(完整版)高数知识点总结(上册)

高数知识点总结（上册） 函数：

绝对值得性质：

(1)|a+b|≤|a|+|b|

(2)|a -b|≥|a|-|b|

(3)|ab|=|a||b|

(4)|b a |=)0(||||≠b b a

函数的表示方法：

（1）表格法 （2）图示法 （3）公式法（解析法） 函数的几种性质： （1）函数的有界性 （2）函数的单调性 （3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性 反函数：

定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数)(1

x f

y -=存在，且是单

值、单调的。 基本初等函数： （1）幂函数 （2）指数函数 （3）对数函数 （4）三角函数

（5）反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限：

定义：设

{}n x 是一个数列，a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε（不管它多么小）

，

总存在正整数N ，使得对于n>N 的一切n

x ，不等式

ε

<-a x n 都成立，则称数a 是数列

{}n x 的

极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记做a

x n

n =∞

→lim ，或

a

x n →（∞→n ）

收敛数列的有界性：

定理：如果数列

{}n x 收敛，则数列{}n x 一定有界

推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界 （3）有界命题不一定收敛

函数的极限： 定义及几何定义 函数极限的性质：

（1）同号性定理：如果A x f x x =→)(lim 0

，而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域，当x 在该邻域内（点0

x 可除外），有0)(>x f （或0)(

（2）如果

A

x f x x =→)(lim 0

，且在

x 的某一邻域内（

x x ≠），恒有0)(≥x f （或0)(≤x f ），

则0≥A （0≤A ）。

（3）如果

)(lim 0

x f x x →存在，则极限值是唯一的

（4）如果)

(lim 0

x f x x →存在，则在)(x f 在点0x

的某一邻域内（0x x ≠）是有界的。 无穷小与无穷大： 注意：无穷小不是一个很小的数，而是一个以零位极限的变量。但是零是可作为无穷小

的唯一的常数，因为如果0)(=x f 则对任给的0>ε，总有ε<)(x f ，即常数零满足无穷小的定义。除此之外，任何无论多么小的数，都不满足无穷小的定义，都不是无穷小。 无穷小与无穷大之间的关系：

（1）如果函数)(x f 为无穷大，则)(1

x f 为无穷小

（2）如果函数)(x f 为无穷小，且0)(≠x f ，则)(1

x f 为无穷大

具有极限的函数与无穷小的关系： （1）具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和

（2）如果函数可表为常数与无穷小的和，则该常数就是函数的极限 关于无穷小的几个性质： 定理： （1）有限个无穷小的代数和也是无穷小

（2）有界函数)(x f 与无穷小a 的乘积是无穷小

推论： （1）常数与无穷小的乘积是无穷小 （2）有限个无穷小的乘积是无穷小 极限的四则运算法则： 定理：两个函数)(x f 、)(g x 的代数和的极限等于它们的极限的代数和

两个函数)(x f 、)(g x 乘积的极限等于它们的极限的乘积

极限存在准则与两个重要极限： 准则一（夹挤定理） 设函数)(x f 、)(g x 、)(h x 在0x x =的某个邻域内（点0x

可除外）满足条件：

（1）)()()(x h x f x g ≤≤

（2）

A

x g x x =→)(lim 0

，

A

x h x x =→)(lim 0

则A

x f x x =→)(lim 0

准则二 单调有界数列必有极限

定理：如果单调数列有界，则它的极限必存在

重要极限：

（1）1

sin lim

0=→x x

x

（2）

21

cos 1lim

20=-→x x x （3）e x x

x =+∞→)11(lim 或e

x x x =+→1

0)1(lim

无穷小阶的定义：

设βα、为同一过程的两个无穷小。

（1）如果

0lim

=αβ

，则称β是比α高阶的无穷小，记做)(αβo = （2）如果

∞=αβlim

，则称β是比α低阶的无穷小

（3）如果

)1,0(lim

≠≠=c c c αβ

，则称β与α是同阶无穷小 （4）如果

1lim

=αβ，则称β与α是等阶无穷小，记做βα~

几种等价无穷小：

对数函数中常用的等价无穷小：

0→x 时，)0(~)1ln(→+x x x

)0(ln 1

~

)1(log →+x x a x a

三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小：

0→x 时，x x ~sin x x ~tan

2

21~

cos 1x

x - x x ~arcsin x x ~arctan

指数函数中常用的等价无穷小：

0→x 时，x e x ~1- a e a a x x ln ~11ln -=-

二项式中常用的等价无穷小：

0→x 时，ax x a

~1)1(-+

n x x n

~

11-+

函数在某一点处连续的条件：

由连续定义)()(lim 00

x f x f x x =→可知，函数)(x f 在点0x 处连续必须同时满足下列三个条件：

（1）)(x f 在点0x

处有定义

（2）当

x x →时，)(x f 的极限)

