解析几何中的几何条件代数化
解析几何中的几何条件代数化
综合分析：解析几何是用代数的方法研究几何问题，通过曲线的几何性质帮助解析几何是其解题策略之一，几何性质帮助解题，一是直接参与思维推理过程，二是指以形引导代数推理的方向、方法。
【课前小练】
1.设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为3-
，那么PF =_______________.
2.过抛物线y 2=4x 的焦点F 作弦AB ，若BF AF
2=，则弦AB 所在直线的方程是____________.
3.抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线13
322=-y x 相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=_______________.
4.椭圆T ：122
22=+b
y a x (a ＞b ＞0)的左．右焦点分别为21,F F ，焦距为2c ，若直线)(3c x y +=与椭圆T 的一个交点M 满足，则该椭圆的离心率等于__________
5.如图F 1、F 2是椭圆C1：x 24
+y 2=1与双曲线C2的公共焦点A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是_________________,
6.已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为_________
【典型例题】
例1.已知,,A B C 是椭圆2
2:14
x W y +=上的三个点，O 是坐标原点. （Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积;
（Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.
例2.椭圆1:22
22=+b y a x C 的离心率为2
3，长轴端点与短轴端点间的距离为5． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点D （0，4）的直线l 与椭圆C 交于两点E ，F ，
①设)4
1,0(-B ，若BF BE =,求直线l 的斜率。
变式1.A 是椭圆的右顶点，且EAF ∠的角平分线是x 轴，求直线l 的斜率。
变式2.若以EF 为直径的圆过原点，求直线l 的斜率。
变式3.点M 为直线x y 2
1 与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM 的直线l 交椭圆于B A 、两点。求证：直线MB MA 、与x 轴始终围成一个等腰三角形。
你还能提出哪些类似的问题？
【课堂小结】今天你有何收获？
【随堂巩固】
1.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F ，过F 作直线与椭圆相交于A 、B 两点，若有2BF AF =，则椭圆离心率的取值范围是_________________.
2.已知抛物线2y x =,动弦AB 长为2,则弦AB 的中点M 到y 轴的最小距离为_________．
3.已知动圆M 与圆C 1:(x+4)2+y 2=2外切，与圆C 2:(x-4)2+y 2
=2内切，
求动圆圆心M 的轨迹方程。
4.已知F 是椭圆22
195
x y +=的左焦点,P 是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点. (1)求3||||2
PA PF +的最小值,并求点P 的坐标. (2)求||||PA PF +的最大值和最小值.
一、高等代数与解析几何之间的关系
利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理 一、高等代数与解析几何的关系 代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景。 解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。 “如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。” --------拉格朗日 二、目前将高等代数与解析几何合并开课的大学 中国科大： 陈发来，陈效群，李思敏，线性代数与解析几何，高等教育出版社，北京：2011. 南开大学： 孟道骥，高等代数与解析几何（上下册）（第二版），科学出版社，北京：2007. 华东师大： 陈志杰，高等代数与解析几何 (上下册) (第2版)，高等教育出版社，北京：2008. 华中师大： 樊恽，郑延履，线性代数与几何引论，科学出版社，北京：2004. 同济大学： 高等代数与解析几何同济大学应用数学系高等教育出版社 (2005-05出版) 兰州大学，广西大学，西南科技大学，成都理工大学 三、高等代数的特点 1、逻辑推理的严密性； 2、研究方法的公理性； 3、代数系统的结构性。 四、高等代数一些概念的引入 对于刚上大学的一年级新生, 大多数难以适应高等代数的抽象概念的引入、推导 和应用。通过一些实例，特别是几何实例，引入高等代数的相关概念，一方面可以让学生了解抽象概念的来龙去脉，另一方面可以让学生找到理解抽象概念的思维立足点。
从综合几何到几何代数化的数学思想方法
从综合几何到几何代数化的数学思想方法 从综合几何到几何代数化的数学思想方法 一、几何代数化思想的由来 数学的发展是以数和形两个基本概念作为主干的，数学思想方法的各种变革也是通过这两个概念进行的。在数学的萌芽时期，数和形的研究并不是互相割裂的，长度、面积和体积的量度把数和形紧密地联系起来。可是，在尔后的数学发展中，数和形的联系却长期没能得到进一步的深化。这突出表现在几何和代数的不协调性发展上。 我们知道，几何学作为一门独立的数学学科，最先是在古希腊学者手中形成的，欧几里得《几何原本》的问世就是重要的标志。那时，代数尚处于潜科学阶段，尚未形成严谨的逻辑体系，只是以零散、片断的知识形态存在着。因此，从公元前3世纪到14世纪，几何学在数学中占据着主导地位，而代数则处于从属的地位。由于几何学有着严谨的推理方法和直观的图形，可以把种种空间性质、图形关系问题的探讨，归结成一系列基本概念和基本命题来推演、论证，所以数学家们大都喜欢运用几何思维方式来处理数学问题，甚至把代数看成是与几何不相干的学科。这种人为的割裂，不仅延误了代数的发展，也影响了几何学的进步。 随着数学研究范围的扩大，用几何方法来解决数学问题越来越困难，因为许多问题特别是证明问题往往需要高超的技巧才能奏效，而且推演、论证的步骤又显得相当繁难，缺乏一般性方法。正当几何学难于深入进展时，代数学日趋成熟起来。尤其是在16世纪代数学得到突破性进展，不仅形成了一整套简明的字母符号，而且成功地解决了二次、三次、四次方程的求根问题。这就使代数学在数学中的地位逐渐得到上升，于是综合几何思维占统治地位的局面开始被打破。
