高中数学竞赛教案集
第六章
不等式
第一教时
教材：不等式、不等式的综合性质
目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。 过程：
一、引入新课
1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。 2．过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题 二、几个与不等式有关的名称 （例略） 1．“同向不等式与异向不等式” 2．“绝对不等式与矛盾不等式” 三、不等式的一个等价关系（充要条件） 1．从实数与数轴上的点一一对应谈起
0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?
2．应用：例一 比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小
解：（取差）)
5)(3(-+a a )4)(2(-+a a
07)82()152(2
2
<-=-----=a a a a
∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a 例二 已知x
0, 比较2
2)1(+x 与12
4
++x x 的大小
解：（取差）2
2
)
1(+x )1(24++x x
2
2
4
2
4
112x x x x x =---++=
∵0≠x ∴02>x 从而2
2)1(+x >124++x x
小结：步骤：作差—变形—判断—结论
例三 比较大小1．
2
31-和10
解：∵
232
31+=-
∵02524562)10()23(22<-=-=-+
∴
2
31-<10
2．
a b 和m
a m
b ++ ),,(+∈R m b a 解：（取差）
a
b m a m b ++)
()
(m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时
a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b a m b ++ 3．设0>a 且1≠a ，0>t 比较t a log 21与2 1 log +t a 的大小 解：02 )1(212 ≥-=-+t t t ∴t t ≥+21 当1>a 时 t a log 21≤21log +t a ；当10< 1 log +t a 四、不等式的性质 1．性质1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性） 证：∵b a > ∴0>-b a 由正数的相反数是负数 0)(<--b a 0<-a b a b < 2．性质2：如果b a >，c b > 那么c a >（传递性） 证：∵b a >，c b > ∴0>-b a ，0>-c b ∵两个正数的和仍是正数 ∴+-)(b a 0)(>-c b 0>-c a ∴c a > 由对称性、性质2可以表示为如果b c <且a b <那么a c < 五、小结：1．不等式的概念 2．一个充要条件 3．性质1、2 六、作业：P5练习 P8 习题6.1 1—3 补充题：1．若142=+y x ，比较2 2y x +与 20 1 的大小 解：2 41y x -= 2 2y x +201=……=05 )15(2 ≥-y ∴22y x +≥201 2．比较2sin 与sin2 的大小(0<<2) 略解：2sin sin2 =2sin (1cos ) 当(0,)时2sin (1cos )≥0 2sin ≥sin2 当 ( ,2 )时2sin (1 cos )<0 2sin 3．设0>a 且1≠a 比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小 解：)1()1()1(223-=+-+a a a a 当10< 3+<+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a 当1>a 时112 3+>+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a ∴总有)1(log 3+a a >)1(log 2+a a 第二教时 教材：不等式基本性质（续完） 目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。 过程： 一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2 二、1．性质3：如果b a >，那么c b c a +>+ （加法单调性）反之亦然 证：∵0)()(>-=+-+b a c b c a ∴c b c a +>+ 从而可得移项法则：b c a b c b b a c b a ->?-+>-++?>+)()( 推论：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+ （相加法则） 证： d b c a d b c b d c c b c a b a +>+?? ?? +>+?>+>+?> 推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->- （相减法则） 证：∵d c < ∴d c ->- d b c a d c b a ->-??? ?->-> 或证：)()()()(d c b a d b c a ---=--- d c b a <> ?? ?? <-∴>-∴00d c b a 上式>0 ……… 2．性质4：如果b a >且0>c , 那么bc ac >； 如果b a >且0 根据同号相乘得正，异号相乘得负，得： 0>c 时0)(>-c b a 即：bc ac > 0 推论1 如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则） 证： bd ac bd bc b d c bc ac c b a >?? ?? >?>>>?>>0,0, 推论1’（补充）如果0>>b a 且d c <<0，那么 d b c a >（相除法则） 证：∵0>>c d ∴??? ? ??>>>>0011b a d c d b c a > 推论2 如果0>>b a , 那么n n b a > )1(>∈n N n 且 3．性质5：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且 证：（反证法）假设n n b a ≤ 则：若 b a b a b a b a n n n n =?= 矛盾 ∴n n b a > 三、小结：五个性质及其推论 口答P8 练习1、2 习题6.1 4 四、作业 P8 练习3 习题6.1 5、6 五、供选用的例题（或作业） 1．已知0>>b a ，0< d b e c a e ->- 证：? ?? ???<-< -?>-<-????<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->- 2．若R b a ∈,，求不等式b a b a 1 1, >>同时成立的条件 解：00011 ???<-?>>-=-ab a b b a ab a b b a 3．设R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证 01 11>++c b a 证：∵0=++ c b a ∴2 22c b a ++0222=+++bc ac ab 又∵0≠abc ∴2 22c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab ∵ abc ca bc ab c b a ++=++111 0 11>++c b a 4．||||,0b a ab >> 比较a 1与b 1 的大小 解：a 1b 1ab a b -= 当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a > 0<-a b 0>ab ∴0<-ab a b ∴a 1 1 当0,0<即b a < 0>-a b 0>ab ∴ 0>-ab a b ∴a 1>b 1 5．若0,>b a 求证：a b a b >?>1 解： 01>-=-a a b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a < 0>-?>a b a b ∵0>a ∴01>-=-a b a a b ∴1>a b 6．若0,0<<>>d c b a 求证： d b c a ->-π πααsin sin log log 证：∵1sin 0<<α >1 ∴0log sin <πα 又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->- ∴ d b c a -<-1 1 ∴原式成立 第三教时 教材：算术平均数与几何平均数 目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。 过程： 一、 定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 22 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） 证明：2 22)(2b a ab b a -=-+ ?? ??>-≠=-=0)(0)(2 2b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 22 2≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈, 2．强调取“=”的条件b a = 二、定理：如果b a ,是正数，那么 ab b a ≥+2 （当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+ 即： ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2 注意：1．