(lim 0

x f x x →存在

（3）极限值等于函数)(x f 在点0x 处的函数值)

(0x f

极限与连续的关系：

如果函数)(x f 在点0x

处连续，由连续定义可知，当0x x →时，)(x f 的极限一定存在，反

之，则不一定成立 函数的间断点： 分类：第一类间断点 (左右极限都存在) 第二类间断点(有一个极限不存在) 连续函数的和、差、积、商的连续性： 定理：如果函数)(x f 、)(g x 在点0x

处连续，则他们的和、差、积、商（分母不为零）在点

x 也连续

反函数的连续性：

定理：如果函数)(x f y =在某区间上是单调增（或单调减）的连续函数，则它的反函数

)(y x ?=也在对应的区间上是单调增（或单调减）的连续函数

最大值与最小值定理： 定理：设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则函数)(x f 在闭区间[]b a ,上必有最大值和最小

值

推论：如果函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上有界

介值定理：

定理：设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，两端点处的函数值分别为

)()(,)(B A B b f A a f ≠==，而μ是介于A 与B 之间的任一值，则在开区间),(b a 内至少有一点

ξ，使得

μξ=)(f

)(b a <<ξ

推论（1）：在闭区间上连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值

推论（2）：设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，且0)()(

则在),(b a 的内部，至少存在一点ξ，使0)(=ξf

导数与微分 导数：

定义：

x x f x x f y x ?-?+=→?)

()(lim

'

导数的几何定义：函数在图形上表示为切线的斜率

函数可导性与连续性之间的表示： 如果函数在x 处可导，则在点x 处连续，也即函数在点x 处连续 一个数在某一点连续，它却不一定在该点可导 据导数的定义求导：

（1）

x x f x x f x y

y x x x x ?-?+=??=→?→?=)()(lim

lim

|'00000

（2）

0)

()(lim

|'0

0x x x f x f y x x x x --=→=

（3）

x x f x x f y x x x ?-?+=→?=)

()(lim

|'0

基本初等函数的导数公式： （1）常数导数为零 0)'(=c

（2）幂函数的导数公式 1

)'(-=n n nx x

（3）三角函数的导数公式 x x cos )'(sin = x x sin )'(cos -=

x x x 22

sec cos 1

)'(tan ==

x

x x 22csc sin 1

)'(cot -=-= x x x tan sec )'(sec =

x x x cot csc )'(csc -=

（4）对数函数的导数公式： a x e x x a a ln 1

log 1)'(log ==

（5）指数函数的导数公式：

a a a x x ln )'(=

（6）x

x e e =)'(

（7）反三角函数的导数公式：

211

)'(arcsin x x -=

211

)'(arccos x x --

=

211

)'(arctan x x +=

211

)'cot (x x arc +-

=

函数和、差、积、商的求导法则：

法则一（具体内容见书106）

'')'(v u v u +=+

'')'(v u v u -=-

函数乘积的求导法则：

法则二（具体内容见书108）

'')'(uv v u uv +=

函数商的求导法则：

法则三（具体内容见书109）

2'')'(v uv v u v u -=

复合函数的求导法则：（定理见书113页）

反函数的求导法则： 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 基本初等函数的导数公式：（见书121页）

高阶导数：二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 )(2

2dx dy

dx d dx

y d = 求n 阶导数：（不完全归纳法）

）2sin()(sin )(π?+=n x x n

）

2cos()(cos )(π

?+=n x x n 隐函数的导数：（见书126页） 对隐函数求导时，首先将方程两端同时对自变量求导，但方程中的y 是x 的函数，它的导

数用记号dx dy

（或'y 表示）

对数求导法：先取对数，后求导（幂指函数）

由参数方程所确定的函数的导数：)()()

(βαφ?≤≤??