历史上最先明确认识到代数力量的是16世纪法国数学家韦达。他尝试用代数方法来解决几何作图问题，并隐约出现了用方程表示曲线的思想。他指出，几何作图中线段的加减乘除可以通过代数的术语表出，所以它们实质上属于代数的运算。随着代数方法向几何学的渗透，代数方法的普遍性优点日益表露出来，于是用代数方法来改造传统的综合几何思维，把代数和几何有机结合起来，互相取长补短，便成为十分必要的了。 实现代数与几何有机结合的关键，在于空间几何结构的数量化，即把形与数统一起来。这一项工作是由法国数学家笛卡儿完成的。笛卡儿继承和发展了韦达等人的先进数学思想，他充分看到代数思想的灵活性和方法的普遍性，为寻求一种能够把代数全面应用到几何中去的新方法思考了二十多年。1619年，他悟出建立新方法的关键，在于借助坐标系建立起平面上的点和数对之间的对应关系，由此可用方程来表示曲线。1637年，他的《几何学》作为《方法论》一书的附录出版，在这个附录中，他明确提出了坐标几何的思想，并用于解决许多几何问题。此书的问世，标志着解析几何的诞生。与笛卡儿同一时代、同一国度的另一位数学家费尔马，也几乎同时独立地发现了解析几何的基本原理。他的思想集中体现在他的《轨迹引论》一书中。 解析几何的出现开创了几何代数化的新时代，它借助坐标实现了空间几何结构的数量化，由此把形与数、几何与代数统一了起来。而坐标本身就是几何代数化的产物，是点与数的统一体，它既是点的位置的数量关系表现，又是数量关系的几何直观，因此它具有形与数的二重性。有了坐标概念，就可以把空间形式的研究转化为数量关系的研究了。 例如，求两点间的距离，如果两点的坐标(x1，y1)和(x2，y2)何学上两点之间的测量问题就转化成代数学上求一个代数式的值的问题。 再如，求两条曲线的交点，这是几何学中比较困难的一个问题，如果两条曲线的方程给定，那么通过解联立方程组就可求出交点的位置，因为方程组的解恰是二条曲线交点的坐标。
几何代数的综合复习
A C D M 3．如图,已知在等腰△ABC 中,∠A=∠B=30°,过点C 作CD ⊥AC 交AB 于点D. (1)尺规作图：过A ，D ，C 三点作⊙O （只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）； (2)求证：BC 是过A ，D ，C 三点的圆的切线； (3)若过A ，D ，C 三点的圆的半径为3,则线段BC 上是否存在一点P ，使得以P ，D ，B 为顶点的三角形与△BCO 相似.若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由. 4．（北京密云）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，CD ＝5，BC ＝10，梯形的高为4．动点M 从B 点出发 沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t (秒)． (1)当MN ∥AB 时，求t 的值； (2)试探究：t 为何值时，△CMN 为等腰三角形． 几何综合问题（2） 【学习目标】 1． 提高运用所学的知识和技能分析问题、解决问题的能力； 2． 加强数学思想和方法的训练，增强探究能力，培养创新意识． 【巩固练习】 1．（山西）如图，在锐角ABC △中，4245AB BAC =∠=，°，BAC ∠的平分线交BC 于点D M N ，、分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值 是___________ ． 2．（黄冈）将半径为4cm 的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱 的底面半径是___________cm ． A B C D
3．（10上海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P． （1）如图①，当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长； （2）如图②，若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值． 图① 图② 4．（江苏）如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点(30) D，和点(04) E，．动点C从点(50) M，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒． （1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标； （2）以点C为圆心、 1 2 t个单位长度为半径的C ⊙与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接P A、PB． ①当C ⊙与射线DE有公共点时，求t的取值范围； ②当PAB △为等腰三角形时，求t的值． O x y E P D A B M C
构造几何图形解决代数问题
