高数A1习题册答案
习题一
一、 1. × 2. \/ 3. × 4. × 5. × 6. \/
7. ×
二、 1. A 2. D
3. B
4. A
三、
1. 直线y x =
2. [-1，3）
3.
1[,0]2
- 4. 奇 5.
2
log 1
y y y =- 6. 3,,sin u y e u v v x ===
四、
1(2)3f x x +=
+，2
2
1()1f x x =+， 11(())1211x
f f x x x
+==
++
+，11()()2f f x x =+
习题二
一、 1. ∨ 2. × 3. × 4. ∨ 5. ∨ 6. × 7 × 8 ×
二、 1. B 2. B 3. A 4. C 5. D
6. C
7. C
三、 1)
lim 1x x x
-
→=-，0
lim 1x x x
+
→=
lim
x x x
→不存在
2)
1lim ()2x f x +
→=，1
lim ()2x f x -
→= 1
lim ()2x f x →=
2
lim ()5,lim ()0x x f x f x →→==
习题三
一、 1. × 2. ×
3.
∨ 4. ×
5. 二、 1. C 2. B 3. D 4. D
三、 (1) 2131
lim
11
x x x →-+=+
(2) 22
11112
lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ (3) 2
02lim
2h hx h I x h →+== (4) 23
I =
(5) 0I =
(6) 422
lim
13
x x I x →-==-
(7) 1
1133lim 213
n n I +→∞-==-
(8) 111
lim (1)2212
n n →∞-
=+ (9) 23
211132
lim
lim 111x x x x x I x x x →→++-+==-=--++
(10) 15
I = (11) I =+∞ (12) 0I =
(13)
1x I ==
(14) I = 四、
22
lim()0
24
x x ax b b a →++==--
22224(2)(2)
lim lim 2(1)(2)(1)(2)
x x x ax a x a x I x x x x →→+--++-===+-+-
2,8a b ==-
五、
321lim 1(1)
x x a x x →∞+==+
321
lim()111
x x b x x →∞+=--=-+
习题四
一、1、∨ 2、× 3、×4、× 二、1、D 2、A 3、B 4、A 三、
1. 20sin lim
0x x
x
→= 2. 0tan 3lim
3x x
x
→=
3.
221lim()x x x e x
→∞+=
4. 11
12
220
lim(12)
lim[(12)
](12)x
x x x x x x e +---→→-=--=
5.
2lim(
)x
a x x a e x a
→∞
-=+ 6.
23
32211lim(1)lim[(1)]1x x x x x x x
--→∞→∞-=-= 7.
1
3
x x →→== 8.
2cos 0
lim(13sin )1x x x →-=
四、22221()11
n n n
n n n n n n n n n ?
≤++≤?++++
又2
2lim lim 11
n n n n
n n n n n →∞→∞?=?=++ 因此2
21lim ()11n n
n n n n
→∞++=++ 习题五
一、1、∨ 2、× 3、∨ 4、∨ 5、× 6、× 7、× 8、∨ 9、∨ 10、× 11、× 12、× 二、1、D 2、D 3、B 4、C 三、
1、2
2001
(2)1cos22lim lim 2sin x x x x x x x
→→-==
2
、2
002lim 111)2
x x x x →→==+ 3、3300tan sin tan (1cos )1
lim
lim sin sin 2
x x x x x x x x →→--== 4、x
x x x x x )cos 1(1
sin
3sin lim
20
++→=2001
sin
sin 3lim
lim (1cos )(1cos )x x x x x x x x x
→→+++
=
33022
+= 四、22
00
22
(cos cos2)[(cos 1)(1cos2)]33lim lim
x x x x x x x x →→--+-= 2
22
021[()2]32lim 1x x x x →-+==
因此2
2(cos cos2)3
x x x -
五、令ln x t =
则1
00ln lim
lim lim 1(1)(1)n t n n
x t t x t t
A x A e At →→→===--
于是1,1A n ==
习题六
一、 1. ∨ 2. × 3. ∨ 4.