?==t t y t x

)

()

(1''t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy ?φ=

?=?=

微分概念：

函数可微的条件 如果函数)(x f 在点0x 可微，则)(x f 在点0x

一定可导 函数)(x f 在点0x 可微的必要充分条件是函数)(x f 在点0x

可导

x

x f dy ?=)(0'

函数的微分dy 是函数的增量y ?的线性主部（当0→?x ），从而，当

x

?很小时，有dy y ≈?

通常把自变量x 的增量x ?称为自变量的微分，记做dx 。即于是函数的微分可记为

dx x f dy )('

=，从而有)

('x f dx dy

=

基本初等函数的微分公式： 几个常用的近似公式： x f f x f )0()0()('

+≈

x n x n

111+

≈+

x x ≈sin （x 用弧度）

x x ≈tan （x 用弧度）

x e +≈12

x x ≈+)1ln(

中值定理与导数应用

罗尔定理：如果函数)(x f 满足下列条件 （1）在闭区间[]b a ,上连续 （2）在开区间()b a ,内具有导数

（3）在端点处函数值相等，即)()(b f a f =，则在()b a ,内至少有一点ξ，使0)('

=ξf

拉格朗日中值定理：如果函数)(x f 满足下列条件 （1）在闭区间[]b a ,上连续

（2）在开区间()b a ,内具有导数，则在()b a ,内至少有一点ξ，使得

))(()()(f 'a b f a f b -=-ξ

定理几何意义是：如果连续曲线)(x f y =上的弧?

AB 除端点处外处处具有不垂直于x 轴的

切线，那么，在这弧上至少有一点c ，使曲线在点c 的切线平行于弧?

AB

推论：如果函数)(x f 在区间()b a ,内的导数恒为零，那么)(x f 在()b a ,内是一个常数

柯西中值定理：如果函数)(x f 与)(F x 满足下列条件 （1）在闭区间[]b a ,上连续 （2）在开区间()b a ,内具有导数

（3）)(F x ‘

在()b a ,内的每一点处均不为零，则在()b a ,内至少有一点ξ使得

)()()()()()('

'ξξF f a F b F a f b f =--

罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广 洛必达法则：（理论根据是柯西中值定理） 00

未定式

1、a x →情形 定理：如果 (1)当a x →时，)(x f 与)(x ?都趋于零

（2）在点a 的某领域（点a 可除外）内，)('x f 与)('x ?都存在且0)('≠x ?

（3）)()(lim ''x x f a x ?→存在（或为∞），则极限)()(lim x x f a x ?→存在（或为∞），且

)()

(lim x x f a x ?→=)()

(lim '

'x x f a x ?→

在一定条件下通过分子、分母分别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 2、∞→x 情形 推论：如果 （1）当∞→x 时，)(x f 与)(x ?都趋于零

（2）当|x|>N 时，)('x f 与)('x ?都存在且0)('

≠x ?

（3）)()

(lim '

'x x f x ?∞

→存在（或为∞），则极限)()(lim x x f x ?∞→存在（或为∞），且

)()(lim x x f x ?∞→=)()

(lim '

'x x f x ?∞→

∞∞

未定式

1、a x →情形 如果 （1）a x →时，)(x f 与)(x ?都趋于无穷大

（2）在点a 的某领域（点a 可除外）内，)('x f 与)('x ?都存在且0)('≠x ?

（3）)()(lim ''x x f a x ?→存在（或为∞） ，则则极限)()(lim x x f a x ?→存在（或为∞），且

)

()

(lim x x f a x ?→=)()

(lim '

'x x f a x ?→

2、∞→x 情形

推论：如果 （1）∞→x 时，)(x f 与)(x ?都趋于无穷大

（2）当|x|>N 时，)('x f 与)('x ?都存在且0)('≠x ?