这个定理适用的范围：+ ∈R a 2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 三、推广： 定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 33 3 3 ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”） 证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++ )(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++= ])()())[((2 1 222a c c b b a c b a -+-+-++= ∵+ ∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 33 3 3 ≥++ 指出：这里+ ∈R c b a ,, ∵0<++c b a 就不能保证 推论：如果+ ∈R c b a ,,，那么 3 3 abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”） 证明：3333333333)()()(c b a c b a ??≥++?33abc c b a ≥++ 3 3 abc c b a ≥++ 四、关于“平均数”的概念 1．如果+ + ∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则： n a a a n +++ 21叫做这n 个正数的算术平均数 n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数 2．点题：算术平均数与几何平均数 3．基本不等式： n a a a n +++ 21≥n n a a a 21 n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,* 这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略） 语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 4． ab b a ≥+2 的几何解释： 以b a +为直径作圆，在直径AB 上取一点C ， 过C 作弦DD ’ AB 则ab CB CA CD =?=2 从而ab CD = 而半径 ab CD b a =≥+2 五、例一 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2 2 2 证：∵ab b a 22 2 >+ bc c b 22 2 >= ca a c 22 2 >+ 以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(22 22++>++ ∴ca bc ab c b a ++>++2 2 2 六、小结：算术平均数、几何平均数的概念 基本不等式（即平均不等式） 七、作业：P11-12 练习1、2 P12 习题5.2 1--3 补充：1．已知32,86<<< a b a b a , ,-+的范围 (8,11) (3,6) (2,4) 2．R x ∈试比较 124 +x 与2 3 2x x +（作差124 +x >2 3 2x x +） 3．求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++ 证：)(222 2 b a b a +≥ + )(2222c b c b +≥+ )(2 222ca a c ≥+ 三式相加化简即得 第四教时 教材：极值定理 目的：要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步应用。 过程： 一、复习：算术平均数与几何平均数定义，平均不等式 二、 若+ ∈R y x ,，设2 ),(2 2y x y x Q += 2),(y x y x A += xy y x G =),( y x y x H 1 += 12),( 求证：),(),(),(),(y x H y x G y x A y x Q ≥≥≥ 加权平均；算术平均；几何平均；调和平均 证：∵2 442)2(22222222y x y x y x xy y x y x +=+++≤++=+ ∴2 222y x y x +≥ +即：),(),(y x A y x Q ≥（俗称幂平均不等式） 由平均不等式),(),(y x G y x A ≥ ),(222),(y x G xy xy xy y x xy y x H ==≤+= 即：),(),(y x H y x G ≥ 综上所述：),(),(),(),(y x H y x G y x A y x Q ≥≥≥ 例一、若+ ∈=+R b a b a ,,1 求证2 25)1()1(22≥+++ b b a a 证：由幂平均不等式：2 )11()1()1(2 22b b a a b b a a +++≥+++ 2 252)23(2)3(2)1(22 2= +≥++=++++=b a a b b b a a b a 三、 极值定理 已知y x ,都是正数，求证： 1 如果积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值p 2 2 如果和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值 2 4 1s 证：∵+∈R y x , ∴ xy y x ≥+2 1 当xy p = (定值)时，p y x ≥+2 ∴y x +p 2≥ ∵上式当y x =时取“=” ∴当y x =时有=+min )(y x p 2 2 当s y x =+ (定值)时，2s xy ≤ ∴24 1s xy ≤ ∵上式当y x =时取“=” ∴当y x =时有2 max 4 1)(s xy = 注意强调：1 最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值） 2 用极值定理求最值的三个必要条件： 一“正”、二“定”、三“相等” 四、 例题 1．证明下列各题： ⑴ 210log lg ≥+x x )1(>x 证：∵1>x ∴0lg >x 010log >x 于是210lg lg 210log lg =≥+x x x x ⑵若上题改成10< 1 ≤ ab 解：若+ ∈R b a ,则显然有4 10≤ 1≤ ab 2．①求函数)1(2 x x y -=的最大值)10(< x x y -=的最大值)10(< 解：①∵10< x x -=12即3 2=x 时 27 4)3122(4)1(2243= -++?≤-??=x x x x x x y 即32=x 时274max =y ②∵10< <- ∴)1)(1(22 1 )1(2222 222x x x x x y --??= -= 27 4)3)1()1(2(213222=-+-+≤x x x ∴当33,122 2 = -=x x x 时274max 2 =y 9 32max =y 3．若1->x ，则x 为何值时11 ++ x x 有最小值，最小值为几？ 解：∵1->x ∴01>+x 01 1 >+x ∴11++ x x =11211 1)1(21111=-=-+?+≥-+++x x x x 当且仅当111+= +x x 即0=x 时1)1 1 (min =++ x x 五、 小结：1．四大平均值之间的关系及其证明 2．极值定理及三要素 六、 作业：P12 练习3、4 习题6.2 4、5、6 补充：下列函数中x 取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？ 1 )32(x x y -= 31= x 时3 1 max =y 2 x x y 451 41-+ -= 2,1min -==y x 3 0 -= 61,2 6 min +=- =y x 第五教时 教材：极值定理的应用 目的：要求学生更熟悉基本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。 过程： 一、 复习：基本不等式、极值定理 二、 例题：1．求函数)0(,3 22 >+ =x x x y 的最大值，下列解法是否正确？为什么？ 解一： 33222 432 12311232=??≥++=+ =x x x x x x x x y ∴3min 43=y 解二：x x x x x y 623223222 =?≥+=当x x 322=即2123 =x 时 633 min 324212322 12 62==? =y 答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在x 使得x x x 2 122 ==；解二错在x 62不是定值（常数） 正确的解法是：333222 362 32932323232323232==??≥++=+ =x x x x x x x x y 当且仅当x x 2322 =即2 6 3 =x 时3min 3623=y 2．若14<<-x ，求2 22 22-+-x x x 的最值 解：]) 1(1)1([21]11)1[(2111)1(21222222--+---=-+-=-+-?=-+-x x x x x x x x x ∵14<<-x ∴0)1(>--x 0) 1(1 >--x 从而2])1(1)1([≥--+ --x x 1]) 1(1 )1([21-≤--+---x x 即1)2 22 2( min 2-=-+-x x x 3．设+ ∈R x 且12 2 2 =+y x ，求21y x +的最大值 解：∵0>x ∴)2 21(212 2 2 y x y x +?