∨ 5. × 6、∨ 7、× 8、∨
二、 1. A 2. C 3. A 4. A 5. A 6. A 7. C 8. A
三、 （1）2111lim
12x x x →-=-，1x =可去，补充1
(0)2
y =
（2）(0)0,(0)0f f -+
==，0x =跳跃
四、0
1
lim ()lim sin 0x x f x x x
++
→→== 00lim ()lim (sin 1)1x x b
f x x b x
--→→=+=+ ()f x 连续，仅需连续在0x =处连续， 于是0
lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-
→→==， 这样 01b a =+=，
即 0,1a b ==- 五、
（1）sin 2a - （2）25 （3）0 （4）1
4
（5）1 （6）2e 六、
,1()0,1,1
x x f x x x x ?
==??
->?
1x =±为跳跃间断点
习 题 七
一、B C D 二、（1）
2211
0n n ε-=<
取N =即可
（2）
sin 10n n n ε-≤< 取1
[]N ε
=即可
三（1）证明：0ε?>，要32832x x ε+-=-< 取3
ε
δ=
即可
（2）0ε?>，要
213
211
x x x ε---=<++ 只要3
1x ε
>
+即可
四、根据条件，0ε?>，N ?，当n N >时，有
0n n x y M ε-≤
即证。
第一章 复习题
一、 1. 1(1,)e --+∞
2. 0
3. 高
4. 0
5. 2
6.
12
二、 1. D 2. B 3. A 4. B 5. C 三、 1.
11
lim 2sin
lim 2222n n n n n n x
x x --→∞
→∞
=?
=
2. 0cos cot lim
x x x
x
→-=∞ 3.
11
1
lim (1)lim
11
x
x
x x e x e x
→∞→∞--==
4. 333212lim()lim(1)2121
x x
x x x e x x →∞→∞+=+=-- 5.
223
3
8cos 2cos 18sin 22sin lim lim 22cos cos 12sin 2sin x x x x x x x x x x ππ→→
---+==+--- 6.
111111lim[]lim[]112(1)121
n n n n n n →∞→∞++=-++-=?++ 四、
21
lim 1(1)
x x a x x →∞+==+
2113
lim()122
x x b x x →∞+=--=-+
五、 1．2222
1211211
n n n
n n n n n n n n n n ++++++≤++≤++++++++ …
2212121
lim
lim 12
n n n n n n n n n →∞→∞++++++==++++
2211
lim()12n n n n n n n →∞++=++++…
2．由110,n x a x +>>=
易知10,n n n x a x x +>>< 因此lim n n x →∞
存在
设lim n n x k →∞
=
1lim n n n x +→∞
=lim n n x a →∞
=
六、设()()()g x f x f a x =-+
在[0,]a 上， ()g x 连续，(0)(0)()g f f a =-，()()(2)()(0)g a f a f a f a f =-=- 若()(0)f a f =，取0ξ=
若()(0)f a f ≠，由零点介质定理有(0,)a ξ∈，()0g ξ=，即证。
习 题 八
一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×）
×，√，×，×， √， × 二、单项选择题 A 、A 、B 、C 、 三、
（1）5(0)f ' （2）!n 四、460;470x y x y --=++=
五、2,1a b ==- 六、()a ?
习 题 九
一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×）
√，×，×，×，√， √， × 二、单项选择题 C 、B 、D 、D 、D 三、
（1）2152ln 23x x y x e '=-+ （2
）y '= (3) 24
2cos 22sin 2x x x x
y x -'=
(4)
2
3331sin 2ln 2ln 23
x x x x y x x x a a a ---'=++
(5) y '=
1y ??'=
(7) 2222x x y e x e '=+ (8) 22221122sin sin
sin cos y x x x x x x
'=-- 四、(1)
2(tan )sec dy f x x dx '= (2) 2()
2()()
dy f x xf x dx f x ''=+ 习 题 十
一、单项选择题
B 、A 、D 二、 1、22cos
2
y y '=-
- 2、2csc ()y x y '=-+
3、cos()sin ln cos cos()
y x y y x y
y x y x y ++'=-+ 4、x y x y y e y e x ++-'=-
三、
1、1ln ln(1)11x
x y x x x x ??
?
?'=-++ ?
??++??
??
2
、1452(2)31y x x x ??'=
--??+-+??
