高等代数与解析几何教材特色与比较
1、《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》简介：数学分析、高等代数与解析几何是大学数学系的
三大基础课程，南开大学数学系孟道骥
出版社:科学出版社; 第2版 (2011年1月5日)
丛书名:普通高等教育"十一五"国家级规划教材
平装: 480页https://www.360docs.net/doc/473293159.html,/jpkc/gdds/
第二版在以下几个方面作了修改。
为了降低学习难度，根据第一版使用的经验和反馈，我们把第一章里有关线性流形和子空间的内容删去，让这些概念到第三章才出现。第二章的行列式定义还是使用通常的乘积交叉和的形式，把第一版使用的有向体积（即多重线性函数）定义作为几何意义放在评注里。还把几何空间的直线与平面的内容集中放到新设的第四章。考虑到以后计算多重积分的需要，在第六章第8节补充了有关求空间区域到坐标平面投影的求法，给出一个例题和一些习题。此外对习题的顺序和配备做了整理，增加了一些入门级的基本题，较难的题排在后面，还打上星号，这样虽然每一节后面有不少习题，但教师可以根据不同的要求选取习题，从最易到很难，有很大选择余地。根据华东师范大学几年来的经验，第一学年每周6学时（其中2学时习题课）可以把不打星号的内容教完。第3学期开设每周2学时的选修课，讲授第十四章以及其他一些打星号的内容，这样可以使兴趣不同的学生各得其所。
在帮助学生熟悉数学软件方面，第二版增加了与Mapie平行的：Mathematica的内容，使用者可以从中选择一种。由肖刚教授开发的网上互动式多功能服务站（WIMS）有了汉化的光盘版KNOWIMS，这是一个开放软件，可以免费使用。即使在上网不易的偏远地区，只要有一台电脑，就能拥有一个w：IMS系统，而且教师还可以在这个系统里自行开发各种练习。我们在附录中介绍了WIMS的用法，许多章节后面会介绍相应的练习。希望广大师生能喜欢它，发展它。当然这些有关计算机的内容都是选学的，有兴趣的读者可向高等教育出版社数学分社索取相关软件光盘。
第一章向量代数
本章的主要内容是向量及其代数运算。我们在力学和物理中已经遇到过既有大小义有方向的量，如力、速度等。现在我们面临的问题是从数学的观点研究向量的特性以及它的各种运算。利用向量往往能使某些几何问题更简捷地得到解决。向量方法也是力学、物理学和工程技术中常用的有力工具。向量无疑是一个几何概念，但是在空间中建立了坐标系后，向量与它的坐标问有了一个一一对应的关系。这样就使得许多涉及向量的几何问题转换成了它的坐标（数组）间的代数问题，为应用代数方法解决几何问题提供了桥梁。本章的有些例题与习题就是展示向量代数方法在立体几何中的应用。反之，取定了原点和坐标系后，一个二元或三元的数组又能被看成以原点为始点的向量。例如复数就可被看成平面向量。这样又使得许多抽象的代数概念获得了具体的几何背景。数（或公式）与图形的结合及转化始终是数学发展的有力手段。于是几个数的数组被看成了虚构的高维空间中的向量。现实空间中向量的各种运算被推广到了高维数组构成的“空间”，抽象的数组被赋予了直观的形象。我们这门课程把高等代数与解析几何揉合在一起，既是为了给几何问题提供代数工具，也是为了给抽象的代数概念提供几何的背景。希望同学们在学习时对于形数结合给予更多的重视。并把本章学习的重点放在对各种向量运算以及向量的线性相关性的直观理解上，为以后的代数化作准备。
《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》分上、下册，第1章讨论多项式理论；第2章介绍行列式，包括用行列式解线性方程组的Craner法则；第3章矩阵，主要介绍矩阵的计算、初等变换及矩阵与线性方程组的关系；第4章介绍线性空间；第5章介绍线性变换；第6章多项式矩阵是为了讨论复线性变换而设的；第7章介绍Euclid空间；第8章介绍双线性函数与二次型；第9章讨论二次曲面；第10章介绍仿射几何与影射几何。
《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》附有相当丰富的习题。
个人认为这套教材总体还算不错（虽然系里大多数人都认为很烂），内容、观点还是比较新颖的，不同于一般的教材。不足之处(应该也是同学们“讨厌”的地方）在于有些比较重要的定理写的过于简略，进展太过
于突然，比如证明Jordan标准型存在性的5.8节，写的太过于简略，初学者就很难看懂。另外题目没有按级别分类，难度差距也太大，希望以后能得到改进，看到更好的新版。
与数分、近世代数等交叉多。感觉观点很高，其次很多问题从多个视角考虑问题。话说回来，这本书买了5年了，到现在还没完全吃透，书里很多东西我只是入个门知道个大概。但解决问题时有可能就与这些东西关联上了，拿来一看就明白了。要是光看北大版的高代一般不会有这感觉，这可能是与其它课交叉多的原因吧。
2、高等代数与解析几何(上) [平装]
~ 陈志杰 (作者) 出版社:高等教育出版社; 第2版 (2008年12月1日) 丛书名:普通高等教育十一五国家级规划教材平装: 371页
https://www.360docs.net/doc/473293159.html,/gdds/jcts/frame.html
课程“高等代数与解析几何”，要点如下。
——实现解析几何和高等代数的思想融合：以空间向量为主要载体构建解析几何的线性部分；从几何向量引导到数组向量，再引导到抽象向量的空间观念；在抽象向量空间强调笛卡儿的“形”与“数”的相互转换思想；从一般二次型理论走到解析几何的二次曲面的各种几何分类。
——从相对具体的引例和模型建立概念框架, 按照提出基本问题、解决基本问题、应用基本理论的思路展开课程内容。
——突出主要思想和技术，训练基本技能和具体操作技巧，使得课程结构精练，内容简洁而丰富。——合理安排教学内容和教学环节，增强规范性和可操作性。
华东师范大学精品课程高等代数与解析几何
《高等代数与解析几何》特色内容及评价
1. 姜伯驹院士的序
2. 编者的话
3. 上册目录
4. 下册目录
5. 行列式定义(从有向体积引出行列式的定义)
6. 矩阵定义(中国古代数学中的矩阵与方程以及上机实验)
7. 消去法解线性方程组（中国古代的消去法以及上机实验及网上游戏的内容）
8. 线性变换图解(通过图形变换让学生对矩阵的含义产生直观印象)
9. 欧几里得空间(介绍勾股定理及几何原本的历史)
10. 空间正交变换(给出空间正交变换的实用例子)
11. 画立体图(介绍如何画立体图及其投影原理)
12. 不定方程(介绍了中国古代的同余方程问题以及丢番图)
13. 吴消去法及几何定理机器证明(本书首创，已教过许多遍)
14. 若尔当典范形的应用(最后一章，增强学生对若尔当典范形重要性的认识)
第二版修改内容示例
1. 增加数学软件 Mathematica 的介绍
2. 增加内容: 如何利用 WIMS 辅助教学
3. 吴消去法及几何定理机器证明 (修改稿, 增加 Mathematica 内容)
4. 空间体在坐标平面的投影 (根据数学分析求重积分的需要作了加强)
5. 上机实验以及部分例题的 Maple 原程序
6. 上机实验以及部分例题的 Mathematica 原程序
评价参考材料
[1] 北京大学数学学院方新贵刘连生教授的审稿意见（上册审稿意见没有留底，这里是下册审稿意见）
[2] 高等教育出版社总编办公室出具的证明
[3]华东师范大学评教结果
[4] 辽宁师范大学王德生教授编著的与本书配套的《高等代数与解析几何习题解析》前言
[5] 上书封面（点击略图可以显示详图）
高等代数与解析几何习题精解(科学版)
《高等代数与解析几何(上)》是《高等代数与解析几何》的修订版，主要有两大基本特色，一是把几何的观念和代数的方法结合起来组织教与学，二是引入相关数学软件来实践代数与几何中的一些基本问题，并提供网上互动式多功能服务站。修订主要有以下几个方面：1．为了降低学习难度，根据第一版使用的经验和反馈，把第一章里有关线性流形和子空间的内容删除，这些概念放到第三章中出现。2．将第一版使用的有向体积定义作为几何意义放在评注中，把几何空间的直线与平面的内容集中放到新设的第四章。3．考虑到计算多重积分的需要，在第六章第8节补充了有关空间区域到坐标平面投影的求法，并给出了例题和习题。4．对习题的顺序和配备也作了调整，增加了部分入门级的基本题，较难的题排在后面打上星号，可以根据不同的教学需求进行选择。