=+ 又2 321)2()221(22 22 =++=++y x y x ∴4 2 3)2321(212 =?≤ +y x 即4 2 3)1(max 2 = +y x 4．已知+∈R y x b a ,,,且 1=+y b x a ，求y x +的最小值 解：y x +y xb x ay b a y b x a y x y x + ++=+ +=?+=))((1)( 2)(2 b a y xb x ay b a +=?++≥ 当且仅当 y xb x ay =即b a y x =时2min )()(b a y x +=+ 三、关于应用题 1．P11例（即本章开头提出的问题）（略） 2．将一块边长为a 的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？ 解：设剪去的小正方形的边长为x 则其容积为)2 0(,)2(2 a x x a x V < <-= )2()2(44 1 x a x a x V -?-??= 27 2]3)2()2(4[4133a x a x a x =-+-+≤ 当且仅当x a x 24-=即6 a x = 时取“=” 即当剪去的小正方形的边长为6a 时，铁盒的容积为27 23 a 四、 作业：P12 练习4 习题6.2 7 补充： 1．求下列函数的最值： 1 )(,4 22 +∈+ =R x x x y (min=6) 2 )20(,)2(2 a x x a x y <<-= (27 2max 3 a =) 2．1 0>x 时求236x x y += 的最小值，x x y 362+=的最小值)429 ,9(3 2 设]27,91[∈x ，求)3(log 27 log 33 x x y ?=的最大值(5) 3 若10< 32,274( =x 4 若+∈R y x ,且12=+y x ，求 y x 1 1+的最小值)223(+ 3．若0>>b a ，求证：) (1 b a b a -+ 的最小值为3 4．制作一个容积为3 16m π的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和 高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）)4,2(m h m R == 第六教时 教材：不等式证明一（比较法） 目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作 差、作商比较法证明不等式。 过程： 一、 复习： 1．不等式的一个等价命题 2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论 二、作差法：（P13—14） 1． 求证：x 2 + 3 > 3x 证：∵(x 2 + 3) 3x = 04 3 )2 3(3)2 3()2 3 (32 2 2 2 >+ -=+-+-x x x ∴x 2 + 3 > 3x 2． 已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证： b a m b m a >++ 证： ) () ()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a 0 , b a > 0 ∴ 0) () (>+-m b b a b m 即： b a m b m a >++ 变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a < b ”这个条件，应如何判断？ 3． 已知a , b 都是正数，并且a b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2 证：(a 5 + b 5 ) (a 2b 3 + a 3b 2 ) = ( a 5 a 3 b 2 ) + (b 5 a 2 b 3 ) = a 3 (a 2 b 2 ) b 3 (a 2 b 2) = (a 2 b 2 ) (a 3 b 3 ) = (a + b )(a b )2 (a 2 + ab + b 2 ) ∵a , b 都是正数，∴a + b , a 2 + ab + b 2 > 0 又∵a b ，∴(a b )2 > 0 ∴(a + b )(a b )2(a 2 + ab + b 2 ) > 0 即：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2 4． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行 走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？ 解：设从出发地到指定地点的路程为S ， 甲乙两人走完全程所需时间分别是t 1, t 2， 则： 21122,22t n S m S S n t m t =+=+ 可得：mn n m S t n m S t 2)(,221+=+= ∴) (2)()(2])(4[2)(22 221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +-- =++-=+-+=- ∵S , m , n 都是正数，且m n ，∴t 1 t 2 < 0 即：t 1 < t 2 从而：甲先到到达指定地点。 变式：若m = n ，结果会怎样？ 三、作商法 5． 设a , b R + ，求证：a b b a b a b a ab b a ≥≥+2 )( 证：作商： 2 2 2 2 )() (b a a b b a b a b a b a b a ab b a ---+== 当a = b 时，1) (2 =-b a b a 当a > b > 0时，1)(,02, 12 >>->-b a b a b a b a 当b > a > 0时， 1)(,02, 102 ><-<<-b a b a b a b a ∴2 ) (b a b a ab b a +≥ （其余部分布置作业） 作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。 四、小结：作差、作商 五、作业： P15 练习 P18 习题6.3 1—4 第七教时 教材：不等式证明二（比较法、综合法） 目的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。 过程： 一、比较法： a) 复习：比较法，依据、步骤 比商法，依据、步骤、适用题型 b) 例一、证明：3 42 2+-=x x y 在),2[+∞是增函数。 证：设2≤x 1 43 42121121 212222*********-+-+--+-+-===x x x x x x x x x x x x y y ∵x 2 x 1 > 0, x 1 + x 2 4 > 0 ∴ 1202 1 =>y y 又∵y 1 > 0， ∴y 1 > y 2 ∴3 42 2+-=x x y 在),2[+∞是增函数 二、 综合法： 定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。 i. 已知a , b , c 是不全相等的正数， 求证：a (b 2 + c 2 ) + b (c 2 + a 2 ) + c (a 2 + b 2 ) > 6abc 证：∵b 2 + c 2 ≥ 2bc , a > 0 , ∴a (b 2 + c 2 ) ≥ 2abc 同理：b (c 2 + a 2 ) ≥ 2abc , c (a 2 + b 2 ) ≥ 2abc ∴a (b 2 + c 2 ) + b (c 2 + a 2 ) + c (a 2 + b 2 ) ≥ 6abc 当且仅当b =c ,c =a ,a =b 时取等号，而a , b , c 是不全相等的正数 ∴a (b 2 + c 2 ) + b (c 2 + a 2 ) + c (a 2 + b 2 ) > 6abc ii. 设a , b , c R ， 1 求证：)(2 2 2 2 b a b a +≥ + 2 求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++ 3 若a + b = 1, 求证：22 1 21≤+++ b a 证：1 ∵0)2(2222≥+≥+b a b a ∴2 |2|222b a b a b a +≥+≥+ ∴)(2 2 2 2b a b a +≥ + 2 同理：)(222 2 c b c b +≥ +， )(2 222a c a c +≥+ 三式相加：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++ 3 由幂平均不等式： 12 2 2) 1(2 ) 21 ()21()2 1 21(21==++=+++≤+++b a b a b a ∴22 1 21≤+++ b a iii. a , b , c R , 求证：1 9)1 11)((≥++++c b a c b a 22 9 )111)((≥+++++++a c c b b a c b a 3 2 3≥+++++b a c a c b c b a 证：1 法一：33abc c b a ≥++, 3 1 3111abc c b a ≥++, 两式相乘即得。 法二：左边)()()(3c b b c c a a c b a a b c c b a b c b a a c b a ++++++=++++++++= ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 2 ∵ 3 ))()((2 3222a c c b b a a c c b b a +++≥+++++ 3 ) )()((1 3111a c c b b a a c c b b a +++≥+++++ 两式相乘即得 3 由上题：2 9 )111)( (≥+++++++a c c b b a c b a ∴29 111≥++++++++ a c b c b a b a c 即： 2 3≥+++++b a c a c b c b a 三、小结：综合法 四、作业： P15—16 练习 1，2 P18 习题6.3 1，2，3 补充： 1． 