构造几何图形解决代数问题 摘要 数与行是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。因此，数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一。数形结合的应用大致可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。本课题调查研究中主要研究“以形助数”的情形。 关键词 数形结合 解题 以形助数 教学 1.“以形助数”的思想应用 1.1解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。 例:已知集合A=[0，4]，B=[-2，3]，求A B 。 分析：对于这两个有限集合，我们可以将它们在数轴上表示出来，就可以很清楚地知道结果。如下图，由图我们不难得出A B=[0,3] 例:（2009湖南卷文）某班共30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 分析：如下图，设所求人数为x ,则只喜爱乒乓球运动的人数为10(15)5,155308x x x x --=-+-=-?=故。 B=[-2,3] A=[0,4]
评价：通过上面两个典型例题的学习，我们基本了解了构造几何图形在代数问题中的简单应用，将抽象的集合问题形象地用图形表现出来，形象生动便于思考，找出问题中条件间的相互关系进而方便快捷地解答。 1.2解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。 例:（2009山东理）若函数 ()(01)x f x a x a a a a =-->≠且有两个零点，则实数的取值范围是 分析：设函数(0,1)x y a a a =>≠且和函数y x a =+，则函数 ()(01)x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，就是函数(0,1)x y a a a =>≠且与函数y x a =+有两个交点，由图象可知当01a <<时两函数只有一个交点，不符合，当1a >时，因为函数(1)x y a a =>的图象过点（0，1），而直线y x a =+所过的点一定在点（0，1）的上方，所以一定有两个交点，所以一定有两个交点，所以实数a 的取值范围是1a >
高等代数与解析几何之间的联系
高等代数与解析几何之间的关联性 数学0803班康若颖20081692 内容摘要：在我们的学习过程中，可以发现高等代数和解析几何中有很多相似之处。确切的说是高等代数中 的一些理论是从解析几何中发展和改进而来的。比如说通过解析几何中多元一次方程组的解法高等代数提出了行列式，使行列式有了几何意义，同时是行列式直观化。也是通过行列式，多元方程组的解答更便捷、快速。又比如说欧式空间的提出。我们都知道几何空间中的向量以及他的一些性质。在高等代数中先后提出来线性空间、欧式空间。线性空间将向量做了推广，使向量抽象化。欧式空间在线性空间的基础上提出内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化，等等，这样的例子很多很多。总体来说高等代数与解析几何是相互联系、相互促进的。可以更确切一点的说是解析几何是高等代数的基石，而高等代数是解析几何的推广和并使之抽象化。 关键词：行列式、正交变换、向量、线性方程组、二次型和二次曲线、二次曲面、欧式空间 导言：从代数与几何的发展来看，高等代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。它们的关系可以归 纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”。通过对高等代数和解析几何的学习和研究中，我们可以看到解析几何和高等代数中有着紧密的联系。运用解析几何来分析高等代数更直观，同时，高等代数也是解析几何的一个发展、拓宽。比如说欧式空间。运用高等代数的解题方法来解答解析几何中的一些问题更加简便，快捷。比如说运用行列式的计算来解答多元方程组问题。 内容： 解析几何中以代数为工具，解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识来定义来刻画、 描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。从概念的内涵的外延来看，两门课之间存在着特殊与一般的关系，解析几何的一、二、三维空间是线性代数n 维空间的特例，而线性空间的大量理论又是来源于一、二、三维几何空间的推广（抽象）。平面方程及平面间的位置关系与线性方程组的理论，二次曲线，二次曲面的化简与代数中的二次型理论，几何与代数中欧式空间的理论等等。 （一）线性代数中一些概念的几何直观解释： 1.关于行列式的几何背景 设α=(321,,a a a ),β=(321,,b b b ),γ=(321,,c c c );两个向量的向量积可以用行列式写为 321 32 1b b b a a a k j i =?βα 它在几何上表示的是与α,β向量都垂直且成右手系的向量。 三个向量的混合积可以用行列式表示为图1 平行六面体 （γβα,,）=（βα?）γ?=321 32 132 1c c c b b b a a a 此行列式的几何解释是它的绝对值等于以它们3个向量为相邻棱所作的平行六面体的体积(如图1)。特别地,当(α,β,γ)=0时,由于平行六面体的体积为零,所以共面。γβα,,0321321 321 ?=c c c b b b a a a 图1 平行六面体
几何条件代数化与代数运算几何化
几何条件代数化与代数运算几何化
几何条件代数化与代数运算几何化 ——突破解析几何难点之两 方法 解析几何解题方向：找关系。（1）找1 2 ,k k 关 系，设直线方程；（2）找1 2 ,x x 关系，找解题方向； （3）找所设两变量关系（如找k 与m 关系，找1 2 x x 与12 x x 关系等），进行消元。方法：代数运算几何化。 几何条件代数化：把题目中的几何条件转化为代数关系（一般是坐标关系）。 所谓“代数运算几何化”是指：执行代数运算时，要结合几何条件。毕竟，解析几何研究的是几何问题。常见文字表述是“点在曲线上”，通过代数运算可找到“两变量之间的关系”，达到“消元目标”。这是种“消元意识”。大多数同学解析几何题解不出，缺的就是这种“运算能力和消元意识”。 其它重要意识：几何条件代数化；一般问题特殊化；最值问题多样化；去除思维模式化。 下面以春期周考数学理科解析几何题来说明。 1、（第一次周考）