《高等代数与解析几何(上第2版)》分上、下两册。上册包括：向量代数、行列式、线性方程组与线性子空间、几何空问中的平面与直线、矩阵的秩与矩阵的运算、线性空间与欧几里得空间，以及附录（Maple 的基本知识、Mathematica的基本知识、如何利用WIMS辅助教学、各类名词索引）。
《高等代数与解析几何(下)(第2版)》是《高等代数与解析几何》的修订版，主要有两大基本特色，一是把几何的观念和代数的方法结合起来组织教与学，二是引入相关数学软件来实践代数与几何中的一些基本问题，并提供网上互动式多功能服务站。修订主要有以下几个方面：1．为了降低学习难度，根据第一版使用的经验和反馈，把第一章里有关线性流形和子空间的内容删除，这些概念放到第三章中出现。2．将第一版使用的有向体积定义作为几何意义放在评注中，把几何空间的直线与平面的内容集中放到新设的第四章。3．考虑到计算多重积分的需要，在第六章第8节补充了有关空间区域到坐标平面投影的求法，并给出了例题和习题。4．对习题的顺序和配备也作了调整，增加了部分入门级的基本题，较难的题排在后面打上星号，可以根据不同的教学需求进行选择。
《高等代数与解析几何(下第2版)》分上、下两册。下册包括：几何空间的常见曲面、线性变换、线性空间上的函数、坐标变换与点变换、一元多项式的因式分解、多元多项式、多项式矩阵与若尔当典范形、若尔当典范形的讨论与应用。
《高等代数与解析几何(下第2版)》可作为高等学校数学类专业高等代数与解析几何课程的教材，也可以作其他相关专业的教学参考书。
很有特色，在众多的高代书籍中，此书与樊恽老师的《线性代数与解析几何引论》是非常不错的出版社:高等教育出版社; 第2版 (2008年12月1日)
丛书名:普通高等教育十一五国家级规划教材
平装: 371页
正文语种:简体中文目录
第一章向量代数
§1向量的线性运算
§2 向量的共线与共面
§3 用坐标表示向量
§4 线性相关性与线性方程组
§5 n维向量空间
§6 几何空间向量的内积
§7 几何空间向量的外积
§8 几何空间向量的混合积
§9 平面曲线的方程
第二章行列式
§1 映射与变换
§2 置换的奇偶性
§3 矩阵
§4 行列式的定义
§5 行列式的性质
§6 行列式按一行(一列)展开
§7 用行列式解线性方程组的克拉默法则
§8 拉普拉斯定理
第三章线性方程组与线性子空间
§1 用消元法解线性方程组
§2 线性方程组的解的情况
§3 向量组的线性相关性
§4 线性子空间
§5 线性子空间的基与维数
§6 齐次线性方程组的解的结构
§7 非齐次线性方程组的解的结构，线性流形第四章几何空间中的平面与直线
§1 几何空间中平面的仿射性质
§2 几何空间中平面的度量性质
§3 几何空间中直线的仿射性质
§4 几何空间中直线的度量性质
§5 平面束
第五章矩阵的秩与矩阵的运算
§1 向量组的秩
§2 矩阵的秩
§3 用矩阵的秩判断线性方程组解的情况
§4 线性映射及其矩阵
§5 线性映射及矩阵的运算
§6 矩阵乘积的行列式与矩阵的逆
§7 矩阵的分块
§8 初等矩阵
§9 线性映射的像空间与核空间
第六章线性空间与欧几里得空间
§1 线性空间及其同构
§2 线性子空间的和与直和
§3 欧几里得空间
§4 欧几里得空间中的正交补空间与正交投影§5 正交变换与正交矩阵
习题答案
附录一 Maple的基本知识
附录二 Matllematica的基本知识
附录三如何利用WIMS辅助教学
附录四名词索引
附录五 Maple函数名索引
附录六 Mathematica函数名索引
附录七希腊字母表
参考文献
目录第七章几何空间的常见曲面
§1 立体图与投影
§2 空间曲面与曲线的方程
§3 旋转曲面
§4 柱面与柱面坐标
§5 锥面
§6 二次曲面
§7 直纹面
§8 曲面的交线与曲面围成的区域第八章线性变换
§1 线性空间的基变换与坐标变换§2 基变换对线性变换矩阵的影响§3 线性变换的特征值与特征向量§4 可对角化线性变换
§5 线性变换的不变子空间
第九章线性空间上的函数
§1 线性函数与双线性函数
§2 对称双线性函数
§3 二次型
§4 对称变换及其典范形
§5 反称双线性函数
§6 酉空间
§7 对偶空间
第十章坐标变换与点变换
§1 平面坐标变换
§2 二次曲线方程的化简
§3 平面的点变换
§4 变换群与几何学
§5 二次曲线的正交分类与仿射分类§6 二次超曲面方程的化简
第十一章一元多项式的因式分解
§1 一元多项式
§2 整除的概念
§3 最大公因式
§4 不定方程与同余式
§5 因式分解定理
§6 重因式
§7 多项式的根
§8 复系数与实系数多项式
§9有理系数多项式
第十二章多元多项式
§1 多元多项式
§2 对称多项式
§3 结式
§4 吴消元法
§5 几何定理的机器证明
第十三章多项式矩阵与若尔当典范形
§1 多项式矩阵
§2 不变因子
§3 矩阵相似的条件
§4 初等因子
§5 若尔当典范形
§6 矩阵的极小多项式
第十四章若尔当典范形的讨论与应用
§1 若尔当典范形的几何意义
§2 简单的矩阵方程
§3 矩阵函数
§4 矩阵的广义逆
§5 矩阵特征值的范围
习题答案
附录一名词索引
附录二 Maple函数名索引
附录三 Mathematica函数名索引
参考文献
《高等代数与解析几何(上第2版)》可作为高等学校数学类专业高等代数与解析几何课程的教材，也可以作其他相关专业的教学参考书。
解析几何与高等代数的合并！很系统化！
高等代数与解析几何习题解析(上) [平装]
~ 王德生
出版社:辽宁师范大学出版社; 第1版 (2001年10月1日)
平装: 555页
正文语种:简体中文
《高等代数与解析几何习题解析(上)》的章节与陈志杰教授主编的教材《高等代数与解析几何（上）》完全一致，所使用的符号也基本一致。高等代数、解析几何是大学数学系教学计划中两门重要的基础课。随着我国数学高等教育的发展和教学改革的不断深入，把这两门课合并成一门课的主张近年来得到了越来越多的从教者的认同和广泛响应。陈志杰教授主编的《高等代数与解析几何》就是新近出版这方面的教材之一。
高等代数与解析几何合并成一门课后，在教学上必然要突破高等代数和解析几何课程原来各自教学的思想、模式和惯性，体现代数与几何的融会贯通与结合，无论对于教者还是对于学者，都会有一个适应的过程。为了教学上的方便和帮助学生学习这门刚刚开始合并的课程，在征得陈志杰教授的同意后，编者编写了这本教学参考用书。《高等代数与解析几何习题解析(上)》每节包括四个部分：一、基本概念，二、主要结论，三、学习指导，四、习题分析与解法点评。对于那些内容较为深刻或者难度相对较大的习题，《高等代数与解析几何习题解析(上)》在加强习题分析和解法点评的基础上尽可能地给出两种或两种以上的解法，以期活跃数学思想和开阔解题思路。读者应配合上述教材使用《高等代数与解析几何习题解析(上)》，并应仔细阅读每节中的学习指导和习题分析与解法点评部分的内容，但不可以《高等代数与解析几何习题解析(上)》代替教材。对于学生读者，编者特别提醒，千万切忌抄录《高等代数与解析几何习题解析(上)》中习题的解法过程以代替自己的独立思考和作业。
https://www.360docs.net/doc/473293159.html,/jpkcnew/gdds/main.html
华中师大精品课程
从几何思想与代数思想交叉、转换融合的角度,改革知识模块,精练简洁地构建整合课程教学内容.
3、高等代数与解析几何 [平装]
~ 同济大学应用数学系 (编者) 出版社:高等教育出版社; 第1版 (2005年5月1日) 丛书名:高等学校教材平装: 382页
《高等代数与解析几何》正文包括一元多项式、空间解析几何、矩阵代数、方阵的行列式、矩阵的秩与线性方程组、线性空间、线性变换与相似矩阵、λ-矩阵、内积空间、双线性函数与二次型等共十章。《高等代数与解析几何》强调初等变换与初等矩阵的作用，引进了阶梯矩阵首元的概念，使得许多问题简单明了。我们力求做到内容由浅人深，由易及难，由具体到抽象。《高等代数与解析几何》深广度适宜，结构严谨，文笔流畅，例题丰富且具代表性，便于教学。所配习题和补充题有利于学生巩固提高所学内容。
