2016北京市通州区高三(一模)数学(理)含答案

2016北京市通州区高三（一模）

数 学（理）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数

1i

i

+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2．右面的程序框图输出S 的值为（ ） A ．16 B ．32

C ．64

D ．128

3．若非空集合,,A B C 满足A B C =，且A 不是B 的子集，则“x C ∈”是“x A ∈”

的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．24 B ．2042+ C ．28

D ．2442+

5．已知{}n a 是首项为2且公差不为0的等差数列，若136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前9项和等于（ ） A ．26

B ．30

C ．36

D ．40

6．若不等式组340

3400

x y x y x +-≥??

+-≤??≥?

所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是（ ）

A ．

37

B ．

73

C ．

34

D ．

43

7．已知点()3,0A ，点P 在抛物线2

4y x =上，过点P 的直线与直线1x =-垂直相交于点B ，

PB PA =，则cos APB ∠的值为（ ）

A ．

12

B ．

13

C ．12

-

D ．13

-

8．若定义域均为D 的三个函数()()(),,f x g x h x 满足条件：x D ?∈，点()()

,x g x 与点()()

,x h x 都关于点()()

,x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”。已知

()()21,3g x x f x x b =-=+，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，且()()h x g x ≥恒成立，则 实数b 的取值范围是（ ） A ．(

,10?-∞-?

B ．10,10??-??

C ．3,10??-??

D ．)

10,?+∞?

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分．）

9．6

21x x ??+ ??

?的展开式中含3

x 项的系数为______．（用数字作答）

10．在ABC ?中，60,1A AC ∠=?=，ABC ?的面积为3，则BC 的长为______．

11．如图，圆O 的直径4AB =，直线CE 和圆O 相切于点C ，AC CE ⊥于D ，若30ABC ∠=?，则AD 的长为______．

12．若,,a b c 是单位向量，且0?=a b ，则()()-?-a c b c 的最大值为______．

13．已知函数()2log f x x =。若0b a <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是______．

14．图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．

我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）．比如第一行记为()0,1，第二行记为()1,2，第三行记为()4,5，照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为______，第()

*n n N ∈行中白圈与黑圈的“坐标”为______．

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题13分）

已知函数()()cos sin cos f x x x x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当,44x ππ??

∈-???

?时，求函数()f x 的最大值和最小值．

中国天气网2016年3月4日晚六时通过手机发布的3月5日通州区天气预报的折线图（如图），其中上面的折线代表可能出现的从高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温． （Ⅰ）指出最高气温与最低气温的相关性；

（Ⅱ）比较最低气温与最高气温方差的大小（结论不要求证明）；

（Ⅲ）在[]8:00,23:00内每个整点时刻的温差（最高气温与最低气温的差）依次记为12316,,,,t t t t ???，求在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3?的概率．

17．（本小题14分）

如图，在多面体ABCD EF -中，四边形ABCD 为正方形，EF

AB ，EF EA ⊥，22AB EF ==，

90AED ∠=?，AE ED =，H 为AD 的中点．

（Ⅰ）求证：EH

平面FBD ；

（Ⅱ）求证：EH ⊥平面ABCD ；

（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角B FD P --的大小为3

π

？若存在求出BP 的长，若不存在请说明理由．

18．（本小题13分） 已知函数()()2

10ax

f x x x e a a ?

?=--

≠ ???

． （Ⅰ）当1

2

a =

时，求函数()f x 的零点； （Ⅱ）求()f x 的单调区间； （Ⅲ）当0a >时，若()2

0f x a

+

≥对x R ∈恒成立，求a 的取值范围．

已知椭圆2

2

:22M x y +=． （Ⅰ）求椭圆M 的离心率；

（Ⅱ）设O 为坐标原点，,,A B C 为椭圆M 上的三个动点，若四边形OABC 为平行四边形，判断ABC ?的 面积是否为定值，并说明理由．

20．（本小题13分）

已知数列{}n a 满足111,n

n n a a a p +=-=，其中*

n N ∈，p 是不为1的常数．

（Ⅰ）证明：若{}n a 是递增数列，则{}n a 不可能是等差数列；

（Ⅱ）证明：若{}n a 是递减的等比数列，则{}n a 中的每一项都大于其后任意()