3、()
tan 2(sin )sec ln sin 1x y x x x '=+
4、()tan 2tan (sin )ln sin cot sec ln x x x y x x x x x x x x ??
'=+++
???
四、
1、
2223324dy b d y b
t dx a
dx a t
== 2、
()
22
32
cos sin 22sin 2sin cos cos ;1sin cos 1sin cos dy d y dx dx θθθ
θθθθθθθθθθ
θθθ--+-+==----
习 题 十一
一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×） ×，× 二、单项选择题 B 、A 、B 、D 三、 （1）3
2
(1)
y x ''=
- （2）21(3sin 4cos )x y e x x -''=+ (3) 2sin(ln )x y x ''=-
(4)
y ''=
四、()
11(1)!11
4(3)(1)n n n n n y
x x ++??-=-??--??
五、222222222
22()sin 2()4()sin 2()8()cos 2()d y f x f x x f x f x x f x f x dx
''''??????=++?????? 习 题 十二
一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×）
√，√，×，× 二、
D 、A 、B 、C 、D 三、
1、3
x C + 2、arctan x C + 3、sin 2x C +
4、sec x C +
5、3
22
()3
a x C ++ 6、21ln 2x C +
四、 1、2
21x dy dx x
=-
- 2、2
2(cos2sin 2)x dy e x x x dx =- 3、0
12
x dy dx ==
五、
（1）0.76≈ （2） 1.0067≈
第二章 复习题（一）
一、 1. 1-
2.
(0)f '
3. n
4. (1sin )cos f x x '+、cos sin f x f x '''-
5.
ln(1)e -
6.
2
11
arctan(1)1(1)
x x -?-+- 7.
344sin(2)x x 、246412sin(2)32cos(2)x x x x +、242sin(2)x x
二、 1. D 2. D
3. A
4. D
5. B 三、
1．21
sin 2
2
sin
d x x y
e x =-
2．
2
3d 331d y t t x t == 22
32
d 991d y t t x
t
== 3．2
11y y y
'
'+
=+ 2
21y y y
+'= 235
22(1)
y y y y y +'''=-=-
4． 1
sin 22
y x =
(50)504912sin(250)222sin 2y x x π=
?+?=-
5．ln [ln ln(1)]y x x x =-+
11
[ln ln(1)()]1y y x x x x x
'=-++-+
1()[ln ln(1)]11x x x x x x
=-++++ 四、(0)0(0)2f f b a -
+
===++
(0)(0)f a f b -+''===
1a b ==-
五、设交点为00(,)x y ， 由22x y a -=，0
x y y '=
由0
2
00
,b y xy b y x x '==-=- 因此得证。
习 题 十三
一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×）
√，√，√，√ 二、
C 、C 、C 、C 、D
三、令()ln f x x =，利用拉格朗日中值定理 四、令2()F x x =，利用柯西中值定理。 五、令()()F x xf x =，利用罗尔中值定理
习 题 十四
一、单项选择题 B 、C 、C 二、
12323111(1)()ln 2(2)(2)(2)(2)(2)222322
n n n
n f x x x x x o x n --??=+---+-++-+-?? 三、
12
3
1
2
2(1)()12222(1)(01)(1)
n n
n
n n f x x x x x x x θθ+++-=-+-++-+<<+ 四、13
习 题 十五
一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×）
×，√，√，× 二、
B 、
C 三、
1、2-
2、1
3、2-
4、1
2 5、2
6、12
e
-
7、6e 8、e 9、 1
习 题 十六
一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×） ×，×，×，× ，× 二、
A 、D 、
B 、D 、A 四、
1、 在10,e ?? ???上单调减少；在1
,e
??+∞????
上单调增加
2、 在(],1-∞上单调增加；在[]1,2上单调减少；在[)2,+∞上单调增加 五、
1、 在5,3??-∞ ??
?上是凸的；在5,3??+∞????上是凹的；拐点是520,327
?? ???