已知a , b R + 且a b ，求证：21 212 12212)()(b a a b b a +>+（取差） 2． 设R ，x , y R ，求证：y x y x + α 2 2 cos sin （取商） 3． 已知a , b R + ，求证：2 )2(3 33b a b a +≤+ 证：∵a , b R + ∴0)(2≥-b a ∴ab b ab a ≥+-22 ∴)())((2233b a ab b ab a b a b a +≥+-+=+ ∴)(3)(333b a ab b a +≥+ ∴33333)()(3)(4b a b b a ab a b a +=+++≥+ ∴2 )2(3 33b a b a +≤+ 4． 设a >0, b >0，且a + b = 1，求证：2 25 )1()1(22≥+++ b b a a 证：∵212=+≤b a ab ∴41≤ab ∴41 ≥ab ∴2 222211122112)1()1(?? ???? ?? ++=?????? ??+++≥+++b a b b a a b b a a 2252412211221222 2 = ??? ??+≥????? ? ?? +=?????? ??++=ab ab b a 第八教时 教材：不等式证明三（分析法） 目的：要求学生学会用分析法证明不等式。 过程： 一、 介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定 这些充分条件是否具备的问题。 二、 例一、求证：5273<+ 证： ∵052,073>>+ 综合法： 只需证明：22)52()73(<+ ∵21 < 25 展开得： 2021210<+ ∴521< 即： 10212< ∴10212< ∴ 521< ∴2021210<+ 即： 21 < 25（显然成立） ∴22)52()73(<+ ∴5273<+ ∴5273<+ 例二、设x > 0，y > 0，证明不等式：3 133 2 12 2 )()(y x y x +>+ 证一：（分析法）所证不等式即：233322)()(y x y x +>+ 即：33662222662)(3y x y x y x y x y x ++>+++ 即：3322222)(3y x y x y x >+ 只需证：xy y x 322 2 > + ∵xy xy y x 3 222 2>≥+成立 ∴ 3 1332122)()(y x y x +>+ 证二：（综合法）∵3 3 6 6 2 2 2 2 6 6 3 22 6)(3)(y x y x y x y x y x y x ++≥+++=+ 2 33 3 3 6 6 )(2y x y x y x +=++> ∵x > 0，y > 0， ∴3 133 2 12 2 )()(y x y x +>+ 例三、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0 证一：（综合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c )2 = 0 展开得：2 2 22c b a ca bc ab ++-=++ ∴ab + bc + ca ≤ 0 证二：（分析法）要证ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0 故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c )2 即证：02 2 2 ≥+++++ca bc ab c b a 即：0])()()[(2 12 22≥+++++a c c b b a （显然） ∴原式成立 证三：∵a + b + c = 0 ∴ c = a + b ∴ab + bc + ca = ab + (a + b )c = ab (a + b )2 = a 2 b 2 ab = 0]4 3)2[(2 2≤+ +-b b a 例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么 截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。 证：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为π2l ，截面积为2 2??? ??ππl ， 周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2 4?? ? ??l 问题只需证：22??? ??ππl > 2 4?? ? ??l 即证：2 24π πl > 162 l 两边同乘 2 4l ，得：41 1>π 因此只需证：4 > （显然成立） ∴ 2 2??? ??ππl > 2 4?? ? ??l 也可用比较法（取商）证，也不困难。 三、 作业： P18 练习 1—3 及 习题6.3 余下部分 补充作业： 1． 已知0 < < ，证明：2 cot 2sin 2θ≤θ 略证：只需证：θ θ +≤ θθsin cos 1cos sin 4 ∵0 < < ∴sin > 0 故只需证：θ+≤θθcos 1cos sin 42 即证：θ+≤θθ-θ+cos 1cos )cos 1)(cos 1(4 ∵1 + cos > 0 只需证：1cos )cos 1(4≤θθ- 即只需证：01cos 4cos 42 ≥+θ-θ 即：0)1cos 2(2≥-θ （成立） 2． 已知a > b > 0，为锐角，求证：22tan sec b a b a -≥θ-θ 略证：只需证：222)tan sec (b a b a -≥θ-θ 即：0)sec tan (sec tan 2sec tan 22222≥θ-θ=θθ-θ+θb a ab b a （成立） 3． 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：S ab b a c 3442 2 2 ≥+-- 略证：正弦、余弦定理代入得：C ab ab C ab sin 324cos 2≥+- 即证：C C sin 32cos 2≥- 即：2cos sin 3≤+C C 即证：1)6 sin(≤π + C （成立） 第九教时 教材：不等式证明四（换元法） 目的：增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问题。 过程： 一、 提出课题：（换元法） 二、 三角换元： 例一、求证：2 1 1212≤-≤- x x 证一：（综合法） ∵212)1()1(1|||1|2 222 222=? ? ????-+≤-=-=-x x x x x x x x 即：21|1|2≤-x x ∴2 11212 ≤-≤-x x 证二：（换元法） ∵11≤≤-x ∴令 x = cos , [0, ] 则θ=θθ=-2sin 21sin cos 12 x x ∵1sin 1≤θ≤- ∴2 11212 ≤-≤-x x 例二、已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证： 2231 1+≥+y x 证一：22323)2(11+≥++=+??? ? ??+x y y x y x y x 即：22311+≥+y x 证二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可设α=α= 22 cos ,sin 2 1y x 2018年上海市高三数学竞赛试题 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是． 2．设函数()f x 是R R →的函数，满足对一切R x ∈，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为()f x =． 3．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则ABF ?面积的最大值为． 4．设集合111111{,,,,,}2711131532 A =的非空子集为1263,,,A A A ，记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i = （单元数集的元素积是这个元素本身），则1263p p p +++ =． 5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是． 6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ， 则M m -=． 7．在三棱锥P ABC -中，已知1,AB AC PB PC ===则22ABC PBC S S ??+的取值范围是． 8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为21(,)4k k k A a a ，半径为21(1,2,,2018)4k a k = ，这里12201812018a a a >>>= ，且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017)k = ，则1a =． 二、解答题（本大题满分60分，每小题15分） 9．已知三个有限集合,,A B C 满足A B C =? ． （1）求证：1()2 A B C A B C ≥++ （这里，X 表示有限集合X 的元素个数）； （2）举例说明（1）中的等号可能成立． 10．求不定方程25x y z w +++=的满足x y <的正整数解(,,,)x y z w 的组数． 11．设,,, abcd 是实数，求2222a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d +++++++++++++的 最小值． 