21. 设椭圆C ： 22 22 1(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点 F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ，2AF FB =. （1）求椭圆C 的离心率；（2）如果|AB|=154，求椭圆C 的方程. 分析：1、几何条件代数化：2AF FB = 本质特 征：,,F A B 且2AF FB =；代数关系： 1 2 2y y -=或1 22() c x x c -=-. |AB|=15 4 代数关系：弦长公式。 解题方向：联立直线和椭圆方程解题。 （21）解：设1 1 2 2 (,),(,)A x y B x y ，由题意知1 y ＜0，2 y ＞ 0. （Ⅰ）直线l 的方程为 3() y x c =-，其中22 c a b = -联立22 223(), 1 y x c x y a b ?=-??+=??得2 2224(3)2330 a b y b cy b ++-= 解得22122222 3(2)3(2),33b c a b c a y y a b a b +-== ++ 因为2AF FB =，所 以1 2 2y y -=. 即 222222 3(2)3(2) 233b c a b c a a b a b +-=? ++得离心率 2 3 c e a = =. ……6分 （Ⅱ）因为 21 1 13 AB y y =+-，所以 2224315343ab a b = +. 由
解析几何中的几何条件代数化
解析几何中的几何条件代数化 综合分析：解析几何是用代数的方法研究几何问题，通过曲线的几何性质帮助解析几何是其解题策略之一，几何性质帮助解题，一是直接参与思维推理过程，二是指以形引导代数推理的方向、方法。 【课前小练】 1.设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为3- ，那么PF =_______________. 2.过抛物线y 2=4x 的焦点F 作弦AB ，若BF AF 2=，则弦AB 所在直线的方程是____________. 3.抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线13 322=-y x 相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=_______________. 4.椭圆T ：122 22=+b y a x (a ＞b ＞0)的左．右焦点分别为21,F F ，焦距为2c ，若直线)(3c x y +=与椭圆T 的一个交点M 满足，则该椭圆的离心率等于__________ 5.如图F 1、F 2是椭圆C1：x 24 +y 2=1与双曲线C2的公共焦点A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是_________________, 6.已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为_________
【典型例题】 例1.已知,,A B C 是椭圆2 2:14 x W y +=上的三个点，O 是坐标原点. （Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积; （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由. 例2.椭圆1:22 22=+b y a x C 的离心率为2 3，长轴端点与短轴端点间的距离为5． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）过点D （0，4）的直线l 与椭圆C 交于两点E ，F ， ①设)4 1,0(-B ，若BF BE =,求直线l 的斜率。 变式1.A 是椭圆的右顶点，且EAF ∠的角平分线是x 轴，求直线l 的斜率。
初三数学代数几何综合题
代数几何综合题 【题型特征】代数、几何知识相结合的综合题是以几何知识为主体,以代数知识为工具(背景),来确定图形的形状、位置、大小(坐标)的问题.解答时往往需要从代数几何的结合点或在几何图形中寻找各元素之间的数量关系或在代数条件中探讨各个量的几何模型,进行数与形之间的互相转化,使问题得到解决. 为了讲解方便,我们将代数几何综合题按题目叙述的背景分为:坐标系、函数为背景的代数几何综合题和以几何图形为背景的代数几何综合题. 【解题策略】几何图形为背景的代数几何综合题,建立函数表达式的常见思路是:利用图形的面积公式建立函数表达式;或利用勾股定理或解直角三角形知识建立函数表达式;或利用相似三角形的线段成比例建立函数表达式. 类型一坐标系、函数为背景 典例1(2015·湖南怀化)如图(1),在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y. (1)求y与x之间的函数表达式; (2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O'C',与OA相交于点G,如图(2),求经过G,O,B三点的抛物线的表达式; (3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由. (1)
(2) 【全解】 (1)∵AB=OB,∠ABO=90°, ∴△ABO是等腰直角三角形. ∴∠AOB=45°. ∵∠yOC=45°, ∴∠AOC=(90°-45°)+45°=90°. ∴AO⊥CO. ∵C'O'是CO平移得到, ∴AO⊥C'O'. ∴△OO'G是等腰直角三角形. ∵射线OC的速度是每秒2个单位长度, ∴OO'=2x. ∴其以OO'为底边的高为x. ∴点G的坐标为(3,3). 设抛物线表达式为y=ax2+bx,
2019年中考数学突破专题之 阅读理解问题——几何问题代数化
阅读理解问题——几何问题代数化 1.观察下图： 第1题图 我们把正方形中所有x、y相加得到的多项式称为“正方形多项式”，如第1个图形中的“正方形多项式”为4x＋y，第2个图形中的“正方形多项式”为9x＋4y，遵循以上规律，解答下列问题： （1）第4个图形中的“正方形多项式”为，第n（n为正整数）个图形中的“正方形多项式”为; （2）如果第1个图形中的“正方形多项式”为5，第4个图形中的“正方形多项式”为2． ①求x和y的值； ②求“正方形多项式”的值Q的最大值（或最小值），并说明是第几个图形. 解：（1）25x＋16y，（n＋1）2x＋n2y； 【解法提示】∵第1个图形中“正方形多项式”为4x＋y， 第2个图形中“正方形多项式”为9x＋4y， 第3个图形中“正方形多项式”为16x＋9y， ∴第4个图形中的“正方形多项式”为25x＋16y，
