【泄露天机】2018届全国统一招生高考押题卷理科数学(一)试卷(含答案)

绝密 ★ 启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学（一）

注意事项：

1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数()i z a a =+∈R

的共轭复数为z ，满足1z =，则复数（ ） A ．2i + B ．2i -

C ．1i +

D ．i

【答案】D

【解析】根据题意可得，i z a =-，所以211z a =+=，解得0a =，所以复数i z =．

2．集合()1=0,sin 12A θθ??∈π????＜≤，14B ????

π=<

A ．4

2θθ??

ππ<

B ．16θθ??

π<

C ．62θθ??

ππ<

D ．14θθ??

π<

【答案】D

【解析】()15=0,sin 1266A θθθθ????

ππ∈π=<

I ．

3．2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠（白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对）的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为（ ） A ．

1

4

B ．13

C ．

23

D ．

34

【答案】C

【解析】分别设一对白色斑块的野生小鼠为A ，a ，另一对短鼻子野生小鼠为B ，b ，从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只，所求基本事件总数为4312?=种，拿出的野生小鼠是同一表征的事件为(),A a ，

(),a A ，(),B b ，(),b B ，共计4种，

所以拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为421123

-

=． 4．已知函数()()2sin f x x ω?=+的图象向左平移

6

π

个单位长度后得到函数sin 23cos 2y x x =+的图象，则?的可能值为（ ）

A ．0

B ．

6

π C ．

3

π D ．

12

π 【答案】A

【解析】将函数sin 23cos 22sin 23y x x x π??=+=+

???的图象向右平移6

π

个单位长度，可得2sin 22sin 263y x x ?ππ?

??=-+= ????

???的图象，所以0?=．

5．在海昏侯墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱．汉代串铜钱的丝绳或麻绳叫“缗”，后来演变为计量铜钱的单位，1000枚铜钱用缗串起来，就叫一缗．假设把2000余缗铜钱放在一起码成一堆，摆放规则如下：底部并排码放70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这一堆铜钱的数量为（ ） A ．6210?枚

B ．62.0210?枚

C ．62.02510?枚

D ．62.0510?枚

【答案】B

【解析】由题意可知，构成一个以首项为70缗，末项为31缗，项数为40层，公差为1的等差数列，

则和为()

4070+31=

=20202

S ?缗，这一堆铜钱的数量为620201000 2.0210?=?枚．

6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

正视图

侧视图

此

卷

只

装订不

密

封

班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

A ．2π+

B ．1+π

C ．2+2π

D ．12π+

【答案】A

【解析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱组合所成，

21

112π122π2

V =??+???=+．

7．如图的程序框图，当输出15y =后，程序结束，则判断框内应该填（ ） A ．1x ≤

B ．2x ≤

C ．3x ≤

D ．4x ≤

【答案】C

【解析】当3x =-时，3y =；当2x =-时，0y =；当1x =-时，1y =-；当0x =时，0y =；当1x =时，3y =；当2x =时，8y =；当3x =时，15y =； 所以y 的最大值为15，可知3x ≤符合题意．

8．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）

A ．2

x x

y =

B ．22x

y =-

C ．e x

y x =-

D ．|2

|2x y x =﹣

【答案】D

【解析】对于A ，函数()2

x x x

f =

，当0x >时，0y >，0x <时，0y <，不满足题意；对于B ，当0x ≥时，()f x 递增，不满足题意；对于C ，当0x ≥时，()0f x >，不满足题意；故选D ．

9．若双曲线C ：()222210,0x y a b a b

-=>>的一条渐近线被抛物线24y x =

，

则双曲线C 的离心率为（ ） A ．

1

4

B ．1

C ．2

D ．4

【答案】C

【解析】双曲线C ：()22

2210,0x y a b a b

-=>>的一条渐近线方程不妨设为：0bx ay +=，与抛物

线方程联立，2

4bx ay y x

+=??=?，消去y ，得240ax bx +=，所以121240

b x x a x x ?

+=-?

