【好题】高考数学试题及答案

【好题】高考数学试题及答案

一、选择题

1．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =

A

．31

44AB AC - B ．13

44AB AC - C ．

31

44

+AB AC D ．

13

44

+AB AC 2．如图，12,F F 是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线

C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A ．23y x =±

B ．2y x =±

C ．3y x =

D ．2y x =±

3．在二项式4

2n

x x 的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A ．

1

6

B ．

14

C ．

512

D ．

13

4．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．40种 D ．60种 5．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ）

A ．28

B ．32

C ．33

D ．27

6．下列四个命题中，正确命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线一定可以确定一个平面； ③若M α∈，M β∈，l α

β= ，则M l ∈；

④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,

现已知向量α在基底p =(1,-1), q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在另一组基底m =(-1,1),

n =(1,2)下的坐标为( )

A ．(2,0)

B ．(0,-2)

C ．(-2,0)

D ．(0,2)

8．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.

A ．6500元

B ．7000元

C ．7500元

D ．8000元

9．在ABC 中，若 13,3,120AB BC C ==∠=，则AC =（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

10．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）

A ．()()()()02332f f f f ''<<<-

B ．()()()()03322f f f f ''<<-<

C ．()()()()03232f f f f ''<<<-

D ．()()()()03223f f f f ''<-<< 11．下列说法正确的是( ) A ．22a b ac bc >?> B ．22a b a b >?> C ．33a b a b >?> D ．22a b a b >?> 12．若实数满足约束条件

，则的最大值是（ ）

A ．

B ．1

C ．10

D ．12

二、填空题

13．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是 14．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos

2

x

π的值介于1[0,]2

的概率为 ．

15．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，42sin a A =，且C 为锐角，则ABC ?面积的最大值为________.

16．已知椭圆22

195

x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中

点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 17．在平行四边形ABCD 中，3

A π

∠=

，边AB ，AD 的长分别为2和1，若M ，N 分别是

边BC ，CD 上的点,且满足

CN CD

BM BC

=

，则AM AN ?的取值范围是_________．

18．若,满足约束条件

则的最大值 ．

19．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45?，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30，量得10AB AC m ==，树根部为C （,,A B C 在同一水平面上），则

ACB =∠______________.

20．34

3

31654

+log log 8145

-??

+= ???

________. 三、解答题

21．设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛

物线2

2(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为1

2

. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △6

AP 的方程. 22．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E .124AA AB AD ===.

（1）证明：AE ⊥平面ECD ；

（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值.

23．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214

y x =的焦点，离心率为

25

. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若

1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值.

24．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，

2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.

（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；

（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值是6

3

，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.

25．选修4-5：不等式选讲 设函数()|2||1|f x x x =-++.

（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值范围； （2）若集合{|()10}x f x ax +->=R ，求实数a 的取值范围. 26．已知函数()ln f x x x =. （1）若函数2()1

()f x g x x x

=

-，求()g x 的极值； （2）证明：2

()1x

f x e x +<-.

（参考数据：ln20.69≈ ln3 1.10≈ 3

2 4.48e ≈ 27.39e ≈）

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A 【解析】

分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得11

22

BE BA BC =

+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到

3144BE BA AC =

+，下一步应用相反向量，求得31

44EB AB AC =-，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得

()

111111

222424BE BA BD BA BC BA BA AC =

+=+=++ 11131

24444BA BA AC BA AC =++=+， 所以31

44

EB AB AC =

-，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

2．A

解析：A 【解析】

【分析】

设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b

y x a

=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】

设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，

由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，

所以12||F F =

=c ?=

因为2521a x a =-=?=

，所以b =

所以双曲线的渐近线方程为b

y x a

=±=±. 【点睛】

本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.

3．C

解析：C 【解析】 【分析】

先根据前三项的系数成等差数列求n ，再根据古典概型概率公式求结果 【详解】

因为n

前三项的系数为1212111(1)1,,112448n n n n n n C C C C n -??∴=+?∴-= 163418

118,0,1,2

,82

r

r r r n n T C x r -

+>∴=∴=?=，

当0,4,8r =时，为有理项，从而概率为63679

95

12

A A A =,选C. 【点睛】

本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.