*m m N ∈个项的和； （Ⅲ）若2p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．

2016北京市通州区高三（一模）数学（理）

参考答案

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．【答案】A 【解析】 试题分析：

1i i

+21i

+=，故对应点位于第一象限. 考点：复数几何意义． 2．【答案】D

考点：程序框图． 3．【答案】A 【解析】

试题分析：由已知，集合C 为集合B A ,的交集，可知x C ∈A x ∈?，A x ∈?x C ∈，故选A. 考点：充要条件． 4．【答案】B

考点：三视图． 5．【答案】C 【解析】

试题分析：设等差数列公差为d ，则由已知)52(2)22(2

d d +?=+，解得2

1

=

d ，所以{}n a 的前9项和为362

1

28929=??+

?. 考点：等差数列、等比中项． 6．【答案】B

考点：简单线性规划．

【思路点睛】本题主要考查简单线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属中档题.主要难点为通过条件确定

43

y kx =+所经过的点.由约束条件作出可行域，由直线34+=kx y 过点)34,0(A ，结合平面区域被直线34

+

=kx y 分为面积相等的两部分，可知，直线过BC 的中点D ，联立方程组???=-+=-+0

43043y x y x ，解得)25

,21(D ，利用两点求

斜率公式得出答案. 7．【答案】D 【解析】

试题分析：由题)0,1(F ，由于过抛物线2

4y x =上一点P 的直线与直线1x =-垂直相交于点B ，可得||||PF PB =，又PB PA =，故||||PF PA =，所以P 的坐标为)22,2(±，由余弦定理可得cos APB ∠

3

1

332)62(332222222-=??-+=??-+=PA PB AB PA PB .

考点：抛物线的定义、余弦定理．

【思路点睛】本题主要考查抛物线的定义与性质，考查学生的计算能力，属于中档题。通过对条件的分析，结合抛物线的定义，可得||||PF PB =，又PB PA =，故||||PF PA =，可求出点P 的坐标，进而在APB ?中，3=PB ，

3=PA ，62)022()31(22=-+--=AB ，由余弦定理，cos APB ∠

PA

PB AB PA PB ??-+=2222，可得cos APB ∠的值.

8．【答案】D 【解析】

试题分析：作出)(x g 和)(x f 的图象，若)()(x g x h ≥恒成立，则)(x h 在直线)(x f 的上方，即)(x g 在直线)(x f 的下方，则直线)(x f 的截距0>b ，且原点到直线b x y +=3的距离1≥d ，即110

|

|1

3|00|2≥=

++-=

b b d ，即10||≥b ，则10≥b 或10-≤b （舍），即实数b 的取值范围是),10[+∞.

考点：不等式恒成立．

【思路点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，由对称函数的定义，结合)()(x g x h ≥恒成立，转化为点到直线的距离关系，利用数形结合是解决本题的关键，即利用点到直线的距离公式，通过表达原点到直线b x y +=3的距离，且1≥d ，进而解不等式，得10≥b ，由题10-≤b 应舍去，本题综合性较强，有一定的难度.

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分．） 9．【答案】20

考点：二项式定理． 10．13【解析】

试题分析：由已知3sin 2

1

=???=

A A

B A

C S ，∴4=AB ，由余弦定理可得13=BC .

考点：余弦定理． 11．【答案】1 【解析】

试题分析：由已知，12

1

2121=?==

AB AC AD . 考点：弦切角定理，相似三角形． 12．【答案】12+

考点：平面向量的运算． 13．【答案】),22[+∞ 【解析】

试题分析：函数()2log f x x =的图象如下，若a b <<0，且)()(b f a f =，在a b <<1，且a b 22log log -=，即1=ab ，∴22222=≥+ab b a ，当且仅当2

2

=

a 时，取得等号，故

b a +2的取值范围为),22[+∞.