??=?，所以所截得的弦长

=，

化简可得24bc a =

，2bc =，()

222412c a c a -=，42120e e --=，得24e =或3-（舍），所以双曲线C 的离心率2e =．

10

．若x 是函数()()

22e x f x x ax =-的极值点，则函数()y f x =的最小值为（ ） A

．(

2e +B ．0

C

．(

2-D ．e -

【答案】C

【解析】()()

22e x f x x ax =-，∴()()()

()2222e 2e 212e x x x

f x x a x ax x a x a '??=-+=+--??-，

由已知得，0f '

=

，∴220a +-=，解得1a =．

∴()(

)

22e x f x x x =-，∴()()22e x f x x '-=，

所以函数的极值点为

，

当(x ∈时，

()0f x '<，所以函数()y f x =是减函数，

当(,x ∈-∞

或)

x ∈

+∞时，()0f x '＞，函数

()y f x =是增函数．又当()(),02,+x ∈-∞∞U 时，220x x ->，()0f x ＞，当()0,2x ∈时，

220x x -<，()0f x <，∴()min f x 在()0,2x ∈

上，又当(

x ∈时，函数()y f x =

递减，当

)

x ∈

时，函数()y f x =递增，∴(

)

(

min 2f x f

==-．

11．点(),M x y 在曲线2

2

:4210C x x y -+-=上运动，2

2

+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值

为b ，若a ，b +∈R ，则11

1a b

++的最小值为（ ） A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】A

【解析】曲线2

2

:4210C x x y -+-=可化为()2

2225x y -+=，表示圆心在()2,0A ，半径为5的

圆，2222

+1212150(6)(6)222t x y x y a x y a =+---=++---，22(6)(6)x y ++-可以看作点M 到点()6,6N -的距离的平方，圆C 上一点M 到N 的距离的最大值为5AN +，即点M 是直线AN 与

圆C 的离点N 最远的交点，所以直线AN 的方程为()3

24

y x =--，

联立()()22324225

y x x y ?=--???-+=?

，解得1163x y =??=-?或2123x y =-??=?（舍去），当63x y =??=-?时，t 取得最大值，则

2

2

max (66)(36)222t a b =++----=，所以3a b +=，所以()14a b ++=，

()111111112114141b a a b a b a b a b +????+=+?++?=++ ? ???+++????

≥， 当且仅当

11b a a b +=

+，1

2a b =??=?

时取等号． 12．已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数()()5g x f x x =-+，数列

{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()()1

2

945g a g a g a +++=L

，

则129a a a +++=L （ ） A ．45 B ．15

C ．10

D ．0

【答案】A

【解析】由函数()()5g x f x x =-+，所以()()555g x f x x -=-+-， 当5x =时，()()()5555550g f f -=-+-=，

而函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，所以()00f =，所以()550g -=； 由()()()12945g a g a g a +++=L ，得()()()1295550g a g a g a ?-?+?-?++?-?=??????L ， 由函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数， 可知()5y g x =-关于()5,0对称，且在R 上是单调递增函数，

由对称性猜想()550g a -=，下面用反证法说明()550g a -=， 假设()550g a -<，知55a <，则1910a a +<，2810a a +<，

由对称性可知()()19550g a g a ?-?+?-?

， 则()()()1295550g a g a g a ?-?+?-?++?-?也不成立， 所以()550g a -=，所以55a =，

根据等差数列性质，1295945a a a a +++==L ．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知变量x 、y 满足20

3500x y x y x -??

-+???

≤≥≥，则2z x y =--的最小值为_______．

【答案】4-

【解析】根据约束条件画出可行域，直线2z x y =--过点()1,2A 时，z 取得最小值是4-．

14．已知ππ,43α??∈????，,2βπ??∈π????，满足()sin sin 2sin cos αβααβ+-=，则sin 2sin()α

βα-的最

大值为________．

【解析】因为()sin sin 2sin cos αβααβ+-=， 所以sin cos cos sin sin 2sin cos αβαβααβ+-=，

所以cos sin sin cos sin αβαβα-=，即()sin sin βαα-=， 因为ππ,43α??∈????，,2βπ

??∈π????

，所以2βα=，

则

sin 2sin 22sin cos 2cos sin()sin sin αααα

αβααα

===-，

因为ππ

,43α??∈????

