2017年中考数学专题练习 探索研究类问题

探索研究类问题

1.

的矩形纸片称为标准纸，请思考解决下列问题： （1）将一张标准纸()ABCD AB BC <对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF 是标准纸.请给予证明.

（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片()ABCD AB BC <进行如下操作： 第一步：沿过A 点的直线折叠，使B 点落在AD 边上点F 处，折痕为AE （如图2甲）； 第二步：沿过D 点的直线折叠，使C 点落在AD 边上点N 处，折痕为DG （如图2乙），此时E 点恰好落在AE 边上的点M 处； 第三步：沿直线DM 折叠（如图2丙），此时点G 恰好与N 点重合.

请你探究：矩形纸片ABCD 是否是一张标准？请说明理由.

(3)不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸，现

有一张标准纸1ABCD AB BC ==，，，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探

索并直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长.

A C D B

图1

A E

F

B 图

3

A C D

B ……

第一次对开 第二次对开

第三次对开

N D A E C

B M G

N D A E C B M G F D A E C B 丙 乙 甲 图2

答案：解：（1）是标准纸.理由如下： 矩形ABCD 是标准纸,

∴BC

AB

= 由对开的含义知：1

2

AF BC =

. 212

AB AB AB AF BC BC ∴====·∴矩形纸片ABEF 也是标准纸.

（2）是标准纸.理由如下：设AB CD a == 由图形折叠可知：DN CD DG a === DG EM ⊥

由图形折叠可知：ABE AFE △≌△

1

452

DAE BAD ∴∠=∠=°

ADG ∴∠是等腰直角三角形

∴在Rt ADG △

中，AD =

AD AB ∴

==∴矩形纸片ABCD 是一张标准纸

∴第5∴第2012次对开后所得的标准纸的周长：

1005

12+

2. 如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于

H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．

（1）求证：APB BPH ∠=∠；

（2）当点P 在边AD 上移动时，PDH △的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

答案：解:（1）

PE BE =，

EBP EPB ∠=∠．

又90EPH EBC ∠=∠=°，

EPH EPB EBC EBP ∴∠-∠=∠-∠． 即PBC BPH ∠=∠． 又AD BC ∥， APB PBC ∴∠=∠． APB BPH ∠=∠．

（2）PHD △的周长不变，为定值8．

A

B C

D

E F G H P

A

B

C D

E

F

G

H P

（备用图）

A B

C

D E

F

G H P Q

A B

C D

E F

G H P

证明：过B 作BQ PH ⊥，垂足为Q ． 由（1）知APB BPH ∠=∠， 又

90A BQP ∠=∠=°，BP BP =，

ABP QBP ∴△≌△． AP QP AB BQ ∴==，．

又

AB BC =，

BC BQ ∴=．

又

90C BQH ∠=∠=°，BH BH =，

BCH BQH ∴△≌△． CH QH ∴=．

PHD ∴△的周长为：

8PD DH PH AP PD DH HC AD CD ++=+++=+=. ） （3）过F 作FM AB ⊥，垂足为M ，则FM BC AB ==. 又EF 为折痕，

EF BP ∴⊥.

90EFM MEF ABP BEF ∴∠=∠=∠+∠=°， EFM ABP ∴∠=∠．

又90A EMF ∠=∠=°， EFM BPA ∴△≌△． EM AP x ∴==．

∴在Rt APE △中，2

2

2

(4)BE x BE -+=．

解得，2

28

x BE =+．

A

B

C

D

E F G H P

M

2

28

x CF BE EM x ∴=-=+-．

又四边形PEFG 与四边形BEFC 全等，

∴2

11()(4)4224

x S BE CF BC x =+=+

-?． 即：2

1282

S x x =-+． 配方得，2

1(2)62

S x =-+，∴当2x =时，S 有最小值6．

3. (20如图1，在正方形ABCD 中，点M N 、分别在AD CD 、上，若45MBN ∠=°，易证MN AM CN =+． （1）如图2，在梯形ABCD 中，BC AD ∥，AB BC CD ==，点M N 、分别在AD CD 、上，若1

