离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
数理逻辑部分
第2章一阶逻辑
2.1 一阶逻辑基本概念
个体词（个体）: 所研究对象中能够独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示
个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示
个体域: 个体变项的取值范围
有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2}
无限个体域，如N, Z, R, …
全总个体域: 宇宙间一切事物组成
谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词
谓词常项：F(a)：a是人
谓词变项：F(x)：x具有性质F
一元谓词: 表示事物的性质
多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系
如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x y，…
0元谓词: 别含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项
量词: 表示数量的词
全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等
如x 表示对个体域中所有的x
存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一具等
如x表示在个体域中存在x
一阶逻辑中命题符号化
例1 用0元谓词将命题符号化
要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化
(1) 墨西哥位于南美洲
在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲
符号化为p, 这是真命题
在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲
符号化为F(a)
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化
(1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字
分不取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域.
解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为x G(x)
(2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为x G(x)
(b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中
(1) x (F(x)G(x))
(2) x (F(x)G(x))
这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化
(1) 正数都大于负数
(2) 有的无理数大于有的有理数
解注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域
(1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或
x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值
(2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数,
L(x,y)：x>y
x(F(x)y(G(y)L(x,y)))
或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值
几点注意：
1元谓词与多元谓词的区分
无特殊要求，用全总个体域
量词顺序普通别能随便颠倒
否定式的使用
考虑：
①没有别呼吸的人
②别是所有的人都喜爱吃糖
③别是所有的火车都比所有的汽车快
以上命题应怎么符号化？
2.2 一阶逻辑合式公式及解释字母表
定义字母表包含下述符号：
(1) 个体常项：a, b, c, …, a i, b i, c i, …, i1
(2) 个体变项：x, y, z, …, x i, y i, z i, …, i 1
(3) 函数符号：f, g, h, …, f i, g i, h i, …, i1
(4) 谓词符号：F, G, H, …, F i, G i, H i, …, i1
(5) 量词符号：,
(6) 联结词符号：, , , ,
(7) 括号与逗号：(, ), ，
定义项的定义如下：
(1) 个体常项和个体变项是项.
(2) 若(x1, x2, …, x n)是任意的n元函数，t1,t2,…,t n
是任意的n个项，则(t1, t2, …, t n) 是项.
(3) 所有的项基本上有限次使用(1), (2) 得到的.
个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数和复
合函数依然项
定义设R(x1, x2, …, x n)是任意的n元谓词，t1,t2,…, t n 是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, t n)是原子公式.
原子公式是由项组成的n元谓词.
例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式
定义合式公式（简称公式）定义如下：
(1) 原子公式是合式公式.
(2) 若A是合式公式，则(A)也是合式公式
(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B),
(A B)也是合式公式
(4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式
(5) 惟独有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合
式公式.
请举出几个合式公式的例子.
定义在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相
应量词的辖域. 在x和x的辖域中，x的所有浮现都称为约束浮现，A中别是约束浮现的其他变项均称
为是自由浮现的.
例如, 在公式x(F(x,y)G(x,z)) 中,
A=(F(x,y)G(x,z))为x的辖域，
x为指导变元, A中x的两次浮现均为约束浮现，
y与z均为自由浮现.
闭式: 别含自由浮现的个体变项的公式.
给定公式A=x(F(x)G(x))
成真解释: 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1
代入得A=x(x>2x>1) 真命题成假解释: 个体域N, F(x): x>1, G(x): x>2 代入得A=x(x>1x>2) 假命题
咨询: xF(x)x F(x) 有成真解释吗？
xF(x)x F(x) 有成假解释吗？
被解释的公式别一定全部包含解释中的4部分.
闭式在任何解释下基本上命题，
注意别是闭式的公式在某些解释下也也许是命题.
永真式（逻辑有效式）：无成假赋值
矛盾式（永假式）：无成真赋值
可满脚式：至少有一具成真赋值
几点讲明：
永真式为可满脚式，但反之别真
谓词公式的可满脚性（永真性,永假性)是别可判
定的
利用代换实例可判某些公式的类型
定义设A0是含命题变项p1, p2, …,p n的命题公式，
A1,A2,…,A n是n个谓词公式，用A i处处代替A0中的p i (1i n)，所得公式A称为A0的代换实例.
例如:
F(x)G(x), xF(x)yG(y) 等基本上p q的换实例，x(F(x)G(x)) 等别是p q 的代换实例.