，所以2cos α?∈?，所以sin 2sin()αβα-

15．已知正方形ABCD 的边长为1，P 为面ABCD 内一点，则()()

PA PB PC PD +?+uu r uu r uu u r uu u r

的最小值为

____________． 【答案】1-

【解析】建立如图所示的坐标系，以B 为坐标原点， 则()0,1A ，()0,0B ，()1,0C ，()1,1D ，设(),P x y ，

则()=,1PA x y --u u r ，()=,PB x y --u u r ，()=1,PC x y --u u u r ，()1,1PD x y =--u u u r

，

(

)(

)

()()()()()2

++=2,1221,121241PA PB PC PD x y x y y x x ?--?--=---uu r uu r uu u r uu u r

()()2

2

12211y x =-+--，

当1

2

x =

，12y =时，()()

++PA PB PC PD ?u u r u u r u u u r u u u r 的最小值为1-．

16．如图，在四边形ABCD 中，ABD △和BCD △

都是等腰直角三角形，AB ，=2BAD π

∠，

=2CBD π∠，沿BD 把ABD △翻折起来，形成二面角A BD C --，且二面角A BD C --为6

5π

，

此时A ，B ，C ，D 在同一球面上，则此球的体积为___________．

【答案】

3

π 【解析】由已知可知==2BC BD ，BCD △、ABD △的外接圆圆心分别为CD 、BD 的中点E 、F ，分别过E 、F 作BCD △、ABD △所在平面的垂线，垂线的交点O 即为球心，由已知可知AFE ∠即为二面角A BD C --的平面角，所以56AFE π∠=

，又2OFA π∠=，所以3

OFE π

∠=，112EF BC ==

，所以tan 3

OE EF π

=?=

R OC ===

所以343V R =

π=．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，

已知sin sin A B C +=，

（1）若222cos sin cos sin sin A B C A B =++，求sin sin A B +的值， （2）若2c =，求ABC △面积的最大值． 【答案】（1

；（2

． 【解析】（1）∵222

cos sin cos sin sin A B C A B =++，

∴222

1sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+，······1分

∴222

sin sin sin sin sin A B C A B +-=-，······2分

∴222

a b c ab +-=-，······3分

x

∴2221

cos 22

a b c C ab +-=

=-，······4分 又0C <<π，∴23

C π

=

，······5分

23

sin sin 32

A B C π+===．······6分 （2）当2c =

时，a b +=

=······7分

∴()2

2

22224

cos 122a b ab c a b c C ab ab ab

+--+-===-，······8分

∴sin C ===······9分

∴11sin 22S ab C ===······10分

∵a b +=

∴a b +=3ab ≤

，当且仅当a b ==······11分

∴S =

= ∴ABC △

．······12分

18．（12分）据悉，2017年教育机器人全球市场规模已达到8.19亿美元，中国占据全球市场份额10.8%．通过简单随机抽样得到40家中国机器人制造企业，下图是40家企业机器人的产值频率分布直方图． （1）求m 的值；

（2）在上述抽取的40个企业中任取3个，抽到产值小于500万元的企业不超过两个的概率是多少？ （3）在上述抽取的40个企业中任取2个，设Y 为产值不超过500万元的企业个数与超过500万元的企业个数的差值，求Y 的分布列及期望．

【答案】（1）0.04；（2）

14

19

；（3）见解析． 【解析】（1）根据频率分布直方图可知，

()150.030.070.050.010.045

m -+++==．·······2分

（2）产值小于500万元的企业个数为：

()00300454014+??=．

．，·······3分 所以抽到产值小于500万元的企业不超过两个的概率为326

340

C 141C 19P =-=．·······6分

（3）Y 的所有可能取值为2-，0，2．·······7分

()226240

C 5

2C 12P Y =-==

，·······8分 ()112614

2

40C C 70C 15P Y ===，·······9分 ()214240C 7

2C 60

P Y ===．·······10分

∴Y 的分布列为：

期望为：()5773

2021215605

E Y =-?+?+?=-．·······12分

19．（12分）在三棱锥A BCD

-中，2AB AD BD ===，BC DC ==2AC =．

（1）求证：BD AC ⊥；

（2）点P 为AC 上一动点，设θ为直线BP 与平面ACD 所形成的角，求sin θ的最大值．

【答案】（1）见解析；（2）最大值为

7

． 【解析】（1）取BD 中点E ，连接AE ，CE ，

∵2AB AD BD ===，又E 为BD 中点，

∴AE BD ⊥，·······1分 同理可得：CE BD ⊥，·······2分

又AE CE E =I ，∴BD ⊥平面ACE ，·······3分 又AC ?平面ACE ，∴BD AC ⊥．·······4分 （2）∵2AB AD BD ===，2BC DC ==，