（3）)()(lim ''x x f a x ?→存在（或为∞） ，则则极限)

()

(lim x x f a x ?→存在（或为∞），

且)

()

(lim

x x f a x ?→=)()(lim ''x x f a x ?→

注意：1、洛必达法则仅适用于00型及∞∞

型未定式

2、当)()(lim

'')

(x x f x a x ?∞→→不存在时，不能断定

)()(lim

)(x x f x a x ?∞→→不存在，此时不能应用洛必达法则

泰勒公式（略）

迈克劳林公式（略） 函数单调性的判别法：

必要条件：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内具有导数，如果)(x f 在[]b a ,上单调增

加（减少），则在()b a ,内，0)('≥x f （0)('

≤x f ）

充分条件：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内具有导数， （1）如果在()b a ,内，0)('

>x f ，则)(x f 在[]b a ,上单调增加

（2）如果在()b a ,内，0)('

函数的极值及其求法

极值定义（见书176页） 极值存在的充分必要条件

必要条件：设函数)(x f 在点0x 处具有导数，且在点0x 处取得极值，则0)('

=x f

函数的极值点一定是驻点

导数不存在也可能成为极值点

驻点：使0)('=x f 的点，称为函数)(x f 的驻点

充分条件（第一）：设连续函数)(x f 在点0x 的一个邻域（0x 点可除外）内具有导数，当

x 由小增大经过0

x 时，如果

（1）)('

x f 由正变负，则0x 是极大点

（2）)('

x f 由负变正，则0x 是极小点

（3）)('

x f 不变号，则0x 不是极值点

充分条件（第二）：设函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数，且0)(0'=x f ，0)(0;;≠x f

（1）如果0)(0;;

点处取得极大值

（2）如果

)(0;;>x f ，则)(x f 在0x

点处取得极小值

函数的最大值和最小值（略） 曲线的凹凸性与拐点：

定义：设)(x f 在[]b a ,上连续，如果对于[]b a ,上的任意两点1x 、2x 恒有

2)

(()2(

2121x f x f x x f +<+，则称)(x f 在[]b a ,上的图形是（向上）凹的，反之，图形是（向上）

凸的。 判别法： 定理：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内具有二阶导数 （1）如果在),(b a 内0)(0;;>x f ，那么)(x f 的图形在[]b a ,上是凹的

（2）如果在),(b a 内0)(0;;

拐点：凸弧与凹弧的分界点称为该曲线的拐点。 不定积分

原函数：如果在某一区间上，函数)(F x 与)(x f 满足关系式：

)()('x f x F =或dx x f x dF )()(=，则称在这个区间上，函数)(F x 是函数)(x f 的一个原

函数

结论：如果函数)(x f 在某区间上连续，则在这个区间上)(x f 必有原函数

定理：如果函数)(F x 是)(x f 的原函数，则C )(F +x （C 为任意常数）也是)(x f 的原函数，且)(x f 的任一个原函数与)(F x 相差为一个常数 不定积分的定义：

定义：函数)(x f 的全体原函数称为)(x f 的不定积分，记做?dx

x f )(

不定积分的性质：

性质一：

)

())(('x f dx x f =?或

dx

x f dx x f d )())((=?

及?

+=C

x f dx x f )()('

或?

+=C

x f x df )()(

性质二：有限个函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。即

????+++=+++dx x f dx x f dx x f dx x f x f x f n n )()()()]()()([2121ΛΛ 性质三：被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即

??=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数，且k ≠0

基本积分表：

（1）?

+=C

kx kdx （k 是常数）

（2）?-≠++=+)1(11

a C a x dx x a a

（3）?+=C x dx x ||ln 1

（4）?

+=C

e

dx e x

x

（5）)1,0(ln ≠>+=?a a C a a dx a x

x

（6）?

+-=C

x xdx cos sin

（7）?

+=C

x xdx sin cos

（8）??+==C x xdx dx x tan sec cos 12

2

（9）??+-==C x xdx dx x cot csc sin 1

22 （10）?+=C x xdx x sec tan sec

（11）

?+-=C

x xdx x csc cot csc （12）

?

+=-C

x dx x

arcsin 112

（13）

?

+=+C

x dx x

arctan 112

第一类换元法（凑微分法）

C x F dx x x f +=?)]([)()](['

???