定理重言式的代换实例基本上永真式，矛盾式的代
换实例基本上矛盾式.
2.3 一阶逻辑等值式
等值式定义若A B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A B，并称A B 为等值式.
基本等值式:
命题逻辑中16组基本等值式的代换实例
如，xF(x)yG(y) xF(x)yG(y)
(xF(x)yG(y)) xF(x)yG(y) 等消去量词等值式设D={a1,a2,…,a n} xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)
xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)
量词否定等值式
设A(x)是含x自由浮现的公式
xA(x)x A(x)
xA(x)x A(x)
量词分配等值式
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意：对无分配律，对无分配律
例将下面命题用两种形式符号化
(1) 没有别犯错误的人
(2) 别是所有的人都爱看电影
解(1) 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误.
x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x))
请给出演算过程，并讲明理由.
(2) 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.
x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x))
给出演算过程，并讲明理由.
前束范式定义设A为一具一阶逻辑公式, 若A具有如下形式Q1x1Q2x2…Q k x k B, 则称A为前束范式, 其中Q i(1i k)
为或，B为别含量词的公式.
例如，x y(F(x)(G(y)H(x,y)))
x(F(x)G(x))
是前束范式, 而
x(F(x)y(G(y)H(x,y)))
x(F(x)G(x))
别是前束范式.
定理（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公
式都存在与之等值的前束范式
注意:
公式的前束范式别惟一
求公式的前束范式的办法: 利用重要等值式、
置换规则、换名规则、代替规则举行等值演算.
换名规则: 将量词辖域中浮现的某个约束浮现的
个体变项及对应的指导变项，改成其他辖域中未
曾浮现过的个体变项符号，公式中其余部分别变，
则所得公式与原来的公式等值.
代替规则: 对某自由浮现的个体变项用与原公式
中所有个体变项符号别同的符号去代替，则所得公
式与原来的公式等值.
例求下列公式的前束范式
(1) x(M(x)F(x))
解x(M(x)F(x))
x(M(x)F(x)) （量词否定等值式）
x(M(x)F(x))
两步结果基本上前束范式，讲明前束范式别惟一.
(2) xF(x)xG(x)
解xF(x)xG(x)
xF(x)x G(x) （量词否定等值式）
x(F(x)G(x)) （量词分配等值式）另有一种形式
xF(x)xG(x)
xF(x)x G(x)
xF(x)y G(y) ( 换名规则) x y(F(x)G(y)) ( 量词辖域扩张) 两种形式是等值的
(3) xF(x)xG(x)
解xF(x)xG(x)
xF(x)x G(x)
x(F(x)G(x)) （为啥？）
或x y(F(x)G(y)) （为啥？）
(4) xF(x)y(G(x,y)H(y))
解xF(x)y(G(x,y)H(y))
zF(z)y(G(x,y)H(y)) （换名规则）
z y(F(z)(G(x,y)H(y))) （为啥？）
或
xF(x)y(G(z,y)H(y)) （代替规则）
x y(F(x)(G(z,y)H(y)))
(5) x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))
解用换名规则, 也可用代替规则, 这个地方用代替规则 x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))
x(F(x,u)y(G(x,y)H(x,z)))
x y(F(x,u)G(x,y)H(x,z)))
注意：x与y别能颠倒
离散数学知识点整理
离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题：是一个可以判断真假的陈述句。 联接词：∧、∨、→、↔、¬。记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。记住“q除非p”意思是“¬p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 构造真值表 1.2语句翻译 系统规X说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规X说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。 证逻辑等价是通过p推导出q，证永真式是通过p推导出T。
1.4量词 谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如∀x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举，那么∀xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理，∃xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如∀x（P(x)∧Q(x))和(∀xP(x))∧(∀xQ(x))。 量词表达式的否定：¬∀xP(x) ⇔∃x¬P(x)，¬∃xP(x) ⇔∀x¬P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证不代表结论正确，因为也许有的前提是假的。