考点：对数函数、基本不等式．

【思路点睛】本题主要考查对数函数和基本不等式，属于中档题.由函数()2log f x x =的图象，知当0b a <<，且()()f a f b =时，a b 22log log -=，即1=ab ，进而用基本不等式求最值时，应注意具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.

14．【答案】()13,14 113131,22n n --??

-+ ???

【解析】

试题分析：由图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，记某行白圈x 个，黑圈y 个为),(y x ，则第一行记为)1,0(，第二行记为)2,1(，第三行记为)5,4(，第四行记为)14,13(，第四行白圈与黑圈的“坐标”为)14,13(，各行黑圈乘以2，分别是2，4，10，28，82，即11+，13+，19+，

127+，181+，所以第n 行的圈数为

2131+-n ，而第n 行共有1

3-n 个圈，故第n 行的白圈数为2132133

111

-=+----n n n ，故第n （*∈N n ）行中白圈与黑圈的“坐标”为)2

13,213(

11+---n n . 考点：归纳推理．

【思路点睛】根据图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，有第三行的数据求出第四行的黑白圈的个数，进而可归纳第n 行的黑白圈数．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．【答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ）最大值0，最小值21

2

-

-.

试题解析：（Ⅰ）因为()()cos sin cos f x x x x =-…………………………………………………………4分

()11

sin 2cos 2122

x x =-+21)42sin(22--=πx …………………………………………………………6分 所以函数()f x 的最小正周期22

T π

π=

=。…………………………………………………………………7分

考点：三角函数求值．

【思路点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，考查了)sin(?ω+=x A y 型函数的图象与性质，属中档题.通过展开三角函数关系式，利用正弦二倍角公式和降幂公式，将函数解析式化为y ()11

sin 2cos 2122

x x =

-+，再用辅助角公式将函数化简为y 21)42sin(22--=πx ，由周期公式可得22

T π

π==，由x 的范围求得相位的范围，进一步求出)4

2sin(π

-

x 的范围，得出答案.

16．【答案】（Ⅰ）正相关；（Ⅱ）最高气温方差小于最低气温方差；（Ⅲ）

5

1

.

试题解析：（Ⅰ）最高气温与最低气温之间成正相关，即最高气温越高，相应地最低气温也越高。……3分 （Ⅱ）由图可以看出，最高气温曲线波动较小，因此最高气温方差小于最低气温方差。…………………7分 （Ⅲ）由图可得下表： 整点时刻 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 最高气温 10 11 12 13 13

13

13 2

123

最低气温 4 6 8 10 2103 1113 12 10

温差

6

5

4

3 123 213

1

223

整点时刻

16:00 17:00 18:00 19:00

20:00

21:00 22:00 23:00

最高气温

1

12

3

12 10 8 6 5 4 3

最低气温8 6 5 4 3

2

2

3

1

2

3

2

温差

1

4

3

6 5 4 3

1

2

3

2

1

3

1

……………………………………………………………………………………………………………………10分由表可知，连续两个整点时刻（基本事件）共有15个：

()()()()()()

8:00,9:00,9:00,10:00,10:00,11:00,11:00,12:00,12:00,13:00,13:00,14:00，()()()()()() 14:00,15:00,15:00,16:00,16:00,17:00,17:00,18:00,18:00,19:00,19:00,20:00，()()()

20:00,21:00,21:00,22:00,22:00,23:00。

其中满足条件“恰好有一个时刻的温差不小于3?”的事件（记为A）共有3个：

()()()

11:00,12:00,15:00,16:00,20:00,21:00。

所以在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3?的概率()

31 155

P A==。………………13分考点：线性相关、样本特征数、古典概型.

17．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）存在，且BP2

=.

试题解析：（Ⅰ）证明：连结AC交BD于O，连结,

HO FO。

因为四边形ABCD为正方形，

所以O是BD的中点，

又H是AD中点，

所以

1

,

2

OH AB OH AB

=。

而

1

,

2

EF AB EF AB

=，

所以EF OH且EF OH

=，

所以四边形EHOF 为平行四边形， 所以EH

FO ，

又因为FO ?平面FBD ，EH ?平面FBD ， 所以EH

平面FBD 。…………………………………………………………………………………………5分

（Ⅲ）解：,,HE AD OH 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系H xyz -，则

()()()()()1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,2,0A D F O C --

设点()(),2,002P m m <≤，于是有()()1,1,1,,1,1DF FP m ==-。 设平面PDF 的法向量(),,x y z =n ，则

0,0,DF FP ??=??

