平行线的判定与性质培优经典题(1)
（第1题）
O
A
B
C
D
E
（第2题）
C
D
（第3题）
D
E
D
平行线的判定与性质培优经典题（1）
知识要点： ① 对顶角、邻补角的概念、性质；
② “三线八角”的相关概念，垂线、平行线的相关概念；相关几何语言的运用；
③ 平行线的判定方法 、平行线的性质； ④ 构造平行线，构造截线与平行线相交.
基础训练：
1. 如图，AB 、CD 相交于点O ，且∠AOD +∠BOC =220°，
OE 平分∠BOD .
求∠COE .
2. 如图，AB 、CD 相交于点O . 求∠BOD .
3. 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ， 则∠1+∠2+∠3 =＿＿＿＿＿＿ .
4. 如图，直线AB 、CD 交于点O .
（1）若∠1+∠2 =70°，则∠4 =＿＿＿＿＿＿ ;
（第5题）
E D
（第7题）O
A B
C
D
F E
（第6题）
O
A
B
C
D
E
F
B
D
A
（2）若∠3 -∠2 =70°，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ ; （3）若∠4 :∠2 =7:3，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ .
5. 如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，∠1比∠2的3倍 大10°，∠AOD =110°. 求∠AOE .
6. 如图，直线AB 、CD 交于点O ，OE ⊥AB ,
OF ⊥CD .若∠EOD =3∠BOD .
求∠EOF .
7. 如图，已知直线AB 、CD 交于点O , OE ⊥AB ， 垂足为O ,OF 平分∠AOC ，∠AOF :∠AOD =2:5. 求∠EOC .
C
B
8. 如图,已知AD ⊥BD ,BC ⊥CD ，AB =3cm ,BC =1cm . 则BD 的取值范围是 .
经典题型：
1. （1） O 为平面上一点，过O 在这个平面上引2005条不同的直线l 1,l 2,l 3,…,l 2005,则可形成＿＿＿＿＿＿对以
O 为顶点的对顶角.
(山东省聊城市竞赛题)
（2） 若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有＿＿＿＿＿＿对同旁内角. （第17届江苏省竞赛题）
2. 如图，已知AD ∥EG ∥BC ,AC ∥EF ,则图中 与∠1相等的角有（ ）对. A ．4
B. 5
C. 6
D. 7
（西
宁市中
考题）
3. 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F ,AC ∥ED ,
CE 是∠ACB 的平分线. 求证：∠EDF =∠BDF .
(天津市竞赛题)
图e
图d
图c
图b
图a
2-1
4. 平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角
不超过36°,说明理由.
（第11届“华罗庚杯”邀请赛试题）
5. 将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好 落在另一张矩形纸片的一边上，则∠1+∠2=＿＿＿＿＿＿.
（烟台市中考题）
6. 探究：
（1）如图a ，若AB ∥CD ,则∠B +∠D =∠E ,你能说明为什么吗？
（2）反之，如图a ，若∠B +∠D =∠E ，则直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明. （3）若将图a 中的点E 移至图b 所示位置，此时∠B 、∠D 、∠E 之间有什么关系？请证明. （4）若将图a 中的点E 移至图c 所示位置，情况又如何？ （5）在图d 中，若AB ∥CD , ∠E +∠G 与∠B +∠F +∠D 又有何关系？ （6）在图e 中，若AB ∥CD ,又得到什么结论？
图f
图g
图h
图i
图j
（7）探究图f ～
平行线的判定
这个定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行． 注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都能 够作为依据．用来证明新定理．（2）证明中的每一步推理 都要有根据，不能“想当然”．这些根据，能够是已知条件， 也能够是定义、公理，已经学过的定理．在初学证明时， 要求把根据写在每一步推理后面的括号内． ②证明：内错角相等,两直线平行． 师：小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对 吗？为什么？（见相关动画） 生：我认为他的作法对．他的作法可用上图来表示：∠ CFE=45°,∠BEF=45°．因为∠BEF与∠FEA组成一个平 角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°．而 ∠CFE与∠FEA是同旁内角．且这两个角的和为180°， 所以可知：CD∥A B． 师：很好．从图中可知：∠CFE与∠FEB是内错角．所以可 知：“内错角相等，两直线平行”是真命题．下面我们来用 规范的语言书写这个真命题的证明过程． 师生分析：已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的 内错角，且∠1=∠2． 求证：a∥b 证明：∵∠1=∠2（已知）∠1+∠3=180°（平角 通过对学生熟 悉的平行线判定的 证明，使学生掌握平 行线判定公理推导 出的另两个判定定 理，并逐步掌握规范 的推理格式． 因为学生有了以前 学习过的相关知识， 对几何证明题的格
定义） ∴∠2+∠3=180°（等量代换）∴∠2与∠3 互补（互补的定义） ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）． 这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内 错角相等，两直线平行． ③借助“同位角相等，两直线平行”这个公理，你还能证 明哪些熟悉的结论呢？ 生1：已知，如图，直线a⊥c,b⊥c．求证：a∥b． 证明：∵a⊥c,b⊥c（已知） ∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义） ∴∠1=∠2（等量代换） ∴b∥a（同位角相等，两直线平行） 生2：由此能够得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直， 那么这两条直线平行”的结论． 师：同学们讨论得真棒．下面我们通过练习来熟悉掌握直 线平行的判定定理． 第三环节：反馈练习 活动内容： 课本第231页的随堂练习第一题 活动目的： 教学效果： 因为此题仅仅简单地使用到平行线的判定的三个定理 （公理），所以，学生都能很快完成此题． 第四环节：学生反思与课堂小结 活动内容： 式有所了解，今天的 学习只不过是将原 来的零散的知识点 以及学生片面的理 解实行归纳，学生的 理解更提升一步． 巩固本节课所 学知识，让教师能对 学生的状况实行分 析，以便调整前进．
