2017年数学中考专题《阅读理解题》

2017年数学中考专题《阅读理解题》

题型概述

【题型特征】阅读理解题一般篇幅比较长，由“阅读”和“问题”两部分构成，其阅读部分往往为学生提供一个自学材料，其内容多以定义一个新概念(法则)，或展示一个解题过程，或给出一种新颖的解题方法，或介绍某种图案的设计流程等.学生必须通过自学，理解其内容、过程、方法和思想，把握其本质，才可能会解答试题中的问题. 阅读理解题呈现的方式多种多样，有纯文型(全部用文字展示条件和问题)、图文型(用文字和图形结合展示条件和问题)、表文型(用文字和表格结合展示条件和问题)、改错型(条件、问题、解题过程都已展示，但解题过程一般要改正).考查内容可以是学过知识的深入探索，也可以是新知识的理解运用.

阅读理解题按解题方法不同常见的类型有:(1)定义概念与定义法则型;(2)解题示范(改错)与新知模仿型;(3)迁移探究与拓展应用型等.

【解题策略】解答阅读理解型问题的基本模式:阅读—理解—应用.重点是阅读，难点是理解，关键是应用.阅读时要理解材料的脉络，要对提供的文字、符号、图形等进行分析，在理解的基础上迅速整理信息，及时归纳要点，挖掘其中隐含的数学思想方法，运用类比、转化、迁移等方法，构建相应的数学模式或把要解决的问题转化为常规问题. 可根据其类型，采用不同的思路一般地:

(1)定义概念、法则型阅读理解题以纯文字、符号或图形的形式定义一种全新的概念、公式或法则等.解答时要在阅读理解的基础上解答问题.解答这类问题时，要善于挖掘定义的内涵和本质，要能够用旧知识对新定义进行合理解释，进而将陌生的定义转化为熟悉的旧知识去理解和解答.

(2)解题示范、新知模仿型阅读理解题以范例的形式给出，并在求解的过程中暗示解决问题的思路技巧，再以思路技巧为载体设置类似的问题.解决这类问题的常用方法是类比、模仿和转化;正误辨析型阅读理解题抓住学生学习中的薄弱环节和思维漏洞，“刻意”地制造迷惑，使得解答过程似是而非.解答时主要是通过对数学公式、法则、方法和数学思想的准确掌握，运用其进行是非辨别.

(3)迁移探究与拓展应用型，即阅读新问题，并运用新知识探究问题或解决问题，解答这类题的关键是认真阅读其内容，理解其实质，把握其方法、规律，然后加以解决.

真题精讲

类型一 定义概念与定义法则型

典例1 (2016·湖北咸宁)阅读理解:

我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形.如图(1)，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形.设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把

1

sin α

的值叫做这个平行四边形的变形度.

(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°,则这个平行四边形的变形度是 ; 猜想证明:

(2)若矩形的面积为1S ，其变形后的平行四边形面积为1S ，试猜想121

,,sin S S α

之间的数量关系，并说明理由; 拓展探究:

(3)如图(2)，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上的一点，且2AB AE AD =?，这个矩形发生变形后为平行四边形11111,A B C D E 为E 的对应点，连接1111,B E B D ，若矩形ABCD 的面积为

4(0)m m >，平行四边形1

111

A B C D 的面积为2(0)m m >，试求

111111A E B A D B ∠+∠的度数.

【解析】(1)根据新定义，平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角

18012060α=?-?=?,所以

1123

sin sin 603

α===

?; (2)设矩形的长和宽分别为,a b ，其变形后的平行四边形的高为h .从面积入手考虑,

12,,sin h

S ab S ah b

α===

，所以121,sin S ab b b S ah h h α=

==，因此猜想121sin S S α=.

(3)由2

AB AE AD =?，可得2111111A B A E A D =?,即

1111

1111

A B A E A D A B =,可证明111B A E ?∽111D A B ?,则111111A B E A D B ∠=∠，再证明111111111111A E B A D B C B E A B E ∠+∠=∠+∠=

111A B C ∠，由(2)

121sin S S α=

，可知11112sin A B C ==∠,可知1111sin 2A B C ∠=，得出11130A B C ∠=?，从而证明11111130A E B A D B ∠+∠=?.

【全解】(1)根据新定义，平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角α为:

18012060α=?-?=?,

∴

11sin sin 603α===

?. (2)

12

1

sin S S α=,理由如下： 如图(1)，设矩形的长和宽分别为,a b ，其变形后的平行四边形的高为h .

则12,,sin h S ab S ah b

α===

， 121,sin S ab b b S ah h h α∴

===， ∴

12

1

sin S S α=. (3)由2

AB AE AD =?，可得2111111A B A E A D =?，即

1111

1111

A B A E A D A B =. 又111111B A E D A B ∠=∠，

∴111B A E ?∽111D A B ?.

