采用朗肯土压力理论计算主动

采用朗肯土压力理论计算主动、被动土压力

朗肯土压力理论是依据半空间体的应力状态和土的极限平衡理论推出土压力强度的计算式。它的假设条件1．挡土墙背垂直；2．墙后填土表面水平；3．挡墙背面光滑即不考虑墙与土之间的摩擦力。

应用范围:

1.墙背与填土条件：

（1）墙背垂直，光滑，墙后填土面水平

（2）墙背垂直，填土面为倾斜平面，

（3）坦墙（工程上把出现滑裂面的挡土墙定义为坦墙）。

（4）还适应于“∠”形钢筋混凝土挡土墙计算

2.地质条件

粘性土和无粘性土均可用,均有公式直接求解

影响土压力的因素:

作用在挡土支护结构上的土压力受以下因素制约：

1不同土类中的侧向土压力差异很大。采用同样的计算方法设计的挡土支护结构，对某些土类可能安全度很大，而对另一些土类则可能面临倒塌的危险。因此在没有完全弄清挡土支护结构土压力的性能之前，对不同土类应区别对待。

2 土压力强度的计算及其计算指标的取值与基坑开挖方式和土类有关。当剪应力超过土的抗剪强度时，背侧土体就会失去稳定，发生滑动。由于基坑用机械开挖，一般进度均较快，开挖卸荷后，土压力很快形成，为与其相适应采用直剪快剪或三轴不排水剪是合理的。但剪切前是否要固结，则根据土的渗透性而定。渗透性弱的土，由于加荷快、来不及固结即可能剪损，此时宜采用不固结即进行剪切；反之，渗透性强的土，宜固结后剪切。

3土压力是土与挡土支护结构之间相互作用的结果，它与结构的变位有着密切的关系，从而导致设计土压力值的不确定性。如经典的库仑土压力仅考虑主动与被动状态；在挡土支护结构变形很小时，要采用静止土压力(其值无统一求法)；对于作用于多支点挡土支护结构的土压力则按弹塑性理论进行计算。

图1 半空间体的应力状态

（a ）单元体的初始应力状态； （b ）达到朗肯状态的应力路径；

（c ）主动朗肯状态的剪切破坏面； （d ）被动朗肯状态的剪切破坏面 如图1a 在半空间土体中取一竖直切面AB ，在AB 面上深度为Z 处取一土单元体，在静止土压力状态下，作用在单元体上的大主应力1σ为竖直向应力z γ，小主应力3σ为水平向应力z k γ0，单元体处于弹性平衡状态，其应力圆1o 位于强度包线下方。假定在某种原因下土体朝侧向松开，在保持大主应力1σ不变的条件下小主应力3σ不断减少，其应力圆直径随之增加，最终当应力圆2o 与强度包线相切时，单元体处于主动极限平衡状态，此时的小主应力3σ仍在水平向，即为主动土压力强度a σ（图1b ），土体中的两组滑移面与水平面成2/45?+ο（图1c ）。当在某种原因下土体朝单元体侧向挤压时，水平向应力不断增加，应力圆直径不断减小至一点，当水平向应力继续增大到超过竖直向应力时，水平向应力成为大主应力1σ，而竖直向应力变成了小主应力3σ，此后随着水平向应力的增加应力圆直径又不断增加，最终应力圆3o 与强度包线相切，单元体处于被动极限状态，此时

大主应力1σ在水平向，并被认为是被动土压力强度p σ（图1b ），土体中两组滑移面与水平

面的夹角为2/45?-ο（图1d ）。

朗肯认为可以用直立的挡土墙来代替上述竖直面AB 左边的土体，如果满足墙背与填土界面上的剪应力为零的条件，并不改变右边土体中的应力状态。当挡土墙的变位符合上述主动或被动极限平衡条件时，作用在挡土墙墙背上的土压力即为朗肯主动土压力或朗肯被动土压力。墙背直立、光滑，墙后填土面水平的挡土墙满足这种条件。

主动土压力

由图1b 可知任一深度z 处的朗肯主动土压力强度a σ为小主应力1

d ''，而大主应力1σ为上覆土压力z γ，根据土的极限平衡条件，则有：

)2/45tan(2)2/45tan(??γσ-?--?=c z a

或 a a a K c zK 2-=γσ （1）

式中 a K —朗肯主动土压力系数，)2/45(tan 2?-=οa K ；

γ—土的重度；

c 、?—土的粘聚力和内摩擦角。

对于无粘性土，c =0，a a zK γσ=，主动土压力仅仅是由土的自重所产生，其强度随深度线性增加，呈三角形分布（图2a ）。主动土压力的合力a E 为三角形的面积，其值由(1)式计算；合力作用在三角形的重心处，即在挡土墙墙底以上H /3处。

a a K H E 221γ= （2）

式中 H —挡土墙的高度。

图2 朗肯主动土压力的计算 （a ）无粘性填土； （b ）粘性填土

当墙后填土为粘性土时，由式(1)可知主动土压力由两部分组成，粘聚力c 的存在减少了作用在墙上的土压力，并且在墙上部形成一个负侧压力区（拉应力区），见图2b 中的三角形acd 。由于墙背与填土在很小的拉应力下就会脱开，该区域的土中会出现拉裂缝，在计算作用在墙背上的主动土压力时应略去这部分负侧压力，而仅仅考虑三角形bce 部分的土压力。此时，由土压力为零的条件可计算受拉区的高度0z ：