高中数学竞赛校本课程 一、课程目标 数学是研究空间形式和数量关系的学科，也是研究模式与秩序的一门学科。数学本身的特点决定了它作为科学基础的地位，中学数学的内容与其中蕴含的数学思想方法，尤其是通过数学学习培养的思考问题、解决问题的数学能力将在更深一层次的科学研究中大有作为。 1、夯实学生数学基础，使学生熟练掌握各种数学基本技能；全面提高学生演绎推理、直觉猜想、归纳抽象、体系构建、算法设计等诸多方面的能力，并在此基础上培养学生学习新的数学知识的能力，数学地提出、分析、解决问题的能力，数学表达与交流的能力；发展学生数学应用意识与数学创新意识。 2、努力扩展学生的数学视野，全面渗透研究性学习，激发学生学习数学的兴趣，使学生能欣赏数学的美学魅力，认识数学的价值，崇尚数学的思考，培养从事科学研究的精神与方法。 3、多角度衔接高等教育，大胆引入现代数学基本理念，为学生继续从事高深科学领域的学习奠定所必需的数学基础。 二、课程设计理念与课程内容特色 本课程始终围绕学生群体设计，从他们的学习与发展的实际学情为基本出发点。课程的内容的选择是严格的，它具有鲜明的针对性，能体现数学教学的特点。本课程设计向要突现以下几点： 1、注重发展学生的数学综合能力 “学以致用”，数学知识的学习必须进入运用的层次，接受实践的考验。20世纪下半叶以来，数学的最大发展是应用，这也对数学教学产生了深刻的影响。本课程在数学知识的理论应用与实践运用上大大加强，数学的融会贯通与“数学建模”成为主体；加强了数学各分支间的结合，以重要的数学思想方法来贯穿数学学习。 2、重视数学思想与数学方法养成的创新学习理念 传授数学知识不是数学教学的重点，‘授人以鱼，不若授之以渔’。引导学生掌握解决问题的科学的数学思想与数学方法是本课程的核心。课程不完全以知识系统为主线，很多例题与练习是为了凸现其中的蕴含的数学思想方法而设计。本课程试图通过数学思想方法的养成为学生形成正确的，积极主动的学习方式创造有利条件，为学生提供“提出问题，探索研究，实践应用”的空间，帮助学生形成独立思考、自主钻研的习惯，培养学生的自主能力，提高理性的数学思维，养成勇于创新的科学理念。 3、拓展数学视野，形成开放体系，努力增强时代感 由于本课程的学习对象为具备教好的数学基础与学习能力的学生，因此在内容上必须有一定的深度与广度，要能够印发学生的思考，要有新的知识内容与视角，传统的 数学课程内容长期以来已经模式化，可选择性不强，本课程大胆突破高考限制，引入“向量几何”、“矩阵理论”、“概率统计”、“线性规划”、“微积分初步”等现代数学内容，摆脱以往数学课程内容的被动与滞后，是本课程力图突破的一点。此外，本课程通过每个章节设置的“本章阅读”介绍著名数学家、数学趣题、数学发展史以及最新数学进展来拓展学生的视野，提高学习数学兴趣。 三、课程内容与数学计划 高一上学期 第一章.集合与命题 第二章.函数 第三章.不等式 第四章.三角函数 2017年上海市高三数学竞赛（）解答（供参 考） 一、填空题：（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、函数y = lg[arcsin(2x 2－x )] 的定义域是__________，值域是__________ . 【答案】]121(∪)021-[，，，]2 πlg ∞(，- 【提示】求定义域：]10(∈2(2 ，－x)x ，求值域： ]2 π 0(∈2arcsin(2 ，－x)x . 2、数列{}n a 是递增数列，满足：a n +12＋a n 2＋81 = 18(a n ＋a n +1) ＋ 2a n a n +1 ， n = 1，2，……，而且a 1 = 1，则数列{}n a 的通项公式a n = __________ . 【答案】a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2 【提示】（方法一）找规律＋数学归纳法 / 代入检验。 计算可得： 归纳得：a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2（数学归纳法证明 / 代入检验略）。 （方法二）严格推导（注意舍去增根） 原方程变形可得：a n +12－(2a n ＋18)a n +1＋a n 2－18a n ＋81 = 0 ； 由求根公式可得：2 1+)3±(=6±9=n n n n a a a a ＋ ； 开方可得：|3±|=1+n n a a ； 计算可得：a 2 = 4或者16，当a 2 = 4，a 3 = 25；当a 2 = 16，a 3 = 49， 由已知数列{}n a 是递增数列，所以当n ≥ 3，n ∈N *时，3±= 1+n n a a ， 进而3=1+＋n n a a ， （小根不满足“数列{}n a 是递增数列”因此舍去）； 可证数列n a 从第三项开始等差数列，验证可得前两项也符合，本题有两解。 3、用一张正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的 正四棱锥，则这个正方形的边长至少是__________ . 【答案】2 2 6＋ 【提示】将正四棱锥的四条侧棱剪开，把四个侧面分别沿着各自的底边翻折下来，使得四个侧面等边三角形和底面正方形共面，那么能包住此“侧面展开图”图形的最小正方形即符合题意。 4、一个口袋中有10张卡片，分别写着数字0，1，2，……，9 ，从中任意 第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2 c b a p ++=为半周长。 1．正弦定理：C c B b A a sin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。 推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2 1sin 21sin 21B ca A bc C ab == 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足) sin(sin a b a a -=θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 2 1；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理B b A a sin sin =，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2 1-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bc a c b A 2cos 2 22-+=?，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq q p q c p b -++ （1） 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2 -2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π， 所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得 qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq q p q c p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2 222 22a c b AD -+= 2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 ................................................................... 1 2002年全国初中数学竞赛上海市预赛试题....................................................................... 4 2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛 ................................................................................ 8 2003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题 .................................................................. 11 2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题 ...................................................................... 13 2004年上海市南汇区初中数学选拔赛试题 (16) 2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 一、填空题(每小题7分，共70分．) 1．如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ．若BE ＝5，EF ＝2，则FG 的长是 ． 2．有四个底面都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面 边长均为3，C 、D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只知道a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和 3，若n 的十进位制表示为99……9(20个9)，则n 3 的十进位制表示中含有数码9的个数是 ． 