命题和量化命题的组合使用。 二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系，⊆说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...}，Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集，C复数集。 A和B相等当仅当∀x(x∈A↔x∈B)；A是B的子集当仅当∀x(x∈A→x∈B)；A是B的真子集当仅当∀x(x∈A→x∈B)∧∃x(x∉A∧x∈B)。 幂集：集合元素的所有可能组合，肯定有∅何它自身。如∅的幂集就是{∅}，而{∅}的幂集是{∅，{∅}}。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结 离散数学是一门研究离散对象及其关系、运算规则的数学学科。它 在计算机科学、信息学等领域中扮演着重要的角色，是这些领域的基 础知识之一。本文将对离散数学的一些重要知识点进行总结。 一、集合论 集合论是离散数学的基础，它研究的是元素的集合以及集合之间的 关系。在集合论中，我们需要了解集合的运算、集合的关系、集合的 分割等概念。集合的运算包括交集、并集、差集和补集等，而集合的 关系则包括子集、包含关系等。此外，集合的分割也是一个重要的概念，它将一个集合划分为不相交的子集。 二、图论 图论是离散数学中的重要分支，它研究的是图的性质和图之间的关系。图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。图 论的核心概念包括图的表示方法、图的遍历算法、最短路径算法等。 在实际应用中，我们可以利用图论来解决线路规划、网络优化等问题。 三、逻辑与真值表 逻辑是离散数学的重要组成部分，它研究的是命题之间的关系，以 及命题的真值。逻辑的核心概念包括命题、谓词、命题逻辑和一阶谓 词逻辑等。命题逻辑研究的是命题之间的关系，通过真值表可以展示 命题的真值。一阶谓词逻辑则考虑了命题中的变量、量词等。
四、组合数学 组合数学是研究离散对象组合方式的数学学科。它包括排列、组合、二项式系数等概念。排列是指从一组对象中取出一些对象按照一定的 顺序排列，而组合则是指从一组对象中取出一些对象作为一个集合。 二项式系数是组合数学中常用的工具，它表示在一组对象中选择出一 个子集的方式数目。 五、数论 数论是离散数学中研究自然数的性质和关系的学科。它研究整数、 素数、同余关系等。数论的核心概念包括质数与合数、素数分解、同 余关系和模运算等。数论在加密算法、密码学中有广泛的应用，对于 保证数据安全性至关重要。 总结起来，离散数学是一门研究离散对象及其关系、运算规则的数 学学科，其中包括集合论、图论、逻辑与真值表、组合数学和数论等 重要知识点。它在计算机科学、信息学等领域中具有重要的应用价值。通过学习和理解这些离散数学的知识点，我们可以更好地分析和解决 实际问题，提高自己的数学思维和问题解决能力。
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结 数理逻辑部分 第2章一阶逻辑 2.1 一阶逻辑基本概念 个体词（个体）: 所研究对象中能够独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项：F(a)：a是人 谓词变项：F(x)：x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系 如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x y，… 0元谓词: 别含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项 量词: 表示数量的词 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如x 表示对个体域中所有的x 存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一具等 如x表示在个体域中存在x 一阶逻辑中命题符号化 例1 用0元谓词将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化 (1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲
符号化为p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 符号化为F(a) 例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字 分不取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域. 解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为x G(x) (2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为x G(x) (b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中 (1) x (F(x)G(x)) (2) x (F(x)G(x)) 这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用. 例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域 (1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或 x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值 (2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值 几点注意： 1元谓词与多元谓词的区分 无特殊要求，用全总个体域 量词顺序普通别能随便颠倒 否定式的使用