新浙教版数学九上《圆的基本性质》单元培练习题(适合培优班)
G E D A C F O B 《圆的基本性质》单元复习题 (2014.10.26) 姓名： _________ 一、选择题 1、如图，正六边形ABCDEF 的边长的上a ，分别以C 、F 为圆心，a 为半径画弧，则图中阴影部分的面积是 （ ） （A ）261a π （B ）231a π （C ）232a π （D ）23 4 a π 2、如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿? OA AB BO -- 的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ） 3、如图所示，长方形ABCD 中，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交 AB 于E 点。取BC 的中点为F ，过F 作一直线与AB 平行，且交 D E 于G 点。求AGF =（ ） (A) 110 (B) 120 (C) 135 (D) 150 4、如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G,当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是( ) A B C D 5、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ） P A O B s t O s O t O s t O s t A ． B ． C ． D ．
（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75° 6、（2013年温州中考题）在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作 ，如图所示，若AB=4，AC=2，4 21π = -S S ，则4 3S S -的值是（ ） A. 429π B. 423π C. 4 11π D. 45π 7、如上图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O 、H 分别为边AB 、AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A 1B 1C 1的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ） A ．77 π338 - B ．47 π338+ C ．π D ．4 π33 + 8 7 9 10 二、填空题 8、如图所示，扇形AOB 的圆心角为90°，分别以OA 、OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是 9、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC 、BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π） 10、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B ，A ，C′三点共线，则线段BC 扫过的区域面积为 11、如图，圆内接正六边形ABCDEF 中，AC 、BF 交于点M ．则ABM S △∶AFM S △＝_________． 12、若线段AB=6，则经过A 、B 两点的圆的半径r 的取值范围是 13、如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M （0，-4）、N （0，-10），函数y= k x （x<0）的图象过
平行线的判定与性质(培优提高).doc
望子成龙学校数学专用资料锲而不舍，方能水滴石穿！ 平行线的判定与性质（二） （拓展训练） 一、【基础知识精讲】 一、与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合应用， 主要体现在以下两个方面： 1. 由角定角 判定性质 已知角的关系两直线平行确定其它角的关系 2. 由线定线 性质判定 已知两直线平行角的关系确定其它两直线平行 二、探索几何问题的解决方法，主要从以下两个方面去分析： 1. 由因导果（综合法）： 即——从已知条件出发，推出相应的结论。 2. 执果溯因（分析法）： 即——要得到结论需要具备什么条件。 所以：解题时，我们即要抓住条件，又要盯住目标，努力促使已 1
望学校 而不舍，方能水滴石穿！ 知与未化与沟通。 单： 的常用方法：① 和差法 ②法 ③ 变形法 2.的常用技找共高或共底的三角形。 二、】 例 1 已知平面上一O 个平面上引 2005 条不同 的直线l 1、l 2 、l 3 、? l 2005 ， 形以 。 ） 1. 若平面上 4 两 两 相交，且共一 同旁内角。 （ 第 17 ） 2. 在同一平面内有 2002 条直线a 1、a 2 、? a 2002 ，如果 a 1 ⊥a 2 , a 2 ∥a 3 、 a 3 ⊥ a 4 、a 4 ∥a 5 ，? ，那么 a 1 与 a 2002 的位置关系 2
望子成龙学校数学专用资料锲而不舍，方能水滴石穿！是。 例2 如图，某人从A点出发，每前进10 米，就向右转18°，再前进10 米，又向右转 1 8°，这样下去，他第一次回到 18o 出发地A 点时，一共走了________米． A A 18o 1 A 2 变式训练： 1. 如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过， 如果第一次拐的角∠ A 是120°，第二次拐的角∠ B 是150°， A 第三次拐的角是∠C，这时恰好和第一次拐弯之前的道路 C 平行，则∠C= ． B 2．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 这两次拐弯的角度可能是（）． （A ）第一次向左拐30°，第二次向右拐30° （B）第一次向右拐50°，第二次向左拐130° （C）第一次向右拐50°，第二次向右拐130° （D）第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 例3 如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点 A 落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，求∠A 的度数． A D E 1 2 A B C 变式训练： 1. 如图, 已知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6. E D C 求证: AD ∥BC. 4 6 F 2 1 5 3 A B C 2．如图2—95，已知 C D⊥AB于D，EF⊥AB于F， G