《高等代数与解析几何》可作为一般普通高校数学系的本科一年级“高等代数与解析几何”课程的教材。目录
第一章一元多项式
§1.1 一元多项式
§1.2 多项式的最高公因式
§1.3 因式分解与唯一性定理
§1.4 复系数、实系数、有理系数多项式
第二章空间解析几何
§2.1 坐标系、三维向量
§2.2 向量的数量积、向量积、混合积
§2.3 平面、直线方程，平面束
§2.4 点、直线、平面之间的位置关系
§2.5 柱面、锥面、旋转面、空间曲线在坐标面上的投影
§2.6 二次曲面、直纹面
第三章矩阵代数
§3.1 矩阵及其运算
§3.2 矩阵的分块与初等方阵
§3.3 矩阵的逆
§3.4线性方程组
第四章方阵的行列式
§4.1 行列式的定义
§4.2 行列式的性质
§4.3 行列式展开
§4.4 用行列式求A-1与Cramer（克拉默）法则第五章矩阵的秩与线性方程组 ?
§5.1 向量组的线性相关性
§5.2 向量组的秩
§5.3 矩阵的秩
§5.4 线性方程组解的结构
补充题
第六章线性空间
§6.1 线性空间的定义与简单性质
§6.2 子空间
§6.3 生成元集、线性相关性、基与维数
§6.4 基变换与坐标变换
§6.5 子空间的直和
§6.6 线性空间的同构
§6.7 线性函数与对偶空间
第七章线性变换与相似矩阵
§7.1 线性变换的定义与性质
§7.2 线性变换的矩阵与相似矩阵
§7.3 特征值与特征向垣
§7.4 可对角化条件
§7.5 不变子空间与根空间分解
第八章λ-矩阵
§8.1 λ-矩阵及其标准形
§8.2 λ-矩阵的余式定理
§8.3 初等因子
§8.4 若尔当标准形
第九章内积空间
§9.1 内积空间的定义与基本性质
§9.2 标准正交基与矩阵的QR分解
§9.3正交子空间与最客服乘问题
§9.4 保长同构与酉变换（正交变换）
§9.5 埃尔米特（实对称）矩阵与酉相似标准形§9.6 二次曲面分类、主轴问题
第十章双线性函数与二次型
§10.1 双线性函数与二次型
§10.2 化二次型为标准形
§10.3 规范形与惯性定理
§10.4 正定二次型与正定矩阵
§10.5 矩阵的奇异值分解与广义逆
附录二软件Mathema6ca中与高等代数有关的命令§B.1 基本操作和数的计算
§B.2 矩阵的代数运算
§B.3 矩阵的初等行变换、线性方程组求解
§B.4 多项式代数
§B.5 方阵的特征值和特征向量、方阵的分解
附录三软件MATLAB中与高等代数有关的命令
§C.1 数的计算
§C.2 矩阵运算
§C.3 线性方程组求解
§C.4 方阵的特征值和特征向量
§C.5 方阵的分解
§C.6 符号运算
序言高等代数与解析几何是数学与应用数学等专业的一门重要基础课程，对其基本知识和内容的掌握程度将直接影响到许多后继课程（如抽象代数、微分方程等）的学习。作为体现教学内容和教学方法的知识载体，教材对教学效果起着重要作用。本书编写时遵循了以下原则：
1.由浅入深，由易及难，由具体到抽象，注意与中学内容的衔接。对不少学生来说，由中学升到大学是一次大的跳跃，很多一年级的学生还需要一个调整适应期。其中大学与中学在教材的处理、教学方式和学习方式的差异是重要原因。因此，我们首先讲授中学生较为熟悉的一元多项式,空间解析几何，而将较抽象的行列式放在了稍后的位置。
2.充分体现解析几何与高等代数的内在联系，以简单而具体的几何例子引出抽象的代数概念，反过来再以代数工具来解决几何问题。为了保持解析几何的完整性，我们在第二章讲授空间解析几何的基本内容，但有些几何内容我们穿插在代数的相关章节中处理。比如：三个平面的位置关系安插在方程组一节，用矩阵的秩以及方程组解的理论讨论；二次曲面分类放在正交变换与二次型的标准形部分讲授。
3.特别强调行初等变换和初等矩阵的作用，引入了阶梯形矩阵首元（素）的概念。教学实践证明，初等矩阵作用强大，首元（素）简单明了，学生更易于接受掌握。
4.强调理论的应用，在相关章节介绍了一些实用的例子。比如：在讲授多项式与线性空间的基变换时，介绍了常用的拉格朗日插值公式；结合施密特正交化方法，介绍了矩阵的正交三角分解；通过半正定矩阵可以相似于对角矩阵，引入了矩阵的奇异值分解与广义逆等等。这些内容都是十分有用的。
5.增加了介绍：Mathematica和MATLAB数学软件中有关代数与几何运算操作命令的两个附录。随着计算机及其软件的发展，很多高等代数与解析几何中的计算问题都可以通过相关的软件利用计算机来实现。Mathematica不仅可以提供精确的计算结果，甚至可以进行符号运算；而MATLAB虽主要只提供近似的计算结果，但具有强大的绘图功能。在学好本课程的基本理论和方法的同时，掌握一些现代的工具是有益的。
https://www.360docs.net/doc/473293159.html,/college/sxxy/jpkc/gaodaiyujieji/grid.php
精品课程《高等代数与解析几何》是国家特色专业建设、四川省特色专业建设，四川省重点
学科建设的专业基础课程，体现了一定的数学教育教学思想，具有鲜明的时代特色，符合现代科学技术的发展，适应社会发展进步的需要。主要体现在：
1.注重课程体系与教学内容的整体优化，强调理论思想方法和应用三者之间协调发展。于此相适应的是我们的教材逐步精品化，教材内容体系结构整体逐步优化，更适应于高等院校工科数学教学规律。
2.重视基础，注重数学思想与方法的训练，淡化解题技巧，强化学生能力；注重学生数学素质的培养。
3.加强数学教学的实践环节，重视数学教学与计算机技术的结合。通过《数学实验》的开设和数学实验室的开放，加大创新性、综合性实验的比重，从而激发学生积极性和创造力。加强应用，重视学生数学建模能力的培养，以组织参加全国大学生数学建模竞赛为契机，逐步引导学生进行科学研究，使广大工科大学生有机会接触工程技术问题，促使教学与科研的完美结合。
https://www.360docs.net/doc/473293159.html,/ec3.0/C280/zjjs-1.htm成都理工大学https://www.360docs.net/doc/473293159.html,/
一、高等代数与解析几何之间的关系
利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理 一、高等代数与解析几何的关系 代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景。 解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。 “如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。” --------拉格朗日 二、目前将高等代数与解析几何合并开课的大学 中国科大： 陈发来，陈效群，李思敏，线性代数与解析几何，高等教育出版社，北京：2011. 南开大学： 孟道骥，高等代数与解析几何（上下册）（第二版），科学出版社，北京：2007. 华东师大： 陈志杰，高等代数与解析几何 (上下册) (第2版)，高等教育出版社，北京：2008. 华中师大： 樊恽，郑延履，线性代数与几何引论，科学出版社，北京：2004. 同济大学： 高等代数与解析几何同济大学应用数学系高等教育出版社 (2005-05出版) 兰州大学，广西大学，西南科技大学，成都理工大学 三、高等代数的特点 1、逻辑推理的严密性； 2、研究方法的公理性； 3、代数系统的结构性。 四、高等代数一些概念的引入 对于刚上大学的一年级新生, 大多数难以适应高等代数的抽象概念的引入、推导 和应用。通过一些实例，特别是几何实例，引入高等代数的相关概念，一方面可以让学生了解抽象概念的来龙去脉，另一方面可以让学生找到理解抽象概念的思维立足点。
高等代数与解析几何之间的联系