2

MBN ABC ∠=

∠，试探究线段MN 、AM 、CN 有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．

（2）如图3，在四边形ABCD 中，AB BC =，180ABC ADC ∠+∠=°，点M N 、分别在DA 、CD 的延长线上，若1

2

MBN ABC ∠=

∠，试探究线段MN 、AM 、CN 又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．

答案：解：（1）图2，猜想：MN AM CN =+ 证明：延长NC 至点F ，使CF AM =，连接BF

四边形ABCD 是等腰梯形 DAB ADC ∴∠=∠ 又AD CB ∥

ADC BCF ∴∠=∠ BCF DAB ∴∠=∠

又AB BC = AM CF = AMB CFB ∴△≌△

23∴∠=∠ BM BF =

1

2

MBN ABC ∠=∠

12MBN ∴∠+∠=∠ 13MBN ∴∠+∠=∠ 即MBN NBF ∠=∠

又

BN BN BM BF ==

MBN FBN ∴△≌△ MN NF ∴=

NF NC CF =+ MN AM CN ∴=+

（2）图3 猜想：MN CN AM =-

4. 如图，半径分别为()0m n m n <<，的两圆12O O ，相交于P Q ，两点，且点()41P ，，

两圆同时与两坐标轴相切，1O 与x 轴，y 轴分别切于点M ，点N ；2O 与x 轴，y 轴

分别切于点R ，点H .

（1）求两圆的圆心12O O ，所在直线的解析式； （2）求两圆的圆心12O O ，之间的距离d ； （3）令四边形12PO QO 的面积=1S ， 四边形12RMO O 的面积=2S .

试探究：是否存在一条经过P Q ，两点、开口向下且在x

的抛

物线？若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.

答案：解：（1）方法一：由于两圆同时与两坐标轴相切，所以两圆圆心到两坐标轴的距离相等，又两圆圆心均在第一象限，故两圆圆心均在第一、三象限的角平分线上，从而所求的直线的解析式为：y x =

方法二：设两圆心12O O ，所在的直线的解析式是：y kx b =+ 由题意可知：()()()12O m m O n n m n <，，，

∴km b m kn b n +=??+=?

∴1

k b =??

=?

故所求的直线方程为：.y x = （2）方法一：

∵()()()12O m m O n n m n <，，， ，两圆12O O ，的半径分别为m n ，

∴12O P m O P n ==，

则由题意结合勾股定理可得：()()()()22

2222

1414m m m n n n

?-+-=?

?-+-=??

解之得：55m n =-=+

故两圆圆心距：128d O O n ==-=

=

方法二：（构造一元二次方程，根据韦达定理求解）

（3）假设存在这样的抛物线，不妨设其方程为：()20y ax bx c a =++< 因为点Q 与点()41P ，关于直线：y x =对称， 根据三角形全等的知识可得点()14Q ，

由对称性结合勾股定理可以求出：PQ =在四边形12PO QO 中，由于两对角线12PQ O O ，互相垂直

故11211

822

S PQ

O O =

=?= ()()21

2

S m n n m =

+-=1=

又设抛物线与x 轴的两个交点的坐标为：()()12x x ，0，，0，

则1

21x x -= 从而()

()()

12

1641

14

23a b c a b c x x ?++=??

++=???-=? 由（1），（2）可得

1554b a c a a =--??

=+? 又1212b x x a c

x x a ?

+=-????=??代入第（3）可得

2

155414a a a a --+??

=-- ?

?

? 整理可得：2

81010a a -+= 解得：508

a ±=

> 这与题设0a <相矛盾. 故这样的抛物线不存在.