第n （n 为正整数）个图形中的“正方形多项式”为（n ＋1）2x ＋n 2y . （2）①依题意,得45 25162 x y x y +=??+=?， 解得 2 3x y =?? =-? ， ②Q ＝（n ＋1）2x ＋n 2y ＝?n 2＋4n ＋2＝?（n ?2）2＋6， 当n ＝2时，Q 最大值为6， ∴第2个图形中，“正方形多项式”的值最大，最大值为6． 2.如图，正方形ABCD 内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD 的 顶点A 、B 、C 、D 把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）： 第2题图 （1）填写如表： （2）如果原正方形被分割成2018个三角形，此时正方形ABCD 内部有多少个点？ （3）上述条件下，正方形又能否被分割成2019个三角形？若能，此时正方形ABCD 内部有多少个点？若不能，请说明理由． 解：（1）如下表： 正方形ABCD 内点的个数 1 2 3 4 … n 分割成三角形的个数 4 6 ____ ____ … ____
中考数学压轴题几何代数综合题(PDF版)
第三课时 几何代数综合题1.已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=320 ,AE ⊥BD ，垂足是 E.点F 是点E 关于AB 的对称点，连接 AF 、BF. （1）求AE 和BE 的长； （2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为 m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）.当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的m 的值. （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角（0°＜＜180°），记旋转中的△ABF 为△A ′BF ′，在旋转过程 中，设A ′F ′所在的直线与直线 AD 交于点P.与直线BD 交于点Q.是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由 . 解：（1）在Rt △ABD 中，AB=5，AD = ，由勾股定理得：BD === ． ∵S △ABD =BD?AE =AB?AD ， ∴AE===4． 在Rt △ABE 中，AB=5，AE=4，由勾股定理得： BE=3．（2）设平移中的三角形为△ A ′ B ′F ′，如答图2所示：由对称点性质可知，∠ 1=∠2．由平移性质可知，AB ∥A ′B ′，∠4=∠1，BF=B ′F ′=3． ①当点F ′落在AB 上时，∵AB ∥A ′B ′， ∴∠3=∠4，∴∠3=∠2， ∴BB ′＝B ′F ′=3，即m=3； ②当点F ′落在AD 上时，∵AB ∥A ′B ′， ∴∠6=∠2，∵∠1=∠2，∠5=∠1， ∴∠5=∠6，又易知A ′B ′⊥AD ， ∴△B ′F ′D 为等腰三角形， ∴B ′D=B ′F ′=3， ∴BB ′＝B D ﹣B ′D =﹣3=，即m=． （3）存在．理由如下：
代数几何综合题(含答案)
代数几何综合题 x<0，连 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（x，0）() ⊥交过点A的直线a于点C（2，y） 结BP，过P点作PC PB （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标。 2．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，⊙O的直径BD为6，连结CD、AO. (1)求证：CD∥AO； (2)设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若AO＋CD＝11，求AB的长. B
3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2 +2x+m-3=O 的两根，且x 1<0 1、已知抛物线)0(22 >--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。 （1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）； （2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。 2、如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴、y 轴分别相交于 A （－1，0）、 B （3，0）、 C （0，3）三点，其顶点为 D ． （1）求：经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积； （3）试判断△BCD 与△COA 是否相似若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由． A B D C o x y 线性代数(B)教学大纲 （课程编号学分：2；上课32；习题课0，实验0；课外上机：0） 东南大学数学系 一．课程的性质与目的 本课程是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程，也是工科非电类专业学生本科阶段关于离散量数学的最重要的课程。本课程的目的是使学生熟悉线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其抽象思维、逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。 二．课程内容的教学要求 1．