2、 在(][),1,1,-∞-+∞上是凸的；在[]1,1-上是凹的；拐点是()1,ln 2± 六、
31
,22
a b =
=
习 题 十七
一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×） ×，×，√，× ，√ 二、
A 、
B 、B 、A 三、
1、极大值12(
)5
y 2、单调减少，无极值 四、 6.5p = 五、5t =
习 题 十八
一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×） ×，√，× ，√， √ 二、
C 、C 、
D 、B
三、22(3)(2)8x y -++=
第二章 复习题（二）
一、填空题
1． 0 2．),(+∞-∞ 3． 20 4． [-1，1]
5．)10(,)!
22(])1(cos[)!2()1(!4!2122242<<++++-++-+θπθm m
m x m m x m x x x 6．)3
2,
32(2
-e 。 二、选择题
1． C 2． D 3． D 4 C 三、求下列函数极限 1．π
π211
arccos lim
1=
+-+-→x x
x
2．ab e
b
a x x
b a x x x
x
x x ==++→→2
ln 1010
lim )2
(
lim
3．61
sin lim 1lim )1(lim )1ln(lim 303sin 03sin 02sin 0=-=-=-=+-→-→-→→x
x x x e x e e x x e e x x x x x x x x x x x 4．21
)1ln(lim )]1ln(11[
lim 2
020
-=-+=-+→→x x x x x x x x
四、证明下列不等式 1 证明：令x
x
x F ln )(=
，得e x =为驻点，于是当e x >时递减，故 b
b a a ln ln >，即有a
b b a > 2 证明：令x x tgx x f 3sin 2)(-+=，由2
0π
<
是
0)0()(='>'f x f ，则当2
0π
< 0)0()(=>f x f ，得证。 五、)0()6(y =120-。 六、解：由1)1ln(lim 3 30=+-→n x ax x x ，得 6,21=-=n a 七、证明：令x n a n x a x a x F n )12sin(1 213sin 31sin )(21--+++= ，由罗尔定理可得证。 八、证明：令) ()()(x g e x f x F =，由罗尔定理可得证。 九、当高r h 4=时，3 min 3 8r V π= 。 习 题 十九 一、判断题（请在正确说法后面画√，错误说法后面画×） √，×，√，√ ，√， 二、 D 、D 、A 、C 三、 1、 ln x C x + 2、4y =+ 3、sin y x C =+ 四、 1、111 6 612ln 112ln 2 x x x C ++-+ 2、211arcsin 52x x e x C x --+++ 3、ln arctan x x C ++ 4、tan cot x x C -+ 5、cos sin x x C -++ 6、tan x x C -+ 7、31 22arctan 3 x x x C -++ 8、tan sec x x C -+ 五、7.1t =≈ 习 题 二十 一、 A 、D 二、 1、arcsin x C 2、C 3、 1ln 2a x C a a x ++- 4、1cos C x -+ 三、 1、arctan x e C + 2、1arccos 2x C + 3、132arctan 483 x x C -+ 4、2 1(32tan )4x C ++ 5、21cos arctan 42x C ??-+ ??? 6、66 1ln 244x C x ++ 7、 2211 ln(1)22 x x C -++ 8、2ln 310x x C +-+ 9、21ln 1ln 1 2x x x C +- -+++ 10、2211ln(1)ln(1) 22x x x C -++++ 11、3 1sin sin 3 x x C -+ 12、 21011 (31)101 x x C -++ 13、()2 3 3 sin cos 2 x x C -+ 14 C + 习 题 二十一 1 、2(arcsin 2a x C a + 2 C 3 、12C + 4 ln(1C + 5 、352281(2)(2)35x x C --+-+ 6 、ln C 7、1arccos C x + 8 、C + 9 3 ln(14C + 10 、1ln 313 x C -+ 11 、ln 1x C -+ 习 题 二十二 一、 C 、C 、B 二、 1、ln x x x C -+ 2、22 21122 x x x e e C --- -+ 3、 cos 2sin 22x x x C x -+ 三 1、3311ln 3 9x x x C - + 2 、211arccos arcsin 24 x x x C -+ 3 、C - 4、2 1tan ln cos 2 x x x x C +-+ 5、ln x e x C + 6、11 cos 2sin 248 x x x C -++ 7、 []sin(ln )cos(ln )2 x x x C -+ 8 、)x C +- 第三章 复习题（一） 一、判断题 √ √ √ × × 二、单项选择题 C D B D 三、填空题 1、 c x x ++-+1112)1(11 1 )1(121 2、 c x +2 arctan 2 1 3 c e e e x x x x ++-+--)1ln()1ln( 4 c x +-2 32 ) 1(31 5 c x x x +-++-23arctan )136ln(212 四、求下列积分 1、原式 =33 2211 (23)(21)1212 x x c +--+ 2、原式= c x x dx x x dx x x x +++= +=+? ?2 1 )4sin(ln 21) 4 sin(2cos sin cos cos ππ 3、原式 =c x x x +------ ---999897)1(99 1 )1(491)1(971 4、原式=c e e e e x x x x ++-+11ln 5、原式=c x x x x ++++-+])1(1ln[)1arctan(2 6、原式 = c x x x x x d x x x d x x dx ++== =+? ? ?2tan ln 412tan 812 cos 2tan 2 tan 41 2 cos 2sin 2 41 )1(cos sin 222 3 7、原式=c x x ++1 arctan 2 8、原式=c x e de x dx x x e x x x +=+- - - ?? sin 2sin 2sin cos 2 2 2 五、00 1)(>≤?? ?