5. 已知，如图①，60MON ∠=°，点A B ，为射线OM ，ON 上的动点（点A ，B 不与点O 重合）

，且AB =MON ∠的内部、AOB △的外部有一点P ，且AP BP =，

120APB ∠=°． （1）求AP 的长；

（2）求证：点P 在MON ∠的平分线上．

（3）如图②，点C D E F ，，，分别是四边形AOBP 的边AO ，OB ，BP ，PA 的中点，连接CD ，DE ，EF ，FC ，OP ． ①当AB OP ⊥时，请直接．．

写出四边形CDEF 的周长的值； ②若四边形CDEF 的周长用t 表示，请直接．．写出t 的取值范围．

答案：解：（1）过点P 作PQ AB ⊥于点Q

120PA PB APB AB ===，°

11

22AQ AB ∴=

=?= 11

1206022

APQ APB ∠=∠=?=°°

在Rt APQ △中，sin AQ

APQ AP

∠=

4sin sin 602

AQ AP APQ ∴=

===∠°

（2）过点P 分别作PS OM ⊥于点S ，PT ON ⊥于点T 90OSP OTP ∴∠=∠=° 在四边形OSPT 中， 360SPT OSP SOT OTP ∠=-∠-∠-∠° 360906090120=---=°°°°°

120APB SPT ∴∠=∠=° APS BPT ∴∠=∠ 又90ASP BTP ∠=∠=° AP BP = APS BPT ∴△∽△ PS PT ∴= ∴点P 在MON ∠的平分线上

（3）①8+②48t +<+≤

6.按照如图所示的程序计算：

若输入8.6x =，则m = ．

答案：8

7. 如图，在平行四边形ABCD 中，5AB =，10BC =，F 为AD 中点，CE AB ⊥于点E ， 设(6090)ABC a x ∠=<°≤°．

（1）当60a =°时，求CE 的长； （2）当6090a <<°°

①是否存在正整数k ，使得EFD k AEF ∠=∠？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．

②连接CF ，当2

2

CE CF -取最大值时，求tan DCF ∠的值.

答案：解：（1）在Rt BEC △中，90BEC ∠=°，10BC =，当

60α=°时，

906030

B C E ∠=-=°°°，所以1

52

BE BC ==．由勾股定理可得：

EC =；

（2分）

（2）①存在．如图，取BC 的中点M ，连接FM 交EC 于点N ，连接FC ，

平行四边形ABCD 中，F M 、分别为AD BC 、的中点， 5AF BM AF BM ∴==∥，； 5FD MC FD MC ==∥，，

∴四边形ABMF 、四边形FMCD 均为平行四边形． 又5AB CD FD ===， ∴四边形FMCD 为菱形， 23∴∠=∠．

CE AB FM AB M ⊥，∥，为BC 的中点， ∴FM 为EC 的垂直平分线． 21EF FC ∴=∠=∠，， 31EFD ∴∠=∠． 又31AEF ∠=∠， 3EFD AEF ∴∠=∠． 所以3k =；

②如图，由①可知，MN BE ∥，

1

2MN CM BE BC ∴

==， 2BE MN ∴=．

设MN x =，则2BE x =，5FN x =-； 在Rt EBC △中，2222

1004CE BC BE x =-=-，

在Rt FNC △中，2

2

2

2

2

2

(5)(5)5010CF FN NC x x x =+=-+-=-，

2221004(5010)CE CF x x ∴-=---

2

41050x x =-++ 2

5225

4()4

4

x =--+． 故当54

x =

时，22

CE CF -有最大值．

CN ∴==；515

544

FN =-=．

又

2FCD ∠=∠，

15tan tan 24FCD ∴∠=∠=

=．

8. 已知a 、b

是正实数，那么，2

a b +≥

（1）(3分)

由20-≥

恒成立，说明2

a b +≥

（2）(3分)填空：已知a 、b 、c

是正实数，由

2a b +≥3

a b c ++ ≥

也恒成立；

（3）(2分)如图，已知AB 是直径，点P 是弧上异于点A 和点B 的一点，PC ⊥AB ，垂足为C ，

AC ＝a ，ＢC ＝b

，由此图说明2

a b +≥

答案：1

）由20≥

得，0a b -≥………1分 于是

a b +≥2分

∴2

a b +≥

3分

（26分 （3）连结OP ，

∵AB 是直径，∴∠APB =90°，又∵PC ⊥AB ，∴Rt △APC ∽Rt △PBC ，∴

PC CB AC PC

=，

2PC AC CB ab =?=，PC =7

分

又∵2

a b PO +=，由垂线段最短，得PO PC ≥，∴2a b

+≥8分