0200=-==Ka c K z a z z a

γσ 得到 a K c z γ20= （3）

0z 有时也被称为土的“临界高度”，被认为是粘性土中无支挡直立开挖的最大深度。

主动土压力合力a E 则为三角形bce 的面积，其值由式(8-7)计算:

)2)((210a a a K c HK z H E --=γ （4）

或 2

0)(21z H K E a a -=γ

a E 作用在三角形bce 的形心上，即在挡土墙底面以上（H -0z ）/3处。

对于粘性土的上述算法，有学者认为低估了主动土压力值。为此采用了一些修正方法。例如在墙背底面处的主动土压力值仍用式(1)计算，但墙顶处的土压力取为零值，而不是按式(1)求得的负值。作用在墙背上的主动土压力合力则为：

)21(212a a a K H c K H E γγ-=。

或者仍按式(4)计算主动土压力值，但应考虑0z 范围内张裂缝中从地面渗入的水压力作用。

被动土压力

由图1b 可知任一深度z 处的朗肯被动土压力强度p σ为大主应力1σ，而小主应力3σ为上覆土压力z γ，根据土的极限平衡条件，则有：

)2/45tan(2)2/45(tan 2??γσ+++=οοc z p

或 p

p p K c zK 2+=γσ （5） 式中 p K —朗肯被动土压力系数，)2/45(tan 2?+=οp K 。

图3 朗肯被动土压力的计算

（a ）无粘性填土； （b ）粘性填土 无粘性土的朗肯被动土压力沿深度也呈三角形分布（图3a ），合力

p E 值由式6计算，作用在墙底以上H /3处。

p p K H E 221γ= （6） 粘聚力c 的存在增加了被动土压力，作用在墙背上的被动土压力呈梯形分布，如图3b 所示，合力p E 值为梯形面积，可以用矩形abdc 与三角形cde 的面积之和求得：

2

1p p p E E E +=p p K H K cH 2212γ+= （7） p E 作用在梯形的形心上，也可以用分块求矩的方法计算

p E 距墙底的距离h z p p p h E H E H E z 3

221+= （8）

关于朗肯条件

现以无粘性土填土和主动应力状态为例，朗肯条件的更一般情况为地面倾斜时，土体在侧向和深度上都是无限的情况（图4a ）。此时如果土体有机会侧向伸展足够的量，则在土体中形成两簇滑移面（图4b ），与竖直面B B '的夹角分别为α和ψ，α和ψ的值为：

)sin sin (sin 21)90(211β?β?α-+-=-ο （9a ）

)sin sin (sin 21)90(21

1β?β?ψ---=-ο （9b ）

以及 ?ψα-=+ο90 （9c ）

如果土体绕B 点转动足够的量，使A 点达到主动平衡条件，在土中也产生同样两簇滑移面，不过仅限制在A AB '的范围内（图4c ）。这两种情况在竖直面B B '上都作用着朗肯主动土压力a E ，其值可用式(10)计算，方向与地面平行。而作用在AB 面上的总压力等于a E 与土楔B AB '的重力的矢量和。

图4 土体的伸展—朗肯主动应力状态

（a ）倾斜地面的原位静止土压力； （b ）侧向和深度是无限的土体的伸展；

（c ）土楔绕B 点转动产生的伸展； （d ）符合朗肯条件的挡土墙 ]cos cos cos cos cos cos [cos 2122222?ββ?βββγ-+--=h E a

=a K h 221γ （10）

式中h 是B B '的高度，a K 是括弧中的值，即朗肯主动土压力系数。

我们将图中B A '面称为第一破裂面，将AB 面称为第二破裂面。当用挡土墙时，填土中存在朗肯主动应力状态的条件是必须满足以下两个条件：①挡土墙不阻碍第二破裂面的形成，即墙背倾角ε>夹角ψ。②位于第二破裂面与墙背之间的土楔CBA 不沿墙背下滑，而是附在墙背上与墙一起移动，即作用在墙背上的总压力与墙背法线的夹角δ'小于外摩擦角δ（图4d ））。

ψε>的挡土墙称为坦墙，可知符合条件②的坦墙适用朗肯条件，此时朗肯土压力作用在过墙踵的竖直面上。ψε<的挡土墙称为陡墙，陡墙一般不符合朗肯条件，但在墙背倾角

ε、填土坡角β、内摩擦角?和外摩擦角δ满足式(8-14)的关系时，墙后土体仍处于简单极限应力状态，朗肯公式仍能使用。

)sin sin (sin 21)sin sin (sin 2111β?βδ?δε---=-- （11）

式(11)的关系一般不易满足，当墙背直立（ε=0）、光滑（δ=0）、填土面水平（β=0）

时，式(11)的关系得到满足。此时，直立墙背相当于上述竖直面B B '，2/45?ψα-==ο，

)2/45(tan 2?-=οa K ，与前述一致。