阿氏圆问题归纳

阿氏圆题型的解题方法和技巧

以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现,对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.

具体内容如下:

阿氏圆定理(全称:阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P 到两定点Ａ、Ｂ的距离之比等于定比

n m (≠1),则P 点的轨迹，是以定比n

m

内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简

称阿氏圆.

定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB,(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.

PA ＋ｋPB,(ｋ≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型

阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似

【问题】在平面直角坐标系xOy 中,在x 轴、y 轴分别有点C(m,０）,D(0，ｎ）.点P 是平面内一动点,且ＯP=r,求P Ｃ+kPD 的最小值.

阿氏圆一般解题步骤:

第一步:确定动点的运动轨迹(圆)，以点Ｏ为圆心、r 为半径画圆；(若圆已经画出则可省略这一步)

第二步:连接动点至圆心O(将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接），即连接O Ｐ、ＯＤ；

第三步:计算出所连接的这两条线段OP 、ＯD 长度； 第四步:计算这两条线段长度的比k ；

第五步:在ＯD 上取点M ，使得O Ｍ：OP ＝OP:OD=k;

第六步:连接CM,与圆O 交点即为点P ．此时CM 即所求的最小值.

【补充：若能直接构造△相似计算的，直接计算,不能直接构造△相似计算的，先把k 提到括号外边,将其中一条线段的系数化成

k

1

,再构造△相似进行计算】

习题

【旋转隐圆】如图,在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，Ｄ为AC 的中点,M 为B Ｄ的中点,将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始终保持点M 为BD 的中点),若AC=4，B Ｃ=3，那么在旋转过程中,线段ＣM 长度的取值范围是_＿_＿＿＿___＿_．

1.Rt △A ＢC 中,∠ACB=90°,AC ＝4,BC=3，点Ｄ为△ＡBC 内一动点,满足CD=2,则AD+3

2

ＢＤ的最小值为_＿＿__＿_.

２.如图,菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为６0°,⊙Ａ与BC 相切于点E,在⊙A 上任取一点Ｐ,则PB+

2

3

PD 的最小值为＿___＿_＿_.

3．如图,已知菱形ABC Ｄ的边长为４,∠B ＝60°，圆Ｂ的半径为2，P 为圆B 上一动点,则ＰD+

2

1

ＰC 的最小值为___＿＿_＿__. ４.如图，点A,Ｂ在⊙Ｏ上,OA ＝ＯB=1２,OA ⊥ＯB ，点C 是ＯA 的中点,点D 在OB 上，OD=１０.动点P 在⊙O 上,则ＰC ＋

2

1

PD 的最小值为_______. 5．如图,等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙Ｏ,Ｐ是圆上动点,求2P Ｂ+PC 的最小值.

6．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙Ｏ，P 是圆上的动点，求2PA+PB 的最小值.

7.如图,边长为4的正方形，点P 是正方形内部任意一点,且BP=2，则P Ｄ+2

1

PC 的最小值为_＿____;2PD+4PC 的最小值为_＿____.

8.在平面直角坐标系xO ｙ中,A(2，0)，B （0,2)，C （4，0),Ｄ(３,２)，P 是△A ＯB 外部的第一象限内一动点，且∠ＢPA=135°,则2PD+PC 的最小值是＿_____＿.

9.在△A ＢC 中,ＡB=9，BC=8，∠ＡBC=60°，⊙Ａ的半径为6,P 是⊙Ａ上的动点，连接P Ｂ、P Ｃ,则3ＰC+2ＰB 的最小值为_＿_____．

1０.如图,在Rt △ABC 中，∠Ａ=30°,AC=８，以C 为圆心,4为半径作⊙C. (1）试判断⊙Ｃ与AB 的位置关系，并说明理由；

(２）点F 是⊙C 上一动点,点Ｄ在AC 上且CD=２，试说明△FCD~△ACF ； (3)点E 是ＡＢ上任意一点,在(2)的情况下,试求出E Ｆ+

2

1

FA 的最小值.

