导数的应用(习题课)优秀教学设计

§1.3 导数的应用（习题课）教学设计

【教材分析】

本节课是人教A版选修2-2第一章第三节内容，前面已经学习了利用导数求解函数的单调性、极值、最值、零点等问题，本节课是在前节内容的基础上，进一步学习如何利用导数研究不等式恒成立问题。这个问题属于高考压轴题的范畴，本节主要从“套路”和“模型”的角度出发，体现导数的工具性特征。

【学情分析】

学生已经学习了导数的基础知识，知道了一些解题的基本思路，但如何利用导数来解决一些较难的问题，完成对压轴题的“破冰”，学生还是无能为力，这是本节课的困难，需要进行不断的引导与强化。

【教学目标】

1、知识与技能：

（1）能利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题及不等式恒成立问题；

（2）能够利用导数作图，反之可以利用图像来研究函数的性质；

2、过程与方法：

导数作为一种工具，是高中数学诸多知识的一个交汇点。通过教师思路上的引导，小组合作探究，能让学生从诸多条件中抽丝剥茧，发现解决方法，从而提高学生发现问题、解决问题的能力，深化对问题的认识，在过程中获得思维能力的提高。

3、情感与价值观：

培养学生主动学习，合作交流的意识，互相启发，相互促进，充分发挥各自的主观能动性，激发学生的学习兴趣，完善学习成果。

【教学重点】

利用“套路”和“模型”来研究导数研究不等式恒成立问题。

【教学难点】

（1）基本模型的熟悉与应用；（2）问题如何转化成“模型”来处理。

【课时设计】

两个课时，其中一个0.5个课时完成课堂练习，1.5个课时完成后面内容。

【教学策略】

采用练、评、讲的教学方法，利用几何画板、多媒体投影仪辅助教学。

【教学过程】

一、课堂练习（提前印发给学生）

问题

设计意图师生活动1、解决导数在函数中的应用问题的一般步骤：构造函数 求

求导 求

→→→ 求极值、最值 求问题的解

→→回顾定义，明确方法。

学生自主完成。

2、曲线在处的切线方程为

.x x y ln 2=e x =3、函数的单调递减区间为 .

1ln -=x

x

y 4、函数的极小值点为( )

x

x

e y x 2-=A. 1

B.

C.

D.2-e )2,1(-e )

,1(e 5、函数的零点个数为( )x

xe y =A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

6、若不等式恒成立,则实数的取值范围为0ln >-x ax a (

)

A.

B. C. D.??????+∞,1e [)+∞,e ??? ??+∞,1e ??? ?

?

∞-e 1,左边5个题均是导数应用中的基础题型，

练习的目的如下：1、巩固求解切线、单调区间、极值点、

零点的一般步骤；2、熟练掌握简单复合函数的求导，并能根据导函数画出原函数图像，深化对导数的理解。

学生自主完成，并

总结求解步骤，注意事项。

二、列表比较常考函数的图像与性质：（课堂完成）

教师：通过以上5个题目我们发现，含对数指数的复合函数出现的频率很高，事实上在高考中考查的也很频繁，下面我们对这几类函数进行单独研究，后期就会有意想不到收获。

学生：独立完成下表，小组内部讨论结论是否正确。

设计意图：针对高考的热点问题进行练习，先追根溯源，找到构成问题的“基本元素”，再由简到繁，引导学生体会解题思路，有意识去提炼总结，提高学生解题能力的同时增强自信心。原函数

x

xe

y =x

e y x

=

x

e x y =

x x y ln =x

x y ln =

x

x y ln =

定义域

导函数

增区间

减区间

图像

教师：小组演示，老师提出问题，注重细节的挖掘，以下面这几个函数为例：原函数x

xe y =师生活动

设计意图

定义域

R 导函数

(1)x y x e '=+增区间

(1,)

-+∞减区间

(,1)

-∞-图像

师：引导学生观察细节，如最高（低）点，极值点等以及图

像的走势等等。

问题1：图像有哪里关键点？

问题2：图像向左与向右的走

势是什么？为什么是这样的？

问题3：图像向左会不会穿过

轴？

x 生：各小组派代表回答问题

师：对学生的回答作出评价，并提出渐近线的概念

通过问题的引导，

让学生知道遇到这

类问题要从哪些方

面入手，明确问题

的研究方向，为以后的研究指明方向

教师：再看一个例子原函数

x e y x

=

师生活动设计意图

定义域

{|0}

x x ≠导函数

2

(1)x

x e y x -'=

师问1：这个函数与前面一个函数有什么不同？

师问2：这个函数有几条渐近

这类函数一般很少研究左边的半支，主要还是研究右边

增区间

(1,)