4．A

解析：A 【解析】 【分析】 【详解】

根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．

解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；

分3种情况讨论可得，

甲在星期一有A 42=12种安排方法， 甲在星期二有A 32=6种安排方法， 甲在星期三有A 22=2种安排方法， 总共有12+6+2=20种； 故选A ．

5．B

解析：B 【解析】 【分析】

通过观察，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是3的倍数，由此可求得x 的值. 【详解】

因为数列的前几项为2,5,11,20,,47x ， 其中5213,11523,201133-=?-=?-=?， 可得2043x -=?，解得32x =，故选B. 【点睛】

本题主要考查了数列的概念及其应用，其中解答中根据题意发现数列中数字的排布规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

6．A

解析：A 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；

两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确； 若M ∈α，M ∈β，α∩β=l ，则M ∈l ，故（3）正确；

空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，

综上所述只有一个说法是正确的， 故选A ．

7．D

解析：D 【解析】 【分析】 【详解】

由已知α=-2p +2q =(-2,2)+(4,2)=(2,4),

设α=λm +μn =λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),

则由224λμλμ-+=??+=?解得02λμ=??=?

∴α=0m +2n ,∴α在基底m , n 下的坐标为(0,2).

8．D

解析：D 【解析】 【分析】

设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可． 【详解】

设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x ＝8000． 故选D ． 【点睛】

本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．

9．A

解析：A 【解析】

余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=

解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.

10．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据导数的几何意义可对比切线斜率得到()()032f f ''<<，将()()32f f -看作过

()()22f ,和()()3,3f 的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.

【详解】

由()f x 图象可知，()f x 在2x =处的切线斜率大于在3x =处的切线斜率，且斜率为正，

()()032f f ''∴<<，

()()()()

323232

f f f f --=

-，()()32f f ∴-可看作过()()22f ,和()()3,3f 的割线

的斜率，由图象可知()()()()3322f f f f ''<-<，

()()()()03322f f f f ''∴<<-<.

故选：B . 【点睛】

本题考查导数几何意义的应用，关键是能够将问题转化为切线和割线斜率大小关系的比较，进而根据图象得到结果.

11．C

解析：C

【解析】

【分析】

由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例．

【详解】

选项A，当c＝0时，由a＞b，不能推出ac2＞bc2，故错误；

选项B，当a＝﹣1，b＝﹣2时，显然有a＞b，但a2＜b2，故错误；

选项C，当a＞b时，必有a3＞b3，故正确；

选项D，当a＝﹣2，b＝﹣1时，显然有a2＞b2，但却有a＜b，故错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题．

12．C

解析：C

【解析】

【分析】

本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.

【详解】

在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.

【点睛】

解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.

二、填空题

13．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得 解析：(5,7)

【解析】 【分析】 【详解】 由|3|4x b -<得

44

33

b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知4013

4343b b -?

≤

，解得57b <<

14．【解析】试题分析：由题意得因此所求概率为考点：几何概型概率

解析：1

3

【解析】

试题分析：由题意得

1220cos

,[1,1]112232222333

x

x x x x x πππππππ≤≤∈-?≤≤-≤≤-?≤≤-≤≤-或或，因此所求概率为22(1)

13.1(1)3-=--

考点：几何概型概率

15．【解析】【分析】由利用正弦定理求得再由余弦定理可得利用基本不等式可得从而利用三角形面积公式可得结果【详解】因为又所以又为锐角可得因为所以当且仅当时等号成立即即当时面积的最大值为故答案为【点睛】本题主

解析：4+

【解析】 【分析】

由4c =

，a A =，利用正弦定理求得4

C π

=

.

，再由余弦定理可得

2

2

16a b =+

，利用基本不等式可得(82ab ≤

=+，从而利用三角形

面积公式可得结果. 【详解】 因为4c =

，又

sin sin c a C A

==

所以sin 2

C =

，又C 为锐角，可得4C π=.