11.（1)如图１,已知正方形ＡBCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点,求ＰD+

21PC 的最小值和P Ｄ-2

1

PC 的最大值； （2)如图2,已知正方形A ＢCD 的边长为9,圆Ｂ的半径为6，点P 是圆Ｂ上的一个动点,那么PD+

32PC 的最小值为_＿__＿_，PD-3

2

PC 的最大值为__＿__＿. (3)如图3，已知菱形ＡB ＣＤ的边长为４,∠B=６０°，圆B 的半径为2，点P 是圆Ｂ上的一个动点,那么PD+

21P Ｃ的最小值为_＿____,ＰD-2

1

ＰＣ的最大值为______＿＿.

1２．问题提出:如图1，在Rt △ＡBC 中,∠ACB=90°,CB=4，CA ＝6,⊙C 半径为2，P 为圆上

一动点，连结AP 、ＢP,求AP ＋2

1

BP 的最小值.?(１)尝试解决：为了解决这个问题,下面给出一种解题思路：如图2,连接C Ｐ,在CB 上取点D ，使CD=１,则有2

1

==CB CP CP CD ,又∵∠

PC Ｄ=∠ＢCP,∴△PC Ｄ∽△ＢCP.∴2

1

=BP PD ，

∴P Ｄ=

21ＢP ，∴AP+21ＢＰ=A Ｐ＋ＰD ．?请你完成余下的思考,并直接写出答案:AP ＋2

1B Ｐ的最小值为__＿_＿_＿_．

（2)自主探索:在“问题提出”的条件不变的情况下，3

1

ＡP ＋BP 的最小值为＿＿___＿_.?(3)拓展延伸：已知扇形ＣOD 中,∠COD=90°，OC=6，OA ＝３，ＯB=５,点P 是弧CD 上一点，求２PA+ＰＢ的最小值.

【二次函数结合阿氏圆题型】

1３.如图1,抛物线y=a ｘ2+(a ＋３)x+3（ａ≠0)与x 轴交于点A （4，0)，与y 轴交于点B ，在ｘ轴上有一动点E （ｍ，0)（０<ｍ<4），过点E 作x 轴的垂线交直线ＡB 于点Ｎ,交抛物线于点P,过点Ｐ作PM ⊥A Ｂ于点M. (１)求a 的值和直线A Ｂ的函数表达式;

（2）设△PMN 的周长为C １，△A ＥN 的周长为Ｃ2,若

5

6

21 C C ,求ｍ的值; (3）如图2，在(2）条件下,将线段OE 绕点Ｏ逆时针旋转得到OE ′,旋转角为α（0°<α＜90°)，连接Ｅ′A 、Ｅ′Ｂ，求E ′A ＋

3

2

E ′B 的最小值.

问题背景：如图1，在△AB Ｃ中,BC=4,A Ｂ=2AC.

问题初探：请写出任意一对满足条件的AB 与A Ｃ的值：AB ＝_＿__＿,ＡC=____＿＿_. 问题再探:如图2,在AC 右侧作∠CA Ｄ=∠Ｂ,交ＢＣ的延长线于点D,求CD 的长. 问题解决：求△ABC 的面积的最大值.

1．小明的数学探究小组进行了系列探究活动.

类比定义:类比等腰三角形给出如下定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形.

探索理解：

（1）如图1，已知Ａ、B、Ｃ在格点（小正方形的顶点)上,请你协助小明用两种不同的方法画出格点Ｄ,连接DA、DC,使四边形ABCD为邻等四边形;

尝试体验：

(2)如图2，邻等四边形ABＣD中,AD=CD，∠ABC＝1２０°,∠ＡDC=6０°，ＡB=2，BＣ＝1,求四边形ABCD的面积.

解决应用:

(3）如图３,邻等四边形ABCD中，ＡＤ=CＤ，∠AＢC=75°,∠ADC＝６0°，BD＝４．

小明爸爸所在的工厂,需要裁取某种四边形的材料板,这个材料板的形状恰巧是符合如图3条件的邻等四边形，要求尽可能节约.你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCＤ面积的最小值；如果不能,请说明理由.

2.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

（1）如图1，在四边形ABＣD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.

(２)如图2,等邻边四边形ＡBCD中，AB＝AD，∠BAD+∠ＢCD=90°,AC、ＢD为对角线，ＡC=2AB,试探究BC，ＢD的数量关系．

(３)如图3，等邻边四边形ABCD中,AB=AD,AC=２,∠ＢＡD＝２∠BCＤ=60°，求等邻边四边形AＢCD面积的最小值.