?=??n n 即0,

0.x y z mx y z ++=??+-=? 令1z =，得21

,11

m x y m m --==

--。

所以

21

,,1

11

m

m m

--

??

= ?

--

??

n。

平面BDF的法向量()

1,1,0

OA=-。

所以cos

3

OA

OA

π?

=

?

n

n

，即

()

22

21

1,1,0,,1

11

1

221

21

11

m

m m

m

m m

--

??

-? ?

--

??

=

--

????

?++

? ?

--

????

。

所以1

m=-。

所以点P的坐标为()

1,2,0

-，与点C的坐标相同。

所以2

BP BC

==。……………………………………………………………………………………………14分

考点：空间几何体求体积、位置关系证明．学科网

18．【答案】（Ⅰ）

2

6

1±

；（Ⅱ）当0

a>时，()

f x单调递增区间为()

2

,,1,

a

??

-∞-+∞

?

??

，单调递减区间为

2

,1

a

??

-

?

??

；当2

a<-时，()

f x单调递增区间为

2

,1

a

??

-

?

??

，单调递减区间为()

2

,,1,

a

??

-∞-+∞

?

??

；当20

a

-<<时，()

f x单调递增区间为

2

1,

a

??

-

?

??

，单调递减区间为()

2

,1,,

a

??

-∞-+∞

?

??

；（Ⅲ）(]

0,ln2.

试题解析：（Ⅰ）令()0

f x=，即2

1

ax

x x e

a

??

--=

?

??

。……………………………………………………1分

因为0

ax

e>，所以2

1

x x

a

--=。……………………………………………………………………………2分

4

1

a

?=+，因为0

a>，所以0

?>。

所以方程2

1

x x

a

--=有两个不等实根：

22

12

a a a a a a

x x

++-+

==。

所以函数()f x 有且只有两个零点212a a a x a ++=26

1+=和

222a a a x a -+=2

6

1-=。………………………………3分

（Ⅱ）()()21ax

f x a x x e a ?

?'=+

- ???

。…………………………………………………………………4分 令()0f x '=，即()210a x x a ??+-= ??

?，解得2

x a

=-或1x =。……………………………………………5分 当0a >，列表得：

x

2,a ??-∞- ??

?

2

a

- 2,1a ??- ???

1

()1,+∞

()f x '

+

0 -

0 +

()f x

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

……………………………………………………………………………………………………………………6分 当0a <时，

（2）若20a -<<，则2

1a

-

>，列表得 x

(),1-∞

1

21,a ??- ???

2

a

- 1 2,a ??-+∞ ???

()f x ' -

0 +

0 -

()f x

单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

……………………………………………………………………………………………………………………7分 综上，当0a >时，()f x 单调递增区间为()2,,1,a ?

?-∞-

+∞ ???，单调递减区间为2,1a ??- ???

；

当2a <-时，()f x 单调递增区间为2,1a ??-

???

，单调递减区间为()2,,1,a ?

?-∞-+∞ ???；

当20a -<<时，()f x 单调递增区间为21,a ?

?- ??

?，单调递减区间为()2,1,,a ??

-∞-+∞ ???

。……………9分

（Ⅲ）因为0a >，所以当2x a <-时，有2

20,,0x x a a

>->>， 所以2

1

0x x a --

>，从而()0f x >。………………………………………………………………………10分 当2x a ≥-时，由（Ⅱ）可知函数在1x =时取得最小值()110a

f e a

=-<。

所以()11a

f e a

=-为函数()f x 在R 上的最小值。…………………………………………………………11分

由题意，不等式()2

0f x a

+≥对x R ∈恒成立，

所以得12

0a e a a

-+≥，解得0ln 2a <≤。

所以a 的取值范围是(]0,ln 2。………………………………………………………………………………13分 考点：函数零点、导数的应用、不等式恒成立问题． 19．【答案】（Ⅰ）

22

；（Ⅱ）ABC ?的面积为定值64

.