∴BCD △为直角三角形，且3AE =，1CE =，

∴222AE EC AC +=，2

AEC π

∠=

，即AE EC ⊥， 又AE BD ⊥，所以AE ⊥平面BCD ，·······5分 ∴以E 为坐标原点，EC 为x 轴，ED 为

y 轴，EA 为z 轴建立如图直角坐标系．

∴()010B -,,，()010D ,,，()100C ,,，()

003A ,

,， 设()000,P x y z ,，()01AP AC λλ=u u u r u u u r ≤≤，()1

03AC =-u u u r ，，，()

0003AP x y z =-u u u r

,,， ∴()()()

000,,31

0303x y z λλλ-=-=-，，，，， ∴000033x y z λλ?=?=??-=-?，即000033x y z λλ

?=?=??=-?，∴()033P λλ-,,，·······6分 ()

=133BP λλ-u u u r

,,，·····7分

()

013DA =-u u u r

，，，()110

DC =-u u u r ,,， 设()111,,x y z =

n 是平面ACD 的法向量，

∴111103000DA y z x y DC ???=-+=?????

-=?=????u u u r

u u u r n n ，令11x =，得11y =，13

3z =， ∴311

3?

?

= ? ??

?

,,n ，·······9分 ∴()2

2

26

sin cos 77232

1313

,BP

BP BP

θλλλλ=<>=

==

?-+?++-??n n n u u u r

u u u r u u u r ， (10)

分

由01λ≤≤，可知27

23228

λλ-+≤≤，

∴2143sin 77θ≤≤，∴sin θ的最大值为437

．·······12分 20．（12分）已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，

有124P P F F +=，椭圆的离心率为1

2

e =； （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）已知()4,0N ，过点N 作直线l 与椭圆交于,A B 不同两点，线段AB 的中垂线为l '，线段AB 的中点为Q 点，记l '与y 轴的交点为M ，求MQ 的取值范围．

【答案】（1）22

143

x y +=；（2）[)0,5． 【解析】（1）因为124P P F F +=，所以24a =，所以2a =，·····1分 因为1

2

e =

，所以1c =，·······2分 所以222413b a c =-=-=，·······3分

所以椭圆C 的标准方程为22

143

x y +=．·······4分 （2）由题意可知直线l 的斜率存在，设l ：()4y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，

联立直线与椭圆()2214

34x y y k x ?==-+?

???，消去y 得()2222433264120k x k x k +-+-=，

2

1223243

k x x k +=+，2122

641243k x x k -=+，·······5分 又(

)

()()2

2223244364120k

k k ?=--+->，解得：11

22

k -<<，·····6分

2

120216243x x k x k +==+，()00212443

k y k x k =-=-+，

所以2221612,4343k k Q k k ??

- ?++??

，·······7分

所以l '：()001y y x x k -=--，即222121164343k k y x k k k ??

+=-- ?++??

，

化简得：21443

k y x k k =-

++，·······8分 令0x =，得2443k m k =+，即2

40,43k M k ?

? ?+??，·······9分 ()

2

2

2422

2222

161616434343k k k k MQ k k k ??+??=+=? ? ?++????+，·······10分 令2

43t k =+，则[)3,4t ∈，

所以2

22222

33

231144161616321t t t t MQ t t t t --??+ ???--????=?=?=?-?-?+?? ???????