行列式 （1）理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算； （2）知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响； （3）了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n阶行列式； （4）掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理； （5）掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算； （6）理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法。 2．矩阵 （1）理解矩阵的概念； （2）理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算； （3）理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质； （4）理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质； （5）了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵； （6）了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。 3．矩阵的初等变换与Gauss消元法 （1）理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系； （2）理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念； （3）了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系； （4）了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解； （5）理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系； 、选择题: 代数与几何综合题 (时间：90分钟) 1.如图2- 5-8所示,在直角坐标系中，△ ABC 各顶点坐标分别为 A (0 , ,3 ) , B (- 1 , 0 )、C (1, 0)中，若厶DEF 各顶点坐标分别为 D( 3 , 0)、E ( 0 , 1)、F (0, — 1),则下列判断正确的是( A . B . C . D . △。丘卩由厶ABC 绕O 点顺时针旋转 △。丘卩由厶ABC 绕O 点逆时针旋转 △。 丘卩由厶ABC 绕O 点顺时针旋转 △。丘卩由厶ABC 绕O 点顺 时针旋转 90°得到; 90°得到; 60°得到; 120°得到 2. 如图( 4(X X 4)^ OAR △ ABQ 均是等腰直角三角形，点 P 、 0)的图象上，直角顶点 A B 均在X 轴上，则点 B 的坐 Vj B Q y 齡 圈 2- 1^ Q 在函 1，0) B 、( . 5 1 ，0) C 、 (3, 0) D 、 1, 0) x A B 图(4) P Q 3. 已知点 A .3,1 , B 0,0 , ,AE 平分/ BAC ,交 BC 占 八、、 E ,则直线AE 对应的函数表达式是 B . y C. y ,3x 1 D. 4 .在平面直角坐标系中, □ ABCD 的坐标分别是(0,0) ,(5,0) 坐标是( ) A. ( 3 , 7) B. C. (7, 3) D. 5..等腰三角形的底和腰是方程 A.8 B.10 的顶点 A 、B 、D ,(2,3) (5 , 3) (8, 2) C.8 或 10 D.不能确定 2 6 3 A . y x 3 B . y — x C . y x D . y x 2 6 .如图，O 为矩形ABCD 的中心，将直角三角板的直角顶点与 O 点重合，转动三角板使两直角边始终与 BC 、AB 相交，交点分别为 M 、N .如果 AB =4, AD =6, O M=X ,ON= y 贝U y 与X 的关系是 D C 第七章线性变换与相似矩阵 习题 7.1 习题 7.1.1 判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ），， 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （Ⅱ），； 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （2）在中， （Ⅰ）， 解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。 （Ⅱ）； 解：是的线性变换。设，其中，，则有 ， 。 （3）在（Ⅰ）解：是中， ， 的线性变换：设，则 ， ，。 （Ⅱ）解：是 ，其中 的线性变换：设 是中的固定数； ，则 ， ，。 （4）把复数域看作复数域上的线性空间， 共轭复数； 解：不是线性变换。因为取，时，有 ，即。，其中是的 ， （5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。 解：是的线性变换。对，，有 ， 。 习题7.1.2 在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由 轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向 旋转 900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明（表示恒等变换）， ， ； 并说明是否成立。 证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可 知：， ，， ； ； ， ， ， ，即，故。 因为因为 ， ，所以 ， ，所以 。 。 因为， ，所以。 习题 7.1.3 在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有 。所以。 