高等代数与解析几何之间的关联性 数学0803班康若颖20081692 内容摘要：在我们的学习过程中，可以发现高等代数和解析几何中有很多相似之处。确切的说是高等代数中 的一些理论是从解析几何中发展和改进而来的。比如说通过解析几何中多元一次方程组的解法高等代数提出了行列式，使行列式有了几何意义，同时是行列式直观化。也是通过行列式，多元方程组的解答更便捷、快速。又比如说欧式空间的提出。我们都知道几何空间中的向量以及他的一些性质。在高等代数中先后提出来线性空间、欧式空间。线性空间将向量做了推广，使向量抽象化。欧式空间在线性空间的基础上提出内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化，等等，这样的例子很多很多。总体来说高等代数与解析几何是相互联系、相互促进的。可以更确切一点的说是解析几何是高等代数的基石，而高等代数是解析几何的推广和并使之抽象化。 关键词：行列式、正交变换、向量、线性方程组、二次型和二次曲线、二次曲面、欧式空间 导言：从代数与几何的发展来看，高等代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。它们的关系可以归 纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”。通过对高等代数和解析几何的学习和研究中，我们可以看到解析几何和高等代数中有着紧密的联系。运用解析几何来分析高等代数更直观，同时，高等代数也是解析几何的一个发展、拓宽。比如说欧式空间。运用高等代数的解题方法来解答解析几何中的一些问题更加简便，快捷。比如说运用行列式的计算来解答多元方程组问题。 内容： 解析几何中以代数为工具，解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识来定义来刻画、 描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。从概念的内涵的外延来看，两门课之间存在着特殊与一般的关系，解析几何的一、二、三维空间是线性代数n 维空间的特例，而线性空间的大量理论又是来源于一、二、三维几何空间的推广（抽象）。平面方程及平面间的位置关系与线性方程组的理论，二次曲线，二次曲面的化简与代数中的二次型理论，几何与代数中欧式空间的理论等等。 （一）线性代数中一些概念的几何直观解释： 1.关于行列式的几何背景 设α=(321,,a a a ),β=(321,,b b b ),γ=(321,,c c c );两个向量的向量积可以用行列式写为 321 32 1b b b a a a k j i =?βα 它在几何上表示的是与α,β向量都垂直且成右手系的向量。 三个向量的混合积可以用行列式表示为图1 平行六面体 （γβα,,）=（βα?）γ?=321 32 132 1c c c b b b a a a 此行列式的几何解释是它的绝对值等于以它们3个向量为相邻棱所作的平行六面体的体积(如图1)。特别地,当(α,β,γ)=0时,由于平行六面体的体积为零,所以共面。γβα,,0321321 321 ?=c c c b b b a a a 图1 平行六面体
高等代数与解析几何第七章(1-3习题)线性变换与相似矩阵答案
第七章线性变换与相似矩阵 习题 7.1 习题 7.1.1 判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ），， 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （Ⅱ），； 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （2）在中， （Ⅰ）， 解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。 （Ⅱ）； 解：是的线性变换。设，其中，，则有 ，
。 （3）在（Ⅰ）解：是中， ， 的线性变换：设，则 ， ，。 （Ⅱ）解：是 ，其中 的线性变换：设 是中的固定数； ，则 ， ，。 （4）把复数域看作复数域上的线性空间， 共轭复数； 解：不是线性变换。因为取，时，有 ，即。，其中是的 ， （5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。 解：是的线性变换。对，，有 ， 。 习题7.1.2 在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由 轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向
旋转 900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明（表示恒等变换）， ， ； 并说明是否成立。 证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可 知：， ，， ； ； ， ， ， ，即，故。 因为因为 ， ，所以 ， ，所以 。 。 因为， ，所以。 习题 7.1.3 在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有 。所以。 习题 7.1.4 设，是上的线性变换。若，证明 。 证明：用数学归纳法证明。当时，有
命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对 也成立。因有 ，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题 7.1.5 证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一； （2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且 。 证明：（进而（2）因1）设 ，都是 都是的逆变换，则有， 。即的逆变换唯一。 上的可逆线性变换，则有 。 ，同理有 由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得 。 习题7.1.6 设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。证明，，， 线性无关。 证明：设，依次用可得 ，得，而， 故即得 ；同理有： ；依次类推可得，即得 ，得， ，进而得。
高等代数与解析几何教学大纲
附件1 高等代数与解析几何教学大纲 课程编号： 课程英文名：Advanced Algebra and Analytic Geometry 课程性质：学科基础课 课程类别：必修课 先修课程：高中数学 学分：4+4 总学时数：72+72 周学时数：4+4 适用专业：统计学 适用学生类别：内招生 开课单位：信息科学技术学院数学系 一、教学目标及教学要求 1.本课程是统计学专业的一门重要基础课。它不仅是学习后继课程及在各个学科领域进行理论研究和实际应用的必要基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的提高和发展有着深远的影响。 2.通过本课程的学习，要使学生了解高等代数与解析几何的概貌、各部分内容的结构和知识的内在联系；学会代数与几何方法，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、运算能力和综合应用能力。 3.要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题。 二、本课程的重点和难点 （略。由课任教师自行掌握） 三、主要实践性教学环节及要求
精讲、细读、自学相结合方法，加强课内外训练为手段。 四、教材与主要参考文献 教材：《高等代数与解析几何》（上、下）（第二版），孟道骥编著，科学出版社，2004年。 参考书： 1.《高等代数与解析几何》，陈志杰编著，高等教育出版社， 2000年； 2.《数论基础》，张君达主编，北京科学技术出版社，2002年。 五、考核形式与成绩计算 考核形式：闭卷考试。 成绩计算：平时成绩（包括平时作业、小测验、考勤等）占30%， 期末考试占70%。 六、基本教学内容 第二学期 第一周—第二周：（8课时） 第一章：向量代数与解析几何基础 1.代数与几何发展概述。 2. 向量的线性运算及几何意义：定义与性质、向量的共线、共面与线 性关系 3. 坐标系：标架、向量和点的坐标、n维向量空间。 4. 向量的线性关系与线性方程组。 5. 三维空间中向量的乘积运算：内积、外积、混合积、三重外积。 6. 方程及几何意义： (1)二元方程及几何意义：平面曲线的表示（非参数式、极坐标、 参数式、向量式）; (2)三元方程及几何意义：直线与平面方程、曲线与曲面方程（非 参数式、参数式、向量式）。 第三周—第五周：（12课时）