新浙教版数学九上《圆的基本性质》单元培练习题(适合培优班).doc
精品 《圆的基本性质》单元复习题 (2014.10.26) 姓名： _________ 一、选择题 1、如图，正六边形 ABCDEF 的边长的上 a ，分别以 C 、F 为圆心， a 为半径画弧， 则图中阴影部分的面积是 （ ） （A ） 1 2 1 2 （ ） 2 2 （ D ） 4 2 6 a （B ） a C a a 3 3 3 2、如图， AB 是半圆 O 的直径，点 P 从点 O 出发，沿 OA ? BO 的路径运动一周．设 OP 为 s ， AB 运动时间为 t ，则下列图形能大致地刻画 s 与 t 之间关系的是（ ） P s s s s A B O t O O t O t O A ． B ． t C ． D ． 3、如图所示，长方形 ABCD 中，以 A 为圆心， AD 长为半径画弧，交 AB 于 E 点。取 BC 的中点为 F ，过 F 作一直线与 AB 平行，且交 DE 于 G 点。求 AGF= （ ） (A) 110 (B) 120 (C) 135 (D) 150 4、如图， C 为⊙ O 直径 AB 上一动点，过点 C 的直线交⊙ O 于 D 、E 两点，且∠ACD=45 °，DF ⊥AB 于点 F,EG ⊥AB 于点 G,当点 C 在 AB 上运动时，设 AF= x ，DE= y ，下列中图象中，能表示 y 与 x 的 函数关系式的图象大致是 ( ) D A O G B F C E A B C D 5、已知锐角△ ABC 的顶点 A 到垂心 H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠ A 的度数是 （ ）
相交线平行线培优-
初一下数学寒假培优训练一（余角、补角以及三线八角、平行线的判定） 一、考点讲解： 1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角． 2．补角：如果两个角的和是平角，那．么称这两个角互为补角． 3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 4．互为余角的有关性质：① ∠1＋∠ 2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠ 2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l 十∠2=90○ ，∠1+∠ 3= 90○ ，则∠ 2= ∠ 3． 5．互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○ 则∠A 、∠B 互补，反过来，若∠A 、∠B 互补，则∠A+∠B ＝ 180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋ ∠C=18 0○ ，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C ． 6．对顶角的性质：对顶角相等． 项目 定义 性质 图形 互余角 两个角和等于?90（直角） ?=∠+∠9021 同角或等角的余角相等 互补角 两个角和等于?180（平角） ?=∠+∠18021 同角或等角的补角相等 对顶角 两直线相交而成的一个角两边 分别是另一角两边反向延长线 对顶角相等 21∠=∠ 三、经典例题题剖析： 例1．已知一个角的余角比它的补角的13 5 还少?4，求这个角。 例2．如图所示，AOB 是一条直线，?=∠?=∠90,90DOE AOC ，问图中互余的角有哪几对？哪些角是相等的？ 例3.如图l －2－1，直线AB ，CD 相交于点O ，OE ⊥AB 于点O ，OF 平分∠AOE ，∠ 1＝15○ 30’，则下列结论中不正确的是（ ） A ．∠2 =45○ B ．∠1=∠3 C ．∠AO D 与∠1互为补角 D ．∠1的余角等于75○ 30′ 解：D 点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识． 四、巩固练习： 1．_______的余角相等，_______的补角相等． 2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○ ，∠3=__ 3．下列说法中正确的是（ ）A ．两个互补的角中必有一个是钝角 B ．一个角的补角一定比这个角大 C ．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角 D ．相等的角一定互余 4．轮船航行到C 处测得小岛A 的方向为北偏东32○ ，那么从A 处观测到C 处的方向为（ ） 1 2 1 2 1 2 A B E O C D 1 2 3 4
平行线的判定教学设计
教学设计 课题：人教版七年级下 5.2.2平行线的判定（1） 授课教师：北京市前门外国语学校 郝宏文
5.2.2平行线的判定（1） 一、教学目标： 1．知识与技能： （1）从“用三角尺和直尺画平行线的活动过程中发现”同位角相等，两直线平行；培养学生动手操作，主动探究及合作交流的能力。 （2）会用平行线的判定方法判定两直线平行，初步学会用几何语言进行简单推理和表述。 2．过程与方法：在探索图形的过程中，通过观察、操作、推理等手段，有条理地思考和表达自己地探索过程和结果，从而进一步加强学生分析，概括、表达能力。 3．情感态度价值观：让学生在活动中体验探索、交流、成功与提升的喜悦，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于实践，大胆猜想、推理的科学态度。 二、教学重点：同位角相等两直线平行 三、教学难点：运用平行线的判定方法进行简单的推理 四、教学教具：多媒体、三角板、直尺 五、教学方法：启发式 六、教学过程： （一）复习并导入新课： 上一节课我们学习了平行线，平行公理及其推论，如何用平行线的定义及平行公理的推论来说明两直线平行（学生回答），根据学生的回答，教师总结，如果用平行线定义难以说明两条直线没有交点，平行公理的推论对条件要求较强，要有三条平行线，且其中的两条分别与第三条平行。你能否运用这两种方法来说明下面这两个问题的道理？ 如果只有a、b两条直线如何判断他们是否平行呢？说明这两个途径都有一定的局限性，那么有没有其他的途径判定两条直线是否平行的方法呢？今天我们一起来探讨平行线的判定方法。 （二）新授