《离散数学》复习提纲(2018)
《离散数学》期末复习大纲 一、数理逻辑 [复习知识点] 1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价?），复合命题 2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足）， 公式的基本等值式 3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式 4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法） 5、命题逻辑的推理理论 6、谓词、量词、个体词（一阶逻辑3要素）、个体域、变元（约束出现与自由出 现） 7、命题符号化、谓词公式赋值与解释，谓词公式的类型（永真、永假、可满足） 8、谓词公式的等值式（代换实例、消去量词、量词否定和量词辖域收与扩、量 词分配）和置换规则（置换规则、换名规则） 9、一阶逻辑前束范式（定义、求法） 本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、 公式类型的判定、命题逻辑的推理、谓词与量词、命题符号化、谓词公式赋值与 解释、求前束范式。 [复习要求] 1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方 法。 2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简 其它公式，公式在解释下的真值。 3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取） 范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。 4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公 式等价方法。 5、掌握命题逻辑的推理理论。 6、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念；理解用谓词、量词、逻辑
联结词描述一个简单命题；掌握命题的符号化。 7、理解公式与解释的概念；掌握在有限个体域下消去公式量词，求公式在给定 解释下真值的方法；了解谓词公式的类型。 8、掌握求一阶逻辑前束范式的方法。 二、集合 [复习知识点] 1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂 集 2、集合的交、并、差、补以及对称差等运算及有穷集的计数（文氏（Venn）图、包含排斥原理） 3、集合恒等式（幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、矛盾律、德摩根 律等）及应用 本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明。 [复习要求] 1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。 2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补、对称差等基本运算。 3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。 三、二元关系 [复习知识点] 1、序偶、迪卡儿积，迪卡儿积的性质及运算。 2、二元关系（定义、空关系、全域关系、恒等关系）、关系表达式、关系矩阵与 关系图 3、关系的定义域、值域、限制、像、复合关系（右复合）与逆关系 4、关系的性质（自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性） 5、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包） 6、等价关系与等价类、商集、划分 7、偏序关系与哈斯图、极大/小元、最大/小元
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
数理逻辑部分 第2章一阶逻辑 2.1 一阶逻辑基本概念 个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项：F(a)：a是人 谓词变项：F(x)：x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系 如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x y，… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项 量词: 表示数量的词 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如x 表示对个体域中所有的x 存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如x表示在个体域中存在x 一阶逻辑中命题符号化 例1 用0元谓词将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化 (1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲 符号化为p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 符号化为F(a)