高等代数与解析几何同济答案
高等代数与解析几何同济答案 【篇一：大学所有课程课后答案】 资料打开方法：按住 ctrl键，在你需要的资料上用鼠标左键单击 资料搜索方法：ctrl+f 输入关键词查找你要的资料 【数学】 o o o o o o o o o o o o o o o o o
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高等代数与解析几何
高等代数与解析几何（上） 一、选择题（每题3分，共5题，共15分。） 1、) ()b -a ()b a (=?+ 。 0、A )(2b a B ?、 22b a C -、 )(2a b D ?、 2、），（，，2,14)32,1(B A -点P 为线段BA 成定比32：-，则点P 的坐标为（ ）。 )0,7,10(P A 、 )0,6,12(P B 、 )0,7,10(-P C 、 )0,7,10(--P D 、 3、已知b 3a +与b 5a 7 -垂直，b 4-a 与b 2a 7 -垂直，则a 与b 的夹角为（ ）。 6π、A 4π、B 3π、C 2 π 、D 4、当a 为何值时，四点）（，，），，（，，6,1,0)7,100(a 2,13)54,a (D C B A ---共面。（ ） 2=a A 、 1113= a B 、 21113==a a C 或、 211 12 ==a a D 或、 5、设A 为3阶矩阵，8=A ，则)(2=-A 。 16-A 64-B 48C 32D 二、填空题（每题3分，共7题，共21分。） 1、已知1b a == ， 2、几何空间中4个或 3、若向量(0,3,2),c (1,-1,-2),b ), 3,2,4 (a === 则由这三个向量张成的平行六面体的体 积为——————。 4、已知(1,-2,-1), b ), (-4,5,-2a == 则→a 在→b 的单位向量→0b 上的射影为—————。 5、已知排列n x x x 21的逆序数为a ，则排列121-n x x x x n 的逆序数为—————。 6、使1725836j i 成偶排列，则 =i —————，=j ————。 7、n 阶方阵n n ij a A ?=)(，D A =，则 当j k ≠时，=+++nk nj k j k j A a A a A a 2211———。 当j k =时，=+++nk nj k j k j A a A a A a 2211———。
《高等代数与解析几何》
《高等代数与解析几何》教学大纲 学时数：192 学分：12 适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学 一、课程说明 高等代数与解析几何是高校数学系课程中联系十分密切的两门的基础课．作为高等代数的主要内容，线性代数是由二维、三维几何空间中的向量代数进一步抽象推广得来的，高等代数的多数概念和方法都有着很强的几何背景．而解析几何的研究对象则是用代数的方法研究空间的几何问题．因此，高等代数与解析几何有着紧密的联系，它们的关系可归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景．”本课程的主要任务是使学生获得代数的基本思想方法和行列式、矩阵、向量代数、线性方程组、多项式理论、二次型、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型、常见曲面等方面的系统知识．它一方面为后继课程（如近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的思维能力，开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造型能力等重要作用． 二、与其它课程的关系 本课程作为一门基础课，是学习近世代数、离散数学、计算方法、微分方程、泛涵分析等课程的基础． 三、大纲部分 以下按各章具体写出 第一章预备知识（6学时） 本章的内容为介绍性质的，主要是为本课程的学习所做的预备工作，因而其中的内容基本相对独立． 教学目的与要求理解数环与数域的定义；突出三个常用的数域，即有理数域、实数域 和复数域，理解整数的整除性；理解第二归纳法原理；理解映射的定义、满射、单射和双射．数学重点数域的定义，映射的定义和性质． 教学难点对映射定义的理解；对满射的理解和应用． 新知识点数域性质的应用；整数整除性质的推广. 教学方法与手段以“细读——精讲——习作”这一现代教学方法完成本章的主要内容. 教学内容 1.数环和数域 １
高等代数与解析几何教材特色与比较
1、《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》简介：数学分析、高等代数与解析几何是大学数学系的 三大基础课程，南开大学数学系孟道骥 出版社:科学出版社; 第2版 (2011年1月5日) 丛书名:普通高等教育"十一五"国家级规划教材 平装: 480页https://www.360docs.net/doc/473293159.html,/jpkc/gdds/ 第二版在以下几个方面作了修改。 为了降低学习难度，根据第一版使用的经验和反馈，我们把第一章里有关线性流形和子空间的内容删去，让这些概念到第三章才出现。第二章的行列式定义还是使用通常的乘积交叉和的形式，把第一版使用的有向体积（即多重线性函数）定义作为几何意义放在评注里。还把几何空间的直线与平面的内容集中放到新设的第四章。考虑到以后计算多重积分的需要，在第六章第8节补充了有关求空间区域到坐标平面投影的求法，给出一个例题和一些习题。此外对习题的顺序和配备做了整理，增加了一些入门级的基本题，较难的题排在后面，还打上星号，这样虽然每一节后面有不少习题，但教师可以根据不同的要求选取习题，从最易到很难，有很大选择余地。根据华东师范大学几年来的经验，第一学年每周6学时（其中2学时习题课）可以把不打星号的内容教完。第3学期开设每周2学时的选修课，讲授第十四章以及其他一些打星号的内容，这样可以使兴趣不同的学生各得其所。 在帮助学生熟悉数学软件方面，第二版增加了与Mapie平行的：Mathematica的内容，使用者可以从中选择一种。由肖刚教授开发的网上互动式多功能服务站（WIMS）有了汉化的光盘版KNOWIMS，这是一个开放软件，可以免费使用。即使在上网不易的偏远地区，只要有一台电脑，就能拥有一个w：IMS系统，而且教师还可以在这个系统里自行开发各种练习。我们在附录中介绍了WIMS的用法，许多章节后面会介绍相应的练习。希望广大师生能喜欢它，发展它。当然这些有关计算机的内容都是选学的，有兴趣的读者可向高等教育出版社数学分社索取相关软件光盘。 第一章向量代数 本章的主要内容是向量及其代数运算。我们在力学和物理中已经遇到过既有大小义有方向的量，如力、速度等。现在我们面临的问题是从数学的观点研究向量的特性以及它的各种运算。利用向量往往能使某些几何问题更简捷地得到解决。向量方法也是力学、物理学和工程技术中常用的有力工具。向量无疑是一个几何概念，但是在空间中建立了坐标系后，向量与它的坐标问有了一个一一对应的关系。这样就使得许多涉及向量的几何问题转换成了它的坐标（数组）间的代数问题，为应用代数方法解决几何问题提供了桥梁。本章的有些例题与习题就是展示向量代数方法在立体几何中的应用。反之，取定了原点和坐标系后，一个二元或三元的数组又能被看成以原点为始点的向量。例如复数就可被看成平面向量。这样又使得许多抽象的代数概念获得了具体的几何背景。数（或公式）与图形的结合及转化始终是数学发展的有力手段。于是几个数的数组被看成了虚构的高维空间中的向量。现实空间中向量的各种运算被推广到了高维数组构成的“空间”，抽象的数组被赋予了直观的形象。我们这门课程把高等代数与解析几何揉合在一起，既是为了给几何问题提供代数工具，也是为了给抽象的代数概念提供几何的背景。希望同学们在学习时对于形数结合给予更多的重视。并把本章学习的重点放在对各种向量运算以及向量的线性相关性的直观理解上，为以后的代数化作准备。 《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》分上、下册，第1章讨论多项式理论；第2章介绍行列式，包括用行列式解线性方程组的Craner法则；第3章矩阵，主要介绍矩阵的计算、初等变换及矩阵与线性方程组的关系；第4章介绍线性空间；第5章介绍线性变换；第6章多项式矩阵是为了讨论复线性变换而设的；第7章介绍Euclid空间；第8章介绍双线性函数与二次型；第9章讨论二次曲面；第10章介绍仿射几何与影射几何。 《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》附有相当丰富的习题。 个人认为这套教材总体还算不错（虽然系里大多数人都认为很烂），内容、观点还是比较新颖的，不同于一般的教材。不足之处(应该也是同学们“讨厌”的地方）在于有些比较重要的定理写的过于简略，进展太过
