高考数学试题目分类整理汇编11——不等式

十一、不等式

一、选择题

1.（重庆理7）已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则y=

14a b +的最小值是 A ．72 B ．4 C ． 9

2

D ．5

【答案】C

2.（浙江理5）设实数,x y 满足不等式组250

270,0x y x y x +-??

+-???＞＞≥，y ≥0，

若,x y 为整数，则34x y +的最小

值是

A ．14

B ．16

C ．17

D ．19

【答案】B

3.（全国大纲理3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是

A ．1a b +＞

B ．1a b -＞

C ．2

2

a b ＞

D ．33

a b ＞

【答案】A

4.（江西理2）若集合{},{}x A x x B x

x -2

=-1≤2+1≤3=≤0，则A B ?=

A ．

{}x x -1≤<0 B ． {}x x 0<≤1

C ．

{}x x 0≤≤2

D ．

{}x x 0≤≤1

【答案】B

5.（辽宁理9）设函数

??

?>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是 （A ）1[-，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+∞） （D ）[0，+∞）

【答案】D

6.（湖南理7）设m ＞1，在约束条件1y x y mx x y ≥??

≤??+≤?

下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m

的取值范围为 A ．（1

，1 B ．

（1+∞）

C ．（1,3 ）

D ．（3，+∞）

【答案】A

7.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式

1x y +≤，

则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D

8.（广东理5）。已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D

由不等式组02x y x ?≤≤?

≤??

≤?给定。若

(,)M x y 为D 上的动点，点A

的坐标为，则z OM OA =?的最大值为

A

． B

． C ．4 D ．3 【答案】C

9.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车

和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【答案】C

【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件08071210672219x y x y x y x y ≤≤??≤≤??

+≤??+≥?

+≤??

画出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7

5x y =??=?代入目标函数4900z =

10.（福建理8）已知O 是坐标原点，点A （-1,1）若点M （x,y ）为平面区域2

1y 2x y x +≥??≤??≤?

，上

的一个动点，则OA ·OM 的取值范围是 A ．[-1．0] B ．[0．1] C ．[0．2] D ．[-1．2]

【答案】C

11.（安徽理4）设变量y x y x y x 2,1||||,+≤+则满足的最大值和最小值分别为 （A ）1，－1 （B ）2，－2 （C ） 1，－2

（D ） 2，－1

【答案】B

12.（上海理15）若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是

A ．22

2a b ab +>

B

．a b +≥

C ．

D 11a b

+>

D ．2b a

a b +≥

【答案】

二、填空题

13.（陕西理14）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵

树相距10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000

14.（浙江理16）设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 ．。

【答案】

15.（全国新课标理13）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤??

≤-≤?，则2z x y =+的最小值

是_________． 【答案】-6

16.（上海理4）不等式1

3x x +<的解为 。

【答案】0x <或

12x ≥

17.（广东理9）不等式130x x +--≥的解集是 ．

【答案】[1,)+∞

18.（江苏14）设集合},,)2(2|

),{(222R y x m y x m

y x A ∈≤+-≤=,

},,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠?B A 则实数m 的取值范围是

______________

【答案】]

22,21

[+

三、解答题

19.（安徽理19） （Ⅰ）设1,1,x y ≥≥证明

;1

11xy y x xy y x ++≤+

+，

（Ⅱ）c b a ≤≤<1，证明log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++.

本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代

数式的恒等变形能力和推理论证能力.

证明：（I ）由于1,1≥≥y x ，所以

,)(1)(1

112xy x y y x xy xy y x xy y x ++≤++?++≤+

+

将上式中的右式减左式，得

,0)1)(1)(1(,1,1).

1)(1)(1()1)(1()

1)(()1)(1())()(()1)(()1)(())((22≥---≥≥---=+---=-+--+=+-+--=++-++y x xy y x y x xy y x xy xy xy y x xy xy y x y x xy xy y x xy xy x y 所以即然

从而所要证明的不等式成立.

（II ）设,log ,log y c x b b a ==由对数的换底公式得

.log ,1

log ,1log ,1log xy c y b x a xy a a c b c ====

于是，所要证明的不等式即为,

1

11xy y x xy y x ++≤++

其中.1log ,1log ≥=≥=c y b x b a 故由（I ）立知所要证明的不等式成立. 20.（湖北理17）

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20

辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．

（Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x

的表达式;

（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：

辆/每小时）()

().f x x v x

=可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时） 本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12分）

解：（Ⅰ）由题意：当020,()60x v x ≤≤=时；当20200,()x v x ax b ≤≤=+时设

再由已知得

1,2000,32060,200.

3a a b a b b ?

=-?+=???

?+=??=??解得

故函数()v x 的表达式为60,020,()1

(200),202003x v x x x ≤≤??=?-≤≤??

（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020,()1

(200),202003x x f x x x x ≤

当020,()x f x ≤≤时为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20=1200；

当20200x ≤≤时，

211(200)10000()(200)[]3323x x f x x x +-=

-≤=

当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立。

所以，当100,()x f x =时在区间[20，200]上取得最大值10000

.

3

综上，当100x =时，()f x 在区间[0，200]上取得最大值10000

3333

3≈。

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。 21.（湖北理21）

（Ⅰ）已知函数()1f x Inx x =-+，(0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）设,k k a b (1,2k =…，)n 均为正数，证明：

（1）若1122a b a b ++…n n a b ≤12b b ++…n b ，则12

121n k k k n a a a ≤； （2）若12b b ++…n b =1，则1

n ≤

121222

212.n k k k n n b b b b b b ≤+++

本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推

理论证的能力，以及化归与转化的思想。（满分

14分）

解：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞，令

1

'()10, 1.f x x x =

-==解得

当01,'()0,()x f x f x <<>时在（0，1）内是增函数； 当1x >时，'()0,()(1,)f x f x <+∞在内是减函数； 故函数()1f x x =在处取得最大值(1)0.f = （II ）（1）由（I ）知，当(0,)x ∈+∞时， 有()(1)0,ln 1.f x f x x ≤=≤-即

,0k k a b >，从而有ln 1k k a a ≤-，

得ln (1,2,,)k k k k k b a a b b k n ≤-=，

求和得11

1

1

ln .

n

n n

k k

k k k k k k a

a b b ===≤-∑∑∑

21

1

1

,ln 0,

n

n n

k k k

k

k

k k k a b b a

===≤∴≤∑∑∑

即121

2

ln()0,n k k k n

a a

a ≤121

2

1.n k k k n a a

a ∴≤

（2）①先证

12

12

1.

n

k k k n b b b n ≥ 令

1

(1,2,,),

k k

a k n n

b =

=

则1111

1,n

n

n

k k k k k k a b b n ======∑∑∑于是

由（1）得1212111(

)()()1n k k k n nb nb nb ≤，即1212

12

1

,

n

n k k k k k k n

n n b b b ++

+≤=

12

121.

n k k k n b b b n ∴≥ ②再证

12222

1212.n k k k n n b b b b b b ≤+++ 记

21,(1,2,,)

n

k

k k k b S b a k n S

===

=∑令，

则2

111111n

n n

k k k k k k a b b b S ======∑∑∑，

于是由（1）得12

12()()(

) 1.n

k k k n b b b

S

S S ≤ 即1212

12

,n

n k k k k k k n b b b S S ++

+≤=

12

22

21212.n k k k n n b b b b b b ∴≤++

+

综合①②，（2）得证。

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