111111A B E A D B ∴∠=∠. 1111//A D B C Q ， 111111A E B C B E ∴∠=∠.

111111*********A E B A D B C B E A B E A B C ∴∠+∠=∠+∠=∠,

由(2)

121sin S S α=

，可知11112sin A B C ==∠. 1111

sin 2

A B C ∴∠=

.

11130A B C ∴∠=?.

11111130A E B A D B ∴∠+∠=?.

1.(2016·浙江舟山)我们定义:有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形” (1)概念理解:

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子; (2)问题探究;

如图(1)，在等邻角四边形ABCD 中，,,DAB ABC AD BC ∠=∠的中垂线恰好交于AB 边上一点P ，连接,AC BD ，试探究AC 与BD 的数量关系，并说明理由; (3)应用拓展;

如图(2)，在Rt ABC ?与Rt ABD ?中，90C D ∠=∠=?, 3,5BC BD AB ===，将Rt ABD ?绕着点A 顺时针旋转角(0)BAC αα?<∠<∠得到Rt AB D ''? (如图 (3))，当凸四边形AD BC '为等邻角四边形时，求出它的面积.

【考情小结】此题属于几何变换综合题，涉及的知识有:全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂直平分线定理，等腰三角形性质，以及矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键. 正确理解题目中的定义是关键.

类型二 解题示范与新知模仿型(改错)

典例2 (2016·浙江湖州)定义:若点(,)P a b 在函数1

y x

=

的图象上，将以a 为二次项

系数，b 为一次项系数构造的二次函数2

y ax bx =+称为函数1

y x

=

的一个“派生函数”.例如:点1(2,)2

在函数1y x =的图象上，则函数2

122y x x =+称为函数1y x =的一个“派生

函数”.现给出以下两个命题: (1)存在函数1

y x

=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y 轴的右侧 (2)函数1

y x

=

的所有“派生函数”的图象都经过同一点，下列判断正确的是( ). A.命题(1)与命题(2)都是真命题 B.命题(1)与命题(2)都是假命题

C.命题(1)是假命题，命题(2)是真命题

D.命题(1)是真命题，命题(2)是假命题

【解析】(1)根据二次函数2

y ax bx =+的性质,a b 同号对称轴在y 轴左侧，,a b 异号对称轴在y 轴右侧即可判断.

(2)根据“派生函数” 2

,0y ax bx x =+=时，0y =，经过原点，不能得出结论.

【全解】(1)(,)P a b Q 在1

y x

=

上， ∴a 和b 同号，所以对称轴在y 轴左侧， ∴存在函数1

y x

=

的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y 轴的右侧是假命题. (2)Q 函数1y x

=

的所有“派生函数”为2

y ax bx =+， 0x ∴=时，0y =,

∴所有“派生函数”为2y ax bx =+经过原点，

∴函数1

y x

=

的所有“派生函数”的图象都进过同一点，是真命题. 故选C.

2. (2014·湖南永州)在求1+6+62+63+64+65+66+67+68 + 69的值时，小林发现:从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设: S =1+6+62+63+64+65+66+67+68+69.① 然后在①式的两边都乘以6，得

6S =6+62+63+64+65 +66 +67+68 +69+610.②

②－①，得6S －S =610－1，即5S = 610－1，所以1061

5

S -=.得出答案后，爱动脑筋的小

林想:

如果把“6”换成字母“a ”(0a ≠且1a ≠)，能否求出2

3

4

2014

1a a a a a

+++++?+的

值?你的答案是( ).

A.201411a a --

B.201511a a --

C.20141a a

- D.20141a -

3. (2015·广西南宁)对于两个不相等的实数,a b ，我们规定符号max {},a b 表示,a b 中的较大值，如:max {}2,4=4，按照这个规定，方程max {}21

,x x x x

+-=的解为( ) A.12- B.22- C.12+或12- D.12+或－1

4. (2015·浙江湖州)如图，已知抛物线21111:C y a x b x c =++和2

2222:C y a x b x c =++都经

过原点，顶点分别为,A B ，与x 轴的另一个交点分别为,M N ，如果点A 与点B ，点M 与点N 都关于原点O 成中心对称，则抛物线1C 和2C 为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹

抛物线1C 和2C ，使四边形ANBM 恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是 和 .

【考情小结】弄清题中的技巧是解题的关键.我们只要按照示例中的思路技巧去类比、模仿，一般不会做错，做题时要克服思维定势的影响和用“想当然”代替现实的片面意识.