高等代数与解析几何第七章习题7答案
习题7.4 习题7.4.1设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明： （1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a === 2211，且A 不是对角阵，则 A 不可对角化。 证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλ ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i =，所以A 有 n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无 关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。 （2）假设A 可对角化，即存在对角阵???? ? ? ? ??=n B λλλ 21，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21 。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλ ，从而 E a a a a B nn 112211=???? ? ? ? ??= ，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与 假设矛盾，所以A 不可对角化。 习题7.4.2设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值 s λλλ,,,21 ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i =。证明：
（1）s V V V +++ 21是直和； （2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕= 21。 证明：（1）取s V V V +++ 21的零向量0，写成分解式有 021=+++s ααα ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1 =。 现用12,,,-s σσσ 分别作用分解式两边，可得 ?????? ?=+++=+++=+++---0 00 1212111221121s s s s s s s s αλαλαλαλαλαλααα 。 写成矩阵形式为 )0,,0,0(111),,,(11221 1121 =? ? ?? ??? ? ?---s s s s s s λλλλλλααα。 由于s λλλ,,,21 是互不相同的，所以矩阵? ??? ??? ? ?=---11221 11111s s s s s B λλλλλλ 的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有 )0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121 ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21 =s ααα。 这说明s V V V +++ 21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得 s V V V +++ 21是直和。 （2）)(?因i V ，s i ,,2,1 =都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕? 21。 又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕ 21。对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈ 21α，即得 s V V V V ⊕⊕⊕? 21成立，故有
高等代数与解析几何第七章习题7答案
习题 习题设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明： （1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a ===Λ2211，且A 不是对角阵，则 A 不可对角化。 证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλΛ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，所以A 有 n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无 关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。 （2）假设A 可对角化，即存在对角阵???? ?? ? ? ?=n B λλλO 2 1 ，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21Λ。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλΛ，从而 E a a a a B nn 112211 =???? ?? ? ? ?=O ，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与 假设矛盾，所以A 不可对角化。 习题设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值 s λλλ,,,21Λ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i Λ=。证明： （1）s V V V +++Λ21是直和；