因为(2

2

2

2

162cos 2a b ab C a b ab =+-=+≥，

所以(82ab ≤

=+， 当且仅当

a b =时等号成立，

即1sin 424

ABC S ab C ab ?=

=≤+

即当a b ==时，

ABC ?面积的最大值为4+

. 故答案为4+. 【点睛】

本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题. 对余弦定理一定要

熟记两种形式：（1）2

2

2

2cos a b c bc A =+-；（2）222

cos 2b c a A bc

+-=，同时还要熟

练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住

30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

16．【解析】【分析】结合图形可以发现利用三角形中位线定理将线段长度用坐标表示成圆的方程与椭圆方程联立可进一步求解利用焦半径及三角形中位线定理则更为简洁【详解】方法1

：由题意可知由中位线定理可得设可得联立 【解析】 【分析】

结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁. 【详解】

方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =，

由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22

(2)16x y -+=，

联立方程22195

x y +=

可解得321

,22

x x =-

=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方，

求得32P ?- ??

，所以212

PF

k ==

方法2：焦半径公式应用

解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =，

由中位线定理可得12||4PF OM ==，即3

42

p p a ex x -=?=-

求得3152P ?- ??

，所以15

21512

PF k == 【点睛】

本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.

17．【解析】【分析】画出图形建立直角坐标系利用比例关系求出的坐标然后通过二次函数求出数量积的范围【详解】解：建立如图所示的直角坐标系则设则所以因为二次函数的对称轴为：所以时故答案为：【点睛】本题考查向量

解析：

[2]5, 【解析】 【分析】

画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围． 【详解】

解：建立如图所示的直角坐标系，则(2,0)B ，(0,0)A ，

132D ? ??

，设||||||||BM CN BC CD λ==，[]

0,1λ∈，则(22M λ+3)，5(22N λ-3， 所以(22

AM AN λ

=+

35)(22λ-22353

542544

λλλλλλ=-+-+=--+， 因为[]0,1λ∈，二次函数的对称轴为：1λ=-，所以[]

0,1λ∈时，[]2

252,5λλ--+∈．

故答案为：

[2]5,

【点睛】

本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．

18．3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示由斜率的意义知yx 是可行域内一点与原点连线的斜率由图可知点A （13）与原点连线的斜率最大故yx 的最大值为3考点：线性规划解法 解析：

【解析】

作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.

考点：线性规划解法

19．【解析】【分析】作出立体图利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长再利用余弦定理求解即可【详解】如图所示在中∵∴在中∵∴在中∴故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题依据 解析：30

【解析】 【分析】

作出立体图,利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长,再利用余弦定理求解

cos ACB ∠即可. 【详解】

如图所示,在Rt ACD 中,∵10,45AC m DAC =∠=?,∴10DC m = 在Rt DCB △中,∵30DBC ∠=?,∴103BC m =.

在ABC 中,

)

2

2

2

10103103cos 2

210103

ACB +-∠=

=

??,∴30ACB ∠=?.

故答案为：30 【点睛】

本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题,依据题意正确画出立体图形,确定边的关系再利用余弦定理求解即可.属于基础题.

20．【解析】试题分析：原式=考点：1指对数运算性质 解析：

278

【解析】

试题分析：原式=34

4

332542727log log 134588

-?

?

??+?=+=

?? ?

?????

?

考点：1.指对数运算性质.

三、解答题

21．（Ⅰ）2

2

413

y x +=， 24y x =.（Ⅱ）3630x +-=，或3630x -=.

【解析】

试题分析：由于A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12

，则1

2a c -=，又椭

圆的离心率为

1

2

，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A ，设直线AP 方程为设1(0)x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD △的面积为

6

m ，得出直线AP 的方程.

试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意，

12c a =，2p a =，1

2

a c -=，解得1a =，12c =

，2p =，于是222

34

b a

c =-=. 所以，椭圆的方程为2

2

413

y x +=，抛物线的方程为24y x =.