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域. 解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为x G(x) (2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为x G(x) (b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中 (1) x (F(x)G(x)) (2) x (F(x)G(x)) 这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用. 例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域 (1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或 x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值 (2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值 几点注意： 1元谓词与多元谓词的区分 无特别要求，用全总个体域 量词顺序一般不能随便颠倒 否定式的使用 思考： ①没有不呼吸的人 ②不是所有的人都喜欢吃糖 ③不是所有的火车都比所有的汽车快 以上命题应如何符号化？ 2.2 一阶逻辑合式公式及解释字母表 定义字母表包含下述符号： (1) 个体常项：a, b, c, …, a i, b i, c i, …, i1 (2) 个体变项：x, y, z, …, x i, y i, z i, …, i 1 (3) 函数符号：f, g, h, …, f i, g i, h i, …, i1 (4) 谓词符号：F, G, H, …, F i, G i, H i, …, i1 (5) 量词符号：, (6) 联结词符号：, , , , (7) 括号与逗号：(, ), ， 定义项的定义如下： (1) 个体常项和个体变项是项. (2) 若(x1, x2, …, x n)是任意的n元函数，t1,t2,…,t n
离散数学第二章知识点
命题逻辑等值演算 等值式 定理：设A，B两个命题公式（即前面的合式公式），若A，B构成的等价式A↔B 为重言式，则A与B是等值的，记作A⇔B(可以说该式子为等值式模式) 常用的16组等值式模式： 双重否定律：A⇔﹁﹁A 幂定律：A⇔A∧A，A⇔A∨A 交换律:A∨B⇔B∨A,A∧B⇔B∧A 结合律：(A∨B)∨C⇔A(B∨C) (A∧B)∧C⇔A(B∧C) 分配律:A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C) A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C) 德摩根律：﹁(A∨B)⇔﹁A∧﹁B ﹁(A∧B)⇔﹁A∨﹁B 吸收律：A∨(A∧B)⇔A，A∧(A∨B)⇔A 零律：A∨1⇔1,A∧0⇔0 同一律:A∨0⇔A,A∧1⇔1 排中律:A∨﹁A⇔1 矛盾律:A∧﹁A⇔0 蕴涵等值式: A→B⇔﹁A∨B 等价等值式: A↔B⇔(A→B)∧(B→A) 假言易位:A→B⇔﹁B→﹁A(这里可以用逆否命题的概念证明) 等价否定等值式:A↔B⇔﹁A↔﹁B(或写成﹁B↔﹁A，这里可以用逆否命题的概念证明) 归谬(miu)论：(A→B)∧(A→﹁B)⇔﹁A(此处可以通过蕴涵等值式，交换律以及结合律进行结合证明) 上述等值式模式可以通过真值表证明 等值式的验证 1.等值演算法（即通过等值式模式对原式进行变形） 举例:(p∨q)→r⇔(p→r)∧(q→r) 证明时可以从左边开始演算也可以从右边开始演算，无硬性要求，这里我们从右边开始演算。 (p→r)∧(q→r) ⇔(﹁p∨r)∧(﹁q∨r) //蕴涵等值式 ⇔(﹁p∧﹁q)∨r //分配律 ⇔﹁(p∨q)∨r //德摩根律 ⇔(p∨q)→r //蕴涵等值式 2.真值表法（我在第一章的最后有叙述，这里不再重述） 3.观察法（也可称为带入法，此处适合用以证明两式不等值的情况）
离散数学知识点总结
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;
3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数 2种不同的关系； 为mn，A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；
离散数学知识点整理
离散数学 一.逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题：是一个可以判断真假的陈述句。 联接词：A. V. -、f -o记住“p仅当q”意思是“如果p,则q” ,即 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。 1. 3命题等价式 逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。 证逻辑等价是通过推导出证永真式是通过推导岀。
1・4量词 谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如Vx>OP(x)o 当论域中的元素可以一一列举，那么VxP(x)就等价于P(xl)AP(x2)... A P (xn) o 同理，3 xP (x)就等价于P(xl) \/P(x2)・•. VP(xn) o 两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什 么，他们总有相同的真值，如V x (P(x) AQ(x))和(V xP(x)) A (W xQ(x))。量词表达式的否定：「V xP (x) o 3 x「P(x), T xP (x) o V X^P (x) O 1.5量词嵌套我们釆用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用徳摩根定律，将否定词移入所有量词里。 1・6推理规则 一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证不代表结