321 G H F E D C A B A B C D E 12 1、平行线的判定方法 （1）让学生回忆并叙述上节用三角板和直尺过一点P 画已知直线AB 的平行线的过程，你能发现这种画法实际上是画一对什么角相等吗？（让学生观察图形后回答，这两个角是直线AB 、CD 被EF 截得的同位角）。 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简单记为“同位角相等，两直线平行”。 结合图形，引导学生用符号语言表述平行线判定公理： ∵∠1=∠2 (已知) ∴a ∥b (同位角相等，两直线平行) 练习： 1．已知∠1＝54°， 当 时， AB ∥CD ？ （2）平行线的判定方法2的推导 先采用探讨问题的方式，启发学生去思考，能不能从内错角之间的关系或同旁内角之间的关系来判定两条直线平行呢？ 让学生观察图形分析∠1与∠2在什么条件下满足判定方法1，引导学生分析角之间的关系，发现新结论： 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。 简称为“内错角相等，两直线平行”。 结合图形引导学生用符号语言表述上面的推理过程 已知：直线AB 、CD 被EF 所截，∠1=∠2， 求证：AB ∥CD 证明：∵∠1=∠2（已知） ∠1=∠3（对顶角相等） ∴∠2=∠3（等量代换） ∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行） 练习：已知：∠1=∠A=∠C,
中考数学复习 第24课时 圆的基本性质测试
第六单元 圆 第二十四课时 圆的基本性质 基础达标训练 1. (xx 兰州)如图，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵ ，点D 在⊙O 上，∠CDB ＝25°，则∠AOB ＝( ) A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° 第1题图 第2题图 2. (xx 长郡教育集团二模)如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径．若∠D ＝32°，则 ∠OAC ＝( ) A. 64° B. 55° C. 72° D. 58° 3. (xx 泸州)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的 长是( ) A. 7 B. 27 C. 6 D. 8 第3题图 第4题图 4. (xx 周南中学一模)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB ＝60°，AB ＝AC ＝2，则弦BC 的长为( ) A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 4 5. (xx 宜昌)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 平分∠BAD ，则下列结论正确的是( ) A. AB ＝AD B. BC ＝CD C. AB ︵＝AD ︵ D. ∠BCA ＝∠DCA
第5题图第6题图 6. (xx广州)如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥C D，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是( ) A. AD＝2OB B. CE＝EO C. ∠OCE＝40° D. ∠BOC＝2∠BAD 7. (xx广安)如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB＝4 5 ，BD＝5， 则OH的长度为( ) A. 2 3 B. 5 6 C. 1 D. 7 6 第7题图第8题图 8. (xx金华)如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( ) A. 10 cm B. 16 cm C. 24 cm D. 26 cm 9. (xx重庆B卷)如图，OA，OC是⊙O的半径，点B在⊙O上，连接AB，BC. 若∠ABC ＝40°，则∠AOC＝________度．
平行线与相交线培优训练
D B C A F E 平行线与相交线培优训练（已经修改，很好） 平行线的判定：⑴___________________（2）（3） 平行线的性质：⑴___________________（2）（3） 例题精讲 例1 ：如图 1－18，直线a∥b，直线 AB交 a与 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2， 求证：∠C=90° 练习1．思考：两直线a，b被直线AB所截(如图1－18所示)，CA，CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线，若∠C=90°，问直线a与直线b是否一定平行？” 练习2．如图所示，AA1∥BA2时，则 图1-24 规律：同一方向的所有角的和等于另 规律：所有角的和=（角的个数—1）× 练习3．如图已知，AB∥CD., AF CF分别是EAB ∠、ECD ∠的角平分线，F是两条角平分线的交点；求证： 1 2 F AEC ∠=∠. 例2：求证：三角形内角之和等于180°
A 练习1． 求证：四边形内角和等于360° 2．证明：五边形内角和等于540° 例3： 如图1－26所示．AE ∥BD ，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C ． 练习1．如图，已知AB ∥CD ，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。 练习2．已知：如图，DE ∥CB ，求证：∠AED=∠A+∠B 练习3.已知AB //DE ，∠ABC ＝80°，∠CDE ＝140°，求∠BCD . 例4.如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射，在图中，∠1=43°，∠2=27°，试问光的传播方向改变了多少度？ 练习1.甲驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ） A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30° B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130 C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130° D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130° E D C B A