习题 7.1.4 设，是上的线性变换。若，证明 。 证明：用数学归纳法证明。当时，有 命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对 也成立。因有 ，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题 7.1.5 证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一； （2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且 。 证明：（进而（2）因1）设 ，都是 都是的逆变换，则有， 。即的逆变换唯一。 上的可逆线性变换，则有 。 ，同理有 由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得 。 习题7.1.6 设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。证明，，， 线性无关。 证明：设，依次用可得 ，得，而， 故即得 ；同理有： ；依次类推可得，即得 ，得， ，进而得。 几何背景入手，代数方法出来 ——由浙江2010年高考理科数学第21题谈解析几何解题策略 奉化高级中学 胡尤 摘要:解析几何题一直以来是高考的重头戏，对考生而言也是个“烫手的山芋”。算不快、算 不对、没有思路等等问题始终困扰着考生，且影响着考分。归根结底，关键之处在于条件的转化与化归，而这其中很重要一点就是几何条件的转化，本文以浙江2010年高考理科数学第21题为载体来谈解析几何解题策略之“几何背景入手，代数方法出来”. 关键词：几何条件、代数方法、优化 案例：（2010浙江，21）已知1>m ，直线,02:2=--m my x l 椭圆21222 ,,1:F F y m x C =+ 分别为椭圆C 的左、右焦点. （1）当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程； （2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点， 21F AF ?，21F BF ?的重心分别为G ，H. 若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围. 一、考查知识点 第（1）小题考查椭圆的几何性质。 第（2）小题为取值范围问题，主要考查直线与椭圆、点与圆的位置关系。 知识要求： 1. 能解决点与圆，直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题. 2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 3.能运用数量积表示两个向量的夹角 二、解题分析 1.解题思路探索：（1）引参数（题目已给出——m ）（2）由题目所给几何条件建立关于 m 的不等式（函数法本题不适合） 2.确定解题突破点：（1）如何把已知几何条件“原点O 在以线段GH 为直径的圆内”转化为代数操作性强的不等关系。（2）如何把几何不等关系转化为代数不等式。 解1. （Ⅰ）略 附件1 高等代数与解析几何教学大纲 课程编号： 课程英文名：Advanced Algebra and Analytic Geometry 课程性质：学科基础课 课程类别：必修课 先修课程：高中数学 学分：4+4 总学时数：72+72 周学时数：4+4 适用专业：统计学 适用学生类别：内招生 开课单位：信息科学技术学院数学系 一、教学目标及教学要求 1.本课程是统计学专业的一门重要基础课。它不仅是学习后继课程及在各个学科领域进行理论研究和实际应用的必要基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的提高和发展有着深远的影响。 2.通过本课程的学习，要使学生了解高等代数与解析几何的概貌、各部分内容的结构和知识的内在联系；学会代数与几何方法，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、运算能力和综合应用能力。 3.要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题。 二、本课程的重点和难点 （略。由课任教师自行掌握） 三、主要实践性教学环节及要求 精讲、细读、自学相结合方法，加强课内外训练为手段。 四、教材与主要参考文献 教材：《高等代数与解析几何》（上、下）（第二版），孟道骥编著，科学出版社，2004年。 参考书： 1.《高等代数与解析几何》，陈志杰编著，高等教育出版社， 2000年； 2.《数论基础》，张君达主编，北京科学技术出版社，2002年。 五、考核形式与成绩计算 考核形式：闭卷考试。 成绩计算：平时成绩（包括平时作业、小测验、考勤等）占30%， 期末考试占70%。 六、基本教学内容 第二学期 第一周—第二周：（8课时） 第一章：向量代数与解析几何基础 1.代数与几何发展概述。 2. 向量的线性运算及几何意义：定义与性质、向量的共线、共面与线 性关系 3. 坐标系：标架、向量和点的坐标、n维向量空间。 4. 向量的线性关系与线性方程组。 5. 三维空间中向量的乘积运算：内积、外积、混合积、三重外积。 6. 方程及几何意义： (1)二元方程及几何意义：平面曲线的表示（非参数式、极坐标、 参数式、向量式）; (2)三元方程及几何意义：直线与平面方程、曲线与曲面方程（非 参数式、参数式、向量式）。 第三周—第五周：（12课时） 几何条件代数化与代数运算几何化 ——突破解析几何难点之两方法 解析几何解题方向：找关系。（1）找12,k k 关系，设直线方程；（2）找12,x x 关系，找解题方向；（3）找所设两变量关系（如找k 与m 关系，找12x x +与12x x 关系等），进行消元。方法：代数运算几何化。 几何条件代数化：把题目中的几何条件转化为代数关系（一般是坐标关系）。 所谓“代数运算几何化”是指：执行代数运算时，要结合几何条件。毕竟，解析几何研究的是几何问题。常见文字表述是“点在曲线上”，通过代数运算可找到“两变量之间的关系”，达到“消元目标”。这是种“消元意识”。大多数同学解析几何题解不出，缺的就是这种“运算能力和消元意识”。 