二.集合、函数、序列、与矩阵 2 ］集合 W说的是元素与集合的关系，匚说的是集合与集合的关系。常见数集有N=｛0,l,2, 3...｝, Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集, C复数集。 A和B相等当仅当V X(X WA F EB)； A是B的子集当仅当V x(xGA-xGB)； A 是B 的真子集当仅当V x(xWAf xWB) AB X(X^AA X^B)。 幕集：集合元素的所有可能组合，肯定有0何它自身。如0的幕集就是｛可，而｛0｝的幕集是｛0, ｛0｝｝。 笛卡尔积：AXB,结果是序偶，其中的一个子集叫一个关系。带量词和集合符号2 考虑A-B的函数关系，定义域、陪域(实值函数、整数值函数)、值域、 像集(定义域的一个子集在值域的元素集合)。 一对一或者单射：B可能有多余的元素，但不重复指向。 映上或者满射：B中没有多余的元素，但可能重复指向。 一一对应或者双射：符合上述两种情况的函数关系。 反函数：如果是一一对应的就有反函数，否则没有。合成函数：f og(a)=f(g(a)), 一般来说交换律不成立。 2. 4序列 无限集分为：一组是和自然数集合有相同基数，另一组是没有相同基数。前者是可数的，后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的，则AUB也是可数的。 如果存在一对一函数f从A到B和一对一函数g从B到A,那么A和B之间是一
离散数学文档第二章
第二章一阶逻辑 由上一章我们知道，命题逻辑可以形式化地描述一些自然语言中的逻辑思维，也能够用形式化的方法进行一些逻辑推理。但命题逻辑以原子命题作为最小的研究单位，不对原子命题的内部结构做深入研究。然而，这无论是在数学中还是在计算机科学中，都是不够的。例如，下列推理是人所共知的：所有的人都会呼吸,他是人,所以他会呼吸. 但是，命题演算却无法反映上述推理，因为前提和结论都只能表示为原子命题，例如表示为p，q，r。在命题演算系统中,无法由前提p, q推出结论r, 结论r也根本不是前提p，q 的逻辑结果。 这三个命题中涉及两个概念，它们表示事物的性质：“是人”，“会呼吸”，我们称之为谓词。它们还涉及两种主体：“所有的人”，“他”，我们称之为个体。前者表示一类个体的全部，这里使用了数量词“所有”，我们称之为量词。只有当这些细节都被清楚地表示出来，同时建立起它们之间逻辑关系的形式描述，那么刻划类似上述本章引例的推理才是可能的。谓词演算及其形式系统正是以此为目的而建立的。一阶逻辑研究的基本内容是：原子命题的个体词、谓词和量词，研究它们的形式结构和逻辑关系、正确的推理形式和规则。 2.1一阶逻辑的基本概念 2.1.1 个体词、谓词、量词 2.1.1.1个体词与谓词 定义2.1.1在原子命题中，所描述的对象称为个体；用以描述个体的性质或个体间关系的部分，称为谓词。 个体：原子命题中的主语部分； 个体常元：表示特定的个体，以a，b，c，…(或带下标)表示; 个体变元: 表示个体的变元，以x，y，z，…(或带下标)表示; 个体域：个体变元的取值范围； 谓词: 原子命题中的谓语(或表语)部分，常用大写字母P，Q，R，…(或带下标)表示; 定义2.1.2一个原子命题的谓词形式为： 谓词符号(个体常元1，个体常元2，…)。 ［例2.1.1］张明是位大学生。
(完整word版)离散数学重点笔记
第一章，0 命题逻辑 素数 =质数，合数有因子 和或假必真同为真 (p →q) ∧ (q ←→ r) ， (p ∧ q) ∧┐ r ， p∧ (q ∧┐ r) 等都是合式公式，而pq→ r ，（ p→ (r →q) 等不是合式公式。 若公式 A 是单个的命题变项，则称( ┐ p∧ q) → r ，( ┐ (p →┐ q)) ∧ ((r A 为 ∨ s) 0 层合式 ┐ p) 分别为 3 层和 4 层公式 【例】求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。(┐p∧ q)→┐ r 公式 (1) 的成假赋值为011，其余 7 个赋值都是成真赋值 第二章，命题逻辑等值演算 （ 1）双重否定律 A A （ 2）等幂律 A ∧ A A ； A∨A A （ 3）交换律 A ∧ B B∧ A ； A∨B B∨ A （ 4）结合律（A∧ B）∧ C A∧（ B∧ C）；（A∨B）∨ C A∨（ B∨ C） （ 5）分配律（A∧ B）∨ C （A∨C）∧（ B∨C）；（A∨ B）∧ C （ A∧ C）∨（ B∧ C）（ 6）德·摩根律（A∨B）A∧ B ；（A∧B）A∨ B （ 7）吸收律 A ∨（ A∧ B）A；A∧（ A∨B） A （ 8）零一律 A ∨ 1 1 ； A∧0 0 （ 9）同一律 A ∨ 0 A ； A∧1 A （ 10）排中律 A ∨ A 1 （ 11）矛盾律 A ∧ A 0 （ 12）蕴涵等值式 A → B A∨ B （ 13）假言易位 A → B B→ A （ 14）等价等值式 A B （A→ B）∧（ B→ A） （ 15）等价否定等值式 A B A B B A （ 16）归缪式（A→ B）∧（ A→B） A
离散数学课后答案详解第二版
离散数学课后答案详解第二版 离散数学课后答案详解第二版是一本重要的参考书，在学习离散数 学的过程中能够提供很大的帮助。下面就是本书中的一些重要知识点 和解答，希望对各位读者有所帮助。 一、命题逻辑 1.什么是命题？ 命题是用来陈述某个陈述语句真假的陈述句。 2.什么是合取和析取？ 合取是将两个命题连接起来，且要求两者同时成立，符号用“∧”表示；析取是也将两个命题连接起来，但是只要求其中一个成立即可，符号 用“∨”表示。 3.什么是条件和双条件？ 条件是指前者为真则后者为真，否则后者为假，符号用“→”表示；双 条件是指前者为真则后者为真，否则后者为假；同时后者为真则前者 也为真，反之后者为假则前者也为假，符号用“↔”表示。 4.什么是命题公式？
命题公式是用变量、命题连接词和括号构成的表达式，构成命题公式的常常为命题或者是一些常用的命题连接词。 二、谓词逻辑 1.什么是一阶逻辑？ 一阶逻辑是对命题进行量化的扩展。除了命题外，一阶逻辑还包括了“个体”和它们之间的关系，以及用于描述这些关系的“量词”。 2.什么是量词？ 量词包括“存在量词∃”和“全称量词∀”，前者表示存在至少一个使谓词成立的个体，后者表示所有个体都满足该谓词。 3.什么是命题函数？ 命题函数是将数学函数和逻辑命题符号相结合的一种新型命题符号。 4.什么是名词？ 名词是指代对象的标签，它是一般化的名词。例如，女人是一般化的名词，梅丽莎是特定的名词。