中考数学复习知识点专题训练22---圆的基本性质(培优版)
中考数学复习知识点专题训练 第六章 圆 第一节 圆的基本性质 姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟 1．(2019·柳州)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是( ) A ．∠B B ．∠C C ．∠DEB D ．∠D 2．(2020·原创)如图，在⊙O 中，AC ︵＝BD ︵ ，∠AOB＝40°，则∠COD 的度数为( ) A ．20° B ．40° C ．50° D ．60° 3．(2020·原创)如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOB＝40°，弦BC 的长等于半径，则∠ADC 的度数等于( ) A ．50° B ．49° C ．48° D ．47° 4．(2019·吉林)如图，在⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB＝50°，若P 为AB ︵ 上一点，
∠AOP＝55°，则∠POB的度数为( ) A．30° B．45° C．55° D．60° 5．(2019·赤峰)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为( ) A．30° B．40° C．50° D．60° 6．(2020·原创)如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为( ) A．25° B．50° C．60° D．80° 7．(2019·广元)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为( ) A. 2 5 B．4 C．213 D．4.8 8．(2019·安顺)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优
平行线的判定与性质培优经典题(1)
（第1题） O A B C D E （第2题） C D （第3题） D E D 平行线的判定与性质培优经典题（1） 知识要点： ① 对顶角、邻补角的概念、性质； ② “三线八角”的相关概念，垂线、平行线的相关概念；相关几何语言的运用； ③ 平行线的判定方法 、平行线的性质； ④ 构造平行线，构造截线与平行线相交. 基础训练： 1. 如图，AB 、CD 相交于点O ，且∠AOD +∠BOC =220°， OE 平分∠BOD . 求∠COE . 2. 如图，AB 、CD 相交于点O . 求∠BOD . 3. 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ， 则∠1+∠2+∠3 =＿＿＿＿＿＿ . 4. 如图，直线AB 、CD 交于点O . （1）若∠1+∠2 =70°，则∠4 =＿＿＿＿＿＿ ;
（第5题） E D （第7题）O A B C D F E （第6题） O A B C D E F B D A （2）若∠3 -∠2 =70°，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ ; （3）若∠4 :∠2 =7:3，则∠1 =＿＿＿＿＿＿ . 5. 如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，∠1比∠2的3倍 大10°，∠AOD =110°. 求∠AOE . 6. 如图，直线AB 、CD 交于点O ，OE ⊥AB , OF ⊥CD .若∠EOD =3∠BOD . 求∠EOF . 7. 如图，已知直线AB 、CD 交于点O , OE ⊥AB ， 垂足为O ,OF 平分∠AOC ，∠AOF :∠AOD =2:5. 求∠EOC .
C B 8. 如图,已知AD ⊥BD ,BC ⊥CD ，AB =3cm ,BC =1cm . 则BD 的取值范围是 . 经典题型： 1. （1） O 为平面上一点，过O 在这个平面上引2005条不同的直线l 1,l 2,l 3,…,l 2005,则可形成＿＿＿＿＿＿对以 O 为顶点的对顶角. (山东省聊城市竞赛题) （2） 若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有＿＿＿＿＿＿对同旁内角. （第17届江苏省竞赛题） 2. 如图，已知AD ∥EG ∥BC ,AC ∥EF ,则图中 与∠1相等的角有（ ）对. A ．4 B. 5 C. 6 D. 7 （西 宁市中 考题） 3. 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F ,AC ∥ED , CE 是∠ACB 的平分线. 求证：∠EDF =∠BDF . (天津市竞赛题)
专题练习平行线的判定
专题二平行线及其判断【要点归纳】 1．在同一平面内,不相交的两条直线叫做，用符号“∥”表示2．平行线的判定方法： (1） ，两直线平行; (2），两直线平行；（3），两直线平行 3 ．平行公理： （1)过已知直线外一点, 一条直线与已知直线平行； (2）两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 , 即平行于同一条直线的两条直线_____________. 如果a∥c，b∥c，那么a____c。 b a c a c b （3）在同一平面内，两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线，即垂直于同一条直线的两条直线_____________ 如果b⊥a，c⊥a，那么b____c. 【例题讲解】 【例1】如图5.2－4所示，根据下列条件，可推得哪两条直线平行,并说明根据．（1)∠ABD＝∠CDB; （2）∠CBA+∠BAD＝180°； （3）∠ABC＝∠DCE。 【例2】如图5.2－5,∠A+∠B＝180°，∠EFC＝∠DCG，试说明：AD∥EF。 【例3】如图5.2－7，若∠B＝102°,∠1＝78°，则AB与CD平行吗？请说明理由．
【例4】如图5。2－8，EC,FD与直线AB交于C,D两点，∠1＝∠2，则EC∥DF吗？为什么? 【例5】如图5.2－9已知FE⊥CD于E，∠1＝64°，∠2＝26°，试说明AB∥CD。 【随堂练习】 1。已知：如图5.2－10,BE平分∠ABC，且∠1＝∠3，则DE与BC平行吗？为什么？ 2。（1）如图5.2－13，AF，CE，BD交于点B,BE平分∠DBF，添加条件∠EBF＝，可使DB∥AC，说明理由． （2）（贵州铜仁中考题）如图5.2－14，请填写一个你认为恰当的条件，使AB//CD. 3.如图5。2－18所示，由（1）∠1＝∠3,（2)∠BAD＝∠DCB可以判定哪两条直线平行?