（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点

21,P m ??-- ???，故21,Q m ??- ???.将1x my =+与22

413

y x +=联立，消去x ，整理得

()

2

23460m

y my ++=，解得0y =，或2634

m

y m -=

+.由点B 异于点A ，可得点

222

346,3434m m B m m ??-+- ?++??

.由21,Q m ?

?- ???，可学*科.网得直线BQ 的方程为()222623*********m m x y m m m m ??--+????-+-+-= ? ? ?++??????，令0y =，解得2

2

2332m x m -=+，故2

223,032m D m ??- ?+??

.所以2222

23613232m m AD m m -=-=++.又因为APD 的面积为2，故

2

2162232m m m ??=+，整理得2

320m -+=，解得m =m =.

所以，直线AP 的方程为330x -=，或330x -=. 【考点】直线与椭圆综合问题

【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键.

22．（1）证明见解析；（2 【解析】 【分析】

（1）证明1AA CD ⊥，CD AD ⊥，推出CD ⊥平面11AA D D ，得到CD AE ⊥，证明

AE ED ⊥，即可证明AE ⊥平面ECD ；

（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值． 【详解】

（1）证明：∵四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱， ∴1AA ⊥平面ABCD ，而CD ?平面ABCD ，则1AA CD ⊥，

又CD AD ⊥，1AA AD A =，

∴CD ⊥平面11AA D D ，因为平面11AA D D ，∴CD AE ⊥， ∵1AA AD ⊥，1AA AD =， ∴11AA D D 是正方形，∴AE ED ⊥， 又CD

ED D =，∴AE ⊥平面ECD .

（2）解：建立如图所示的坐标系，1A D 与1AD 交于点E ，124AA AD AB ===，

则()()()()10,0,0,0,0,4,2,4,0,0,4,0A A C D ， ∴()0,2,2E ，

∴()()()12,4,4,2,4,0,0,2,2A C AC AE =-==，

设平面EAC 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0n AC n AE ?=?=?

，即240

220x y y z +=??+=?，

不妨取()2,1,1n =--，

则直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值为4446

=6

36

66

n AC n AC

-+-=

=． 【点睛】

本题主要考查直线与平面所成角的求法，考查直线与平面垂直的判断和性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

23．（Ⅰ）2

215

x y +=（Ⅱ）-10

【解析】 【分析】

（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22

221x y a b

+=，根据它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，

得到1b =，又222

25

5

c a b a a -==，由此求出椭圆C 的标准方程.

（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程

2215

x y +=，得()2222

15202050k x k x k +-+-=，由此利用韦达定理结合已知条件能求出12λλ+的值. 【详解】

（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()22

2210x y a b a b

+=>>，

抛物线方程化为24x y =，其焦点为()0,1 则椭圆C 的一个顶点为()0,1，即1b =，

由5

c e a ===

，解得25a =， ∴椭圆C 的标准方程为2

215

x y +=

（Ⅱ）证明：∵椭圆C 的方程为2

215

x y +=，

∴椭圆C 的右焦点()2,0F

设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，由题意知直线l 的斜率存在，

设直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程2

215

x y +=，

并整理，得(

)2

2

2215202050k

x

k x k +-+-=，

∴21222015k x x k +=+，2122

205

15k x x k

-=+， 又()110,MA x y y =-，()220,MB x y y =-，()112,AF x y =--，()222,BF x y =--， 而1MA AF λ=，2MB BF λ=，

即()()1101110,2,x y y x y λ--=--，()()2202220,2,x y y x y λ--=--， ∴1112x x λ=

-，2

22

2x x λ=-，

∴()()12121212121212

22102242x x x x x x

x x x x x x λλ+-+=+==----++. 【点睛】

本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

24．（1）证明见解析（2

）

3

【解析】 【分析】

（1）先证明AC ⊥平面PBC ，然后可得平面EAC ⊥平面PBC ； （2）建立坐标系，根据二面角P AC E --

的余弦值是3

可得PC 的长度，然后可求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值. 【详解】

（1）PC ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ，得AC PC ⊥. 又1AD CD ==，在Rt ADC ?

