高中数学导数知识点归纳

高中数学选修2----2 知识点

第一章导数及其应用

一．导数概念的引入

1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数y f ( x) 在x x0处的瞬时变化率是

lim f ( x0x)f ( x

)

，

x0x

我们称它为函数y f ( x) 在x x0处的导数，记作 f ( x0 ) 或 y |x x，

即

f (x0 ) =lim f ( x0x) f (x0 )

x 0x

2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像 ,我们可以看出当点P n趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易

知道，割线 PP n的斜率是k n f ( x n )f ( x

)

，当点 P n趋近于P时，函数y f ( x) 在x x0处的导

x n x0

数就是切线 PT 的斜率 k，即k

f (x n ) f ( x0)

lim f ( x0 ) x 0x n x0

3.导函数：当 x变化时， f ( x) 便是x的一个函数，我们称它为 f (x) 的导函数.y f ( x) 的导函数有

时也记作 y ,即 f ( x)lim f ( x x) f ( x)

x 0x

二 .导数的计算

1）基本初等函数的导数公式:

2若 f ( x)x ,则 f (x)x 1 ;

3若 f ( x)sin x ,则 f(x)cos x

4若 f ( x)cos x ,则 f(x)sin x ;

5若6若f ( x) a x,则 f ( x) a x ln a f ( x)e x,则 f ( x) e x

7若 f ( x)log a x,则f ( x)1

x ln a

8若 f ( x)ln x ,则 f ( x)1 x

2）导数的运算法则

2.[ f (x)g( x)] f ( x)g( x) f ( x) g (x)

3.[ f ( x) ]f(x) g( x) f ( x) g (x)

g (x)[ g (x)] 2

3）复合函数求导

y f (u)

和u g( x) ,

可以表示成为

x, y f (g ( x))

为一个复合函数称则 y的函数即

y f ( g( x))g ( x)

三 .导数在研究函数中的应用

1.函数的单调性与导数 :

一般的 ,函数的单调性与其导数的正负有如下＇关系：

在某个区间 (a,b) 内，如果 f(x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间单调递增；

如果 f ( x)0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间单调递减.

Ps：二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f（x）的导数y＇ =f ＇（ x）仍然是 x 的函数，则 y＇ =f ＇（ x）的导数叫做函数 y=f （x）的二阶导数。几何意义

（1）切线斜率变化的速度

（2）函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）

2.函数的极值（局部概念）与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.

求函数 y f ( x) 的极值的方法是:

(1)如果在 x0附近的左侧 f ( x)0 ,右侧 f (x)0 ,那么f ( x0)是极大值;

(2)如果在 x0附近的左侧 f ( x)0 ,右侧 f (x)0 ,那么f ( x0)是极小值;

(3)若 f ＇（ x）=0，则在该点函数不增不减，可能为极值，也可能就为一过渡点。

4.函数的最大 (小 )值与导数

函数极大值与最大值之间的关系.

求函数 y f ( x)在 [ a,b] 上的最大值与最小值的步骤

（ 1）求函数 y f ( x) 在 (a, b) 内的极值；

（ 2）将函数 y f (x) 的各极值与端点处的函数值 f ( a) ， f (b) 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值 .

可导奇函数的导函数的是偶函数

可导偶函数的导函数的是奇函数

III.求导的常见方法：

① 常用结论： (ln | x |) ' 1 .

x

②形如 y

(x a 1 )( x a 2 )...( x a n ) 或 y

( x a 1 )( x a 2 )...( x a n ) 两边同取自然对数，可转化求代数和

( x

b )( x b )...( x

b )

1

2

n

形式 .

③无理函数或形如 y

x x 这类函数，如 y

x x 取自然对数之后可变形为

ln y x ln x ，对两边求导可得

y '

1 '

y ln x y y

' x

x

x

ln x x

y

ln x x .

y

x

导数中的切线问题

1：已知切点，求曲线的切线方程 2：已知斜率，求曲线的切线方程

3：已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．

4：已知过曲线外一点，求切线方程

y f ( x )

1. 函数 f (x) 的定义域为开区间(

3

,3) ，导函数 f ( x) 在

( 3

,3) 内的图象如图所示，则函数

2

f ( x) 的单调增区间是

2

_____________

y

2. 如图为函数 f ( x) ax 3 bx 2 cx d 的图象， f '(x) 为函数 f ( x) 的导

函数，则不等式 x f '( x)

0 的解集为 _____ _

- 3 o

3

x

3. 若函数

f ( x) x 2

bx c 的图象的顶点在第四象限，则其导函数

f '( x) 的图象是（

）

4.

函数 y f (x) 的图象过原点且它的导函数

f '( x) 的图象是如图所示的一条直

线，则 y

f (x) 图象的顶点在（

）

A ．第一象限

B

．第二象限

C

．第三象限

D ．第四象限

y

f (x )

5. 定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (4) 1． f ( x) 为 f

( x) 的导函 y

数 ，

已知函数

y f (x) 的图象如右图所示 . 若两正数

a, b 满足

f (2a

b) 1 ，则

b

2

的取值范围是

（

）

O

x

a

2

A ． (1, 1

)

B ． (

,1) 3, C ．(1

, 3)

D ． (

, 3)

3 2

2

2

5. （2008 年福建卷

12) 已知函数 y=f(x),y=g(x) 的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)

的图象可能

是（

）

6. 函数 f ( x)

ln x

1 x

2 的图象大致是 （

）

2

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A ．

B ．

C ．

D ．

7.

设 f ' (x) 是函数 f ( x) 的导函数，将 y

f ( x) 和 y f ' (x) 的图像画在同一个直角坐标系中，不可能

正确的是（

）

A ．

B ．

C ．

D ．

8.

如右图所示是某一容 器的三视图，现向容器中匀速注水， 容器中水面的高度 h

随时间 t 变化的可能图象是（

）

h h h h

正 视图

侧 视图

O t O t O t O t

俯 视图

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