试题解析：（Ⅰ）椭圆M 的标准方程为：2

212

x y +=

所以2,1,1a b c ===。

所以椭圆M 的离心率2c e a =

=。……………………………………………………………………………4分

②若B 不是椭圆的左、右顶点，设():0AC y kx m m =+≠，

()()1122,,,A x y C x y ，

由22

,

22

y kx m x y =+??

+=?得()

222214220k x kmx m +++-=，

()()222216421220k m k m ?=-+->，

2121212

2224222,,212121

km m m

x x x x y y k k k -+=-=+=+++。……………………………………………………9分 因为四边形OABC 为平行四边形， 所以()121222

42,,2121km

m OB OA OC x x y y k k ??=+=++=-

?++??

。 所以22

42,2121km

m B k k ??-

?++??

， 代入椭圆方程，化简得2

2

214k m +=。………………………………………………………………………10分 因为()()22

1212AC x x y y =

-+-()

2

2

121214k x x x x =++-

2

2

2

22

44(22)

12121km m k k k -??=+-- ?++??

222

22121k k m ++-= 2612k m

+=。…………………………………………………………………………………………………11分

点O 到AC 的距离2

1m d k

=

+。……………………………………………………………………………12分

所以OAC ?的面积2211616

22241OAC

m k S AC d m k

?+=?=??=+。

综上，OAC ?的面积为定值

6

4

13分 因为OAC ?的面积等于ABC ?的面积， 所以ABC ?的面积为定值

6

4

。………………………………………………………………………………14分 考点：椭圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系．

【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．

20．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）()()*

2133

n

n a n N -=-∈.

试题解析：（Ⅰ）因为{}n a 是递增数列，所以11n

n n n n a a a a p ++-=-=。……………………………1分

由于11a =，所以2

231,1a p a p p =+=++。

假设数列{}n a 是等差数列，那么123,,a a a 成等差数列。

所以2132a a a =+，因而2

0p p -=，解得1p =或0p =。………………………………………………2分 由已知1p ≠，当10,n n p a a +==，这与{}n a 是递增数列矛盾，故p 的值不存在。

所以数列{}n a 不可能是等差数列。……………………………………………………………………………3分

因为1

2

1

2

111111,,,222222m

n n n n n m

n +++????????????

≥≥???≥ ?

? ? ? ? ???

????

????

??， 所以121

2111111222222m

n n n n n n m

+++??????????

??++???+≤++???+ ? ? ? ?

? ?

????????

??

??

。……………………………………5分

因为1

2

11111111121122222212

m

n n n m

n n m ++++??- ?????????????????++???+=?=-?? ?

? ?

? ? ???

??

??

??????????-……………………………6分

而11111111022222n

m n m n a -+????????????--=+>???? ?

? ? ???

???????????

???，即11122n m

n a ??????>-?? ? ?????????，

所以1

2

111222n n n m

n a +++??

????++???+< ?

? ?

??

??

??

。

即：数列{}n a 中的每一项大于其后任意()

*m m N ∈个项的和。…………………………………………7分 （Ⅲ）由于{}21n a -是递增数列，所以21210n n a a +-->， 所以2122210n n n n a a a a +--+->。 ① 因为2212

2n

n ->，所以212221n n n n a a a a +-->-。 ②

由①②知，2120n n a a +->，因此()2221222n

n

n n a a +-==-。 ③……………………………………9分

因为{}2n a 是递减数列，同理，2210n n a a --<， 故()

21

21

2212

2n n n n a a ----=-=-。 ④

由③④可知，()12n

n n a a +-=-。……………………………………………………………………………11分 因此()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-+???+-

()()()

21

1222n -=+-+-+???+-

()()()()112122112333

n

n n

???-----??===-

--。 所以数列{}n a 的通项公式为()()*

213

3

n

n

a n N -=-∈。……………………………………………………13分

考点：数列证明、（累加法）求通项．