（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 证明：（1）取s V V V +++Λ21的零向量0，写成分解式有 021=+++s αααΛ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1Λ=。现用1 2,,,-s σσσΛ分别作用分解式两边，可得 ??? ??? ?=+++=+++=+++---000 1212111221121s s s s s s s s αλαλαλαλαλαλαααΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。 写成矩阵形式为 )0,,0,0(11 1 ),,,(11221 1 121ΛΛ M M M Λ ΛΛ=???? ?? ? ? ?---s s s s s s λλλλλλααα。 由于s λλλ,,,21Λ是互不相同的，所以矩阵???? ?? ? ? ?=---11221 1111 1 s s s s s B λλλλλλΛ M M M Λ Λ的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有 )0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121ΛΛΛ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21ΛΛ=s ααα。 这说明s V V V +++Λ21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得 s V V V +++Λ21是直和。 （2）)(?因i V ，s i ,,2,1Λ=都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21。 又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕Λ21。对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈Λ21α，即得 s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21成立，故有s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 )(?因s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21， 所以分别取i V ),,2,1(s i Λ=的基：i id i i ααα,,,21Λ，
高等代数与解析几何复习题
高等代数与解析几何复习题 第一章 矩阵 一、 填空题 1.矩阵 A 与 B 的乘积AB 有意义，则必须满足的条件是 。 2.设(),(),ij m s ij s n A a B b ??==又()ij m n AB c ?=，问ij c = 。 3.设 A 与 B 都是n 级方阵，计算2()A B += , 2()A B -= , ()()A B A B +-= 。 4.设矩阵1234A ?? = ??? ,试将A 表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。 （注意：任意n 阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和） 5.设(1,2,1)X =,(2,1,3)T Y =-,201013122A -?? ?= ? ?-?? ,计算XAY = 。 6.设向量()1,2,3,(1,1,1)T α β==，则αβ= ，βα= 。 7.设矩阵2003A ??= ??? ，则100 A = 。 8.设矩阵200012035A ?? ?= ? ??? ，则1 A -= 。 9.设准对角矩阵1 200A A A ?? = ??? ,()f x 是多项式，则()f A = 。 10.设矩阵123456789A ?? ? = ? ??? ，则A 的秩()R A = 。 11.设* A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵, d A =,则=*A A 。 12.设* A 是矩阵 A 的伴随矩阵，则**_____________.AA A A == 13.矩阵123235471A ?? ?=- ? ??? 的秩为__________，A 的伴随矩阵* A = 。 14.设 A 是3阶可逆方阵， B 是34?矩阵且()2R B =，则()R AB = 。
孟道骥《高等代数与解析几何》(第3版)(上册)复习笔记-行列式(圣才出品)
第2章行列式 2.1 复习笔记 一、矩阵 1．矩阵概念 在数域P中取mn个数，将它们排成m（横）行，n（竖）列的长方阵（将第i行，第j列的元素记为），再加上括号，即有 称它为P上的一个m×n矩阵． 注：（1）矩阵通常用一个英文大写字母，如A表示； （2）从上到下的各行依次称为第1行，…，第m行，并记为 （3）从左到右的各列依次称为第l列，…，第n列，并记为 （4）矩阵中每个数，又称矩阵的元素，第i行，第j列处的数（元素）也记为 2．矩阵相等 P上的m×n矩阵A与k×l矩阵B称为相等，如果满足 （1）m＝k，n＝l； （2）
3．行矩阵（列矩阵） 只有一行（列）的矩阵称为行矩阵（列矩阵）．4．n阶方阵 一个n×n的矩阵称为n阶方阵． ５．单位矩阵 n阶方阵 其中 称为n阶单位矩阵． ６．转置 （1）定义 设A是一个m×n的矩阵 则
称为A的转置．常记为A'（或A T）． （2）性质 A'是n×m矩阵，且与A有以下关系 注：若一个n×m矩阵B与A有上述关系之一，则B＝A'，另外两个关系也成立．6．初等变换符号表示 （1）若将矩阵A的第i行（第j列）的每个元素都乘以数k，而其他元素不变，所得的矩阵称为A的第i行（第j列）乘k，记为则 若将第二个等式右边简记为，则 同理与A有下面关系 （2）将矩阵A的第i行（列）加上第j行（列）的k倍，而其他行（列）（包括第j
行（列））不变，即A的第i行（列）的每个元素加上第j行（列）对应元素的k倍．得到的矩阵记为则 若将上式右边记为则 同理有 其中 （3）将矩阵A的第i行（列）与第j行（列）互换，其余行（列）不动，所得的矩阵记为则 同理 7．初等变换 设A是一个矩阵，称
高等代数与解析几何第二章复习题
第二章 行列式 一、计算题 1. 若置换??? ? ??=???? ??=24131234,32411234q p ,则pq = . 2.将矩阵????? ??=50413102b A 的第1行乘上-2加到第二行后变成??? ? ? ??-=504211102B , 则=b 。 3. 1至6的排列241356的逆序数为________ 。 4. 四阶行列式展开式中，项23413412a a a a 的符号为 。 5. 5 10420 3 21= 。 6.设11111 431 1234115 7 A -= ，则A 的第4行各元素的代数余子式之和为 。 7．行列式11 1213 21 222331 32 33 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = 。 8．设(,1,2)ij A i j = 为行列式21 31D =中元素ij a 的代数余子式，则 111221 22 A A A A = 。 二、选择题 1.方程1 232 1603 6 2 x x -=+的根为（ ）。 (A) 121, 2x x ==； (B) 125, 7x x ==； (C) 123, 6x x ==； (D) 123, 6x x =-=-。
2.满足下列条件的行列式不一定为零的是（ ）。 (A ）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式； （B ）行列式中有两行（列）元素完全相同； （C ）行列式中有两行（列）元素成比例； （D ）行列式中等于零的个数大于2 n n -个。 3.行列式4 10 3 26 5 7 a --中，元素a 的代数余子式是（ ）。 A ． 4067- B ．4165 C ．4067-- D ．41 65 - 4．以下乘积中（ ）是5阶行列式ij D a =中取负号的项。 A .3145122453a a a a a ； B .4554421233a a a a a ； C ．2351324514a a a a a ； D .1332244554a a a a a 5. 以下乘积中（ ）是4阶行列式ij D a =中取负号的项。 A .11233344a a a a ； B .14233142a a a a ； C ．12233144a a a a ； D .23413211a a a a 6.任n 级矩阵A 与-A , 下述判断成立的是( )。 A . A A =-； B .AX O =与()A X O -=同解； C .若A 可逆, 则1 1() (1)n A A ---=-； D ．A 反对称, -A 反对称 三、计算题 1．.D= 23411234 149161 82764 ，11121314A A A +++求A . 2． 11111 1 11 1111111 1 ----.