4．在△ ABC 中，若AB ＝5，BC ＝6，CA ＝7，H 为垂心，则AH 的长为 ． 5．若直角三角形两直角边上中线的长度之比为m ，则m 的取值范围是 ． 6．若关于x 的方程|1-x|＝mx 有解，则实数阴的取值范围是 7．从1 000到9 999中，四个数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个． 8.方程 4 3 xy 1-y 1x 12=+的整数解(x ，y)＝ 9.如图，正△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且AN ＝BM ，BN 与CM 相交于点O ．若S △ABC ＝7，S △OBC =2则 BA BM = 10.设x 、y 都是正整数，且使100x 116-x ++＝y 。则y 的最大值 为 二、(16分)求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和． 2019年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷 （2019年3月22日 星期日 上午8：30~10：30） 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1. 设1210,, ,(1,)a a a ∈+∞，则 1210 1210 20092009 2009 2009log log log log a a a a a a +++的最小值是 。 2. 已知,*x y N ∈，且1 2121999x y -+++=++++，则将y 表示成x 的函数，其解 析式是y = 。 3. 已知函数2 ()|2|f x x =-，若()()f a f b =，且0a b <<，则ab 的取值范围是 。 4. 满足方程2 2 22 13log [2cos ()]2cos ()4 xy y y xy + =-++的所有实数对(,)x y = 。 5. 若 []a 表示不超过实数 a 的最大整数，则方程 2 [tan ]2sin x x =的解是 。 6. 不等式22 3242x x ≤?+?的解集是 。 7. 设A 是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即{1,2, ,2009}A =，集合L A ?， 且L 中任意两个不同元素之差都不等于4，则集合L 元素个数的最大可能值是 。 8. 给出一个凸10边形及其所有对角线，在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有 个。 二、解答题 9.（本题满分14分）设函数()f x 定义于闭区间[0,1]，满足(0)0,(1)1f f ==，且对任意 ,[0,1],x y x y ∈≤，都有22( )(1)()()2 x y f a f x a f y +=-+，其中常数a 满足01a <<，求a 的值。 10. （本题满分14分）如图，A 是双曲线2 214 x y -=的右顶点，过点A 的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点,M N ，问直线MN 这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点P 11. （本题满分16分）设,A B 是集合12345{,,,,}a a a a a 的两个不同子集，使得A 不是B 的 子集，B 也不是A 的子集，求不同的有序集合对(,)A B 的组数。 12. （本题满分16分）设正整数构成的数列{}n a 使得1091081019k k k a a a --++ +≤对一切 第十四章 极限与导数 一、 基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞ →+∞→，另外)(lim 0 x f x x + →=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。类 似地)(lim 0 x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。 2．极限的四则运算：如果0 lim x x →f(x)=a, 0 lim x x →g(x)=b ，那么0 lim x x →[f(x)± g(x)]=a ±b, 0 lim x x →[f(x)?g(x)]=ab, 0 lim x x →).0()()(≠=b b a x g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0 lim x x →f(x)存在，并且 lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。 4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+ Δx)-f(x 0)).若x y x ??→? lim 存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或 x dx dy ，即 00) ()(lim )('0 x x x f x f x f x x --=→。由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导 的必要条件。若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x 0处导数'f (x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。 第十七章 整数问题 一、常用定义定理 1．整除：设a,b ∈Z,a ≠0，如果存在q ∈Z 使得b=aq ，那么称b 可被a 整除，记作a|b ，且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数。b 不能被a 整除，记作a b. 2 带余数除法：设a,b 是两个给定的整数，a ≠0，那么，一定存在唯一一对整数q 与r ，满足b=aq+r,0≤r<|a|，当r=0时a|b 。3．辗转相除法：设u 0,u 1是给定的两个整数，u 1≠0，u 1 u 0,由2可得下面k+1个等式：u 0=q 0u 1+u 2,01且n 为整数，则k a k a a p p p n 2121 ，其中p j (j=1,2,…,k)是质数（或称素数），且在不计次序的意义下，表示是唯一的。 6．同余：设m ≠0,若m|(a-b)，即a-b=km ，则称a 与b 模同m 同余，记为a ≡b(modm)，也称b 是a 对模m 的剩余。 7．完全剩余系：一组数y 1,y 2,…,y s 满足：对任意整数a 有且仅有一个y j 是a 对模m 的剩余，即a ≡y j (modm)，则y 1,y 2,…,y s 称为模m 的完全剩余系。 8．Fermat 小定理：若p 为素数，p>a,(a,p)=1，则a p-1≡1(modp)，且对任意整数a,有a p ≡a(modp). 9．若(a,m)=1，则)(m a ≡1(modm), (m)称欧拉函数。 10．（欧拉函数值的计算公式）若k a k a a p p p m 2121 ，则 (m)=.)11(1 k i i p m 11．（孙子定理）设m 1,m 2,…,m k 是k 个两两互质的正整数，则同余组： x ≡b 1(modm 1),x ≡b 2(modm 2),…,x ≡b k (modm k )有唯一解， x ≡'1M M 1b 1+'2M M 2b 2+…+'k M M k b k (modM)， 其中M=m 1m 2m k ；i M =i m M ，i=1,2,…,k ；i i M M '≡1(modm i ),i=1,2,…,k. 二、方法与例题 1．奇偶分析法。 例1 有n 个整数，它们的和为0，乘积为n ，（n>1），求证：4|n 。 2．不等分析法。 例2 试求所有的正整数n ，使方程x 3+y 3+z 3=nx 2y 2z 2有正整数解。 2013上海市初中数学竞赛(新知杯) 1.已知7 21 ,721-=+= b a ，则.________33=-+-b b a a 2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ，._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则 3.已知F E AC AB A 、，,8,690==?=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，则.__________=GF 4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式；当1a x =或者 5432a a a a x +++=时，5)(=x f ， 当21a a x +=时，,)(p x f =当543a a a x ++=时，q x f =)(，则.________=-q p 5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为 ___________. 6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根，则m 的取值范围是_________________. 7.已知四边形ABCD 的面积为2013，E 为AD 上一点，CDE ABE BCE ???,,的重心分别为321,,G G G ，那么321G G G ?的面积为________________. 8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ，延长DC 到P 使得2=CP ，过B 作AP BF ⊥交CD 于E ，交AP 于F ，则._________=DE 二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分） 9.