?+-=C x xdx |cos |ln tan ?+=C x xdx |sin |ln cot 第二类换元法：变量代换

被积函数若函数有无理式，一般情况下导用第二类换元法。将无理式化为有理式 基本积分表添加公式： 结论：

如果被积函数含有2

2x a -，则进行变量代换t a x sin =化去根式

如果被积函数含有2

2a x +，则进行变量代换t a x tan =化去根式

如果被积函数含有22a x -，则进行变量代换t a x sec =化去根式

分部积分法：

对应于两个函数乘积的微分法，可推另一种基本微分法---------分部积分法

??-=vdu uv udv

分部积分公式

1、如果被积函数是幂函数与指数函数

的积，可以利用分部积分法

令u 等于幂函数

2、如果被积函数是幂函数与

反三角函数

对数函数

的积，可使用分部积分法

令u=

反三角函数

对数函数

3、如果被积函数是指数函数与三角函数的积，也可用分部积分法。 定积分

定积分的定义

定理：如果函数)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积

定理：如果函数在],[b a 上只有有限个第一类间断点，则)(x f 在],[b a 上可积 定积分的几何意义：

1、在],[b a 上0)(≥x f ，这时?b

a dx

x f )(的值在几何上表示由曲线)(x f y =、x 轴及二直线x=a 、x=b 所围成的曲边梯形的面积 2、在],[b a 上0)(≤x f ，其表示曲边梯形面积的负值 3、在],[b a 上，)(x f 既取得正值又取得负值

几何上表示由曲线)(x f y =、x 轴及二直线x=a 、x=b 所围成平面图形位于x 轴上

方部分的面积减去x 轴下方部分的面积 定积分的性质： 性质一、函数和（差）的定积分等于他们的定积分的和（差），即 ???±=±b

a b a b

a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([

性质二、被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即

?

?=b

a

b

a dx

x f k dx x kf )()(（k 是常数）

性质三、如果将区间],[b a 分成两部分],[c a 和],[b c ，那么

?

??+=b

a

c a

b

c

dx

x f dx x f dx x f )()()(、

性质四、如果在],[b a 上，1)(=x f ，那么??-==b

a b

a a

b dx dx x f )( 性质五、如果在],[b a 上，0)(≥x f ，那么?≥b

a dx x f 0

)( 性质六、如果在],[b a 上，)()(x g x f ≤，那么

?

?≤b

a

b

a

dx

x g dx x f )()(

性质七、设M 及m ，分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值，则

m(b -a)?≤≤b

a dx x f )(M(

b -a) (a

性质八、积分中值定理

如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，那么在积分区间],[b a 上至少有一点ξ，使得

?

-=b a

a b f dx x f )

)(()(ξ

微积分基本公式

积分上限的函数：

?=Φx

a

dt

t f x )()( （a ≤x ≤b ）

性质：如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，那么积分上限的函数

?=Φx

a

dt

t f x )()(在],[b a 上

具有导数，且)()()(x f dt t f dx d x x

a ==Φ?‘

定理：在区间],[b a 上的连续函数)(x f 的原函数一定存在

牛顿——莱布尼茨公式

如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且)(x F 是)(x f 的任意一个原函数，那么

?

-=b a

a F

b F dx x f )

()()(

定积分的换元法

假设（1）函数)(x f 在区间],[b a 上连续； （2）函数)(t x ?=在区间],[βα上单值，且具有连续导数；

（3）当t 在区间],[βα上变化时，)(t x ?=的值在],[b a 上变化，且a =）

（α?，b =）（β? ，则有定积分的换元公式??=b

a dt

t t f dx x f β

α

??)()]([)('

设)(x f 在区间],[a a -上连续，则

（1）如果函数)(x f 为奇函数，则?-=a

a dx x f 0)(

（2）如果函数)(x f 为偶函数，则??-=a

a a

dx

x f dx x f 0)(2)(

??=20

20cos sin π

π

xdx

xdx n n

定积分的分部积分法

设)(x u 、)(x v 在],[b a 上具有连续导数)('x u 、)('x v ，那么''')(vu uv uv +=，在等式的两边

分别求a 到b 的定积分得dx

vu a b

dx uv a b

a b uv ''

)(+=

……定积分的分部积分公式

即??-=b

a b a dx vu a b uv dx uv ''

)( 或??-=b a b a

vdu a b uv udv )(

无穷区间上的广义积分

定义：设函数)(x f 在区间],[+∞a 上连续，取b>a ，如果极限?+∞→b

a b dx x f )(lim 存在，则称此极

限为函数)(x f 在区间],[+∞a 上的广义积分，记做?+∞

a dx x f )(即?

?+∞→+∞

=b

a

b a

dx

x f dx x f )(lim

)(

无界函数的广义积分（见书279页） 定积分的应用（见书286页） 元素法 在极坐标系中的计算法