中，得AC =

，

设AB 中点为G ，连接CG ，则四边形ADCG 为边长为1的正方形，所以CG AB ⊥

，且

BC =

因为222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥， 又因为BC PC C ?=，所以AC ⊥平面PBC ， 又AC ?平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC .

（2）以C 为坐标原点，分别以射线CD ?射线CP 为y 轴和z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，

则()0,0,0C ，()1,1,0A ，()1,1,0B -. 又设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ??

-

???

，()1,1,0CA =，()0,0,CP a =， 11,,222a CE ??

=- ???

，()1,1,PA a =-.

由BC AC ⊥且BC PC ⊥知，()1,1,0m CB ==-为平面PAC 的一个法向量. 设(),,n x y z =为平面EAC 的一个法向量，则0n CA n CE ?=?=， 即0

x y x y az +=??

-+=?，取x a =，y a =-，则(),,2n a a =--

，有

2cos ,3

m n m n m n

a ?=

=

=

?2a =，从而()2,2,2n =--，()1,1,2PA =-. 设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则

sin cos ,n PA n PA

n PA

θ?

==

?3

=

=

. 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为

3

.

【点睛】

本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解. 25．（1）min ()3f x =，此时x ∈[]

1,2-（2）()1,2- 【解析】 【分析】

（1）利用绝对值不等式公式进行求解；

（2）集合(){}

10x f x ax R +-=表示x R ?∈，()1f x ax >-+，令()1g x ax =-+， 根据几何意义可得()y f x =的图像恒在()y g x =图像上方，数形结合解决问题. 【详解】

解（1）因为()()21213x x x x -++≥--+=，

当且仅当()()210x x -+≤，即12x -≤≤时，上式“=”成立， 故函数()21f x x x =++-的最小值为3， 且()f x 取最小值时x 的取值范围是[]

1,2-. （2）因为(){}

10x f x ax R +-=， 所以x R ?∈，()1f x ax >-+.

函数()21f x x x =-++化为()21,13,1221,2x x f x x x x -+<-??

=-≤≤??->?

.

令()1g x ax =-+，

其图像为过点()0,1P ，斜率为a -的一条直线. 如图，()2,3A ，()1,3B -.

则直线PA 的斜率131

120

k -==-， 直线PB 的斜率231

210

k -=

=---. 因为()()f x g x >，所以21a -<-<，即12a -<<， 所以a 的范围为()1,2-. 【点睛】

本题考查了绝对值不等式问题与不等式恒成立问题，不等式恒成立问题往往可以借助函数的图像来研究，数形结合可以将抽象的问题变得更为直观，解题时应灵活运用. 26．（1）见解析；（2）见证明 【解析】 【分析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

（2）问题转化为证e x ﹣x 2﹣xlnx ﹣1＞0，根据xlnx ≤x （x ﹣1），问题转化为只需证明当x ＞0时，e x ﹣2x 2+x ﹣1＞0恒成立，令k （x ）＝e x ﹣2x 2+x ﹣1，（x ≥0），根据函数的单调性证明即可． 【详解】 （1）()()2

1ln 1(0)f x x g x x x

x x x

=

-

=->，()2

2ln 'x g x x -=，当()

2

0,x e ∈，()'0g x >，

当()

2

,x e ∈+∞，()'0g x <，()g x ∴在(

)2

0,e

上递增，在()2

,e +∞上递减，()g x ∴在

2

x e =取得极大值，极大值为

21

e

，无极大值. （2）要证f （x ）+1＜e x ﹣x 2． 即证e x ﹣x 2﹣xlnx ﹣1＞0，

先证明lnx ≤x ﹣1，取h （x ）＝lnx ﹣x+1，则h ′（x ）＝，

易知h （x ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，

故h （x ）≤h （1）＝0，即lnx ≤x ﹣1，当且仅当x ＝1时取“＝”，