第一讲__培优__圆的基本性质
第一讲 圆的基本性质 一、知识点 圆的有关概念：特别注意：长度相等的弧是等弧吗? 圆的基本性质有： 1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 ? 如果弦长为2r ，圆的半径为R,那么弦心距为d . R 2 r 2. 2、垂径定理 ____________________________________ 及其推论. 此定理及推论，在证题中很重要，其内容不容易记忆，可这样理解：如果一条直线具备下 列条件中的2条，就具备其他3条。（1）经过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4） 平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧。 3. 圆周角定理及其推论。 其中以下列两个结论应用最为广泛：（1）直径所对的圆周角是直角；（2）同弧所对的圆 周角相等。 二、基础训练 1. 下列结论正确的是（） A .弦是直径 B.弧是半圆 C .半圆是弧 D.过圆心的线段是直径 2、 .给出下列命题（I ）垂直于弦的直线平分弦；（2 ）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧；（3 ）平分弦的直线必过圆心（4 ）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。 其 中正确的命题有（） 3、下列命题中，真命题是（） B.2 C.3 D.4 AB 是O O 的直径，CD 是弦.若AB = 10cm, CD = 8cm 那么A , B 两 CD 的距离之和为（） A. 12cm B. 10cm C.8cm D.6cm B. 2个 C. 3个 D. 4个 4、 A .相等的圆心角所对的弧相等 C.度数相等的弧是等弧 下列命题中，真命题的个数为 ①顶点在圆周上的角是圆周角； ③90°的圆周角所对的弦是直径; B.相等的弦所对的弧相等 D .在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等 ②圆周角的度数等于圆心角度数的一半; ④直径所对的角是直角； ⑤圆周角相等，贝U 它们所对的弧也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5、直角二角形两直角边长分别为 .3和I ，那么它的外接圆的直径是（ A.1 &如图, 点到直线
相交线和平行线提高题与常考题型和培优题(含解析)
相交线与平行线培优题(2) 一．选择题（共12小题） 1．如图，AB∥CD，CD⊥EF，若∠1=124°，则∠2=（） A．56°B．66°C．24°D．34° 2．如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1=120°，∠3=40°，那么∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100° D．102° 3．如图，直线a∥b，若∠2=55°，∠3=100°，则∠1的度数为（） A．35°B．45°C．50°D．55° 第2题第三题第4题第5题 4如图，△ABC的面积为2，将△ABC沿AC方向平移至△DFE，且AC=CD，则四边形AEFB的面积为：A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有条件（）A．∠1=∠2 B．∠1=∠DFE C．∠1=∠AFD D．∠2=∠AFD 6．如图，与∠1是同旁内角的是（） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 7．如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠5 D．∠3+∠4=180° 8．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能使a∥b的是（） A．∠1=∠6 B．∠2=∠6 C．∠1=∠3 D．∠5=∠7 9．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为（）
A．85°B．70°C．75°D．60° 10．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（） A．65°B．115°C．125° D．130° 11．如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC=35°，则∠1的度数为（） A．65°B．55°C．45°D．35° 12．如图，直线a∥b，∠1=85°，∠2=35°，则∠3=（） A．85°B．60°C．50°D．35° 二．填空题（共12小题） 13．如图，已知BD∥AC，∠1=65°，∠A=40°，则∠2的大小是． 14．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F，若∠BFA=34°，则∠DAE=度．
平行线的判定定理 一
平行线的判定定理 一、教学目标 1．了解推理、证明的格式，理解判定定理的证法． 2．掌握平行线的第二个判定定理，会用判定公理及定理进行简单的推理论证． 3．通过第二个判定定理的推导，培养学生分析问题、进行推理的能力． 4．使学生了解知识来源于实践，又服务于实践，只有学好文化知识，才有解决实际问题的本领，从而对学生进行学习目的的教育． 二、学法引导 1．教师教法：启发式引导发现法． 2．学生学法：积极参与、主动发现、发展思维． 三、重点·难点及解决办法 （一）重点 判定定理的推导和例题的解答． （二）难点 使用符号语言进行推理． （三）解决办法 1．通过教师正确引导，学生积极思维，发现定理，解决重点． 2．通过教师指导，学生自行完成推理过程，解决难点及疑点． 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 三角板、投影仪、自制胶片． 六、师生互动活动设计 1．通过设计练习，复习基础，创造情境，引入新课．
2．通过教师指导，学生探索新知，练习巩固，完成新授． 3．通过学生自己总结完成小结． 七、教学步骤 （一）明确目标 掌握平行线的第二个定理的推理，并能运用其进行简单的证明，培养学生的逻辑思维能力． （二）整体感知 以情境创设，设计悬念，引出课题，以引导学生的思维，发现新知，以变式训练巩固新知． （三）教学过程 创设情境，复习引入 师：上节课我们学习了平行线的判定公理和一种判定方法，根据所学看下面的问题（出示投影）． 1．如图1所示，直线、被直线所截，如果，那么，为什么？ 2．如图2，如果，那么，为什么？ 图1图2 3．如图3，直线、被直线所截．（1）如果，那么，为什么？ （2）如果，那么，为什么？ 4．如图4，一个弯形管道的拐角，，这时管道、平行吗？ 图3图4 学生活动：学生口答第1、2题． 师：你能说出有什么条件，就可以判定两条直线平行呢？ 学生活动：由第l、2题，学生思考分析，只要有同位角相等或内错角相等，就可以判定两条直线平行．
圆的基本性质练习培优提高习题(供参考)
