π4＝________ 5．若tan ? ?? ?α＋π4＝2 5，则tan α＝________. 一．三角函数公式的应用 [例1] (广东)已知函数f (x )＝2sin ??? ?13x －π6，x ∈R . (1)求f ??? ?5π4的值； (2)设α，β∈????0，π2，f ??? ?3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．
两角和与差的余弦公式证明
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比 沈阳市教育研究院王恩宾 两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注?对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用?下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下： 方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法 设角a的终边与单位圆的交点为P i,Z POP i= 则/ POX = a— 3. \ 11「 A 计 R ； 过点P作PM丄x轴，垂足为M，那么OM即为a— 3角的余弦线，这里要用表示a, 3的正弦、余弦的线段来表示OM . 过点P作PA丄OP i，垂足为A,过点A作AB丄x轴，垂足为B,再过点P作PC丄AB，垂足为C,那么cos 3= OA, sin 3= AP，并且/ PAC=Z P i Ox= a,于是OM = OB + BM = OB + CP = OAcos a+ APsin a= cos 3^os a+ sin 传in a. cos (0)= cos OJCOE0+ sin -asin p 说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解?但这种推 导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难?此种证明方法的另一个问题是公式 是在二’：均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑二-的角度从锐角向任意角的推 广问题? 综上所述,
方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法 在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角 a a + B 和「，它们的终边分别交单位圆于 P 2、P 3 和 P 4 点，单位圆与 X 轴交于 P i ，贝y P i (1,0)、P 2(cos a, sin a 、P 3(C0S (a +? , sin( a +3))、h 「*一三"一广 1 . ...N 彤鸟*耳巧皿+ 0 ,且闵I = |^| = |0^| = |0^| = 1 ...△好。呂SZXEO 电...I 百旬=|￡片| 二 J(CQ $ 工一的(一戸4-[sin a- sin (一 .2匚OF (e+Q)二 2 - 2 cos GCOE Q- 2sin trsin (-/f) .i i - ii K -. ： ii ■' 「、—,： 「：：-.， . ■+ ii /. ： 11 ■' 说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角 [「有关的四个点.■■- '' ' ： ■- ■- J, ■ ' 匸—匸， 」「―二―!!建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求 的和角与差角的三角公式?在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于 设 P i (x i , y i ), P 2(X 2，y 2)，则有 IP 1 P 2 | =