2021年北京市高考数学压轴题总复习
2021年北京市高考数学压轴题总复习
1.若方程f (x )=x 有实数根x 0,则称x 0为函数f (x )的一个不动点.已知函数f (x )=
e x ﹣lnx +(a +1)x ﹣alnx (e 为自然对数的底数)a ∈R .
(1)当a ≥0时f (x )是否存在不动点?并证明你的结论;
(2)若a =﹣e ,求证f (x )有唯一不动点.
【解答】解:(1)当a ≥0时f (x )不存在不动点,
证明:由f (x )=x 可得,
e x x +ax ?alnx =0, 令F (x )=e x x +ax ?alnx ,x >0,
则F ′(x )=xe x ?e x x 2+a ?a x =(x?1)(e x +ax)x 2
, 当x ∈(0,1)时,F ′(x )<0,函数单调递减,当x ∈(1,+∞)时,F ′(x )>0,函数单调递增,
故当x =1时,函数取得最小值F (1)=a +e >0
故方程,e x x +ax ?alnx =0没有实数根,即f (x )不存在不动点;
(2)当a =﹣e 时,F (x )=e x x
?ex +elnx , 则F′(x)=(x?1)(e x ?ex)x 2
, 令g (x )=e x ﹣ex 则g ′(x )=e x ﹣e ,
当x ∈(0,1)时,g ′(x )<0,函数单调递减,当x ∈(1,+∞)时,g ′(x )>0,函数单调递增,
故g (x )≥g (1)=0,
当x ∈(0,1)时,F ′(x )<0,函数单调递减,当x ∈(1,+∞)时,F ′(x )>0,函数单调递增,
故当x =1时,函数取得最小值F (1)=a +e =0,
所以e x x ?ex +elnx =0有唯一的实数根1,
故f (x )有唯一的不动点.
2.已知抛物线y 2=2px (p >0)经过点(3,2√3),点A ,B ,C 为抛物线上不同的三点,F
为抛物线的焦点,且满足FA →+FB →+FC →=0→
,过点C 作y 轴的垂线且垂足为M . (Ⅰ)若直线AB ,FM 的斜率都存在,求证:k AB ?k FM 为定值;
(Ⅱ)已知直线AB 过点(﹣1,0),抛物线上任意一点N (异于点A ,B ),直线NA ,NB 分别交直线x =1交于P ,Q 两点,O 为坐标原点,求证:OP →?OQ →
为定值.
【解答】解:(Ⅰ)依题意有(2√3)2=6p ,解得p =2,
所以抛物线的方程为y 2=4x ,
所以焦点F (1,0),
设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),M (0,y 3),
由FA →+FB →+FC →=0→,得x 1+x 2=3﹣x 3,y 1+y 2=﹣y 3,
又因为{y 12=4x 1y 22=4x 2
, 两式相减得,(y 1+y 2)(y 1+y 2)=4(x 1﹣x 2),
k AB =
y 1?y 2x 1?x 2=4y 1+y 2=?4y 3, k FM =0?y 31?0=?y 3, 所以k AB ?k FM =4,
即k AB ?k FM 为定值.
(Ⅱ)证明:设点N (x 0,y 0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
由{y 02=4x 0y 12=4x 1
,得y 0?y 1x 0?x 1=4y 0+y 1, 则直线l NA :y ﹣y 0=4y 0+y 1
(x ﹣x 0), 即(y 0+y 1)y =4x +y 0y 1,
其与x =1的交点P (1,y 0y 1+4
y 0+y 1),
同理直线l NB 与直线x =1的交点Q (1,
y 0y 2+4
y 0+y 2), 所以OP →?OQ →=1+y 0y 1+4y 0+y 1+y 0y 2+4y 0+y 2
=1+y 02y 1y 2+4y 0(y 1+y 2)+16y 02+y 0(y 1+y 2)+y 1y 2① 设直线AB 的方程为y =k (x +1),
联立{y 2=4x y =k(x +1)
,消y 整理得k 2x 2+(2k 2﹣4)x +k 2=0, 则x 1x 2=1,y 1y 2=√16x 1x 2=4,
代入①得1+4y 02+4y 0(y 1+y 2)+16y 02+y 0(y 1+y 2)+4
=1+4=5, 所以OP →?OQ →为定值.
[数学]数学高考压轴题大全
1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点;
(ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:.
6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性;
高考数学中的放缩技巧
高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n k Λ 奇巧积累:(1)??? ??+--=-< =1211212144 4412 2 2n n n n n (2)) 1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11 ≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)2 5 )1(12311 2111)11(<-++?+ ?++<+n n n n Λ (5) n n n n 2 1121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+=???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11) 2 1 2121 21222)1212(21 -++ = -++= --+
(完整版)2018年高考数学压轴题(教师版(文))
2018年高考数学30道压轴题训练(教师版) 1.椭圆的中心是原点O ,它的短轴长为(,)0F c (0>c )的准线l 与x 轴相交于点A ,2OF FA =,过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 (1)求椭圆的方程及离心率; (2)若0OP OQ ?=u u u r u u u r ,求直线PQ 的方程; 1.(1 )解:由题意,可设椭圆的方程为(22 212x y a a +=。 由已知得, (). 222 22a c a c c c ?-=? ?=-?? 解得2a c == 所以椭圆的方程为22162 x y += ,离心率3e = 。 (2)解:由(1)可得A (3,0)。 设直线PQ 的方程为()3y k x =-。由方程组,()22 162 3x y y k x ?+ =???=-? 得()222231182760k x k x k +-+-=,依题意()212230k ?=-> ,得33 k << 。 设(,),(,)1122P x y Q x y ,则21221831k x x k +=+, ① 2122276 31 k x x k -=+。 ② 由直线PQ 的方程得(),()112233y k x y k x =-=-。于是 ()()[()]22121212123339y y k x x k x x x x =--=-++。 ③ ∵0OP OQ ?=u u u r u u u r ,∴12120x x y y +=。 ④ 由①②③④得251k = ,从而()533 k =。 所以直线PQ 的方程为30x -= 或30x +-= 2.已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ,且当]2,0[∈x 时,
高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)
放缩技巧 (高考数学备考资料) 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n k 奇巧积累 : (1) ?? ? ??+--=-<=1211212144441222n n n n n (2) ) 1(1)1(1)1()1(212 11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11 ≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)2 5 )1(12311 2111)11(<-+ +?+?++<+n n n n (5) n n n n 2 1 121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(1 2)12(12 13211 221 ?+-?+= ???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) ! )1(1!1!)1(+- =+n n n n (11) 2 12121 21222)1212(21-++ = -++= --+
2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析
2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. (1) 若1a =,证明:当0x ≥时,()1f x ≥. (2) 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点,求a . 题目分析: 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用,综合考察学生化归与分类讨论的数学思想,题目设置相对较易,利于选拔不同能力层次的学生。第1小问,通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式,这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数,指数函数的系数为代数函数,非常容易求解零点,并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意,对以后导数命题有着很大的指引作用。但是,这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此,以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论,始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点,力求完整的解答该类题目。 题目解答: (1)若1a =,2()x f x e x =-,()2x f x e x '=-,()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增; 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->,从而()f x 在[0,)+∞单调递增;所以()(0)1f x f ≥=,得证. (2)当0a ≤时,()0f x >恒成立,无零点,不合题意. 当0a >时,()2x f x e ax '=-,()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x a ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增;所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时,()0f x '≥,从而()f x 在[0,)+∞单调递增,()(0)1f x f ≥=,在(0,)+∞无零点,不合题意.