类型三 迁移探究与拓展应用型

典例3 (2016·江西)如图，将正n 边形绕点A 顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O ，连接AO ，我们称AO 为“叠弦”;再将“叠弦”AO 所在的直线绕点A 逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P ，连接PO ，我们称OAB ∠为“叠弦角”，AOP ?为“叠弦三角形”. 【探究证明】

(1)请在图(1)和图(2)中选择其中一个证明:“叠弦三角形”(AOP ?)是等边三角形; (2)如图(2)，求证: OAB OAE '∠=∠. 【归纳猜想】

(3)图(1)、图(2)中的“叠弦角”的度数分别为 ， ; (4)图n 中，“叠弦三角形” 等边三角形(填“是”或“不是”)

(5)图n 中，

“叠弦角”的度数为

(用含n 的式子表示)

【全解】(1)如图(1),

Q 四边形ABCD 是正方形，

由旋转知: ,90,AD AD D D ''=∠=∠=?

60DAD OAP '∠=∠=?, DAP D AO '∴∠=∠.

APD AOD '∴???( ASA) . AP AO ∴=. 60OAP

∠=?Q ,

AOP ∴?是等边三角形.

(2)如图(2),

作AM DE ⊥于M ，作AN CB ⊥于N . Q 五边形ABCDE 是正五边形，

由旋转知:,108,60AE AE E E EAE OAP '''=∠=∠=?∠=∠=?, EAP E AO '∴∠=∠.

APE AOE '∴???( ASA).

OAE PAE '∴∠=∠.

在Rt AEM ?和Rt ABN ?中， 72AEM ABN AE AB

∠=∠=?

??

=?,

Rt AEM Rt ABN ∴???(AAS).

,EAM BAN AM AN ∴∠=∠=.

在Rt APM ?和Rt AON ?中，

AP AO

AM AN

=??

=?， Rt APM Rt AON ∴???(HL). PAM OAN ∴∠=∠. PAE OAB ∴∠=∠.

OAE OAB '∴∠=∠(等量代换). (3)由(1)有，APD AOD '???， DAP D AO '∴∠=∠

在AD O '?和ABO ?中，

AD AB

AO AO '=??

=?

, AD O ABO '∴???. D AO BAO '∴∠=∠.

由旋转，得60DAD '∠=?, 90DAB ∠=?Q ,

30D AB DAB DAD ''∴∠=∠-∠=?.

1

152

D AD D AB ''∴∠=∠=?.

同理可得，24E AO '∠=?,

故答案为:15°,24°. (4)如图(3),

Q 六边形ABCDEF 和六边形A B C D E F ''''''是正六边形， 120F F '∴∠=∠=?.

由旋转，得,AF AF EF E F '''==,

APF AE F ''∴???. PAF E AF ''∴∠=∠.

由旋转，得60,FAF AP AO '∠=?=.

60PAO FAO ∴∠=∠=?. PAO ∴?是等边三角形.

故答案为:是

(5)图n 中是正n 边形.同(3)的方法得，

[]180(2)18060260OAB n n n

?

∠=-??÷-?÷=?-

. 故答案：18060n

?

?-.

5. (2016·广东梅州)如图，在平面直角坐标系中，将ABO ?绕点A 顺时针旋转到11AB C ?的位置，点,B O 分别落在点11,B C 处，点1B 在x 轴上，再11AB C ?绕点1B 顺时针旋转到

12AB C ?的位置，点2C 在x 轴上，将12AB C ?绕点2C 顺时针旋转到222A B C ?的位置，点2

A 在x 轴上，依次进行下去.…若点3

(,0),(0,2)2

A B ，则点2016B 的坐标为 .

6. (2016·湖北荆州)阅读:我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”.例如，点M (1,3)的特征线有:1,3,2,4x y y x y x ===+=-+.

问题与探究:如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC , 点B 在第一象限, ,A C 分别在

x 轴和y 轴上，抛物线21

()4

y x m n =

-+，经过,B C 两点，顶点D 在正方形内部. (1)直接写出点(,)D m n 所有的特征线;

(2)若点D 有一条特征线是1y x =+，求此抛物线的解析式;

(3)点P 是AB 边上除点A 外的任意一点，连接OP ，将OAP ?沿着OP 折盛，点A 落在点A '的位置，当点A '在平行于坐标轴的D 点的特征线上时，满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP 上?

7. (2915·溯南郴州)阅读下面的材料:

如果函数()y f x =满足:对于自变量x 的取值范围内的任意12,x x .

(1)若12x x <，都有12()()f x f x <，则称()f x 是增函数; (2)若12x x <，都有12()()f x f x >，则称()f x 是减函数. 例题:证明函数2

()(0)f x x x

=

>是减函数. 证明:假设12x x <，且120,0x x >>,212112121212

222()22()()x x x x f x f x x x x x x x ---=

-==, 12x x >， 21120,0x x x x ∴->>.