高等代数与解析几何第七章线性变换与相似矩阵答案
习题 习题判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量，（Ⅰ），， 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则，即此时不是的线性变换。（Ⅱ），； 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则，即此时不是的线性变换。（2）在中， （Ⅰ）， 解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。（Ⅱ）； 解：是的线性变换。设，其中，，则有 ， 。 （3）在中， （Ⅰ）， 解：是的线性变换：设，则 ， ，。 （Ⅱ），其中是中的固定数；
解：是的线性变换：设，则 ， ，。 （4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数；解：不是线性变换。因为取，时，有，，即。 （5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。 解：是的线性变换。对，，有 ， 。 习题在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明（表示恒等变换）， ， ； 并说明是否成立。 证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，；，，；，，，即，故。 因为， ，所以。 因为， ，所以。 因为，
，所以。 习题在中，，，证明。 证明：在中任取一多项式，有 。所以。 习题设，是上的线性变换。若，证明 。 证明：用数学归纳法证明。当时，有 命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对也成立。因有 ，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。 习题证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且 。 证明：（1）设都是的逆变换，则有，。进而。即的逆变换唯一。（2）因，都是上的可逆线性变换，则有 ，同理有 由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。 习题设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。证明，，，线性无关。 证明：设，依次用可得 ，得，而，故；同理有：，得，即得；依次类推可得，即得，进而得。
高等代数与解析几何第七章节(1-3习题) 线性变换与相似矩阵答案
第七章线性变换与相似矩阵 习题7.1 习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ），， 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （Ⅱ），； 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （2）在中， （Ⅰ）， 解：不是的线性变换。因对于，有， ，所以。 （Ⅱ）； 解：是的线性变换。设，其中，， 则有 ，
。 （3）在中， （Ⅰ）， 解：是的线性变换：设，则 ， ，。 （Ⅱ），其中是中的固定数； 解：是的线性变换：设，则 ， ，。 （4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数； 解：不是线性变换。因为取，时，有， ，即。 （5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，， 。 解：是的线性变换。对，，有 ， 。 习题7.1.2在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由 轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向
旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的 变换。证明（表示恒等变换）， ， ； 并说明是否成立。 证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可 知：，，；， ，；，， ，即，故。 因为， ，所以。 因为， ，所以。 因为， ，所以。 习题7.1.3在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有 。所以。 习题7.1.4设，是上的线性变换。若，证明 。 证明：用数学归纳法证明。当时，有
命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对 也成立。因有 ，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且 。 证明：（1）设都是的逆变换，则有，。进而。即的逆变换唯一。 （2）因，都是上的可逆线性变换，则有 ，同理有 由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得 。 习题7.1.6设是上的线性变换，向量，且，，， 都不是零向量，但。证明，，， 线性无关。 证明：设，依次用可得 ，得，而， 故；同理有：，得， 即得；依次类推可得，即得，进而得 。
高等代数与解析几何第11章习题参考解答
§11.1二次曲线的几何性质 1、 解（1）∵ 025),(22=++=ΦY XY X Y X 时 )52 (:51:i Y X ±-=,同时 041 1152>==I ∴曲线为椭圆型，有两个共轭的渐近方向：)5 2 (:51i ±- （2）∵034),(22=++=ΦY XY X Y X 时1:1:-=Y X 和1:3:-=Y X 同时013 22 12<-==I , ∴曲线为双曲型，有两个渐近方向：1:1-和1:3- （3）∵02),(2 2=+-=ΦY XY X Y X 时1:1:=Y X , 同时01 1112=--=I ∴曲线为抛物型，有一个实渐近方向：1：1 2、解（1）∵0492 2 5 252 2≠-== I , ∴曲线是中心曲线. 由?? ??? =-+==-+=023225),(03252),(21y x y x F y x y x F 解 得?? ?=-=2 1 y x ∴中心为)2,1(- （2）∵013392=--=I ，3231322121211-===a a a a a a , ∴曲线为线心曲线。 （3）∵042212=--=I ，且23 1322121211a a a a a a ≠=, ∴曲线为无心曲线。 3、解（1）由?? ???=-+-==+-=0 23 223),(02123),(21 y x y x F y x y x F 解得中心)3,5(-- 由0252),(2 2=++=ΦY XY X Y X 得渐近方向为2:1:11-=Y X ， 1:2:22-=Y X 所以渐近线方程是 2315+=-+y x 和1 3 25+=-+y x , 即0132=++y x 和0112=++y x （2）由???=++==++=0 1),(0 12),(21y x y x F y x y x F 解得中心)1,0(-,由022),(22=++=ΦY XY X Y X 解 得渐近方向为X:Y = 2:)1(i ±-, 所以渐近线方程是 211+=+-y i x 和2 1 1+=--y i x 即0)1(=++y x i 和0)1(=+-y x i 4、解（1）∵2723),(1-+=y x y x F , 452),(2-+=y x y x F , ∴29 )1,2(1=F 5)1,2(2=F , ∴所求切线方程为 0)1(5)2(2 9 =-+-y x 即 028109=-+y x （2）∵4)1,2(=--F ∴)1,2(--不在二次曲线上； 设过点)1,2(--的切线与已知二次曲线相切于),(00y x ，那么切线方程为 03)(2)(2 1 )(21000000=++++++++y y x x yy xy y x xx ①
《高等代数与解析几何》英文习题.
《高等代数与解析几何》英文习题 主讲老师：林磊 1. (Feb. 28) 0 a basis for the linear space of all 2 2 matrices? 2. (Mar. 1) orthogonal to u and to each other. 3. (Mar. 4) Let S {v 1,v 2,...,v n } be a basis for a linear spaceV and let U be a subs pace of V . Is it n ecessarily true that a basis for U is a subset of S? Why? 4. (Mar. 7) In (1)-(2) deter mine which of the give n fun cti ons are inner p roducts on R 3 where u 1 u 2 and u 3 5. (Mar. 8) 1 1 2 Is 0 1,1 Let u i 2j 3k . Find vectors v and w that are both V 1 V 2 V 3 (1)(,) 2u 1V 1 3u 2V 2 4u 3V 3; (2) ( , ) U 1V 3 u 2V 2 u 3V 1 .
In Exercises (1)-(2) determine whether the given set of vectors is orthog on al, orth onor mal, or n either with res pect to the Euclidea n inner p roduct. (1) (1,2), (0,3); (2) (1,0,1), (0,1,0), ( 1,0,1). 6. (Mar. 11) Compute the area of the triangle with vertices (0,2,7), (2, 5,3), and (1,1,1). 7. (Mar. 14) Show that | |2| |2 4(, ). 8. (Mar. 15) In Exercises (1) and (2) find an equatio n for the plane that p asses through the point P and that is parallel to the plane whose general equati on is give n. (1) P (2,3, 5)；3x 7y 2z 1 0. ⑵P ( 6,4,1); 2x 5y 3z 6 0 . 9. (Mar. 18) Let T: R2R3be a lin ear tran sformatio n such that ⑻ Find T 1 1