+=x x e x x f x 六、证明：由0))]([)()((1 1 1 ='+----? x f F x xf dx x f 即可证 习题二十三 一．1－5. √×√√√ 二．1-5. D A C B D 三．1. 4 π 2. < > 四．解：在区间[0,1]内将其n 等分，并取子区间[ 1,i i n n -]的右端点作为界点i ξ作积分和1 1i n n i e n =?∑，即有11110111(1())lim lim 11i n n n n x n n n i n e e e dx e e n n e →∞→∞=-=?==--∑? 五．解：令2()x x f x e -=，在区间[0,2]上，有1 2 4 m a x m i n (),()f x e f x e - ==,所以有 《 高等数学(一) 》复习资料 一、选择题 1. 若23lim 53 x x x k x →-+=-，则k =（ ） A. 3- B.4- C.5- D.6- 2. 若21lim 21 x x k x →-=-，则k =（ ） A. 1 B.2 C.3 D.4 3. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+ 4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.1 32 y x =-+ 5. 211 lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.5 6.设函数0()(1)(2)x f x t t dt =+-?，则(3)f '=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 7. 求函数43242y x x =-+的拐点有（ ）个。 A 1 B 2 C 4 D 0 8. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ ）。 A. sin x B. 1x e C. 21 1x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ，0(3)(3) lim 2h f h f h →--=( ) 。 A. 32 B. 3 2 - C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（ ）。 A. 极小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值 11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( ) A.至少有两个零点 B. 有且只有一个零点 C. 没有零点 D. 零点个数不能确定 12. [()'()]f x xf x dx +=? ( ). A.()f x C + B. '()f x C + C. ()xf x C + D. 2()f x C + 13. 已知2 2 (ln )y f x =，则y '=( C ) 2222(ln )(ln )f x f x x '. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln )f x f x x ' D. 22 2(ln )() f x f x x ' 14. ()d f x ? =( B) A.'()f x C + B.()f x C.()f x ' D.()f x C + 15. 2ln x dx x =?( D ) A.2ln x x C + B. ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C + 第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。 三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。 §2 初等函数 必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x 三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0, 0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。 习题一 一、 1. × 2. \/ 3. × 4. × 5. × 6. \/ 7. × 二、 1. A 2. D 3. B 4. A 三、 1. 直线y x = 2. [-1，3） 3. 1[,0]2 - 4. 奇 5. 2 log 1 y y y =- 6. 3,,sin u y e u v v x === 四、 1(2)3f x x += +，2 2 1()1f x x =+， 11(())1211x f f x x x +== ++ +，11()()2f f x x =+ 习题二 一、 1. ∨ 2. × 3. × 4. ∨ 5. ∨ 6. × 7 × 8 × 二、 1. B 2. B 3. A 4. C 5. D 6. C 7. C 三、 1) lim 1x x x - →=-，0 lim 1x x x + →= lim x x x →不存在 2) 1lim ()2x f x + →=，1 lim ()2x f x - →= 1 lim ()2x f x →= 2 lim ()5,lim ()0x x f x f x →→== 习题三 一、 1. × 2. × 3. ∨ 4. × 5. 二、 1. C 2. B 3. D 4. D 三、 (1) 2131 lim 11 x x x →-+=+ (2) 22 11112 lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ (3) 2 02lim 2h hx h I x h →+== (4) 23 I = (5) 0I = (6) 422 lim 13 x x I x →-==- (7) 1 1133lim 213 n n I +→∞-==- (8) 111 lim (1)2212 n n →∞- =+ (9) 23 211132 lim lim 111x x x x x I x x x →→++-+==-=--++ 第 1 页 共 4 页 ……………………………………………装…… …… ……………………订…… …………………… 线………………… … … … … ……… … …… … ……… 此处不能书写 此处不能书写 此处不能书写 此处不能书写 此处不能书写 此 处不能书写 此处不能书写 高等数学A （1）综合测试3 一、选择填空题(18%) 1. d = _________d . 