2112

2()

0x x x x -∴

>,即12()()0f x f x ->.

12()()f x f x ∴>. ∴函数2

()(0)f x x x

=

>是减函数. 根据以上材料，解答下面的问题:

(1)函数2221111()(0),(1)1,(2)124

f x x f f x =

>====. 计算:(3)f = ,(4)f = , 猜想21

()(0)f x x x

=>是 函数(填“增”

或“减”);

(2)请仿照材料中的例题证明你的猜想.

【考情小结】解答本类题要仔细审题，理解题意所给的方法，达到学以致用的目的.例3主要考查了锐角三角函数关系知识，根据已知得出边,AC AB 的长是解题关键.举一反三考查了一道关于不等式的新型题和一道正误辨析型阅读理解题.提供的阅读材料中，在进行开方时，没有注意一个正数的平方根有两个.本题考查的知识点是用配方法解一元二次方程.

参考答案

1.(1)矩形或正方形;

(2)AC BD =，理由为:

连接,PD PC ，如图(1)所示:

PE Q 是AD 的垂直平分线，PF 是BC 的垂直平分线，

,PA PD PC PB ∴==,

,PAD PDA PBC PCB ∴∠=∠∠=∠, 2,2DPB PAD APC PBC ∴∠=∠∠=∠,

即PAD PBC ∠=∠， APC DPB ∴∠=∠.

APC DPB ∴???(SAS), AC BD ∴=; (3)分两种情况考虑:

(i)当AD B D BC ''∠=∠时，延长,AD CB '交于点E ， 如图(2)所示，

ED B EBD ''∴∠=∠, EB ED '∴=. 设EB ED x '==.

由勾股定理，得2

2

2

4(3)(4)x x ++=+, 解得 4.5x =.

过点D '作D F CE '⊥于F , //D F AC '∴.

ED F '∴?∽EAC ?.

D F ED AC A

E ''

∴

=

, 即 4.544 4.5

D F '=

+， 解得36

17D F '=.

11

(3 4.5)1522ACE S AC EC ?∴=?=?4?+=;

113681

221717

BED S BE D F '?'=?=?4.5?=,

则81415101717

ACE BED ACBD S S S ''??=-=-=四边形， (ii)当90D BC ACB '∠=∠=?时，过点D '作D E AC '⊥于点E ,

如图(3)所示，

∴四边形ECBD '是矩形. 3ED BC '∴==.

在Rt AED '?中，根据勾股定理，得22437AE -=

11373222

AED S AE D '?'∴=

?E =7=, (47)1237ECBD S CE CB '=?=?3=-矩形

3737

1231222

AED ECBD ACBD S S S '''?=+=

+-7=-矩形四边形， 2. B

3. D

4.答案不唯一，比如2

323y x x =-+和233y x x =

+.

5. (6 048,2)

6. (1)Q 点(,)D m n ,

∴点(,)D m n 的特征线是,,,x m y n y x n m y x m n ===+-=-++; (2)点D 有一条特征线是1y x =+, 1n m ∴-=.

1n m ∴=+.

Q 抛物线解析式为21

()4

y x m n =

-+， 21

()14

y x m m ∴=-++.

Q 四边形OABC 是正方形，且D 点为正方形的对称轴，(,)D m n ,

(2,2)B m m ∴.

21

(2)24

m m n m ∴-+=.

将1n m =+带入得到2,3m n ==.

(2,3)D ∴.

∴抛物线解析式为21

(2)34

y x =

-+. (3)如图，当点A '在平行于y 轴的D 点的特征线时，

根据题意，得(2,3)D ，

4,2OA OA OM '∴===,

60A OM '∴∠=?.

30A OP AOP '∴∠=∠=?,

23

33

MN ∴=

=. ∴抛物线需要向下平移的距离23923

333

-=-

=. 如图，当点A '在平行于x 轴的D 点的特征线时，设(,3)A p ',

则224,3,437OA OA OE EA ''====-47A F '∴=-

设(4,)(0)P c c >，

在Rt A FP '?

中，222

(4(3)c c +-=，

c ∴=

.

P ∴. ∴直线OP

解析式为43

y x -=

, 8(2,

3

N -∴. ∴

抛物线需要向下平移的距离81333

-+=-

=，

OP 上. 7.(1)

19 1

16

减 (2)假设12x x <，且120,0x x >>,

22211222221212

11

()()x x f x f x x x x x --=-=21212212()()x x x x x x +-=

. z} z2 zl.z2

12x x >， 222121120,0,0x x x x x x ∴+>->>.

212122

12()()

0x x x x x x +-∴

>，即12()()0f x f x ->.

12()()f x f x ∴>. ∴函数2

1

()(0)f x x x =

>是减函数.