圆的基本性质 一、选择题 A1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( ) A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ． 1个 A2如图，△ ABC 内接于⊙O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交⊙O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五个结论①AB ⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C ，⑤ ,正确结论的个数是（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 A3．如图，点B 、C 在⊙O 上，且BO=BC ，则圆周角BAC ∠等于（ ） A ．60? B ．50? C ．40? D ．30? A4．如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC =50°，则∠B 大小为 ( ) A ．25° B ．35° C ．45° D ．65° A5. 已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为 A ．2.5 B ．5 C ．10 D ．15 A6、如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA=2， 120=∠AOB ，则弦AB 的长是 （ ） （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）23 B7．如图２，△ABC 内接于⊙O ，若∠OA Ｂ＝２８°，则∠C 的大小是（ ） A ．６２° B ．５６° C ．２８° D ．３２° B8. 如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，且∠APB=50°若点M 是⊙O 上的动 点，要使△ABM 为等腰三角形，则所有符合条件的点M 有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （第2题图） （第3题图） （第4题图）
平行线的判定二
5.2.2平行线的判定（二） 教学目标1掌握直线平行的条件，并能解决一些简单的问题； 2、初步了解推理论证的方法，会正确的书写简单的推理过程。重点：直线平行的条件及运用难点：会正确的书写简单的推理过程是教学过程 一、复习导入我们学习过哪些判断两直线平行的方法？ （1）平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线平行。 （2）平行公理的推论：如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行。（3）两直线平行的条件：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等，那么这两条直线平行两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等,那么这两条直线平行. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 二、例题 例在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？ 解：这两条直线平行。 ■/ b丄ac丄a （已知） ???/ 1 = / 2=90°（垂直的定义） a ? b // c （同位角相等，两直线平行）你还能用其它方法 说明 b // c吗？ 方法一：如图（1）,利用“内错角相等俩直线平行”说明；方法二：如图（2）,利用“同旁内角相等，两直线平行”说明. （1）（2） 注意：本例也是一个有用的结论。 例2如图，点B在DC上，BE平分/ ABD, / DBE= / A，则BE // AC,请说明理由。 分析：由BE平分/ ABD我们可以知道什么？联系/ DBE= / A，我们又可以知道什么？由此能得出BE // AC吗？为什么？ 解：??? BE 平分/ ABD ???/ ABE= / DBE （角平分线的定义） 又/ DBE= / A ???/ ABE= / A （等量代换） ? BE // AC（内错角相等，两直线平行）注意：用符号语言书写证明过程时，要步步有据。 1 □__ 2 b c A
【数学】数学圆的综合的专项培优练习题及详细答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆O 于点F ，连接CF ． （1）判断直线DE 与半圆O 的位置关系，并说明理由； （2）若半圆O 的半径为6，求AC 的长． 【答案】（1）直线CE 与半圆O 相切（2）4π 【解析】 试题分析：（1）结论：DE 是⊙O 的切线．首先证明△ABO ，△BCO 都是等边三角形，再证明四边形BDCG 是矩形，即可解决问题； （2）只要证明△OCF 是等边三角形即可解决问题，求AC 即可解决问题． 试题解析：（1）直线CE 与半圆O 相切，理由如下： ∵四边形OABC 是平行四边形，∴AB ∥OC. ∵∠D=90°，∴∠OCE=∠D=90°，即OC ⊥DE ， ∴直线CE 与半圆O 相切． （2）由（1）可知：∠COF=60°，OC=OF ， ∴△OCF 是等边三角形， ∴∠AOC=120° ∴AC 的长为 1206 180 π??=4π. 2．如图1 O ，的直径12AB P =，是弦BC 上一动点(与点B C ，不重合)30ABC ，∠=，过点P 作PD OP ⊥交O 于点D ． ()1如图2，当//PD AB 时，求PD 的长； ()2如图3，当DC AC =时，延长AB 至点E ，使12 BE AB =，连接DE ． ①求证：DE 是O 的切线； ②求PC 的长．
【答案】（1）26；（2）333-①见解析，②． 【解析】 分析：()1根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP PD ，的长； ()2①首先得出 OBD 是等边三角形，进而得出ODE OFB 90∠∠==，求出答案即 可； ②首先求出CF 的长，进而利用直角三角形的性质得出PF 的长，进而得出答案． 详解：()1如图2，连接OD ， //OP PD PD AB ⊥，， 90POB ∴∠=， O 的直径12AB =， 6OB OD ∴==， 在Rt POB 中，30ABC ∠=， 3 tan30623OP OB ∴=?=? =， 在Rt POD 中， 22226(23)26PD OD OP =-=-=； ()2①证明：如图3，连接OD ，交CB 于点F ，连接BD ， DC AC =，
平行线的性质和判定培优讲义全