2. 2 1 1dx x +∞ ?=_____________. 3. 设 ()f x 是定义在[1,1]-上的连续奇函数, 则 12 1 (sin )x f x dx -? =________. 4. 设函数()21, 0,1 sin ,0 x x f x x x x ?+≥? =? 【高等数学基础】形成性考核册答案 【高等数学基础】形考作业1答案： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2 ()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、()f x x = =，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等； C 、3 ()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21 ()11 x g x x x -= =+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。 故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称 偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称， 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称 故选C ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()( )()2 2 ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数 C 、()()2 x x a a y x y x -+-= =，所以为偶函数 第一章 函数 一、选择题 1. 下列函数中，【 】不是奇函数 A. x x y +=tan B. y x = C. )1()1(-?+=x x y D. x x y 2sin 2 ?= 2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【 】 A. 3 3)(,)(x x g x x f = = B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 1 1)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == 3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】 A. +arctan y x x = B. cos y x = C. arcsin y x = D. sin y x x =? 4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (0,)π B. (,) 22ππ- C. [,] 22ππ- D. (,+)-∞∞ 6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【 】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 9. 下列各组函数中，【 】是相同的函数 A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x = B. ()f x x =和()g x = C. ()f x x =和()2 g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【 】 A. ()cos f x x = B. ()arccos f x x = C. ()tan f x x = D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【 】 A. (,)22 ππ - B. (0,)π C. (,)-∞+∞ D. [1,1]- 12. 下列函数是奇函数的是【 】 习题11- 函数 1．设函数2,0, ()2,0,x x x f x x +≤?=?>? ，求 （1）(1)f -，(0)f ，(1)f ； （2） ()(0)f x f x ?-?，()(0) f x f x -?-?（0x ?>）． 【解】（1）2|2)1(,2|)2()0(,1|)2()1(101===+==+=-==-=x x x x f x f x f ； （2） ()(0)f x f x ?-????????-=?? ?????-=??.0, 1,0,220,2)2(,0,22x x x x x x x x x x ()(0)f x f x -?-?)0(12 )2(>?-=?-?-=x x x 。■ 2．已知21 ()1f x x x =+()f x ． 【解】令x t 1=，则2111)(t t t f + +=，故2 111)(x x x f ++=。■ 3．证明：()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数． 【证】方法1（定义法） ∵对任意2121),,(,x x x x <+∞-∞∈，有 )sin 2()sin 2()()(112212x x x x x f x f +-+=- 2 sin 2cos 2)(2sin sin )(21221121212x x x x x x x x x x -++-=-+-= 2)1(2)(22sin )1(2)(212121212x x x x x x x x -?-?+->-?-?+-≥ 012>-=x x ，其中用到)0(sin ,cos 1>≤≤-x x x x ， ∴()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数。 方法2（导数法） ∵) (0cos 2)(+∞<<-∞>-='x x x f 天津理工大学考试试卷 2009～2010学年度第一学期 《高等数学 AI》期末考试试卷 课程代码： 1590116 试卷编号： 1-A 命题日期： 2009年 12月 1日答题时限： 120 分钟考试形式：闭卷、笔试 得分统计表： 大题号总分一 二三四五核查人签名 阅卷教师 一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分，共20分）得分 1、设 在 的某邻域内有定义，且，则 在（） A、有极大值； B、有极小值； C、无极值； D、不能判定是否取得极值. 