已知?=∠90BAC ，四边形ADEF 是正方形且边长为1，求CA BC AB 111++的最大值. 2016年上海市高中数学竞赛试题及答案 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠，,,a b c 均为常数），函数()1f x 的图象与函数()f x 的图象关于y 轴对称，函数()2f x 的图象与函数()1f x 的图象关于直线1y =对称，则函数 ()2f x 的解析式为 ． 答案：()22 2.f x ax bx c =-+-+ 解 在函数()y f x =的表达式中用x -代替x ，得()2 1f x ax bx c =-+，在函数()1y f x =的 表达式中用2y -代替y ，得()2 2 2.f x ax bx c =-+-+ 2.复数z 满足1z =，2 22 3w z z =-在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程是 ． 答案：2 2 1.25 y x += 解 设,z a bi w x yi =+=+，则22 1a b +=， ()()()() ()()()()()2 2 2 2 2 2 22 2222 333210. a bi x yi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a b abi -+=+- =+- ++-=+--=-+ 从而2 2 ,10x a b y ab =-=，于是()22 2 22224 1.25 y x a b a b +=-+= 3.关于x 的方程arctan 2arctan 26 x x π --= 的解是 ． 答案：2log x = 解 因为( )()tan arctan 2tan arctan 2221x x x x --?=?=，所以arctan 2arctan 22 x x π -+= ， 解得arctan 2,arctan 23 6 x x π π -= = ，则22log x x == 4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6，则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能． 答案：48． 谈高中数学竞赛辅导 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。笔者就对数学竞赛辅导谈谈自己的见解和做法，旨在抛砖引玉，以求大家共同探讨。 1.培养学生对数学竞赛的直接兴趣 直接兴趣是由于对事物本身或活动本身感到需要而引起的兴趣。在每学期开学第一节课，笔者都不急于讲授新课，而是向学生讲述数学家华罗庚等的故事；讲述数学在各行各业的用途；对其它各个学科有什么帮助；介绍华罗庚杯数学竞赛获奖学生勤奋学习的故事，通过这一系列的例子来激发学生对数学学习的重视和兴趣。 2.合理安排竞赛知识的先后顺序 数学竞赛知识无穷无尽，就高中学生而言也有很多，所以尽可能与教材结合增加学生的理解能力。数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的，类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法。所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证。 3.加强对个别学生的重点辅导 重点辅导是一个非常重要的问题，也是关键问题。学校不可能所有辅导的学生都同等优秀，总会有几个特别出色的，对待他们不可能跟其他同学站在同一角度出发，要求要特别高，在正常的课堂辅导外还要求他们自发学习和预习竞赛书上的所有内容，扩充他们整体的知识面。平常要多点关心他们的学习进度，解决困难问题，合理地梳理各部分的知识。 4.比赛前信心的确立和精神的放松 高中的学生，由于他们生理和心理的原因，在某些大事情面前是比较紧张和害怕的，当遇到一定的困难时就会不知所措，那么在比赛时就比较麻烦了。为了使他们确立信心和放松精神，笔者做了两件事，出一份模拟题；开一个考前座谈会。 5.总结 高中学生数学竞赛辅导。 高中数学教学设计大赛获奖作品汇编 （上部） 目 录 1、集合与函数概念实习作业…………………………………… 2、指数函数的图象及其性质…………………………………… 3、对数的概念………………………………………………… 4、对数函数及其性质（1）…………………………………… 5、对数函数及其性质（2）…………………………………… 6、函数图象及其应用…………………………………… 7、方程的根与函数的零点…………………………………… 8、用二分法求方程的近似解…………………………………… 9、用二分法求方程的近似解…………………………………… 10、直线与平面平行的判定…………………………………… 11、循环结构 ………………………………………………… 12、任意角的三角函数（1）………………………………… 13、任意角的三角函数（2）…………………………………… 14、函数sin()y A x ω?=+的图象………………………… 15、向量的加法及其几何意义……………………………………… 16、平面向量数量积的物理背景及其含义（1）……………… 17、平面向量数量积的物理背景及其含义（2）…………………… 18、正弦定理（1）…………………………………………………… 19、正弦定理（2）…………………………………………………… 20、正弦定理（3）…………………………………………………… 21、余弦定理……………………………………………… 22、等差数列……………………………………………… 23、等差数列的前n项和……………………………………… 24、等比数列的前n项和……………………………………… 25、简单的线性规划问题……………………………………… 26、拋物线及其标准方程……………………………………… 27、圆锥曲线定义的运用……………………………………… 学高中数学竞赛辅导计 划 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 2016年高中数学竞赛辅导计划 为搞好2016年全国数学联赛备考工作，并以此为契机，培养我校学生数学学习的积极性，进一步提高我校的办学品位，特举办本届高中数学联赛辅导班。 一、指导思想： 以科学发展观、新课程理论为指导；以提高学生学习数学、应用数学的兴趣，提高学生的数学素养为宗旨；坚持以生为本、有利于学生的终生发展的原则，立足实际、因材施教，开展数学竞赛辅导班工作。 二、目标要求 1、适当拓宽学生数学知识视野，注重渗透一些常用的数学思想方法、加深对数学本质的认识。 2、注重培养学生良好的思维品质，提高学生的探究知识及运用数学知识和数学思想方法分析、解决问题的能力。 3、注意培养学生的应用意识、创新意识、协作意识，培养学生良好的科学态度。 4、使学生在探究知识，解决问题的过程中，感受数学文化的博大精深和数学方法的巨大创造力，感受数学的魅力，增强对数学的向往感；从而激发学生学习数学的热情。培养学生不畏困难、敢于攀登科学高峰的勇气。 5、力争在2016年高中数学联赛中至少有两人次取得省级三等以上的奖项，在本市同层次学校中名列前茅，为学校争光。 三、管理措施： 1、依据全国数学联赛考试大纲，结合近几年数学联赛试题特点，根据教学进度和学生认知结构特点，精心选择、合理安排教学内容，循序渐进，逐步提高。 2、精心准备，讲究实效。认真编写讲义（或教案），上课前一周将讲义制好并分发给学生。认真上好每一节辅导课，使学生真正学有所得。 3、以集体讲解与学生自主学习和小组合作学习相结合的学习形式组织学习，充分调动学生学习的积极性，保障学生的主体地位。 4、精编课后巩固练习与强化，及时检查、及时批改、及时反馈，确保质量。 5、制定辅导班班规，严格考勤制度。 6、争取学校有关领导、班主任及数学教师的支持，确保后勤保障。 五、学生选拔：先由学生本人自愿报名，经家长同意后，由有关班主任、任课教师协商并推荐人选，通过选拔考试择优录取50名。 六、辅导教师： 七、活动时间： 八、活动地点： 注： 1、若有特殊情况须作临时调整，则另行通知。 2、本计划有不周之处或未尽事宜，将在执行过程中进行不断完善。 年月日2016年高中数学联赛辅导课安排表 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射． 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x ， y ∈A ， x ≠y ， 都有f (x )≠f (y )则称之为单射． 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射． 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1 : A →B ． 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数．A 称为它的定义域，若x ∈A ， y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y 则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象．集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域．通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0，x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1 : A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x ， y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域．