三、集合论和图论 1.什么是集合？ 集合是指具有某种共同特征而组成的元素的整体。 2.什么是集合的理论？ 集合的理论是关于集合的性质、关系和操作的一种抽象理论。 3.什么是图？ 图是用来描述一些个体之间的关系的工具，由节点和边构成。其中节点表示个体，边表示个体之间的某种关系。 4.什么是路径？ 路径是指通过边连接一些节点的一系列节点。 四、树和排序 1.什么是树？ 树是一种数据结构，它由一组节点和边构成。节点可以包含数据，边用于连接节点并表示关系。
离散数学部分概念和公式总结(考试专用)
命题：称能判断真假的陈述句为命题。 命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。 命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。 命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。 （2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。 （3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。 主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。 主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。 命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。 约束变元和自由变元：在合式公式∀x A和∃x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。 前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。 笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。 二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。特殊关系：（1）、空关系：Φ（2）全域关系：EA={
离散数学知识点整理
离散数学 一、逻辑和证明 命题逻辑 命题：是一个可以判断真假的陈述句。 联接词：∧、∨、→、↔、¬。记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。记住“q除非p”意思是“¬p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 构造真值表 语句翻译 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。 命题等价式 逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。 证逻辑等价是通过p推导出q，证永真式是通过p推导出T。
量词
谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如∀x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举，那么∀xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理，∃xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如∀x（P(x)∧Q(x))和(∀xP(x))∧(∀xQ(x))。 量词表达式的否定：¬∀xP(x) ⇔∃x¬P(x)，¬∃xP(x) ⇔∀x¬P(x)。 量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。 推理规则 一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证不代表结论正确，因为也许有的前提是假的。
命题和量化命题的组合使用。 二、集合、函数、序列、与矩阵 集合 ∈说的是元素与集合的关系，⊆说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...}，Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集，
离散数学基础知识
离散数学基础知识 离散数学是计算机科学中一门重要的数学基础学科，它研究离散对 象的性质和关系，主要涉及逻辑、集合论、图论、代数结构等方面的 内容。具备扎实的离散数学基础知识对于计算机科学领域的学习和研 究都具有重要的意义。本文将重点介绍离散数学的一些基础知识。 1. 逻辑 逻辑是离散数学的基础，它研究判断和推理的规则。在计算机科学中，逻辑常常用于描述程序的正确性和推理的过程。逻辑包括命题逻 辑和谓词逻辑两个分支。 命题逻辑研究命题与命题之间的关系，它使用命题变量和逻辑运算 符来构造复合命题。常见的逻辑运算符有非（¬）、与（∧）、或（∨）、蕴含（→）和等价（↔）等。通过逻辑运算符的组合，可以 构建出复杂的逻辑表达式，并通过真值表来确定表达式的真值。 谓词逻辑是对命题逻辑的扩展，它引入了量词和谓词，用于描述对 象之间的关系。谓词逻辑包括一阶逻辑和二阶逻辑两个分支。一阶逻 辑主要研究命题中包含变量的情况，而二阶逻辑则允许变量代表集合 或者谓词。 2. 集合论 集合论是离散数学的另一个重要分支，它研究集合及其运算和关系。在计算机科学中，集合论被广泛应用于描述数据类型、数据结构和算 法等方面。