2、设，则在内，是( A、有界函数； B、单调函数； C、周期函数； D、偶函数. 3、由两条曲线和所围成的图形的面积为（） A、 B、 C、 D、 4、设函数在上连续可导，且，则当 时（） A. ； B. ； C. ； D. . 5、设，则在区间内适合 ( A、只有一个； B、不存在； C、有三个； D、有两个. 6、设空间曲面与yoz面相截，截线的方程为( A、； B、； C、； D、. 7、下列反常积分收敛的是（） A、； B、； C、； D、； 8. 若，则为( A、； B、； C、； D、. 9、若则（） A、； B、； C、； D、 . 10、直线与平面的关系是( A、平行，但直线不在平面上； B、直线在平面上； C、垂直相交； D、相交但不垂直. 二、填空题（每空3分，共30分） 得分 1、，且，则； 2、； 3、设连续，且=； 4、； 5、由定积分的几何意义知； 6、由曲线及直线所围成图形的面积是； 7、设，则； 8、设有点A（2 ，3，1），B（1，，2）和C（1，4，2），且，则 = ； 9、若在内连续，则; 10、函数的极小值是. 三、计算题（每小题7分，共28分） 1、已知函数由方程确定，求. 2、已知，求. 3、求由曲线及所围成的平面图形绕轴旋转所得的旋转体的体积. 4、求. 四、解下列各题（每小题8分，共16分） 得分 1、已知的一个原函数为，求. 2、求过点,且与直线垂直的平面方程. 五、证明题（本题6分） --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。 往届高等数学期终考题汇编 2009-01-12 一．解答下列各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim 1 x x e x ++ →. 2.设?? ? ??++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d . 3.设?????-=-=3 232t t y t t x ，求22d d x y . 4.判定级数()()0!1 2≥-∑∞ =λλλn n n n n e 的敛散性. 5.求反常积分() ?-10 d 1arcsin x x x x . 6.求?x x x d arctan . 7.?-π 03d sin sin x x x . 8.将?????≤≤<=ππ πx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间. 9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x x x y 的解. 10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域. 三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点() ()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线 ()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值. 四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数∑∞ =-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛. （2）求幂级数()∑ ∞ =-----1 221 21212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数. 六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()?''-+ ??? ??+-=b a f a b b a f a b dx x f ξ324 1 2 高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案练习三 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 1. 利用格林公式计算下列曲线积分: (1)?-++L dy x y dx y x )()(2222, 其中L 是由y =0, x =1, y =x 所围成区域的正向边界; 解 这里P =x 2+y 2, Q =y 2-x 2, y x y P x Q 22--=??-??, 由格林公式 ?-++L dy x y dx y x )()(2222dxdy y x dxdy y P x Q D D )(2)(+-=??-??=???? 12 32)(102010-=-=+=???dx x dy y x dx x . (2)?-+-+L x x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222, 其中L 为正向星形线3232 32a y x =+(a >0); 解 这里x e y x xy x y x P 22sin 2cos -+=, x ye x x Q 2sin 2-=, 0)2cos sin 2()2cos sin 2(22=-+--+=??-??x x ye x x x x ye x x x x y P x Q , 由格林公式 ?-+-+L x x dy ye x x dx e y x xy x y x )2sin ()sin 2cos (222 0)( =??-??=??dxdy y P x Q D . (3)?+-+-L dy y x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2223, 其中L 为在抛物线2x =πy 2上由点(0, 0)到)1 ,2 (π的一段弧; 解 这里x y xy P cos 223-=, 223sin 21y x x y Q +-=, 0)cos 26()6cos 2(22=--+-=??-??x y xy xy x y y P x Q . 期中高等数学测验 一 填空（共20分，每小题4分） 1 已知)(cos )(sin 2 2 x f x f y +=，则___________________=dx dy 2 已知x x x y )1( +=,则_________ __________=dx dy 。 3 已知曲线的极坐标方程为θ3sin a r =，则它在6 π θ=处的切线方程____________. 4 x x y 2sin =则) (n y =__________________________. 