例如：函数y = x -11的反函数是y =1-x 1 (x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称． 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数． 定义7 函数的性质． （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1， x 2∈I 并且x 1< x 2，总有 f (x 1) 上海市高中数学竞赛 说明：解答本试题不得使用计算器 一、填空题（本题满分60分,前4小题每题7分,后4小题每题8分） 1.方程组2 71211x x y x y ++?=??+=??的解集为 . 2.在平面直角坐标系中,长度为1的线段AB 在x 轴上移动（点A 在点B 的左边）,点P 、Q 的坐标分别为(0,1)、(1,2),则直线AP 与直线BQ 交点R 轨迹的普通方程为 . 3.已知M 是椭圆x 216+y 29=1在第一象限弧上的一点,MN ⊥y 轴,垂足为N ,当△OMN 的面积最大时,它的内切圆的半径r = 4.已知△ABC 外接圆半径为1,角A 、B 、C 的平分线分别交△ABC 外接圆于A 1、B 1、C 1,则 AA 1cos A 2+BB 1cos B 2+CC 1cos C 2sin A +sin B +sin C 的值为 . 5.设f (x )=a sin[(x +1) π]+b 3x －1+2,其中a 、b 为实常数,若f (lg5)=5,则f (lg20)的值为 . 6.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A (3,a ),B (3,b )使∠AOB =45°,其中a 、b 均为整数,且a b >,则满足条件的数对(a ,b )共有 组. 7.已知圆C 的方程为x 2+y 2－4x －2y +1=0（圆心为C ）,直线y =(tan10°)x +2与圆C 交于A 、B 两点,则直线AC ,BC 倾斜角之和为 . 8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中,甲必须再胜2局才最后获胜；乙必须再胜3局才最后获 胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为12,则甲最后获胜的概率是 . 二、解答题： 9.（本题满分为14分）对于两个实数a 、b ,min{a ,b }表示a 、b 中较小的数,求所有非零实数x , 使min{x +4x ,4}≥8·min{x ,1x }. 10. （本题满分为14分）如图,在△ABC ,Q 为BC 中点,点M ,N 分别在边AB ,AC 上,且 第六章 不等式 第一教时 教材：不等式、不等式的综合性质 目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。 过程： 一、引入新课 1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。 2．过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题 二、几个与不等式有关的名称 （例略） 1．“同向不等式与异向不等式” 2．“绝对不等式与矛盾不等式” 三、不等式的一个等价关系（充要条件） 1．从实数与数轴上的点一一对应谈起 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?x 从而2 2)1(+x >124++x x 小结：步骤：作差—变形—判断—结论 例三 比较大小1． 2 31-和10 解：∵ 232 31+=- ∵02524562)10()23(22<-=-=-+ ∴ 2 31-<10 2． a b 和m a m b ++ ),,(+∈R m b a 解：（取差） a b m a m b ++) () (m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时 a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b 2007 年“新知杯”上海市初中数学竞赛 一、填空题（第1～5小题，每题8分，第6～10小题，每题10分，共90分） 1. 已知?1<2x ?1<1，则12 x 的取值范围为 . 2. 在面积为1 的△ABC 中，P 为边BC 的中点，点Q 在边AC 上，且AQ=2QC 。连接AP 、BQ 交于点R ，则△ABR 的面积是 . 3. 在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边顺次为a 、b 、c 。若关于x 的方程 c(x 2 +1)-22bx-a(x 2-1) = 0的两根平方和为10，则a b 的值为 . 4. 数x 1 ，x 2 ，…， x 100 满足如下条件：对于k = 1，2，…，100，x k 比其余99个数的和小k 。则x 25的值为 . 5. 已知实数a 、b 、c ，且b ≠ 0。若实数x 1 ，x 2， y 1 ，y 2满足x 12+ax 22=b ，x 2y 1-x 1y 2=a ， x 1y 1+ax 2y 2=c ，则y 12+ay 22的值为 . 6.如图，设P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H.已知AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1。则四边形ABCD 的周长为 . 第6题图 第7题图 7. 如图，△ABC 的面积为1，点D 、G 、E 和F 分别在边AB 、AC 、BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ， DE ∥AC ，GF ∥AB.则梯形DEFG 面积的最大可能值为 . 8. 不超过1000 的正整数x ，使得x 和x+1 两者的数字和都是奇数。则满足条件的正整数x 有 个. 9. 已知k 为不超过50 的正整数，使得对任意正整数n ，2×36n+k×23n+1-1 都能被7 整除。则这样的正整数k 有 个. 2016年上海市高三数学竞赛试卷 2016年3月27日上午9：30～11：30 【说明】解答本试卷不得使用计算器．解答请写在答题纸上. 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1． 已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0，a 、b 、c 均为常数),函数f 1(x )的图像与函数f (x )的图像关于y 轴对称，函数f 2(x )的图像与函数f 1(x )的图像关于直线y=1对称，则函数f 2(x )的解析式是 ． 2．复数z 满足|z |=1, w=3z 22 2 z -在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程为 ． 3. 关于x 的方程arctan 2arctan 26 x x π --= 的解是 ． 4. 红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6；则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能． 5. 已知函数f (x)=cos(),x πg (x )=2x a 1 2 - (a ≠0);若存在1x 、2x ∈[0,1],使f (1x ) =f (2x )成立，则实数a 的取值范围为 ． 6. 如图，有16间小三角形的房间.甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形的房间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是 ．（用分数表示） 7. 在空间，四个不共线的向量OA 、OB 、 OC 、OD ,它们两两间的夹角都是α，则α的大小是 ． 8.已知a >0,b >0,a 3+b 3=1,则a +b 的取值范围为 ． 二、解答题（本大题满分60分） 9．（本题满分15分）如图，已知五边形A 1B 1C 1D 1E 1内接于边长为1的正五边形ABCDE ； 求证：五边形A 1B 1C 1D 1E 1中至少有一条边的长度不小于cos 5 π ． 10．（本题满分15分）设p ，q 和r 是素数，且p |qr 1-(p |qr 1-表示qr 1-能被p 整除)，q |rp 1-和r |pq 1-;求pqr 的所有可能的值． 11．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足递推关系111 23 n n n a a +=-+（*n N ∈）; 求所有1a 的值，使{}n a 为单调数列，即{}n a 为递增数列或递减数列. 12．（本题满分15分）已知等边三角形ABC 的边长为5，延长BA 至点P ，使得|AP |=9. D 是线段BC 上一点（包括端点），直线AD 与BPC ?的外接圆交于E 、F 两点，其中|EA |<|ED |. (1)设|BD |=x ,试将|EA |-|DF |表示为关于x 的函数f (x ); (2)求f (x )的最小值. A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 A B C D E F P2018年上海市高三数学竞赛试题含答案解析
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