+∞减区间

，(0,1)(,0)

-∞图像

线？的半支。但对于导数的正负与原函数

的正负结合起来才会对渐近线的概念有更深的理解，避免图像“过界”，

提高图像的准确性。

后面的几个函数表达如下：（根据小组讨论的结果，演示如下）

原函数x

e x

y =x x y ln =x

x y ln =

x

x y ln =

定义域

R

(0,)

+∞导函数

1x

x y e -'=

ln 1

y x '=+2

1ln x y x -'=2

1ln (ln )x y x -'=

增区间

(,1)-∞1

(,)e +∞(0,)e (,)

e +∞减区间

(1,)+∞1(0,)e

(,)e +∞，(0,1)(1,)

e 图像

三、典型例题

【例1】 【2014年高考全国1卷理数】

设函数,曲线在点处的切线方程为

x

e b x e a x

f x x

1

ln )(-?+??=)(x f y =))1(,1(f .

2)1(+-=x e y (1)求的值;

(2)证明.

b a ,1)(>x f

设计意图：含指数与对数的函数是高考考察的热点内容，很多学生望而生畏，不敢尝试。通过以上几个简单函数模型的组合可以生成很多类型，下面通过还原，让学生体会这种“套路”

师：经过前面的练习，第一问大部分学生可以完成，不难得到 ，所以第二问变成

1,2a b ==了证明，让学生利用上面的知识解决这个问题

1

2()ln 1x x

e f x e x x

-=+>师提示1：想利用上面的知识解决问题，就要把这个式子变成含有上面几个函数的式子师提示2：变形有式子老师可以利用作图软件帮大家作出图像

设计意图：学生变形出的式子可能是各种各样的，我们需要找到一种能自己作图，而且根据图形上就可以把问题解决的办法，帮助学生作图是为了让学生体会这种“套路”的精髓。

生：小组合作，寻找各种拆分组合的办法

师：点评各种作法，结合图形给予指导。再次提示学生上面各式的特点：对指数分开

生1解答：21ln x x ex e

+

>生2解答： 2ln x

x x x e e

>

-

这个证明要通过放缩法来实现，以后再讲。

由图可知，只需证明即可，

min max ()()M x n x >这个是学生可以操作的。

师：事实上，很多题目变形到这种程度并不容易，需要我们对函数模型有较深刻的认识才可以。在这里可以适度引入“凸凹性”概念，解释的时候更容易描述一些。

【例2】 已知函数。证明：当时，不等式

2()ln ,(ln 2 1.647)x

f x x e x =-≈≈0x >恒成立

()1f x >师：还是利用拆分合并的方法，将变成我们能处理的式子。

2ln 1x

x e x ->生1解答

生2解答

生3解答

21ln x

x e x

>+1ln x

x xe x

+>

3

1ln x e x x x +>

师：经过比较我们发现，方法3要更容易操作一些。

设计意图：让学生在不断的尝试中发现规律，明白这种方法的使用范畴，体会数形结合的作用。四、课后练习

1、设函数，其中，是自然对数底。若，证明：。()ln x

f x ae x x =-a R ∈e 2

2

a e ≥

()0f x >

分析： （如右图）

2ln ()0ln 0x x

ae x

f x ae x x x x

>?->?>设，，则由前面的有结论可知：

2()x ae g x x =ln ()x

h x x

=max 1()h x e

=

又，所以当时，，单调递减，当时，3

(2)()x

a x e g x x

-'=02x <<()0g x '<()g x 2x >()0g x '>，单调递增，所以

()g x 22min

221

()(2)442

ae e g x g e ==≥?=设计意图：学以致用，让学生熟悉这种构造方式，巩固通过构造实现一边的最大值大于（或等于）另外一边的最小值的这种“套路”。五、小结反思

1、在高考命题突出稳定的现实下，适当进行套路与模式的研究，有助于寻找解决这类问题的一般规律，帮助学生更好地认识导数的工具作用。

2、本节主要是通过构造，使得一边的最大值大于（或等于）另外一边的最小值，这种“套路”只是众多套路中的一种，本节为了突出重点，其它类型暂时没有作出解释，不要让学生以为只有这一种方法。

3、在这里可以适当告诉学生“凸凹性”的意义，不一定需要准确定义，让学生能够理解就可以了。

参考文献：彭海燕．“套路”和“模型”视角下恒不等式问题的探讨[J]．中学数学教学参考，2018（1-2）：53—56．