其它重要意识：几何条件代数化；一般问题特殊化；最值问题多样化；去除思维模式化。 下面以春期周考数学理科解析几何题来说明。 1、（第一次周考） 21. 设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ， B 两点，直线l 的倾斜角为60o ，2AF FB = . （1）求椭圆C 的离心率；（2）如果|AB|= 15 4 ，求椭圆C 的方程. 分析：1、几何条件代数化：2AF FB = 本质特征：,,F A B 且2AF FB =；代数关系：122y y -=或122()c x x c -=-. |AB|= 15 4 代数关系：弦长公式。 解题方向：联立直线和椭圆方程解题。 （21）解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0. （Ⅰ）直线l 的方程为 ()y x c - ，其中c = 联立2222), 1 y x c x y a b ?=-? ?+=?? 得22224(3)30a b y cy b ++-= 解得22122222 (2)(2) ,33c a c a y y a b a b +-==++ 因为2AF FB = ，所以122y y -=. 即 2= 23c e a ==. ……6分 代数、几何综合题 1、（2005年）已知：OE 是⊙E 的半径，以OE 为直径的⊙D 与⊙E 的弦OA 相交于点B ，在如图9所示的直角坐标系中，⊙E 交y 轴于点C ，连结BE AC 、． （至少写出四种不同类型的结论）； （2若线段BE OB 、的长是关于x 的方程2(1)0x m x m -++=的两根，且OB BE <，2OE =，求以E 点为顶点且经过点B 的抛物线的解析式； （３）该抛物线上是否存有点P ，使得PBE △是以BE 为直角边的直角三角形？若存有，求出点P 的坐标；若不存有，说明其理由． E 2、（2006年）已知：AC 是⊙O ’的直径，点A 、B 、C 、O 在⊙O ’上OA =2。建立如图所示的直角坐标系。∠ACO =∠ACB =60°。 (1)求点B 关于x 轴对称的点D 的坐标； (2)求经过三点A 、B 、O 的二次函数的解析式； (3)该抛物线上是否存有在点P ，使四边形P ABO 为梯形？ 若存有，请求出P 点的坐标；若不存有，请说明理由。 3、（2007年）如图，在平面直角坐标系中，以点C(0，4)为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，AB 是⊙C 的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开(第26题图) 图 9 始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)． (1)当t ＝1时，得到P 1、Q 1两点，求经过A 、P 1、Q 1三点的抛物线解析式及对称轴l ； (2)当t 为何值时，直线PQ 与⊙C 相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标； (3)在(2)的条件下，抛物线对称轴l 上存有一点N ，使NP ＋NQ 最小，求出点N 的坐标并说明理由． 4、（2008年）如图15，四边形OABC 是矩形，4OA =，8OC =，将矩形OABC 沿直线AC 折叠，使点B 落在D 处，AD 交OC 于E ． （1）求OE 的长； （2）求过O D C ，，三点抛物线的解析式； （3）若F 为过O D C ，，三点抛物线的顶点，一动点P 从点A 出发，沿射线AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t （秒）为何值时，直线PF 把FAC △分成面积之比为1:3的两部分？ 5、（2009年）如图13，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形． (第26题图) A B C x O y l P P 1 Q Q 1 高等代数与解析几何（上） 一、选择题（每题3分，共5题，共15分。） 1、) ()b -a ()b a (=?+ 。 0、A )(2b a B ?、 22b a C -、 )(2a b D ?、 2、），（，，2,14)32,1(B A -点P 为线段BA 成定比32：-，则点P 的坐标为（ ）。 )0,7,10(P A 、 )0,6,12(P B 、 )0,7,10(-P C 、 )0,7,10(--P D 、 3、已知b 3a +与b 5a 7 -垂直，b 4-a 与b 2a 7 -垂直，则a 与b 的夹角为（ ）。 6π、A 4π、B 3π、C 2 π 、D 4、当a 为何值时，四点）（，，），，（，，6,1,0)7,100(a 2,13)54,a (D C B A ---共面。（ ） 2=a A 、 1113= a B 、 21113==a a C 或、 211 12 ==a a D 或、 5、设A 为3阶矩阵，8=A ，则)(2=-A 。 16-A 64-B 48C 32D 二、填空题（每题3分，共7题，共21分。） 1、已知1b a == ， 2、几何空间中4个或 3、若向量(0,3,2),c (1,-1,-2),b ), 3,2,4 (a === 则由这三个向量张成的平行六面体的体 积为——————。 4、已知(1,-2,-1), b ), (-4,5,-2a == 则→a 在→b 的单位向量→0b 上的射影为—————。 5、已知排列n x x x 21的逆序数为a ，则排列121-n x x x x n 的逆序数为—————。 6、使1725836j i 成偶排列，则 =i —————，=j ————。 7、n 阶方阵n n ij a A ?=)(，D A =，则 当j k ≠时，=+++nk nj k j k j A a A a A a 2211———。 当j k =时，=+++nk nj k j k j A a A a A a 2211———。几何与代数教学大纲
代数与几何综合题(时间90分钟).
高等代数与解析几何第七章(1-3习题)线性变换与相似矩阵答案
几何背景入手代数方法出来
高等代数与解析几何教学大纲
几何条件代数化与代数运算几何化
代数、几何综合题
高等代数与解析几何