平行线的性质与判定培优讲义 教师寄语： . 努力向上吧，星星就躲藏在你的灵魂深处；做一个悠远的梦吧， 每个梦想都会超越你的目标。——佚名 【知识精要】: 1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。 2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。 即，两条直线相交有且只有一个交点。 3.垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论： （1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。 4．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 5．平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：_______________________ .⑵两条直线被第三条直线所截，如果错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：_______________________. 6．在同一平面，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ . 7．平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ⑵两条平行直线被第三条直线所截，错角相等.简单说成：__________ ⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁角互补.简单说成：__________________。. 【例题精析】: 例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°, 求∠3的度数。
2020年秋浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元培优 测试卷(Word版 含解析
2020年秋浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元培优测试卷解析版 一、选择题（共10题；共30分） 1.已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP＝5时，点A与⊙O的位置关系为（） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定 2.在绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（） A. B. C. D. 3.往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为（） A. 8cm B. 10cm C. 16cm D. 20cm 4.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC=20°，则∠AOC的大小为（） A. 40° B. 140° C. 160° D. 170° 5.如图，点A,B,C,D在⊙O上，∠AOC=120°，点B是AC的中点，则∠D的度数是（） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 6.如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE。若∠D=80°，则∠EAC的度数是( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 7.如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（） A. 4 5B. 3 4 C. 2 3 D. 1 2 8.如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA ＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（） A. 2π+2 B. 3π C. 5π 2D. 5π 2 +2 9.如图，在扇形OAB中，已知∠AOB=90°，OA=√2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（） A. π?1 B. π 2?1 C. π?1 2 D. π 2 ?1 2 10.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣1 2 x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q′，连接OQ′，则OQ′的最小值为( )
培优--平行线的判定与性质综合训练专题电子教案
初一数学寒假培优训练四（平行线的判定与性质综合训练专题） [一]、平行线的判定 一、填空 1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ； 若∠2=∠E ，则 ∥ ； 若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ． 2．若a⊥c，b⊥c，则a b ． 3．如图２，写出一个能判定直线a ∥b 的条件： ． 4．在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，则 ∥ （ ）． 5．如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。 6．如图４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中， 同位角有 ； 内错角有 ；同旁内角有 ． 7．如图５，填空并在括号中填理由： （1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （ ）； （2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （ ）； （3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （ ） 8．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件： ． 9．如图７，尽可能地写出能判定AB∥CD 的条件来： ． 10．如图８，推理填空： （1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （2）∵∠2 =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB∥FD（ ）； （4）∵∠2 +∠ = 180°（已知）， ∴AC∥ED（ ）； 二、解答下列各题 11．如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥CF． 12．如图10，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶4， ∠AFE = 60°，∠BDE =120°，写出图中平行的直线，并说 明理由． A C B 4 1 2 3 5 图４ a b c d 1 2 3 图３ A B C E D 1 2 3 图１ 图２ 4 3 2 1 5 a b 1 2 3 A F C D B E 图８ E B A F D C 图９ 1 3 2 A E C D B F 图10 A D C B O 图５ 图６ 5 1 2 4 3 l 1 l 2 图７ 5 4 3 2 1 A D C B