集合是由一些确定的对象组成的整体，可以用罗素概念公理或者包 含-属于公理来描述。常见的集合运算有并（∪）、交（∩）、差（-） 和补（\）等。通过这些运算，可以构建出各种复杂的集合。 集合论中的函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另 一个集合的元素。函数可以用来描述计算机程序中的算法和操作。常 见的函数类型有单射、满射、双射等。 3. 图论 图论是离散数学的一个重要分支，它研究图的性质和关系。在计算 机科学中，图论被广泛应用于网络、算法和人工智能等方面。 图是由顶点和边组成的结构，可以用来描述对象之间的关系。图的 类型包括有向图和无向图，以及它们的变种如加权图和带标签的图等。图的常见概念有度、路径、连通性和环等。 图的表示方法有邻接矩阵和邻接表两种。邻接矩阵使用二维数组来 表示顶点之间的连接关系，邻接表则使用链表来表示边的信息。通过 这些表示方法，可以方便地进行图的遍历和搜索。 4. 代数结构 代数结构是离散数学的另一个重要内容，它研究集合上的运算和关系。在计算机科学中，代数结构被广泛应用于编程语言、数据库和密 码学等方面。 常见的代数结构包括群、环和域等。群是一个集合和一个二元运算 构成的代数结构，满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。环在
离散数学期末考试复习资料(选择题和判断题)
单项选择题 第一章 命题逻辑 1．下列语句，哪一个是真命题：（ B ） A ．我正在说谎 B ．如果1+1=0，那么雪是黑的 C ．9+5＞18 D ．存在最大的质数 2．下面哪一个命题是假命题（ A ） A ．如果2是偶数，那么一个公式的析取范式唯一 B ．如果2是偶数，那么一个公式的析取范式不唯一 C ．如果2是奇数，那么一个公式的析取范式唯一 D ．如果2是奇数，那么一个公式的析取范式不唯一 3．下面哪个联结词运算不可交换（ B ） A ． ∧； B ．→ C ．∨ D ．↔ 4．设P ：天下大雨，Q ：他乘公共汽车上班。命题“只有天下大雨，他才乘公共汽车上班” 符号化为（ B ） A ．P →Q B ．Q →P C ．P ↔Q D ． ⌝P →Q 5．设P ：天下钉子，Q ：我去B 城 。命题“除非天下钉子，否则我去B 城”符号化为：（ C ） A ．P → Q B ．Q → P C ．⌝P → Q D ．Q → ┐P 6．设P ：我们划船，Q ：我们跳舞，命题“我们不能既划船又跳舞”符号化为（ B ） A ．P V Q 2）┐（P ∧Q ） C ．┐P ∧┐Q D ．┐P ∧Q 7．令P ：今天下雪了，Q ：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ） A ．P →┐Q B ．P∨┐Q C ．P∧Q D ．P∧┐Q 8．设P ：我将去镇上，Q ：我有时间，命题“我将去镇上，仅当我有时间”，符号化为（ A ）。 A ．P → Q B 、Q → P C 、P ↔Q D 、┐P∨┐Q 9．下面哪一个命题公式是重言式（ D ） A ．（P ∨R ）∧（P → Q ） B ．P →（Q ∨R ） C ．（P ∨Q ）↔（Q ∨R ） D ．（P →（Q → R ））→（P → Q ）→（P →R ） 10．下面哪一组命题公式不是等价的（ C ） A ．（P →Q ）∧（Q →P ），P ↔Q B ． ⌝（P ↔Q ），（P ∧┐Q ）∨（┐P ∧Q ） C ．P →（Q ∨R ），┐P ∧（Q ∨R ） D ． P →（Q ∨R ），（P ∧┐Q ）→ R 11．下面哪个命题公式是重言式（ B ） A ．（P → Q ）∧（Q →P ） B ．（P ∧Q ）→P C ．（┐P ∨Q ）∧┐（┐P ∧Q ） D ．（P →Q ）→P 12．下列公式哪一个是两个命题变元P ，Q 的小项（ C ） A ．P∧┐P∧Q B ．┐P∨Q C ．┐P∧Q D ．┐P∨P∨Q 13．一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的。（ C ） A ．析取范式 B ．合取范式 C ．主析取范式 D ．以上答案都不对 14．命题公式⌝(P →Q)的主析取范式编码为 ( D ) A ．000111m m m ∨∨ B ．00m ∨11m C ．01m D ．10m
离散数学复习提纲
一、数理逻辑（第1章、第2章） ·命题定义、联结词（与、或、非、单条件、双条件） ·命题公式、真值、真值表、符号化 ·谓词、量词（全称、存在）、谓词公式 ·一阶逻辑符号化（所有的。。。是。。。，、和有些。。。是。。。。特性谓词）·谓词公式求真值（在某种解释下） ·命题公式的等值（等价）演算（十大定律） ·命题公式的主范式 ·谓词公式的前束范式 ·命题逻辑应用 ·命题逻辑推理（推理定律、推理规则：P，T，CP） ·谓词逻辑推理（推理定律、推理规则：P，T，CP，UI，EI,UG,EG）···························· 二、集合论（第3章） ·集合的定义与表示方法（解析法、枚举法、文氏图法） ·集合间的相互关系（定义，符号：⊆⊂ =） ·集合的运算定义与图示（⋂⋃ - ~⊕⨯ P / ）——入集条件 ·集合定律（十大定律） ·集合恒等式的证明 法一：直接利用定律及已证等式 法二：利用集合相等的定义（①左⊆右∧右⊆左②x∈左⇔ x∈右） ·集合的元素计数与应用（包容排斥原理） · · ······························· 三、关系论（第4章） ·二元关系的定义及其表示（解析法、集合法、图示法、矩阵法） ·关系的运算（集合的所有运算+左复合、求逆、求闭包） ·关系的性质（定义、关系图特点、矩阵的特点、证明） ·等价关系（定义、等价类、上集、划分） ·偏序关系与偏序集（定义、哈斯图） ·全序集（线序集、定义、最元、极元、界元、确界）································· 四、函数论（第4章） ·定义（唯一性） ·A到B的函数（唯一性、良定性） ·特殊函数（常、恒等、单增、单减、特征、自然映射） ·BA的计数 ·函数的性质（单、满、双，判断） ·函数的复合（左复合） ·反函数（只有双设才有）·······························