， 所以[)0,5MQ ∈．·······12分 21．（12分）已知函数()=ln e x

f x a x -；

（1）讨论()f x 的极值点的个数；

（2）若*a ∈N ，且()0f x <恒成立，求*a ∈N 的最大值． 参考数据：

【答案】（1）见解析；（2）10．

【解析】（1）根据题意可得，()()e =e 0x

x a a x f x x x x

-'-=>，·······1分

当0a ≤时，()0f x '<，函数()y f x =是减函数，无极值点；·······2分

当0a >时，令()0f x =，得e 0x

a x -=，即e x x a =， 又e x

y x =在()0,+∞上是增函数，且当x →+∞时，e x

x →+∞，

所以e x x a =在()0,+∞上存在一解，不妨设为0x ，

所以函数()y f x =在()00,x 上是单调递增的，在()0,x +∞上是单调递减的．

所以函数()y f x =有一个极大值点，无极小值点； 总之：当0a ≤时，无极值点；

当0a >时，函数()y f x =有一个极大值点，无极小值点．·······5分 （2）因为*0a ∈>N ，由（1）知()f x 有极大值()0f x ，且0x 满足0

0e x x a =①，

可知：()()000max ln e x

f x f x a x ==-，

要使()0f x <恒成立，即()0000ln e x

a x f x -=<②，·······6分

由①可得0

0e

x a x =

，代入②得00ln 0a a x x -

<，即001ln 0a x x ??

??

?<-， 因为*0a ∈>N ，所以00

1

n 0l x x -

<，·······7分 因为1ln1.710.7-

<，1

ln1.810.8

->，且001ln y x x =-在()0,+∞是增函数，

设m 为00

1

ln y x x =-

的零点，则()1.7,1.8m ∈， 可知00m x <<，·······8分 由②可得00ln e x

a x <，

当001x <≤时，0ln 0a x ≤，不等式显然恒成立；·······9分

当01x m <<时，0ln 0x >，0

e ln x a x <，

令()e ln x g x x =，()1,x m ∈，()21e ln 0ln x x x g x x

??- ???'=

<， 所以()()1,g x m 在上是减函数，且

1.8e 10.29ln1.8≈， 1.7

e 10.31ln1.7

≈， 所以()10.2910.31g m <<，·······11分

所以()a g m ≤，又*

a ∈N ，所以a 的最大值为10．·······12分

请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

【选修4-4：坐标系与参数方程】

22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y θ

θ=??=?

（θ为参数），以坐标原

点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：cos sin 10ρθρθ++=． （1）将曲线C 的参数方程与直线l 的极坐标方程化为普通方程； （2）P 是曲线C 上一动点，求P 到直线l 的距离的最大值．

【答案】（1）2214

x y +=，10x y ++=；（2

【解析】（1）将曲线C 的参数方程2cos sin x y θ

θ=??=?

（θ为参数）化为普通方程为2

214x y +=， (3)

分

直线l 的极坐标方程为：cos sin 10ρθρθ++=，化为普通方程为10x y ++=．······5分 （2）设P 到直线l 的距离为d ，

d

=

=

·······7分 ∴P 到直线l

·······10分 【选修4-5：不等式选讲】

23．（10分）设()121f x x x =+--， （1）求不等式()2f x x ≤+的解集；

（2）若不等式满足()()

11f x x a a ≤-++对任意实数0x ≠恒成立，求实数a 的取值范围．

【答案】（1）R ；（2）33,,22????

-∞-+∞ ???????

U ．

【解析】（1）根据题意可得，

当1x <-时，1212x x x --+-≤+，解得22-≤，所以1x <-；·······1分

当112x -≤≤

时，1212x x x ++-≤+，解得1x ≤，所以1

12x -≤≤；·····2分 当12x >时，1212x x x +-+≤+，解得0x ≥，所以1

2

x ＞；·····3分

综上，不等式()2f x x ≤+的解集为R ．·······5分 （2）不等式()()

11f x x a a ≤-++等价于

121

11x x a a x

+--≤-++，···6分

因为

121

1111

12123x x x

x x x x

+--=+

--≤++-=，·······8分 当且仅当11120x x ???

?+-≤ ????

???时取等号，

因为

121

11x x a a x

+--≤-++，所以113a a -++≥，

解得32a ≤-

或3

2

a ≥， 故实数a 的取值范围为33,,22????

-∞-+∞ ???????

U ．·······10分