5 已知 02 ] )2([522 lim =-+--+→x B x A x x ，则A=________,B=___________ 二 计算或证明 （每小题7分，共56分 ） 1求 x x x x e sin 1 )23( lim +-→ 的极限。 2 求函数??????? <<+≤≤-=21,2112 1,ln 2)(x x x x x f 的导数。 3求f(x) = ln x 在x = 1 点的n 阶泰勒公式（Peano 余项） 4求由方程y y x =+)cos(确定的隐函数)(x y y =的二阶导数2 2dx y d 。 5 222,1)1ln(dx y d arctgt y t x 求?? ?-=+= 6. 求函数3326)(x x x f -=的极值 7 求?????>-≤=) 1|(||,1|); 1|(|,2 cos )(x x x x x f π的间断点，并判断其类型。 8 证明方程0132 =---x x e x 有且仅有三个实根。 三 （8分）设 ??? ??=≠-=-0,0;0,)()(x x x e x g x f x 其中，)(x g 有二阶连续导数且 1)0(,1)0('-==g g 。 （1）求)(' x f ; （2）讨论)(' x f 在),(+∞-∞上的连续性。 四（8分） 设 ),,,max (21m a a a A =, 且0>k a （m k ,,2,1 =），证明 A n n m n n n a a a =++∞ → 21lim 。 五 （8分）设 n n x x x +-==+11 2,111（ 3,2,1=n ），证明数列}{n x 的极限存在，并求极限。 紫金学院期中高等数学测验 一 填空（共32分，每小题4分） 3 设???≤<≤≤=2 1,21 0,)(2x x x x x f ，则f(x +1) =_______________________- 4 已知)(cos )2(sin 2 x f x f y +=，则 ___________________=dx dy 5 当a=_____,b=_____时，点（1，3）为曲线y = a x 3 +b x 2 的拐点 6 已知x x x y 2)1( +=,则_________ __________=dx dy 。 7 已知曲线?? ?==θ θsin sin b y a x ，（θ为参数），则它在6π θ=处的切线方程____________. 8 x x y 2sin =则) (n y =__________________________. 9 已知02 ] )2([522 lim =-+--+→x B x A x x ，则A=________,B=___________ 10 1 1 1lim 0--→x x e x ＝_______________-- 二 计算或证明 （每小题7分，共49分 ） 1求 x x x x e sin 1 )23(lim +-→ 的极限。 第九章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22 y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z xy +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案： GAGGAGAGGAFFFFAFAF 一、选择题 (2%*10 =20 %) 1、 已知 2(1)f x x -=，则(21)f x +=( D ) . A 、 2(21)x + B 、 241x + C 、2(21)1x ++ D 、 24(1)x + 2、 下列极限存在的是 ( A ) . A 、 2(1)lim x x x x →∞+ B 、01lim 21 x x →- C 、1 0lime x x → D 、x 3、0x =是函数()f x =1sin 01e 0 x x x x x ? 习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ? (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ? (3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4? 关于同济版高等数学下册练习题附答案 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N] 第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a →，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a →及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2 ()αβ→→ ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且 ,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为1111220 0A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=； (B)222160x y z z ++-=； (C)2226160x y z z ++-+=； (D)222 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b 的夹角等于 3 π ，且2,5a b → → ==，求(2)(3)a b a b →→→ → -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b → → → → -?+2()a b → → =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面 4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：高数一试题(卷)与答案解析
高数习题集(附答案)
高数A1习题册答案
大学高等数学A1期末模拟题及答案
【高等数学基础】形成性考核册答案(附题目)
(word完整版)高等数学习题集及答案
合肥工业大学高数习题册上册答案
高等数学A1期末考试试卷.
高等数学习题集[附答案及解析]
最新高数期末考试题.
高等数学课后习题与解答
最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案练习三
南京理工大学高数考试题
高等数学 习题册解答_9.多元函数微分(青岛理工大学)
高等数学A1试卷
关于高等数学课后习题答案
关于同济版高等数学下册练习题附答案
(完整版)高数答案(下)习题册答案第六版下册同济大学数学系编